close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Скорость сходимости в предельных теоремах для слабозависимых случайных величин.

код для вставкиСкачать
Том 155, кн. 4
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2013
УДК 519.21
СКООСТЬ СХОДИМОСТИ
В ПЕДЕЛЬНЫХ ТЕОЕМАХ
ДЛЯ СЛАБОЗАВИСИМЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
В.Т. Дубровин
Аннотация
Определено новое условие слабой зависимости случайных величин, позволяющее перенести предельные теоремы для независимых случайных величин на случай слабой
зависимости с сохранением скорости сходимости. Приведен пример последовательности
случайных величин, удовлетворяющих новому условию слабой зависимости.
Ключевые слова: предельные теоремы, случайные величины, независимость, слабая
зависимость, перемешивание, скорость сходимости.
1.
Постановка задачи. Определения
В работе определяется новое условие слабой зависимости, при котором предельные теоремы для независимых случайных величин остаются справедливыми
(с сохранением скорости сходимости) и для слабозависимых случайных величин.
Условие слабой зависимости, позволяющее получить такой результат, мы назовем
условием ѕусиленного сильного перемешиванияї (у.с.п.).
В основе определения условия у.с.п. лежит условие сильного перемешивания
(с.п.) [1, 2?, которое усиливается добавлением дополнительного условия. Для установления целесообразности условия у.с.п. приводится пример последовательности
случайных величин, удовлетворяющих этому условию.
Доказывается также, что если при определении нового условия слабой зависимости вместо условия сильного перемешивания рассмотреть условие ? -перемешивания [3? и добавить те же дополнительные условия, то случайные величины,
образующие последовательность, становятся независимыми. Отметим, что доказательство данного утверждения не удается провести, если вместо ? -перемешивания
использовать сильное перемешивание.
Везде в дальнейшем мы будем рассматривать стационарные в узком смысле
последовательности случайных величин.
Определение 1. Будем говорить, что последовательность случайных величин
?0 , ?1 , ?2 , . . . удовлетворяет условию усиленного сильного перемешивания, если для
любых множеств A1 ? Mr1 , . . . , As ? Mrs , B1 ? Mt1 , . . . , Bl ? Mtl верно неравенство
C1
1
|P (A1 . . . As B1 . . . Bl ) ? P (A1 . . . As ) · P (B1 . . . Bl )| ? ? ·
,
d l+s
где r1 < r2 < · · · < rs ? t1 < t2 < · · · < tl и d = (t1 ?rs ) расстояние между множествами {r1 , . . . , rs } , {t1 , . . . , tl } ( {r1 , . . . , rs } , {t1 , . . . , tl } подмножества множества
{0, 1, 2, . . .} ); Mi ? -алгебра, порожденная случайной величиной ?i ; C1 = const .
40
41
СКООСТЬ СХОДИМОСТИ В ПЕДЕЛЬНЫХ ТЕОЕМАХ. . .
Договоримся везде в дальнейшем через Ci обозначать некоторые постоянные
величины.
Приведем пример случайных величин, удовлетворяющих условию у.с.п.
ассмотрим последовательность простых случайных величин [4, с. 18? ?0 , ?1 ,
?2 , . . . , заданных на вероятностных пространствах (?, Mk , P ) , k = 0, 1, 2, . . . ,
и удовлетворяющих условию сильного перемешивания
sup
(1)
|P (AB) ? P (A) · P (B)| = ?(? ) = C2 /?,
A?Mt0 , B?M?
t+?
где Mt0 ? -алгебра, порожденная случайными величинами ?i , 0 ? i ? t ; M?
t+? ? -алгебра, порожденная случайными величинами ?i , i ? t + ? .
Пусть ? простая случайная величина (случайный актор), заданная на вероятностном пространстве (?, M? , P ) .
Заметим, что ? -алгебры Mi , M? конечны.
Обозначим
k
?ij
= P (A?i k |A?j ) ? P (A?i k ),
где A?i k и A?j элементарные события из ? -алгебр Mi и M? соответственно.
N,r
k
}i,j
Определение 2. Если при любом k в любой строке матрицы {?ij
существует положительный элемент, то будем говорить, что случайные величины ?k ,
k = 0, 1, 2, . . . , слабо зависят от случайного актора ? . Если при этом элементы
k N,r
матрицы {?ij
}i,j не зависят от k , то будем говорить, что ?k , k = 0, 1, 2, . . . , одинаково слабо зависят от ? .
Предложение 1. Последовательность простых случайных величин, удовлетворяющая условию с.п. (1) и условию одинаковой слабой зависимости от случайного актора, удовлетворяет условию у.с.п.
Доказательство.
По теореме умножения вероятностей
?
s?1
P (A?11 . . . A?ss ) = P (A?11 ) · P (A?22 |A?11 ) . . . P (A?ss |A?11 . . . As?1
).
(2)
Введем общее обозначение Pb (A?i k ) для условных вероятностей P (A?i k |A?11 . . . A?mm ) ,
m = 1, . . . , k?1 . Из условия слабой зависимости от актора ? следует, что найдется
такое j , что
Pb (A?i k |A?j ) ? Pb (A?i k ) > 0,
k N,r
k
то есть матрица k?bij
ki,j , состоящая из элементов ?bij
= Pb (A?i k |A?j ) ? Pb(A?i k ) , соk
?bij
держит в каждой строке положительный элемент. Обозначим µ = min
.
b(A?k )
i,j P
i
Очевидно, что µ > 0 . Заметим, что µ не зависит от k , так как случайные величины ?k одинаково слабо зависят от актора ? .
Далее,
Pb(A?i k |A?j )
1
?
Pb (A?i k ) =
.
?k
?
?k
?k
b
b
b
1+µ
1 + (P (Ai |Aj ) ? P (Ai ))/P (Ai )
Из данной оценки и (2) получаем
P (A?11
. . . A?ss )
?
1
1+µ
s
.
42
В.Т. ДУБОВИН
В итоге имеем следующие оценки:
s
l
1
1
P (A1 . . . As ) ?
, P (B1 . . . Bl ) ?
,
1+µ
1+µ
l+s
1
P (A1 . . . As B1 . . . Bl ) ?
.
1+µ
Из условия сильного перемешивания следует
|P (A1 . . . As B1 . . . Bl ) ? P (A1 . . . As )P (B1 . . . Bl )| ? ?(d).
Используя перечисленные оценки, получим окончательно
|P (A1 . . . As B1 . . . Bl ) ? P (A1 . . . As )P (B1 . . . Bl )| =
2
p
=
|P (A1 . . . As B1 . . . Bl ) ? P (A1 . . . As )P (B1 . . . Bl )| ?
p
? ?(d)(P (A1 . . . As B1 . . . Bl ) + P (A1 . . . As )P (B1 . . . Bl ))1/2 ?
p
? C3 · ?(d)
1
1+µ
(l+s)/2
p
?(d)
C5
? C4
=?
.
l+s
d(l + s)
Таким образом, требуемое утверждение доказано.
Теперь сделаем замечание, касающееся условия у.с.п. Начнем с того, что определим условие ? -перемешивания.
Определение 3. Будем говорить, что последовательность случайных величин
?0 , ?1 , ?2 , . . . , заданных на вероятностных пространствах (?, Mk , P ) , k = 0, 1, 2, . . . ,
удовлетворяет условию ? -перемешивания, если
P (AB)
sup
P (A)P (B) ? 1= ?(? ) ? 0 при ? ? ?.
t
?
A?M0 , B?Mt+?
Здесь P (A)P (B) 6= 0 .
Заметим, что если последовательность случайных величин удовлетворяет условию ? -перемешивания, то она удовлетворяет и условию с.п. [5?.
Допустим, что последовательность случайных величин ?0 , ?1 , ?2 , . . . удовлетворяет условию ? -перемешивания. С помощью условия ? -перемешивания, используя принцип ормулирования условия у.с.п., определим следующее условие слабой зависимости последовательности случайных величин ?0 , ?1 , ?2 , . . . Пусть Mk ? -алгебры, порожденные случайными величинами ?k , k = 0, 1, 2, . . . ; Dk? классы, состоящие из элементов A ? Mk таких, что P (A) < ? (см. [4, разд. 15.1.Б?).
И пусть M?k ? -алгебра, порожденная классом Dk? . В дальнейшем нам потребуется следующее
Определение 4. (Условие (А)). Будем говорить, что последовательность
случайных величин ?k удовлетворяет условию (А), если существует ? > 0 такое,
что для любого конечного набора множеств Ak1 , . . . , Akn из классов Dk?1 , . . . , Dk?n
соответственно, k1 < k2 < · · · < kn , n > 1 , имеет место неравенство
C6 ?(kj+1 ? kj )
P (Ak1 . . . Akn )
, j = 1, 2, . . . , n ? 1,
P (Ak . . . Ak ) · P (Ak . . . Ak ) ? 1?
n1/2
1
j
j+1
n
где постоянная C6 не зависит от n .
СКООСТЬ СХОДИМОСТИ В ПЕДЕЛЬНЫХ ТЕОЕМАХ. . .
43
Замечание 1. В описанной ситуации условие (A) эквивалентно независимости
? -алгебр M?k .
Доказательство. Достаточно доказать, что условие (A) влечет независимость классов Dk? [4, разд. 15.1?. Доказательство будем проводить от противного.
Ясно, что если все возможные выражения под знаком модуля в условии (A) нули,
то Dk? независимые классы, и наоборот. Предположим, что Dk? не являются
независимыми, то есть найдется набор Ak1 , . . . , Akn такой, что
P (Ak1 . . . Akn )
? 16= 0.
?=
P (Ak1 . . . Akj ) · P (Akj+1 . . . Akn )
Заиксируем сколь угодно большое N . Выберем ? такое, что ?(?) ? 1/N 2
(см. определение ? -перемешивания). Пусть Bj ? Dk?n +j? , j = 1, . . . , N ? n .
В силу условия (A)
C6 ?(kj+1 ? kj )
P (Ak1 . . . Akn B1 . . . BN ?n )
.
P (Ak . . . Ak ) · P (Ak . . . Ak B1 . . . BN ?n ) ? 1?
N 1/2
1
j
j+1
n
Далее к выражению под модулем применяем N ? n раз условие ? -перемешивания:
P (Ak1 . . . Akn B1 . . . BN ?n )
=
?
1
P (Ak . . . Ak ) · P (Ak . . . Ak B1 . . . BN ?n )
1
j
j+1
n
P (Ak1 . . . Akn B1 . . . BN ?n?1 )P (BN ?n )(1 + ?1 ?(?))
=
? 1=
P (Ak1 . . . Akj ) · P (Akj+1 . . . Akn B1 . . . BN ?n?1 )P (BN ?n )(1 + ?2 ?(?))
Отсюда следует
= N ?n 1 + ?1 ?(?)
P (Ak1 . . . Akn )
?1.
P (Ak1 . . . Akj ) · P (Akj+1 . . . Akn ) 1 + ?2 ?(?)
P (Ak1 . . . Akn )
C6 ?(kj+1 ? kj ) ?
? 1+
P (Ak1 . . . Akj ) · P (Akj+1 . . . Akn )
N 1/2
P (Ak1 . . . Akn )
+
P (Ak1 . . . Akj ) · P (Akj+1 . . . Akn )
1 + ?1 ?(?)
1 + ?2 ?(?)
N ?n
C7
?1 ? ? ? (1 + ?)
.
N
Здесь мы учли, что ?(?) ? 1/N 2 . Так как N сколь угодно большое число,
из полученного неравенства следует равенство нулю величины ? , что противоречит
предположению ? 6= 0 . Таким образом, замечание доказано.
Заметим, если при определении условия (A) использовать условие с.п., то есть
вместо условия (A) применить условие у.с.п., то приведенное доказательство замечания провести не удается.
2.
Формулировки теорем
Первая теорема ормулируется для произвольных простых случайных величин.
Теорема 1. Пусть простые случайные величины последовательности ?0 , ?1 ,
?2 , . . . удовлетворяют условию у.с.п. И пусть для независимых ?0 , ?1 , ?2 , . . . справедливо предельное соотношение
P (gn (?0 , ?1 , . . . , ?n ) < x) = F (x) + R,
44
В.Т. ДУБОВИН
где R ? 0 при n ? ? . Тогда для ?k , k = 0, 1, 2, . . . , удовлетворяющих у.с.п.,
справедливо соотношение
1
.
P (gn (?0 , ?1 , . . . , ?n ) < x) = F (x) + R + O ?
n
Здесь gn (?0 , ?1 , . . . , ?n ) некоторая непрерывная ункция от аргументов
?1 , . . . , ?n ; F (x) имеет ограниченную плотность вероятности.
Во второй теореме ормулируется результат, аналогичный утверждению теоремы 1, но уже для любых не обязательно простых случайных величин.
Теорема 2. Пусть случайные величины ??0 , ??1 , ??2 , . . . удовлетворяют условию
у.с.п. И пусть для независимых ??0 , ??1 , ??2 , . . . справедливо предельное соотношение
P (gn (??0 , ??1 , . . . , ??n ) < x) = F (x) + R,
где R ? 0 при n ? ? . Тогда для ??k , k = 0, 1, 2, . . . , удовлетворяющих у.с.п.,
справедливо соотношение
? P (gn (??0 , ??1 , . . . , ??n ) < x) = F (x) + R + O 1/ n .
Здесь gn (??0 , ??1 , . . . , ??n ) некоторая непрерывная ункция от аргументов ?k ,
k = 0, 1, . . . , n ; F (x) имеет ограниченную плотность вероятности.
3.
Доказательство теорем
Доказательство теоремы 1. Пусть ?(pl+p0 ) множество всех натуральных
чисел вида pl + p0 , l = 0, 1, 2, . . . , где p ? 1, p0 ? p ? 1 натуральные числа.
Обозначим
?(A, B) = P (AB) ? P (A) · P (B);
B i , i = 0, 1, . . . , n, элементарные события из ? -алгебры
i , порожденной проT (pl+p0M
)
стой случайной величиной ?i ; N = {1, . . . , n};
BT
элементарный объi??(pl+p0 )
ем.
N
Проведем последовательно следующие преобразования.
Первый шаг
P (B 0 B 1 . . . B n )=P (B 0 B 1 . . . B n ) ? P (B (2l) )P (B (2l+1) ) + P (B (2l) )P (B (2l+1) )=
= ?(B (2l) , B (2l+1) ) + P (B (2l) )P (B (2l+1) ) =
второй шаг
=?(B (2l) , B (2l+1) )+[?(B (4l) , B (4l+2) )+P (B (4l) )P (B (4l+2) )]·[?(B (4l+1) , B (4l+3) )+
+P (B (4l+1) )P (B (4l+3) )]=?(B (2l) , B (2l+1) )+?(B (4l) , B (4l+2) )·?(B (4l+1) , B (4l+3) )+
+?(B (4l) , B (4l+2) ) · P (B (4l+1) )P (B (4l+3) ) + P (B (4l) )P (B (4l+2) ) · ?(B (4l+1) , B (4l+3) )+
+P (B (4l) )P (B (4l+2) )P (B (4l+1) )P (B (4l+3) ) =
третий шаг
=?(B (2l) , B (2l+1) )+?(B (4l) , B (4l+2) ) · ?(B (4l+1) , B (4l+3) ) + ?(B (4l) , B (4l+2) )Ч
Ч[?(B (8l+1) , B (8l+5) ) + P (B (8l+1) )P (B (8l+5) )] · [?(B (8l+3) , B (8l+7) )+
45
СКООСТЬ СХОДИМОСТИ В ПЕДЕЛЬНЫХ ТЕОЕМАХ. . .
+P (B (8l+3) )P (B (8l+7) )] + ?(B (4l+1) , B (4l+3) )[?(B (8l) , B (8l+4) ) + P (B (8l) )P (B (8l+4) )]Ч
Ч[?(B (8l+2) , B (8l+6) )+P (B (8l+2) )P (B (8l+6) )]+[?(B (8l) , B (8l+4) )+P (B (8l) )P (B (8l+4) )]Ч
Ч[?(B (8l+2) , B (8l+6) ) + P (B (8l+2) )P (B (8l+6) )] · [?(B (8l+1) , B (8l+5) )+
+P (B (8l+1) )P (B (8l+5) )] · [?(B (8l+3) , B (8l+7) ) + P (B (8l+3) )P (B (8l+7) )] =
= ?(B (2l) , B (2l+1) ) + ?(B (4l) , B (4l+2) ) · ?(B (4l+1) , B (4l+3) ) + ?(B (4l) , B (4l+2) )Ч
Ч?(B (8l+1) , B (8l+5) ) · ?(B (8l+3) , B (8l+7) ) + ?(B (4l) , B (4l+2) )Ч
Ч?(B (8l+1) , B (8l+5) )P (B (8l+3) )P (B (8l+7) ) + ?(B (4l) , B (4l+2) ) · P (B (8l+1) )P (B (8l+5) )Ч
Ч?(B (8l+3) , B (8l+7) ) + ?(B (4l) , B (4l+2) ) · P (B (8l+1) )P (B (8l+5) )P (B (8l+3) )P (B (8l+7) )+
+?(B (4l+1) , B (4l+3) ) · ?(B (8l) , B (8l+4) ) · ?(B (8l+2) , B (8l+6) ) + ?(B (4l+1) , B (4l+3) )Ч
Ч?(B (8l) , B (8l+4) ) · P (B (8l+2) )P (B (8l+6) ) + ?(B (4l+1) , B (4l+3) ) · P (B (8l) )P (B (8l+4) )Ч
Ч?(B (8l+2) , B (8l+6) ) + ?(B (4l+1) , B (4l+3) ) · P (B (8l) )P (B (8l+4) )P (B (8l+2) )P (B (8l+6) )+
+?(B (8l) , B (8l+4) ) · ?(B (8l+2) , B (8l+6) ) · ?(B (8l+1) , B (8l+5) ) · ?(B (8l+3) , B (8l+7) ) + · · · +
+P (B (8l) )P (B (8l+2) ) · P (B (8l+4) )P (B (8l+6) ) · P (B (8l+1) )P (B (8l+3) )Ч
ЧP (B (8l+5) )P (B (8l+7) ) =
и т. д.
На k -м шаге последний член будет состоять из 2k?1 сомножителей вида
k
P (B (2 l+p) ) , каждый из которых представляется скобкой [?(·) + P (·)P (·)] . Перемножая скобки, мы можем разбить получающиеся при этом члены на три группы: произведение ?(·) · · · ?(·) ; ѕсредниеї члены, где вместо какого-либо ?(·) входит
P (·)P (·) ; последний член P (·)P (·) · · · P (·) .
На каждом k -м шаге (число шагов будет равным C8 log2 n ) у произведения ?(·) · · · ?(·) и у ѕсреднихї членов вынесем за скобки множитель
k
k
?
max? ?(B (2 l+p0 ) , B (2 l+p0 ) ) . В итоге получим
p0 ,p0
P (B 0 B 1 . . . B n ) =
n
Y
i=0
C8 log2 n
P (B i ) +
X
k
C9 (k) max? ?(B (2
p0 ,p0
k=1
l+p0 )
k
, B (2
l+p?0 )
),
(3)
где C9 (k) постоянная, зависящая только от номера шага.
Сумму, которая получается после вынесения у произведения ?(·) · · · ?(·) и
k
k
?
у ѕсреднихї членов за скобки множителя max? ?(B (2 l+p0 ) , B (2 l+p0 ) ) , оценим таким
p0 ,p0
образом,
чтобы
ряд сходился быстрее геометрической прогрессии со знаменателем
1
1
max
,
. Отсюда следует, что существует постоянная C10 ? C9 (k) .
4 1+µ
?
?
Пусть ?0 , ?1 , ?2? , . . . последовательность независимых простых случайных величин, распределенных так же, как и простые случайные величины ?0 , ?1 , ?2 , . . .
Имеем
X
P (gn (?0 , ?1 , . . . , ?n ) < x) =
P (B 0 B 1 . . . B n ),
gn (?0 ,...,?n )<x
P (gn (?0? , ?1? , . . . , ?n? ) < x) =
X
P (B 0 ) . . . P (B n ).
? )<x
gn (?0? ,...,?n
46
В.Т. ДУБОВИН
Отсюда и из (3) следует
|P (gn (?0 , ?1 , . . . , ?n ) < x) ? P (gn (?0? , ?1? , . . . , ?n? ) < x)| =
X
0
n
0
n =
(P (B . . . B ) ? P (B ) . . . P (B ))=
gn (··· )<x
X
= C8 log2 n
gn (··· )<x
X
i
C9 (i) max? ?(B (2
l+p0 )
p0 ,p0
i=1
X
C10 i
, B (2
l+p?0 )
C8 log2 n
X
?
i=1
?(B
)?
(2i l+p?0 )
gn (··· )<x
,B
(2i l+p??0 )
), (4)
где p?0 , p??0 значения, на которых достигается максимум суммы справа в (4).
Пусть ? множество всех элементарных объемов B 0 , . . . , B n , количество которых определяется числом (конечным) элементов ? -алгебр Mi (i = 1, . . . , n) и числом n . Заметим, что с ростом n растет число элементов множества ? .
Очевидно, справедливо неравенство
X
X (2i l+p? ) (2i l+p?? ) (2i l+p?0 )
(2i l+p??0 ) 0
,
0
?
B
,
B
?
max
?
B
,
B
G
gn (··· )<x
G
где G произвольное подмножество ? .
Можно показать, что существует такая постоянная C11 , что верно неравенство
X X i
i
?
i
i
?
max
? B (2 l+p?0 ) , B (2 l+p?0 ) ? C11 max ? B (2 l+p?0 ) , B (2 l+p?0 ) ,
(5)
G
Ai ЧBi
G
i
i
Ai ЧBi
где B (2 l+p?0 ) ? Ai , B (2 l+p?0 ) ? Bi ; Ai Ч Bi прямое произведение множеств Ai
и Bi из ? .
Оценка (5) верна, так как множества G могут быть представлены в виде объединения множеств вида Ai Ч Bi , причем число множеств вида Ai Ч Bi , входящих
в объединение, ограничено постоянной, не зависящей от n .
Используя (4) и (5), получим
?
? = |P (gn (?0 , ?1 , . . . , ?n ) < x) ? P (gn (?0? , ?1? , . . . , ?n? ) < x)| ?
C8 log2 n
?
X
i=1
X (2i l+p?0 )
(2i l+p??0 ) C12 ? B
,B
.
b i ЧB
bi
A
bi , B
bi множества, на которых достигается максимум. С учетом аддитивЗдесь A
ности ?(·, ·) и условия у.с.п. имеем
C8 log2 n
??
X
i=1
1
1
n
? C14 · ? .
C13 ?
n
n
2i?1 i?1 + i?1
2
2
Из (6) следует утверждение теоремы 1.
(6)
Доказательство теоремы 2. По условию ункция gn (?0 , ?1 , . . . , ?n ) непрерывна от аргументов ?1 , . . . , ?n , поэтому для любого ? > 0 и для любых ?0 ,
СКООСТЬ СХОДИМОСТИ В ПЕДЕЛЬНЫХ ТЕОЕМАХ. . .
47
?1 , . . . , ?n произвольных случайных величин существуют простые случайные
величины ? 0 , ? 1 , . . . , ? n такие, что
|P (gn (?0 , ?1 , . . . , ?n ) < x) ? P (gn (? 0 , ? 1 , . . . , ? n ) < x)| < ?.
(7)
Если случайные величины удовлетворяют условию у.с.п., то простые случайные
величины также удовлетворяют условию у.с.п., поэтому по теореме 1 имеем
?
P (gn (? 0 , ? 1 , . . . , ? n ) < x) = F (x) + R + O(1/ n).
(8)
Из (7) и (8) следует
?
P (gn (?0 , ?1 , . . . , ?n ) < x) = F (x) + O(1/ n) + ?,
где ? > 0 произвольное
? число.
Если взять ? = O(1/ n) , то получим
?
P (gn (?0 , ?1 , . . . , ?n ) < x) = F (x) + R + O(1/ n).
Теорема 2 доказана.
Замечание 2. Утверждение теоремы 2 остается справедливым и для случая,
когда ?0 , ?1 , . . . , ?n , . . . есть последовательность со значением в Rk .
Summary
V.T. Dubrovin.
Variables.
Convergene Rate in Limit Theorems for Weakly Dependent Random
We dene a new ondition for weak dependene of random variables, whih makes it possible
to extend limit theorems for independent random variables to the ase of a weak dependene
with retention of onvergene rate. We give an example of a sequene of random variables
satisfying the new weak dependene ondition.
Keywords: limit theorems, random variables, independene, weak dependene, mixing,
onvergene rate.
Литература
1.
2.
A entral limit theorem and a strong mixing ondition // Pro. Natl. Aad.
Si. USA. 1956. V. 42, No 1. P. 4347.
Rosenblatt M.
Ибрагимов И.А., Линник Ю.В.
Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. 524 с.
3.
Blum J.R., Hanson D.L., Koopmans L.H. On the strong law of large numbers for a lass
of stohasti proesses // Z. Wahrsh. Verw. Gebiete. 1963. Bd. 2, H. 1. S. 111.
4.
Лоэв М.
Теория вероятностей. М.: Иностр. лит., 1962. 719 с.
5.
Iosifesu M.
Reent advanes in mixing sequenes of random variables // Third Int.
Summer Shool on Probability Theory and Mathematial Statistis, Varna 1978. Soa:
Pub. House of the Bulgarian Aad. Si., 1980. P. 111138.
Поступила в редакцию
08.10.13
Дубровин Вячеслав Тимоеевич кандидат изико-математических наук, доцент каедры математической статистики, Казанский (Приволжский) едеральный университет, г. Казань, оссия.
E-mail: vhebakovamail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
255 Кб
Теги
величины, сходимость, теорема, случайных, скорость, предельных, слабозависимых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа