close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Связности на оснащенной гиперповерхности в проективно-метрическом пространстве.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2009
Том 151, кн. 4
УДК 514.756
СВЯЗНОСТИ НА ОСНАЩЕННОЙ
ИПЕПОВЕХНОСТИ
В ПОЕКТИВНО-МЕТИЧЕСКОМ
ПОСТАНСТВЕ
А.В. Столяров
Аннотация
Изучается внутренняя геометрия гиперповерхностей Vn?1 , вложенных в проективнометрическое пространство Kn , n ? 3 , и оснащенных в смысле А.П. Нордена и Э. Картана. Построены аинные и проективные связности на Vn?1 , индуцируемые указанными
оснащениями. Найдены условия, при которых оснащение индуцирует на Vn?1 плоскую
связность.
Ключевые слова: проективно-метрическое пространство, двойственность, оснащение гиперповерхности, пространство аинной связности, пространство проективной
связности, пространство постоянной кривизны.
Известно [1, с. 81?, что n -мерным пространством Kn с проективной метрикой
называется проективное пространство Pn , в котором задана неподвижная гиперквадрика Qn?1 (абсолют); уравнение Qn?1 в проективном репере R записывается
в виде
Ї
gIЇK? xI xK? = 0, gIЇK? = gK? IЇ.
(1)
Согласно работе [2, с. 339? пространство Kn будем называть ниже проективно-метрическим.
Фундаментальной группой пространства Kn является стационарная подгруппа
абсолюта Qn?1 ; эта подгруппа сохраняет некоторый поляритет [1, с. 81?, названный А.П. Норденом абсолютным поляритетом пространства Kn . В случае, когда
абсолют Qn?1 овального типа, поляритет называется гиперболическим [1, с. 86?.
иперболическое пространство Kn имеет особое значение в геометрии, ибо оно
представляет собой проективную интерпретацию геометрии Лобачевского. С помощью этой интерпретации Ф. Клейн дал строгое доказательство ее непротиворечивости.
В работе изучается внутренняя геометрия гиперповерхности Vn?1 , вложенной
в проективно-метрическое пространство Kn , n > 3 и оснащенной: 1) в смысле
А.П. Нордена полями геометрических объектов {Gin , Gi } и {Hni , Gi } ; 2) в смысле
Э. Картана полем геометрического объекта {Hni , Hn } . Доказано, например, что
пространство проективной связности Pn?1,n?1 , индуцируемое оснащением в смысле Э. Картана гиперповерхности Vn?1 ? Kn , n > 3 полем геометрического объекта
{Hni , Hn } , является плоским тогда и только тогда, когда ее нормализация полем
объекта {Hni , Gi } в касательном расслоении индуцирует риманово пространство
Rn?1 постоянной кривизны K = ?1/c .
Настоящая работа выполнена с привлечением инвариантных методов диеренциально-геометрических исследований [13?.
СВЯЗНОСТИ НА ОСНАЩЕННОЙ ИПЕПОВЕХНОСТИ
161
На протяжении всей работы индексы принимают следующие значения:
Ї J,
Ї K?, L? = 0, . . . , n;
I,
I, J, K, L = 1, . . . , n;
i, j, k, l, s, t = 1, . . . , n ? 1.
Оператор ? действует по следующему закону:
? ?
?
?
? ?
? j
?Tiu
= dTiu
? Ti?
?u ? Tju
?i + Tiu
?? .
1. ассмотрим n -мерное проективное пространство Pn . Деривационные ормулы проективного репера R = {BIЇ} записываются в виде dBIЇ = ?IK?
Ї BK? , где ормы
Паа ининитезимальных перемещений репера удовлетворяют структурным
уравнениям проективного пространства Pn [3?
L?
K?
D?IK?
Ї = ?IЇ ? ?L? ,
L?
?L?
= 0.
(2)
Условием неподвижности гиперквадрики (1) является [2, с. 359? выполнение
диеренциальных уравнений
L?
dgIЇK? ? gIЇL? ?K?
? gL?K? ?IL?Ї = ?gIЇK? ,
D? = ? ? ?00 .
(3)
Доказано [4?, что в предположении g00 6= 0 (последнее равносильно тому, что
B0 6= Qn?1 ) за счет нормировки коэициентов gIЇK? и вершин репера R уравнение
(1) абсолюта Qn?1 и условие (3) его неподвижности можно записать соответственно в виде
1
aIK xI xK + (gI0 xI + cx0 )2 = 0,
(4)
c
1
L
daIK ? aIL ?K
? aLK ?IL = ? (aIL gK0 + aKL gI0 ) ?0L ,
c
(5)
dgI0 ? gL0 ?IL ? c?I0 = aIL ?0L ,
где
aIK = gIK ?
gI0 gK0
,
c
aIK = aKI ,
c = g00 = const 6= 0;
при этом орма ?00 становится главной:
?00 = ?
gL0 L
? .
c 0
(6)
2. В проективно-метрическом пространстве Kn рассмотрим гиперповерхность
Vn?1 , n > 3 , текущая точка которой не принадлежит абсолюту Qn?1 . В репере
R первого порядка ( B0 ? Vn?1 , вершины Bi репера принадлежат касательной
гиперплоскости Tn?1 (B0 ) к гиперповерхности в ее текущей точке B0 ) диеренциальное уравнение Vn?1 имеет вид [2, с. 359?
(7)
?0n = 0.
Трехкратное продолжение уравнения (7) с использованием (2), (6) приводит к следующим диеренциальным уравнениям:
?in = ?nij ?0j ,
??nij = ?nijk ,
?n[ij] = 0;
?ni[jk] =
1 n
? gk]0 ;
c i[j
(8)
(9)
162
А.В. СТОЛЯОВ
1 n
(10)
? gs]0 ;
c ij[k
поля геометрических объектов {?nij } , {?nijk , ?nij } относятся соответственно ко второй и третьей диеренциальным окрестностям точки B0 ? Vn?1 .
Предположим, что гиперповерхность Vn?1 ? Kn является регулярной, то есть
0
??nijk ? ?n(ij ?nk)s ?ns + ?nk(i ?j)
= ?nijks ?0s ,
?nij[ks] =
def
симметричный тензор второго порядка ?nij невырожден: ? = |?nij | =
6 0 , следоваkj
тельно, существует взаимный тензор ?n второго порядка:
j
?nik ?kj
n = ?i ,
(11)
ik sj n
t
??ij
n = ??n ?n ?kst ?0 ,
2
n
Ak = ?st
(12)
n ?tsk + gk0 .
c
Двукратное продолжение уравнения (12) приводит к диеренциальным уравнениям
d ln ? + (n + 1)?nn = Ak ?0k ,
?Ai ? (n + 1)?nsi ?ns = Aik ?0k ,
A[ik] =
1
A[i gk]0 ,
c
1
Ai[j gk]0 ;
c
(13)
поля геометрических объектов {Ai , ?nij } , {Aij , ?nijk , ?nij } относятся соответственно к третьей и четвертой диеренциальным окрестностям текущей точки B0 ?
? Vn?1 ? Kn .
?Aij + Aj ?i0 ? ?nij Ak ?nk ? (n + 1)(?nkij ?nk + ?nij ?n0 ) = Aijk ?0k ,
3.
Ai[jk] =
ассмотрим новую систему из (n + 1)2 орм Паа ??IK?
Ї :
As
gs0
??0i = ?0i , ??0n = ?0n = 0, ??00 = ?00 ?
?
?0s ,
n+1
c
gs0
As
j
j
j As
s
jk n
n
n
??n = ?n ?
?
?0 , ??i = ?i + ?n ?kis ? ?i
?0s ,
n+1
c
n+1
??in = ??nik ?0k ,
??i0 = ?nik ?nk ,
0
??ni = ??ik
n ?k ,
(14)
??n0 = ?n0 .
Согласно соотношениям (2), (5 2 ), (6), (8)(11), (13), ормы ??IK?
Ї системы (14) удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства P?n , то есть
L?
K?
D??IK?
Ї = ??IЇ ? ??L? ,
L?
??L?
= 0,
(15)
причем они являются ормами ининитезимального перемещения тангенциальL?
ного репера {?K? } : d?K? = ??K?
?L? , где
1
1
? [B0 B1 . . . Bn?1 ], ?n = n+1
? [Bn B1 . . . Bn?1 ],
?
?
n?1
1 X n
?
?ki [B0 B1 . . . Bk?1 Bn Bk+1 . . . Bn?1 ].
?i = n+1
? k=1
?0 =
n+1
(16)
Согласно соотношениям (8), (14) имеем
где
??in = ??nik ??0k ,
(17)
??nij = ??nij .
(18)
СВЯЗНОСТИ НА ОСНАЩЕННОЙ ИПЕПОВЕХНОСТИ
163
Диеренциальные уравнения (9) в силу (14), (18) можно переписать в виде
d??nij + ??nij ??nn ? ??nik ??jk ? ??nkj ??ik = ??nijk ??0k ,
где
??nijk = ?nijk ? ?nij
gk0
Ak
+
c
n+1
.
(19)
С использованием соотношений (6), (7), (14) получим
??00 = ?
где
g?k0 k
?? ,
c 0
(20)
c
(21)
Ak .
n+1
Аналогично с использованием равенств (18), (19), (21) находим, что ункции
g?k0 =
2
def
n
A?k = ??st
n ??tsk + g?k0
c
(см. (12)) имеют строение
n+1
gk0 .
(22)
c
K?
Доказано [5?, что: 1) преобразование J : ?IK?
Ї ? ??IЇ структурных орм по
?1
закону (14) является инволютивным, то есть J ? J ; 2) регулярная гиперповерхность Vn?1 , погруженная в проективно-метрическое пространство Kn , n > 3 ,
индуцирует:
а) в третьей диеренциальной окрестности проективное пространство P?n ,
двойственное [6? Kn относительно инволютивного преобразования структурных
орм по закону (14), причем пространство P?n в четвертой диеренциальной
окрестности имеет внутренним образом определяемый тангенциальный абсолют
Q?n?1 , двойственный Qn?1 , следовательно, регулярная гиперповерхность Vn?1 ?
? Kn в четвертой диеренциальной окрестности внутренним образом индуцирует проективно-метрическое пространство K?n , двойственное Kn ;
б) во второй диеренциальной окрестности подмногообразие V?n?1 ? P?n ,
двойственное исходной гиперповерхности Vn?1 ; его диеренциальное уравнение
в тангенциальном репере (16) имеет вид ??0n = 0 , причем тангенциальная гиперповерхность V?n?1 представляет собой (n ? 1) -параметрическое семейство касательных гиперплоскостей к Vn?1 .
A?k =
4.
Уравнения (5) в силу (7), (8) примут вид
1
?aij = ? (aik gj0 + ajk gi0 )?0k + ani ?jn + anj ?in ,
c
1
?ani ? aik ?nk = ? (aik gn0 + ank gi0 )?0k + ann ?in ,
c
2
?ann ? 2ank ?nk = ? ank gn0 ?0k ,
c
dgi0 ? gk0 ?ik ? c?i0 = aik ?0k + gn0 ?in , dgn0 ? gk0 ?nk ? gn0 ?nn ? c?n0 = ank ?0k .
(23)
Следуя .Ф. Лаптеву [2?, в работе [7? на регулярной гиперповерхности Vn?1 ?
? Kn в четвертой диеренциальной окрестности найдено поле соприкасающихся
гиперквадрик Q2n?1 :
?nij xi xj + 2
?i i n
x x + Sn (xn )2 = 2x0 xn ,
n+1
(24)
164
А.В. СТОЛЯОВ
где
1
Gi = ? gi0 ,
(251 )
c
1
?s ?t
?st
?st ?
+ ?s Gt . (252 )
Sn = 2
n
n ?1
n+1
?i = Ai + (n + 1)Gi ,
??i + (n + 1)(?i0 ? ?nis ?ns ) = ?ij ?0j ,
Известно [7?, что необходимым и достаточным условием вырождения гиперповерхности Vn?1 ? Kn в гиперквадрику (24) является обращение в нуль симметричного тензора Дарбу
n
Dijk
= (n + 1)(?nijk ? Gi ?njk ? Gj ?nik ) ? ?n(ij Ak) .
(26)
1
?ij Aj ,
n+1 n
(27)
Пусть гиперповерхность Vn?1 ? Kn нормализована [1? полями квазитензоров
соответственно третьего Gin и первого Gi порядков, где
def
Gin = ?
?Gin + ?ni = Gink ?0k ,
?Gi + ?i0 = Gik ?0k ,
в силу (11), (13 1 ) и (23 4 ) имеют место соотношения
Gink =
1
?is (?lt ?n At ? Ask ),
n + 1 n n slk
1
Gik = ? (aik + gn0 ?nik ).
c
(28)
Нетрудно заметить, что нормализация гиперповерхности Vn?1 ? Kn полями квазитензоров Gin , Gi является взаимной относительно поля соприкасающихся гиперквадрик (24).
1
1
Возьмем систему орм Паа {?i , ?ij } , где
1
i
i
? = ?0 ,
1
(29)
i
i
i n
i
i
0
k
? j = ?j ? Gn ?j + Gj ?0 ? ?j (?0 ? Gk ?0 ),
|
{z
}
0
эта система в силу (1), (6), (8), (27) удовлетворяет структурным уравнениям КартанаЛаптева [8?, [2?
1
1
1
D ? i = ?k ? ? ik ,
где
1
r ijst = ?2 Gkn Gin ?nj[s ?nt]k +
1
1
1
D ?ij = ?kj ? ? ik +
1 1i 1 s 1 t
r ? ?? ,
2 jst
(30)
1
lp
n
n
n
?ik
n ?n Ap ?kl[s ?t]j ? Ak[s ?t]j ?
n+1
?Gkn Gk ?nj[s ?t]i
1
i
n i
+
aj[s ?t] + gn0 ?j[s ?t] . (31)
c
Следовательно, нормализация (Gin , Gi ) гиперповерхности Vn?1 ? Kn индуцирует
1
аинную связность ? без кручения; ее тензор кривизны имеет строение (31). Так
1
1
как 2 r [js] = ? r iijs = 0 (при доказательстве этого следует использовать тождества
1
1
1
иччи r i(jst) = 0 и соотношения (9), (13 1 )), где r js = rijsi тензор иччи, то
1
связность ? является эквиаинной [1?. Таким образом, справедлива
Теорема 1. Нормализация регулярной гиперповерхности
Vn?1 ? Kn , n > 3 ,
определяемая внутренним образом в третьей диеренциальной окрестности полями квазитензоров
Gin
и
Gi ( см. (25) , (27)) , является взаимной относительно
(24) и индуцирует эквиаинную связность
поля соприкасающихся гиперквадрик
1
?
со структурными ормами
(29) ( эквиаинная
)
связность первого рода .
165
СВЯЗНОСТИ НА ОСНАЩЕННОЙ ИПЕПОВЕХНОСТИ
5. Согласно [6? нормализация одной из регулярных гиперповерхностей
Vn?1 ? Kn и V?n?1 ? K?n равносильна нормализации другой; при этом компоненты полей оснащающих объектов {Gin , Gi } , {G?in , G?i } связаны соотношениями
G?in = ??ij
n Gj ,
(32)
G?i = ?nij Cnj ,
эти ункции в силу (9), (11), (14) удовлетворяют диеренциальным уравнениям
вида (27):
dG?in ? G?in ??nn + G?jn ??ji + ??ni = G?inj ??0j ,
dG?i ? G?j ??ij + ??i0 = G?ij ??0j ,
(33)
Aj
G?ij = Gkn ?nik
? ?nkij .
n+1
(34)
где
G?inj = ?ik
n
1
akj ? Gk Gj
c
1
+ gn0 ?ji ,
c
2
2
По аналогии с (29) возьмем систему орм Паа {?i , ? ij } , где
2
i
i
? = ??0 ,
2
(35)
i
i
i n
i
i
0
k
? j = ??j ? G?n ??j + G?j ??0 ? ?j (??0 ? G?k ??0 ).
Согласно (15), (33) система орм (35) удовлетворяет структурным уравнениям
пространства аинной связности без кручения, поскольку
2
2
2
D ?i = ? k ? ?ik ,
2
2
2
D ?ij = ?kj ? ?ik +
1 2i 2s 2t
r ? ??
2 jst
(36)
2
2
тензор кривизны r ijst аинной связности ? имеет строение
1
2
i n
r ijst = 2 Gk Gkn ?nj[s ?t]i + (?ik
ak[s ?nt]j + gn0 ?[s
?t]j ) ? Gkn ?nkj[s ?t]i ?
c n
?
1
n+1
1
Aj A[s ?t]i + Aj[s ?t]i
n+1
2
2
. (37)
2
В силу (9), (13 1 ), (37) справедливо r iist = 0 , то есть тензор иччи r st связности
2
? симметричен; следовательно, аинная связность ? является эквиаинной.
1
1
Из строений (29), (35) орм ?ij и ?ij с использованием (14), (32) находим
2
1
i
i
i n
i
ik
n
s
n
n
k i
i k n
?j = ?j + Gn ?j ? Gj ?0 + ?n (?kjs ?0 ? Gk ?j ) + ?jk Gn ?0 + ?j Gn ?k .
(38)
Теперь диеренциальные уравнения (9) с использованием (29), (38) запишутся в
виде
2
1
(39)
d?nij ? ?nik ?kj ? ?nkj ? ki = ??nij (?nn + Gkn ?kn ),
1
2
это говорит о том, что аинные связности ? и ? сопряжены [1? относительно
поля тензора ?nij .
0
1
2
Аинная связность ? , средняя [1? по отношению к связностям ? и ? , опредеn
0
1
2 o
ляется системой структурных орм ?0i , ? ij = 12 ?ij + ?ij . Для средней связности
из уравнений (39) имеем
0
0
d?nij ? ?nik ?kj ? ?nkj ?ki = ??nij (?nn + Gkn ?kn ) .
|
{z
}
?
(40)
166
А.В. СТОЛЯОВ
Последние уравнения говорят о том, что средняя аинная связность является
вейлевой [1? с полем метрического тензора ?nij . Отметим, что средняя связность
0
1
2
? , как и связности ? и ? , является эквиаинной; последнее подтверждается
и тем, что дополнительная орма ? (см. (40)) в силу (2), (7), (34) есть полный
диеренциал некоторой ункции: D? = 0 . Следовательно, средняя аинная
0
связность ? является римановой с полем метрического тензора ?nij .
Таким образом, справедливы следующие предложения.
Теорема 2. Нормализация регулярной гиперповерхности
3,
Vn?1 ? Kn , n >
внутренним образом определяемая в третьей диеренциальной окрестности
полями квазитензоров
Gin
и
Gi ,
1
кроме эквиаинной связности первого рода
2
индуцирует эквиаинную связность второго рода
Теорема 3. Эквиаинные связности первого
цируемые на гиперповерхности
Kn ,
Vn?1
?,
двойственную первой.
1
?
?
2
и второго
?
родов, инду-
в проективно-метрическом пространстве
нормализованной полями квазитензоров
Gin
относительно поля асимптотического тензора
и Gi ,
?nij .
являются сопряженными
1
2
Заметим, что тензоры кривизны (31) и (37) аинных связностей ? и ? связаны соотношениями
2
n 1k
rijst = ??il
n ?kj r lst ,
которые получаются в результате замыкания уравнений (39).
0
?,
Теорема 4. Аинная связность
1
?
?nij .
ным связностям первого
метрического тензора
средняя по отношению к эквиаин-
2
и второго
?
родов, является римановой с полем
Теорема 5. Двойственные аинные связности
лизацией регулярной гиперповерхности
Gin , Gi ,
Vn?1 ? Kn ,
1
2
? и ? , индуцируемые нормаn > 3 , полями квазитензоров
совпадают тогда и только тогда, когда гиперповерхность вырождается
в гиперквадрику
(24) .
Последнее предложение непосредственно следует из соотношений
2
1
i
i
?j = ?j +
1
?ik Dn ? s ,
n + 1 n kjs 0
которые получаются из (38) с использованием (26) строения тензора Дарбу гиперповерхности.
6. Пусть гиперповерхность Vn?1 ? Kn оснащена в смысле Э. Картана [9? полем
геометрического объекта {?ni , ?n } :
i
??ni + ?ni = ?nk
?0k ,
??n + ?nk ?k0 + ?n0 = ?nk ?0k .
(41)
Система n2 орм Паа {?i?j? } , где
?i0 = ?0i ,
?00 = Gk ?0k ,
?ij = ?ji ? ?ni ?jn ,
?0j = ?j0 ? ?n ?jn ,
(42)
в силу (2), (41) удовлетворяет структурным уравнениям Картана Лаптева [2, 8?
1 i? s
D?i?j? = ?k?j? ? ?i?k? + Rj?st
?0 ? ?0t ,
2
(43)
СВЯЗНОСТИ НА ОСНАЩЕННОЙ ИПЕПОВЕХНОСТИ
167
а следовательно, определяет пространство проективной связности Pn?1,n?1 без
i
i?
кручения ( R0st
? 0 ). Тензор кривизны-кручения Rj?st
пространства Pn?1,n?1 имеет строение
i
i
i
R0st
= 0, Rjst
= 2 ?n ?nj[s ?t]i ? ?nk ?ni ?nj[s ?nt]k ? ?n[s
?nt]j ,
(44)
0
0
R0st
= 0, Rjst
= 2 ?n ?nj[s Gt] ? ?nk ?n ?nj[s ?nt]k ? ?n[s ?nt]j .
Замыкая квадратичные уравнения D?i?0 = ?k?0 ? ?i?k? (см. (43), (44 1,3 )), имеем
i?
тождества R(kst)
? 0.
Предположим, что симметричный тензор aij (см. (23)) невырожден, следовательно, существует обратный тензор aij , компоненты которого определяются из
соотношений aik akj = ?ij и удовлетворяют диеренциальным уравнениям
k
daij + aik ?kj + akj ?ki = aij
k ?0 ,
(45)
где
1 is j
(a ?k + asj ?ki )gs0 ? (ais ajt + ajs ait )ans ?nik .
(46)
c
Согласно уравнениям (23 2,5 ), (27 2 ), (45), поле геометрического объекта
{Hni , Hn } , где
aij
k =
Hni = ?aik ank ,
i
?Hni + ?ni = Hnk
?0k ,
gn0
,
c
k 0
0
?Hn + Hn ?k + ?n = Hnk ?0k ,
Hn = Gk Hnk ?
(47)
в первой диеренциальной окрестности внутренним образом определяет оснащение в смысле Э. Картана гиперповерхности Vn?1 ? Kn ; оснащающая точка Sn
имеет разложение
Sn = Bn + Hnk Bk + Hn B0 .
(48)
i
В уравнениях (47) ункции Hnk
и Hnk с учетом (28 2 ), (47 2 ) имеют следующие
строения:
i
Hnk
= ?Hn ?ki + (Hni Hns ? Tnn ais )?nsk ,
Hnk = Hn (Hns ?nsk ? Gk ) ? Tnn Gi ais ?nsk ,
Tnn = ann ? ats ant ans .
(49)
Заметим, что в соотношениях (49) ункция Tnn есть относительный инвариант.
Так как
dSn = (?nn + Hnk ?kn )Sn ? Tnn aks (?sn Bk + Gs ?kn B0 ),
(50)
то справедлива
Tnn обращается в нуль тогда и
Vn?1 ? Kn , n > 3 , есть проективная
(48) ) .
Теорема 6. Относительный инвариант
только тогда, когда гиперповерхность
гиперсера с центром в точке
Sn ( см.
При оснащении в смысле Э. Картана гиперповерхности Vn?1 ? Kn полем
геометрического объекта {Hni , Hn } компоненты тензора кривизны-кручения пространства проективной связности Pn?1,n?1 в силу (44), (47), (49) имеют строение
0
i
R0st
= R0st
= 0,
i
Rjst
= 2Tnn ail ?nl[s ?nt]j ,
0
l
Rjst
= Gl Rjst
.
(51)
168
А.В. СТОЛЯОВ
Соотношения (51) с учетом теоремы 6 доказывают следующее предложение:
Pn?1,n?1 , индуцируемое
Vn?1 ? Kn , n > 3 , полем
Теорема 7. Пространство проективной связности
оснащением в смысле Э. Картана гиперповерхности
геометрического объекта
когда подмногообразие
{Hni , Hn } ,
Vn?1
является плоским тогда и только тогда,
есть проективная гиперсера с центром в точке
Sn .
7. Предположим, что гиперповерхность Vn?1 проективно-метрического пространства Kn нормализована полями квазитензоров Hni и Gi (см. (47) и (27)).
Возьмем систему орм Паа {?i , ?ij } , где
?i = ?0i ,
(52)
?ij = ?ji ? Hni ?jn + Gj ?0i ;
эта система в силу уравнений (27), (47) удовлетворяет структурным уравнениям
Картана Лаптева [2, с. 315?, [8, с. 82?:
D?i = ?k ? ?ik ,
где
1
D?ij = ?kj ? ?ik + Rijst ?s ? ?t ,
2
1
Rijst = 2 Tnn aip ?np[s ?nt]j ? aj[s ?t]i .
c
(53)
Следовательно, система орм (52) определяет пространство аинной связности
0
An?1,n?1 без кручения, тензор кривизны Rijst этого пространства имеет строение
(53).
Так как тензор иччи Rjs = Rijsi удовлетворяет соотношениям 2R[js] =
= ? Riijs (последнее непосредственно следует из тождеств иччи Ri(jst) = 0 ), то
0
из (53) находим R[js] = 0 , то есть пространство An?1,n?1 является эквиаинным.
0
Кроме того, пространство An?1,n?1 является вейлевым с полем невырожденного
тензора aij , ибо уравнения (23 1 ) в силу (52) можно переписать в виде
daij ? aik ?kj ? akj ?ki = 0.
Таким образом, справедлива
aij (см. (231 )
Vn?1 проективвзаимно относительно его абсолюта Qn?1
индуцирует риманову связность ? с полем
Теорема 8. В случае невырожденного симметричного тензора
поля квазитензоров
Hni
и
Gi
нормализуют гиперповерхность
но-метрического пространства
(см. (4) ),
Kn
причем эта нормализация
метрического тензора
aij ,
при этом структурные ормы и тензор кривизны
этой связности имеют соответственно строения
(52)
и
(53) .
В условиях теоремы 8 из (53) следует, что тензор кривизны Rijst риманова
пространства Rn?1 имеет строение
2
Rijst = ? aj[s ?t]i
c
(54)
тогда и только тогда, когда относительный инвариант Tnn (см. (49 2 )) обращается
в нуль. Известно [1?, что риманово пространство Rn?1 постоянной кривизны K =
= ?1/c характеризуется строением (54) его тензора кривизны Rijst . Доказана
СВЯЗНОСТИ НА ОСНАЩЕННОЙ ИПЕПОВЕХНОСТИ
169
Vn?1 , вложенной в проективноKn , n > 3 , полями квазитензоров Hni , Gi индуцирует риманово пространство Rn?1 постоянной кривизны K тогда и только тогда,
когда относительный инвариант Tnn обращается в нуль, при этом K = ?1/c .
Теорема 9. Нормализация гиперповерхности
метрическое пространство
Замечание. Из (54) следует, что тензор иччи Rjs пространства Rn?1 постоянной кривизны пропорционален метрическому тензору ajs с постоянным коэn?2
ициентом пропорциональности: Rjs = ?
ajs , следовательно, пространство
c
Rn?1 является эйнштейновым [10, с. 268?.
Теорема 9 с учетом теорем 6, 7 эквивалентна следующему результату:
Pn?1,n?1 , индуцируемое
Vn?1 ? Kn , n > 3 , полем гео-
Теорема 10. Пространство проективной связности
оснащением в смысле Э. Картана гиперповерхности
{Hni , Hn } , является плоским тогда и только тогда, когда
i
ее нормализация полем объекта {Hn , Gi } в касательном расслоении индуцирует
риманово пространство Rn?1 постоянной кривизны K = ?1/c .
метрического объекта
Summary
A.V. Stolyarov.
Connetions on a Hypersurfae in a Projetively Metri Spae.
We study intrinsi geometry of hypersurfaes embedded into a projetively metri spae
Kn , n ? 3 , and normalized in the sense of A.P. Norden and E. Cartan. We onstrut ane
and projetive onnetions on Vn?1 indued by normalizations of the indiated types and nd
onditions under whih the indued onnetions are at.
Key words: projetively metri spae, duality, normalizations of a hypersurfae, anely
onneted spae, projetively onneted spae, spae of onstant urvature.
Литература
1.
Норден А.П.
Пространства аинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.
2.
Лаптев .Ф.
3.
Фиников С.П.
4.
Столяров А.В.
5.
Столяров А.В.
6.
Столяров А.В.
7.
Абруков Д.А.
8.
Евтушик Л.Е.
9.
Cartan E.
Диеренциальная геометрия погруженных многообразий // Тр.
Моск. матем. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275382.
Метод внешних орм Картана. М.-Л.: ИТТЛ, 1948. 432 с.
Внутренняя геометрия проективно-метрического пространства //
Диеренциальная геометрия многообразий игур. Калининград: Калинингр. гос.
ун-т, 2001. Вып. 32. С. 94101.
Двойственные проективно-метрические пространства, определяемые
регулярной гиперповерхностью // Вестн. Чуваш. гос. пед. ун-та. 2009. ќ 1 (61). С. 2936.
Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары: Чуваш. гос. пед. ун-т, 1994. 290 с.
Внутренняя геометрия поверхностей и распределений в проективнометрическом пространстве. Чебоксары: Чуваш. гос. пед. ун-т, 2003. 140 с.
Диеренциально-геометрические структуры на многообразиях //
Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1979. Т. 9. 246 с.
Les espaes a onnexion projetive // Тр. семинара по векторн. и тензорн.
анализу. 1937. Вып. 4. С. 147159.
170
10.
А.В. СТОЛЯОВ
Кобаяси Ш.
Основы диеренциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т. 1. 344 с.
Поступила в редакцию
02.09.09
Столяров Алексей Васильевич доктор изико-математических наук, проессор
каедры геометрии Чувашского государственного педагогического университета, г. Чебоксары.
E-mail: StolyarovAVhgpu.edu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
218 Кб
Теги
пространство, проективные, связность, оснащення, метрические, гиперповерхности
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа