close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Связность Эресмана для слоений с особенностями и глобальная стабильность слоев.

код для вставкиСкачать
2004
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 10 (509)
УДК 514.752
Н.И. ЖУКОВА
СВЯЗНОСТЬ ЭРЕСМАНА ДЛЯ СЛОЕНИЙ С ОСОБЕННОСТЯМИ
И ГЛОБАЛЬНАЯ СТАБИЛЬНОСТЬ СЛОЕВ
Введение
Теория связностей в расслоенных пространствах занимает центральное место в дифференциальной геометрии. В отличие от расслоений топологическое пространство слоев слоения может
быть \плохим". Например, пространство слоев слоения на торе T 2 , слои которого | иррациональные обмотки, имеет тривиальную топологию. В [1] введено понятие связности Эресмана для
слоений как естественное обобщение связности Эресмана в расслоении, где в основу определения положено существование переносов горизонтальных кривых вдоль вертикальных кривых с
помощью вертикально-горизонтальных гомотопий. Такие гомотопии применялись в глобальной
дифференциальной геометрии и ранее (напр., [2]{[4]).
В данной работе для слоения (M; F ) с особенностями в смысле Г. Сусмана [5] и П. Стефана
[6] определяем связность Эресмана как некоторое обобщенное распределение M на многообразии M , позволяющее переносить горизонтальные кривые, т. е. кривые, касательные векторы к
которым принадлежат M, вдоль вертикальных кривых. В отличие от регулярного случая такие переносы являются многозначными отображениями. Поэтому мы определяем группу Mголономии HM (L; a) произвольного слоя L слоения (M; F ) как группу преобразований некоторого фактор-множества горизонтальных кривых. Слоения с особенностями, обладающие связностью Эресмана, называем эресмановыми. Обобщенные эресмановы слоения вводятся, когда роль
горизонтальных кривых играют только те интегральные кривые M; которые не имеют особых
точек, отличных от конечных.
В данной работе при выполнении некоторых естественных дополнительных условий доказаны теоремы о глобальной стабильности компактного слоя с конечной фундаментальной группой
и с конечной группой голономии для обобщенных эресмановых слоений и для эресмановых слоений с особенностями. Эти теоремы можно рассматривать как аналоги классической теоремы
Риба о глобальной стабильности компактного слоя с конечной фундаментальной группой, доказанной им для слоений класса C r , r 2, коразмерности один на компактных многообразиях
[13]. Показано, что трансверсально полные римановы слоения и вертикально полные вполне
геодезические слоения с особенностями обладают естественными связностями Эресмана.
1. Слоения с особенностями
Все многообразия далее предполагаются гладкими класса C r , r 1, связными, со счетной
базой и хаусдорфовыми, если не оговорено противное. Все окрестности предполагаются открытыми, а пути, кривые и отображения | кусочно-гладкими.
Пусть M | гладкое n-мерное многообразие. Функция T , ставящая в соответствие каждой
точке x 2 M p(x)-мерное подпространство Tx касательного пространства TxM; называется обобщенным распределением на M . Распределение T называется гладким, если для любого вектора
Y 2 Tx существует гладкое векторное поле X , заданное в некоторой окрестности Ux точки x и
такое, что Xx = Y , Xy 2 Ty при любом y 2 Ux .
45
Погруженное подмногообразие L многообразия M называется интегральным многообразием обобщенного распределения T , если для любого x 2 L выполняется равенство Tx L = Tx.
Интегральное многообразие L называется максимальным, если оно связное и совпадает с каждым связным интегральным многообразием, его содержащим. Если через каждую точку x 2 M
проходит некоторое интегральное многообразие, то говорят, что обобщенное распределение T
интегрируемо.
Совокупность F = fL ; 2 J g максимальных интегральных многообразий L обобщенного
интегрируемого распределения T называется гладким слоением с особенностями. Элементы
разбиения L , рассматриваемые как подмногообразия в M , называются слоями слоения F .
Пусть (M; F ) | гладкое слоение с особенностями. Известно [5]{[7], что в каждой точке x 2 M
существует карта (U; '), обладающая свойствами:
(F1 ) '(U ) = V W , где V | окрестность нуля в Rp , W | окрестность нуля в Rq , p = p(x) |
размерность центрального слоя L(x), проходящего через точку x, а q = n ; p;
(F2 ) '(x) = (0; 0) 2 V W ;
(F3 ) для любого слоя L 2 F имеет место равенство '(L \ U ) = V l, где
l := fw 2 W j ';1 (0; w) 2 Lg:
Карту (U; '), обладающую свойствами (F1 ){(F3 ), будем называть расслоенной в точке x, а U
| расслоенной окрестностью. Будем говорить также, что x | центр этой карты. Не нарушая
общности, можно считать, что V и U | окрестности, гомеоморфные Rp и Rq соответственно.
Далее под картой понимаем именно такие расслоенные карты.
Компоненты линейной связности пересечения U \ L будем называть локальными слоями
слоя L в этой карте или в окрестности U .
Подчеркнем, что в расслоенной окрестности Ux точки x размерность p(y) любого слоя L(y),
y 2 Ux , не меньше, чем p(x). Поэтому функция размерности слоев p(x), x 2 M , является полунепрерывной снизу.
Поскольку p(x) n, x 2 M , где n = dim M , то существует максимальная размерность p0
слоев слоения с особенностями F . Точка x называется регулярной, если через нее проходит
слой размерности p0 . Точки из M , не являющиеся регулярными, называются особыми. Если
dim L = p0 , то слой L называется регулярным, в противном случае L называется особым слоем.
Слоения, все слои которых имеют постоянную размерность, называются регулярными. Поэтому
регулярные слоения образуют подмножество слоений с особенностями.
Обозначим через M 0 объединение всех слоев максимальной размерности p0 . Если x 2 M 0
и (U; ') | расслоенная карта в точке x, то для любого y 2 U слой L(y) также имеет размерность p0 , следовательно, U M 0 . Таким образом, объединение регулярных слоев M 0 является
открытым подмножеством в M .
2. Связность Эресмана для слоений с особенностями
Далее под (M; F ) всегда понимаем слоение с особенностями.
Обобщенное распределение M на многообразии M будем называть трансверсальным слоению F , если на M cуществует такая риманова метрика g, что Mx совпадает с ортогональным
дополнением к касательному пространству Tx к слою L(x) в евклидовом векторном пространстве
(Tx M; gx ), т. е. для любого x 2 M имеет место разложение
Tx M = Tx Mx;
где | символ ортогональной суммы. Подпространства Mx , x 2 M , а также векторы из M
будем называть горизонтальными. Кусочно-гладкая кривая называется горизонтальной, если
все ее касательные векторы горизонтальны. Распределение T , касательное к слоям слоения F ,
будем называть вертикальным. Кривая h называется вертикальной, если она лежит в одном
слое слоения F .
46
Вертикально-горизонтальной гомотопией (кратко в. г. г.) называем кусочно-гладкое отображение H : I1 I2 ! M , где I1 = I2 = [0; 1], обладающее следующим свойством: для любой
точки (s; t) 2 I1 I2 кривая H jI1 ftg горизонтальная, а H jfsgI2 вертикальная. Пару кривых
(H jI1 f0g ; H jf0gI2 ) называем базой для в. г. г. Пара путей (; h) с общим началом (0) = h(0), где
| горизонтальный путь, а h вертикальный, называется допустимой для в. г. г. Обобщенное
распределение M, трансверсальное слоению с особенностями F , называем связностью Эресмана
для F , если для любой допустимой пары путей (; h) существует в. г. г. с базой (; h).
Регулярные слоения со связностями Эресмана называются в [8] и [9] эресмановыми. Продолжая эту терминологию, называем слоение с особенностями (M; F ), допускающее связность
Эресмана M, эресмановым и обозначаем через (M; F ; M).
Пусть H | в. г. г. с базой (; h) и e := H jI1 f1g . Будем говорить, что кривая e получена
H
переносом вдоль пути h посредством в.г.г. H , и будем обозначать это через ;!
> e .
Заметим, что связность Эресмана M не является, вообще говоря, гладким обобщенным распределением. Однако M обладает некоторой \обобщенной гладкостью", которая обеспечивается
тем, что M является ортогональным дополнением к гладкому обобщенному распределению T ,
касательному к F , в некоторой римановой метрике g на M .
Введенное здеcь понятие связности Эресмана для слоений с особенностями является естественным расширением понятия связности Эресмана для регулярных слоений из [1].
3. Группа
M
-голономии для слоения с особенностями
Мы вводим понятие группы M-голономии для любого слоения с особенностями, обладающего связностью Эресмана M.
Пусть (M; F ; M) | произвольное эресманово слоение. Подчеркнем, что в отличие от регулярных слоений для слоения (M; F ; M) нарушается единственность в. г. г. с данной базой (; h).
Это уже отмечалось при исследовании трансверсально полных римановых слоений с особенностями в [10].
Пусть a | множество горизонтальных кривых с началом в точке a. Введем в a отношение
эквивалентности следующим образом. Две кривые 1 и 2 из a называем -эквивалентными,
если существуют некоторая вертикальная петля h0 , гомотопная постоянной петле ea в слое L(a),
и в. г. г. K с базой (1 ; h0 ) такие, что K jI1 f1g = 2 .
Прямая проверка показывает, что действительно является отношением эквивалентности
в a . Класс -эквивалентности, содержащий путь , будем обозначать через [] , а множество
классов эквивалентности | через a =.
Предложение 1. Отображение
a : a= 1 (L; a) ! a = : ([] ; [h]) 7! [e ] ;
H
где [h] 2 1 (L; a), H | некоторая в. г. г. с базой (; h) и ;!
> e , определяет правое действие
фундаментальной группы 1 (L; a) слоя L(a) на фактор-множестве a =.
Доказательство. Покажем, что отображение a определено корректно, т. е. не зависит
1) от выбора петли h из класса [h] 2 1 (L; a) и от выбора в. г. г. H с базой (; h);
2) от выбора из класса [] .
1. Пусть h и h0 | два гомотопных пути в слое L, соединяющие a с b, и | любая кривая
из
H
H0
0
0
e
a . Пусть H и H | любые в. г. г. с базами (; h) и (; h ) соответственно, и ;! > , ;! > 0 .
Покажем, что [e ] = [0 ] . Действительно, т. к. пути h и h0 гомотопны в L, то петля 0 := h0;1 h
гомотопна постоянному пути eb в L. Поэтому полагая
(
1
K (s; t) := H 0(s; 1 ; 2t); если (s; t) 2 I1 [01; 2 ];
H (s; 2t ; 1); если (s; t) 2 I1 [ 2 ; 1];
видим, что K | в. г. г. с базой (e ; 0 ), причем K jI1 f1g = 0 , следовательно, [e ] = [0 ] .
47
2. Пусть 2 a , h | произвольная вертикальная петля в точке a, H | некоторая в. г. г. с
базой (; h). Возьмем любой путь 2 [] . При этом существует в. г. г. K с базой (; h0 ), где
[h0 ] = [ea ] 2 1 (L; a), осуществляющая -эквивалентность и , т. е. K (s; 0) = (s), K (s; 1) =
(s), s 2 I1 , и K (0; t) = h0 (t), t 2 I2 . Определим отображение H : I1 I2 ! M по формуле
(
если (s; t) 2 I1 [0; 12 ];
H (s; t) := K (s; 2t);
H (s; 2t ; 1); если (s; t) 2 I1 [ 12 ; 1]:
Поскольку K (s; 1) = H (s; 0) = (s), s 2 I , то H является, как K и H , в. г. г. Базой H служит
H
пара путей ( ; h0 h). Кроме того, ;!
> e . Из определения a, учитывая, что [h0 h] = [h] 2
1 (L; a), применяя доказанное в п. 1, имеем a([ ] ; [h]) = [e ] . Таким образом, отображение a
определено корректно.
Нетрудно проверить, что a задает правое действие группы 1 (L; a) на фактор-множестве
a =.
Ядро действия a , равное ker a = f[h] 2 1 (L; a) j a ([] ; [h]) = [] 8[] 2 a =g, является
нормальным делителем фундаментальной группы 1 (L; a). Следовательно, определена факторгруппа HM (L; a) := 1 (L; a)= ker a . Назовем группу HM (L; a) группой M-голономии для эресманова слоения с особенностями (M; F ; M).
Так же, как в [11], указывает на то, что HM (L; a) | группа голономии, относящаяся
к слоению с особенностями и отличающаяся от известных групп голономии. Для регулярных
слоений каждый класс эквивалентности [] состоит из одной горизонтальной кривой , поэтому
множество a= биективно множеству a. В этом случае группа HM (L; a) совпадает с группой
HM (L; a), введенной в [1] и названной в [12], [9] группой M-голономии.
Предложение 2. Для любых двух точек a и b из слоя L слоения (M; F ; M) существует
изоморфизм HM (L; a) ! HM (L; b), определенный с точностью до внутренних автоморфизмов этих групп.
Доказательство. В силу линейной связности слоя L существует путь g в L, соединяющий a с b. Обозначим через [g] класс путей, гомотопных g в слое L. Определим отображение
A[g] : HM (L; a) ! HM (L; b) равенством A[g] ([h] ker a ) := [g;1 hg] ker b , рассматривая указанные классы смежности как элементы соответствующих групп голономии. Из этого определения
следует, что A[g] не зависит от выбора пути из класса [g]. Если k | другой путь, соединяющий
a с b в слое L, то A;[k1] A[g] | внутренний автоморфизм группы HM (L; a), соответствующий
элементу [gk;1 ], а A[k] A;[g1] | внутренний автоморфизм группы HM (L; b), соответствующий
элементу [g;1 k], откуда вытекает доказываемое утверждение.
В силу предложения 2 можно говорить о группе M-голономии слоя L, понимая под этим
алгебраическую группу HM (L), которая не зависит от выбора a 2 L. Будем говорить, что
слой L имеет конечную группу M-голономии, если эта группа конечна.
4. Обощенная связность Эресмана для слоения с особенностями
и ее голономия
Пусть (M; F ) | слоение с особенностями и M 0 | объединение слоев максимальной размерности. Пусть M | обобщенное распределение на M , трансверсальное слоению F . Будем
использовать терминологию, введенную в п. 2. Обобщенное распределение M будем называть
обобщенной связностью Эресмана слоения F , если для любой допустимой пары путей (; h),
где (0; 1) M 0 , существует в. г. г. с базой (; h). Слоения (M; F ) с особенностями, допускающие обобщенную связность Эресмана, будем называть обобщенными эресмановыми слоениями.
Таким образом, расширяем понятие связности Эресмана для слоений с особенностями, ограничиваясь горизонтальными путями , не содержащими особых точек, отличных от конечных
точек (0) и (1).
48
Пусть (M; F ; M) | обобщенное эресманово слоение.Тогда распределение M0 := MjM 0 является связностью Эресмана для регулярного слоения (M 0 ; F 0 ), где F 0 := FjM 0 . Положим
0a := f 2 a j ((0; 1]) M 0 g. Если 2 0a , то любой путь 0 , -эквивалентный , также
принадлежит 0a . Поэтому 0a = a =. Для любой допустимой пары путей (; h), где 2 0a,
H
существует в. г. г. с базой (; h). Положим 0a([] ; [h]) := [e ] , где [h] 2 1 (L; a), ;!
> e .
Точно так же, как при доказательстве предложения 1, проверяется, что 0a определяет правое
действие фундаментальной группы 1 (L; a) на фактор-множестве 0a . Будем называть факторгруппу HM (L; a) := 1 (L; a)= ker 0a группой M-голономии слоя L в точке a обобщенного эресманова слоения (M; F ; M).
Заметим, что для всякого слоя L M 0 группа HM (L ; x) совпадает с группой M-голономии
слоя L в точке x 2 L регулярного эресманова слоения (M 0 ; F 0 ; M0 ).
Предложение 3. Для любого слоя L эресманова слоения с особенностями (M; F ; M) существует эпиморфизм групп : HM (L; a) ! HM (L; a), для которого коммутативна диаграмма
.
HM (L; a)
1 (L; a)
;!
&
HM(L; a);
(4.1)
где и | соответствующие фактор-отображения.
Для эресманова слоения с особенностями (M; F ; M) отображение 0a
можно рассматривать как сужение действия a , поскольку 0a = a =. Так как ядра действий a и 0a связаны включением ker a ker 0a , то определено отображение
Доказательство.
: HM (L; a) ! HM(L; a) : [h] ker a 7! [h] ker 0a;
где [h] 2 1 (L; a). Oтсюда, учитывая, что ([h]) := [h] ker a , ([h]) := [h] ker 0a , получаем коммутативную диаграмму (4.1).
Так как M 0 | открытое (возможно несвязное) подмногообразие в M , то для каждого слоя
L M 0 определена ростковая группа голономии ;(L; a), a 2 L, общепринятая в теории слоений
[13]. Как известно, определен естественный эпиморфизм групп : HM (L; a) ! ;(L; a); удовлетворяющий равенству = , где : 1 (L; a) ! ;(L; a) | проекция, ставящая в соответствие элементу [h] 2 1 (L; a) росток голономных диффеоморфизмов вдоль пути h. Следующее
утверждение устанавливает взаимосвязь между различными группами голономии регулярного
слоения (M 0 ; F 0 ).
Следствие 1.
диаграмма
Для любого слоя L M 0 эресманова слоения с особенностями коммутативна
1 (L; a)
.
#
&
HM(L; a) ;! HM(L; a) ;! ;(L; a);
где , , | соответствующие фактор-отображения, , | эпиморфизмы группы.
Если для допустимой пары путей (; h) существует единственная в. г. г. H с базой (; h),
H
;! > e , h ;!
> eh, то будем говорить, что кривая e получена переносом вдоль h, а путь he
h
получен переносом h вдоль , и обозначать это через ;!
> e , h ;!
> he , как и в регулярном
случае.
H
49
5. Свойства обобщенного эресманова слоения
Пусть (M; F ; M) | обобщенное эресманово слоение. Рассмотрим карту (U; ') в точке a,
'(U ) = V W . При этом FU := fV y, y 2 W g | тривиальное слоение в U , а : U ! U=FU
| проекция на пространство слоев. Будем говорить, что распределение M обладает свойством
локальной трансверсальной проектируемости, если в любой точке a 2 M существует такая
расслоенная карта (U; '), что для произвольной кривой 2 0a , ((0; 1]) U , в каждой точке y
из локального слоя La существует кривая y 2 0y , гладко зависящая от y и удовлетворяющая
равенству y = .
Везде далее в этом пункте предполагается, что обобщенное эресманово слоение (M; F ; M)
удовлетворяет следующим условиям:
(C0 ) объединение M 0 слоев максимальной размерности является связным подмножеством
в M;
(C1 ) для любого особого слоя L существует такой горизонтальный путь 2 a , что (s) 2 M 0
при всех s 2 (0; 1], (0) = a 2 L;
(C2 ) распределение M обладает свойством локальной трансверсальной проектируемости.
Лемма 1. Пусть L = L(a) | особый слой и | такая горизонтальная кривая, что (s) 2
M 0 при всех s 2 [0; 1), (0) = b и (1) = a. Тогда для любого вертикального пути h с началом
в точке b существует единственная в. г. г. с базой (; h).
Доказательство. Пусть 2 b удовлетворяет условию леммы, h | путь в слое L(b),
h(0)=b. Так как F | обобщенное эресманово слоение, то существует некоторая в. г. г. H с базой
(; h). Предположим, что существует другая в. г. г. K с базой (; h). Для любого 2 (0; 1) имеет
место j[0; ] 2 0b . Поскольку в M 0 существует единственная в. г. г. с базой (j[0; ] ; h), то необходимо H j[0; ]I2 = K j[0; ]I2 , и, следовательно, H j[0;1)I2 = K j[0;1)I2 . В силу непрерывности H и K
и хаусдорфовости M отсюда вытекает равенство H = K .
Лемма 2. Пусть L = L(a) | особый слой. Тогда
1) существует такая карта (U; ') в точке a, что для любой кривой 2 a из U и любого
пути h в локальном слое La , h(0) = a, существует в. г. г. H в U с базой (; h);
2) если g | путь, гомотопный h в La , то существует такая в. г. г. K в U с базой (; g),
H > eh, g ;!
K > ge, гомотопны в слое L .
что пути he и ge, где h ;!
(1)
Доказательство. 1) Пусть карта (U; ') с центром в a, и FU удовлетворяют определению
трансверсальной проектируемости распределения M, := , где : U ! U=FU . Возьмем любой путь h в локальном слое La , h(0) = a. Тогда согласно (C2 ) для любой точки h(t) существует
такая кривая h(t) , что h(t) = . Отображение H (s; t) := h(t) (s), где s; t 2 [0; 1], является в. г. г.
с базой (; h). Так как h(t) (s) гладко зависит от h(t), то путь he (t) := h(t) (1) кусочно-гладкий и
принадлежит локальному слою L(1) . Согласно лемме 1 существует единственная в. г. г. с базой
(;1 ; he ), следовательно, это есть в. г. г. H (1 ; s; t); (s; t) 2 I1 I2 . Отсюда H | кусочно-гладкое
отображение.
2) Пусть (t; ), t; 2 [0; 1], | гомотопия, связывающая пути h и g в локальном слое La ,
где (t; 0) = h(t), (t; 1) = g(t), (0; ) = a, (1; ) = h(1). Отображение e (t; ) := (t; )(1),
t; 2 [0; 1], является в. г. г., связывающей пути eh и ge в локальном слое L(1) .
Будем называть элементом (горизонтальной) голономии вдоль горизонтальной кривой :
[0; 1] ! M обобщенного эресманова слоения (M; F ; M) семейство диффеоморфизмов s : V0 !
Vs, s 2 I , где
(1) V0 | окрестность точки (0) в слое L((0)), а Vs | p-мерное вложенное подмногообразие
в слое L((s)), s 2 (0; 1], p = dim L((0));
(2) s ((0)) = (s) для всех s 2 I ;
50
(3) для каждого фиксированного x 2 V0 кривая s (x), s 2 I , является горизонтальной кривой
с параметром s;
(4) 0 = idV0 | тождественное отображение.
Как известно [1], для любой горизонтальной кривой регулярного эресманова слоения существует единственный элемент голономии.
0
Лемма 3. Пусть L = L(a) | особый слой и | любая кривая из a . Тогда найдется такая
расслоенная карта (U; ') в точке a, что для локального слоя V0 := La существует элемент
голономии s : V0 ! Vs , s 2 I , вдоль .
Доказательство. Пусть (U; ') | окрестность в точке a, удовлетворяющая лемме 2. Существует такое число s0 2 (0; 1], что (s) 2 U при s 2 [0; s0 ]. Согласно лемме 2 в каждой точке
y 2 La определена горизонтальная кривая y (s), s 2 [0; s0 ], являющаяся переносом j[0;s0 ] в точку
y вдоль пути h в La , соединяющего a с y. Положим s(y) := y (s) при всех s 2 [0; s0 ]. Заметим,
что Vs := s (La ) | слой слоения FU , проходящего через точку (s). Значит, Vs | p-мерное вложенное подмногообразие локального слоя L(s) . При этом s , s 2 [0; s0 ], | элемент голономии
вдоль горизонтальной кривой j[0;s0 ] . Пусть '(U ) V W и p = dim L. Тогда в точке c := (s0 )
существует такая расслоенная карта (U0 ; '0 ) с центром в c 2 L , что U0 U \ M 0 . Учитывая
'(L \ U ) = V l; где l W , считаем, не нарушая общности, что существует такое (p0 ; p)-мерное
вложенное подмногообразие W1 в W , что U0 = ';1 (V W1 ) | открытая окрестность точки c
в L \ U . Так как j[s0 ;1] | горизонтальная кривая регулярного слоения (M 0 ; F 0 ), то для нее
существует элемент голономии s : Vs0 ! Vs , s 2 [s0 ; 1], относительно слоения (M 0 ; F 0 ). При
этом Vs0 | локальный слой слоения (M 0 ; F 0 ) в карте (U0 ; '0 ), проходящий через точку (s0 ),
а Vs | окрестность точки (s) в слое L((s)). Положим s := s s0 : V0 ! Vs при s 2 [s0 ; 1],
где Vs := s (V0 ) | вложенное p-мерное подмногообразие в Vs . Тогда s , s 2 [s0 ; 1], | элемент
голономии вдоль j[s0 ;1] . В результате получаем элемент горизонтальной голономии s ; s 2 I ,
вдоль всего пути .
Замечание 1. Подчеркнем, что в отличие от регулярного случая элемент голономии вдоль
пути 2 0a , если a | особая точка, не единственный, он зависит, в частности, от выбора карты
(U; ').
0
Лемма 4. Пусть L = L(a) | особый слой и 2 a . Пусть g и h | гомотопные пути в
слое L(b), где b = (1), = ;1 . Тогда пути eh и ge, где h ;!
> he , g ;!
> ge, гомотопны в особом
слое L.
Доказательство. Пусть (t), t; 2 [0; 1], | гомотопия, соединяющая пути g (t) и h(t) в
слое L(b) M 0 . Согласно лемме 1 определен перенос ;!
> e . Нетрудно проверить, что
e (t), t; 2 [0; 1], | гомотопия в слое L, соединяющая пути eh и ge.
6. Глобальная стабильность компактного слоя обобщенного эресманова
слоения
Теорема 1. Пусть (M; F ; M) | обобщенное эресманово слоение, удовлетворяющее условиям (C0 ), (C1 ) и (C2 ). Если существует регулярный компактный слой L 2 F с конечной фундаментальной группой 1 (L; b), то каждый слой этого слоения компактен и имеет конечную
фундаментальную группу.
Доказательство. Предположим, что существует компактный слой L максимальной размерности с конечной фундаментальной группой 1 (L; b), b 2 L. Так как L | слой регулярного
слоения (M 0 ; F 0 ), допускающего связность Эресмана M0 , то, как показано в [12] (см. также [9]),
все слои слоения (M 0 ; F 0 ) компактны и имеют конечные фундаментальные группы.
Пусть N | произвольный особый слой слоения (M; F ; M), a 2 N . Благодаря выполнению
условия (C1 ) существует такая кривая 2 0a, что j(0;1] M 0 . Тогда слой L = L(b), где b = (1),
51
принадлежит M 0 , поэтому как указано выше, L | компактный слой c конечной фундаментальной группой. Обозначим ;1 через , при этом (s) 2 M 0 для всех s 2 [0; 1) и (1) = a. Будем
рассматривать универсальное накрывающее пространство L для L как совокупность классов
fhg гомотопных путей в L с началом в точке b, а универсальное накрывающее пространство
N для N как множество классов fgg гомотопных путей в N с началом в точке a. При этом
универсальные накрывающие отображения f1 : L ! L и f2 : N ! N задаются равенствами
f1 (fhg) := h(1) и f2(fgg) := g(1) соответственно, где fhg 2 L, fgg 2 N . Пространство L компактно как конечнолистное накрытие компактной базы L. Определим отображение f : L ! N
следующим образом. Зафиксируем точки b0 2 f1;1 (b) и a0 2 f2;1 (a). Пусть x | любая точка
из L, соединим b0 с x путем h в L. Если eh := f1 h, то (; he ) | допустимая пара путей. Со e e
гласно лемме 1 существует единственная в. г. г. с базой (; eh). Пусть he ;!
> g , g | путь в слое
N и ge(0) = a. Поэтому определен путь g в N с началом в a0, накрывающий путь ge. Положим
f (x) := g(1). Если h0 | другой путь в L, соединяющий b0 с x, то в силу односвязности L пути
h и h0 гомотопны, следовательно, гомотопны пути eh и he0 := f1 h0 . Пусть he0 ;!
> ge0 . Согласно
0
лемме 3 пути ge и ge0 гомотопны в слое N , поэтому накрывающие их пути g и g с началом в a0
гомотопны в N . Отсюда вытекает, что g(1) = g0 (1) и, следовательно, отображение f : L ! N
определено корректно.
На L и N индуцируются гладкие структуры, относительно которых f1 и f2 | локальные
eh > e , тогда e 2 0 , где
диффеоморфизмы. Сохраним введенные выше обозначения. Пусть ;!
x1
x1 = f1 (x), x 2 L. Согласно лемме 3 существует элемент голономии s , s 2 I , вдоль горизонтальной кривой e := e ;1 , причем 1 : V0 ! V1 | диффеоморфизм некоторой окрестности V0 точки
y1 := ge(1) = f2(y), где y = g(1), в слое N , а V1 | вложенное подмногообразие в окрестности
U1 точки x1 в L. Считаем, что U1 и V0 | правильно накрытые окрестности для накрытий f1
и f2 соответственно. Пусть U10 и V00 | такие окрестности в точках x и y, что f1 jU10 : U10 ! U1 ,
f2 jV00 : V00 ! V0 | диффеоморфизмы. Композиция (f1 jU10 );1 1 f2jV00 является диффеоморфизмом V00 на некоторое вложенное подмногообразие Ve в U10 , обратным к f jVe . Отсюда вытекает, что
f : L ! N | регулярное дифференцируемое и, следовательно, открытое отображение. Благодаря компактности L и связности N отображение f сюръективно. Следовательно, N и слой N
также компактны. Поэтому накрытие f2 : N ! N конечнолистно, а фундаментальная группа
1 (L; b) конечна.
Следствие 2. Если эресманово слоение с особенностями (M; F ; M), удовлетворяющее условиям (C0 ){(C2 ), имеет регулярный компактный слой с конечной фундаментальной группой, то
все его слои компактны и имеют конечные фундаментальные группы.
Замечание 2. Теорема 1 является аналогом классической теоремы Риба о глобальной стабильности [13]. Если гладкое класса C r , r 2, слоение F коразмерности один на компактном
многообразии M имеет компактный слой с конечной фундаментальной группой, то cогласно
теореме 1 любой слой этого слоения компактен, а его фундаментальная группа конечна.
7. Теоремы о глобальной стабильности слоев эресманова слоения
с особенностями
Везде в этом пункте (M; F ; M) | эресманово слоение с особенностями, удовлетворяющее
условиям (C0 ){(C2 ).
Голономные накрытия. Пусть L | произвольный слой эресманова слоения и HM (L; a) |
его группа M-голономии. В пункте 3 определили действие a фундаментальной группы 1 (L; a)
на фактор-множестве a =. По нормальному делителю := ker a фундаментальной группы
1 (L; a) построим регулярное накрывающее отображение f0 : L0 ! L. При этом имеет место
равенство f0 (1 (L0 ; x0 )) = , где f0 (x0 ) = a, а f0 : 1 (L0 ; x0 ) ! 1 (L; a) | индуцированный
гомоморфизм фундаментальных групп. Группа накрывающих преобразований этого накрытия
52
изоморфна группе HM (L; a). Будем называть f0 : L0 ! L M-голономным накрытием для
слоя L эресманова слоения с особенностями (M; F ; M).
Теорема 2. Эресманово слоение с особенностями (M; F ; M) обладает следующими свойствами :
1) для каждого регулярного слоя L и любого особого слоя N существует сюръективное
регулярное отображение r : L0 ! N0 , где L0 и N0 | M-голономные накрытия для L и
N соответственно;
2) существует такое многообразие L0 , что для любого регулярного слоя L определено
M-голономное накрытие f : L0 ! L.
Доказательство. 1) Пусть слой L удовлетворяет условиям теоремы и r1 : L0 ! L | его
M-голономное накрытие. Возьмем любой другой слой N слоения F , пусть r2 : N0 ! N | M-
голономное накрытие для N . Как известно, любые два слоя регулярного эресманова слоения
на связном многообразии можно соединить горизонтальной кривой, поэтому благодаря выполнению условий (C0 ) и (C1 ) существует такая кривая 2 0a , что (0) = a 2 N , (1) = b 2 L.
Пусть := ;1 . Определим отображение r : L0 ! N0 следующим образом. Зафиксируем некоторые точки x0 2 r1;1(b) L0 , y0 2 r2;1 (a) N0 и положим r(x0 ) := y0. Соединим точку
x0 с произвольной точкой x путем h в L0 . Пусть eh := r1 h и he ;!
> ge. Тогда ge | путь в
слое N с началом в точке a. Существует единственный путь g в N0 с началом в y0 , накрывающий путь ge. Положим r(x) := g(1). Возьмем другой путь h0 в L0 , соединяющий x0 с x. Пусть
eh > e,
he0 := r1 h0 и he0 ;! > ge0 . Поскольку [] = и [he he0 ;1 ] = r1 ([hh0;1 ]) 2 ker b, то, если ;!
he0
;!
> 0 , имеем e = 0 . Отсюда вытекает ge(1) = ge0 (1), т. е. путь ge ge0 ;1 замкнут в точке a.
Согласно лемме 4 перенос вдоль пути, гомотопного петле he he0 ;1 , является путем, гомотопным петле ge ge0 ;1 . Покажем, что элемент [ge ge0 ;1 ] 2 1 (N; a) принадлежит ker a . Предположим
противное, пусть существует такая кривая " 2 a, что a ([ge ge0 ;1 ]; ["] ) = ["e] , где ["e] 6= ["] .
Тогда b ([he he0 ;1 ]; ["] ) = ["e] , где ["] 6= ["e] , что противоречит M-голономности накрытия
r1 . Следовательно, [ge ge0 ;1 ] 2 ker a = r21 (N0 ; y0). Поэтому пути g и g0 , где g0 имеет начало в y0
и накрывает ge0 , имеют общие концы, т. е. g(1) = g0 (1), и отображение r : L0 ! N0 определено
корректно.
Пусть z | произвольная точка из N0 и g0 | путь в N0 , соединяющий y0 с z , ge0 := r2 g0 .
Так как (M; F ; M) | эресманово слоение с особенностями, то существует некоторая в. г. г. K с
K
базой (; ge0 ). Пусть ge0 ;!
> hf0 . Поскольку eh0 (0) = b, то существует путь h0 в L0 с началом в b0 ,
e
накрывающий h0 . По определению r(h0 (1)) = g0 (1) = z . Таким образом, отображение r : L0 ! N0
сюръективно.
Регулярность отображения r доказывается так же, как регулярность отображения f : L ! N
в теореме 1.
2) Если dim N = dim L = p0 , то N M 0 и из доказанного вытекает, что r : L0 ! N0
| накрывающее отображение. Так как все рассуждения первой части доказательства верны
для любых регулярных слоев N и L, то определено отображение r;1 : N0 ! L0 , которое также
является накрывающим. Таким образом, r : L0 ! N0 | диффеоморфизм, поэтому многообразия
N0 и L0 можно отождествить.
Теорема 3. Пусть (M; F ; M) | эресманово слоение с особенностями, удовлетворяющее
условиям (C0 ){(C2 ). Если существует компактный слой L максимальной размерности с конечной группой голономии HM (L; x0 ), то все слои этого слоения компактны и имеют конечные
группы M-голономии.
Доказательство. Если существует компактный слой L с конечной группой M-голономии,
то его M-голономное накрытие r1 : L0 ! L является конечнолистным, а потому пространство
53
L0 является компактным. Пусть N | произвольный слой этого слоения и r2 : N0 ! N | M-
голономное накрывающее отображение. Согласно теореме 2 существует гладкое сюръективное
отображение r : L0 ! N0 . Поэтому компактность L0 влечет компактность N0 и N . Следовательно, r2 : N0 ! N | конечнолистное накрытие. Отсюда вытекает, что группа HM (N; a); a 2 N ,
изоморфная группе накрывающих преобразований этого накрытия, также конечна.
Следствие 3 ([14]). Пусть (M; F ) | регулярное слоение со связностью Эресмана M. Если
существует компактный слой L с конечной группой голономии HM (L; x0 ), то каждый слой этого
слоения компактен и имеет конечную группу M-голономии.
Замечание 3. 1. В [12], [9] было показано, что утверждение следствия 3 вытекает из свойств
графика GM (F ) регулярного слоения F со связностью Эресмана M.
2. Для регулярных трансверсально полных римановых слоений в [15] доказана глобальная
стабильность собственнного слоя L с конечной (ростковой) группой голономии ;(L; x0 ).
Замечание 4. Теоремы, аналогичные теоремам 3 и 4, имеют место и для обобщенных эресмановых слоений и их групп M-голономии.
8. Примеры эресмановых слоений с особенностями
1. Римановы слоения. Пусть (M; F ) | слоение с особенностями. Оно называется римановым,
если на M существует такая риманова метрика g, относительно которой любая геодезическая ,
ортогональная слою слоения F в одной точке, ортогональна слоям этого слоения в любой своей
точке. Будем называть такие геодезические ортогональными (слоению F ). Если (M; F ) |
регулярное слоение, то, как доказано в [16], указанное свойство является характеристическим
для риманова слоения.
Риманово слоение с особенностями (M; F ) называется трансверсально полным, если натуральный параметр на каждой максимальной горизонтальной геодезической изменяется на всей
числовой прямой. Обозначим через M обобщенное распределение на M , ортогональное слоению F . В [10] доказано, что для любой допустимой пары путей (; h), где | кусочно-гладкая
ортогональная геодезическая, существует в. г. г. H с базой (; h). Таким образом, имеет место
Предложение 4. Пусть (M; F ) | трансверсально полное риманово слоение с особенностями. Тогда обобщенное ортогональное распределение M является связностью Эресмана для
этого слоения, причем роль горизонтальных кривых играют кусочно-гладкие ортогональные
геодезические.
Заметим, что орбиты гладкого изометрического действия связной группы Ли G на полном
римановом многообразии (M; g) образуют риманово слоение (M; F ) с особенностями. Обобщенное ортогональное распределение M служит связностью Эресмана для (M; F ), причем выполняются условия (C0 ){(C2 ).
2. Собственные действия групп Ли. Напомним, что гладкое действие l : G M ! M группы
Ли G на многообразии M называется собственным, если индуцированное отображение
:= (l; idM ) : G M ! M M : (g; x) 7! (gx; x)
является собственным, т. е. для любого компактного подмножества B M M его прообраз
;1 (B ) компактен в G M . Пусть на многообразии M задано собственное действие группы Ли
G. Как известно [17], на M существует риманова метрика, относительно которой G является
группой изометрий. Таким образом, из предложения 4 вытекает
Предложение 5. Слоение с особенностями, образованное орбитами гладкого собственного
действия связной группы Ли на компактном многообразии M , допускает связность Эресмана
M, причем выполняются условия (C0){(C2 ).
54
3. Вполне геодезические слоения. Слоение с особенностями (M; F ) будем называть вполне
геодезическим, если на M задана риманова метрика g, относительно которой каждый слой слоения является вполне геодезическим подмногообразием риманова многообразия (M; g). Будем
говорить, что вполне геодезическое слоение (M; F ; g) вертикально полное, если натуральный
параметр на каждой максимальной вертикальной геодезической изменяется на всей числовой
прямой. Подчеркнем, что полнота (M; g) и, в частности, компактность M влекут вертикальную
полноту. Пусть M | обобщенное распределение на M , ортогональное слоению F . Из равноправности всех точек локального слоя по отношению к F и M вытекает выполнение условия
(C2 ) для вполне геодезического слоения.
Предложение 6. Вертикально полное вполне геодезическое слоение (M; F ; g ) допускает в
качестве связности Эресмана ортогональное распределение M к F .
Доказательство. Локальное существование в. г. г. с заданной базой вытекает из свойства
(C2 ). Если (; h) | допустимая пара путей, то, покрывая (I1 ) конечной цепочкой карт (Ui ; 'i ),
i = 1; : : : ; m, удовлетворяющих условию (C2 ), mвидим, что найдется такое число " > 0, что для
допустимой пары путей (; hj[0;"] ), лежащей в i=1
[ Ui , существует в. г. г. Теперь предположим, что
h = | геодезическая линия в слое. Применяя известные методы (напр., [18]), проверяем, что
в силу вертикальной полноты слоения (M; F ; g) для такой пары путей (; ) существует в. г. г.
Общий случай сводится к указанному известным способом [18].
4. Пример. Пусть := h i | группа диффеоморфизмов плоскости с одной образующей ,
и | гомотетия с коэффициентом > 0, 6= 1, и центром в нуле. Определим диагональное
действие группы Z на произведении R2 R1 по формуле
: R2 R1 Z ! R2 R1 ; ((z; t); n) := ( n (z ); t ; n);
где (z; t) 2 R2 R1 , n 2 Z. Пусть Lr := fz = (x; y) 2 R2 j x2 + y2 = rg, тогда F1 := fLr R1 , r 0g | слоение в R3 с одним особым слоем L0 R1 = 0 R1 . Пусть : R2 R1 !
R2 Z R1 = M | проекция на фактор-многообразие M и F := fLr := (Lr R1 ), r 0g |
индуцированное слоение на M . Представим себе M как внутренность полнотория, при этом
особый слой L0 диффеоморфен окружности S 1 , а регулярные слои диффеоморфны цилиндрам.
В локально-евклидовой метрике, индуцированной из R3 с помощью накрывающего отображения
, обобщенное распределение M, ортогональное к F , служит связностью Эресмана для этого
слоения, причем выполнены условия (C0 ){(C2 ). Пусть a | точка особого слоя и 2 a. Тогда
фактор-множество a = можно отождествить с лучом R1+ , а действие группы M-голономии
HM(L0 ; a) | с действием группы гомотетий на R1+ , следовательно, HM (L0; a) = Z.
Литература
1. Blumenthal R.A., Hebda J.J. Ehresmann connections for foliations // Indiana Univ. Math. J. {
1984. { V. 33. { Є 4. { P. 597{611.
2. Kashiwabara S. The decomposition of a dierentiable manifolds and its applications // Tohoku
Math. J. { 1959. { V. 11. { Є 1. { P. 43{53.
3. Hermann R. On the dierential geometry of foliations // Ann. of Math. { 1960. { V. 72. { Є 3. {
P. 445{457.
4. Шапиро Я.Л., Жукова Н.И. О глобальной структуре приводимых римановых многообразий
// Изв. вузов. Математика. { 1980. { Є 10. { С. 60-62.
5. Sussmann H.J. Orbits of families of vector elds and integrability of distributions // Trans. Amer.
Math. Soc. { 1973. { V. 180. { P. 171-188.
6. Stefan P. Accessible sets, orbits and foliations with singularities // Proc. London Math. Soc. {
1974. { V. 29. { Є 4. { P. 699{713.
7. Dazord P. Holonomie des feuilletages singuliers // C. R. Acad. Sci. Paris. { 1984. { V. 298. { Є 2.
{ P. 2{30.
55
8. Koike N. Ehresmann connections for a foliation on a manifold with boundary // SUT J. Math. {
1994. { V. 30. { P. 147{158.
9. Жукова Н.И. Свойства графиков эресмановых слоений // Вестн. Нижегородск. ун-та. Сер.
матем. { 2004. { Вып. 1. { С. 73{87.
10. Жукова Н.И. Критерий стабильности слоев римановых слоений с особенностями // Изв.
вузов. Математика. { 1992. { Є 4. { С. 88{91.
11. Piatkowski A. The -holonomy group of Stefan suspension of a dieomorphism // Ann. Pol. Math.
{ 1993. { V. 58. { Є 2. { P. 123{129.
12. Жукова Н.И. График слоения со связностью Эресмана и стабильность слоев // Изв. вузов.
Математика. { 1994. { Є 2. { C. 78{81.
13. Тамура И. Топология слоений. { М.: Мир, 1979. { 317 с.
14. Blumenthal R., Hebda J. Complementary distributions which preserve the leaf geometry and
applications to totally geodesic foliations // Quart. J. Math. Oxford. { 1984. { V. 35. { Є 140.
{ P. 383{392.
15. Zukova N. On the stability of leaves of Riemannian foliations // Ann. of Global Analysis and
Geometry. { 1987. { V. 5. { P. 261{271.
16. Reinhart B.L. Foliated manifolds with bundle-like metrics // Ann. of Math. { 1959. { V. 69. { Є 1.
{ P. 119{132.
17. Michor P.W. Transformation groups. Lecture Notes of a course in Vienna. { 1997. { 94 p.
18. Жукова Н.И. Слоения, согласованные с системами путей // Изв. вузов. Математика. {
1989. { Є 7. { C. 5{13.
Нижегородский государственный
университет
Поступила
21.04.2004
56
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
246 Кб
Теги
стабильность, связность, слоений, эресмана, особенностями, слоев, глобальные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа