close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Современный арсенал антивирусных препаратов.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 462, № 1, с. 11–14
МАТЕМАТИКА
УДК 517.927.25
ОБ УСЛОВИЯХ БИРКГОФА–ТАМАРКИНА–ЛАНГЕРА
И ОДНОЙ ГИПОТЕЗЕ ДЭВИСА
© 2015 г. Х. К. Ишкин
Представлено академиком РАН В.А. Садовничим 01.08.2014 г.
Поступило 01.08.2014 г.
DOI: 10.7868/S0869565215070063
системы (3) при больших μ допускает асимптоти
ческие разложения, равномерные по arg μ и x ∈
∈ [0, 1]. Это позволило определить класс регуляр
ных краевых условий и получить теоремы разло
жения по корневым векторам краевых задач для
системы (3) относительно указанного класса кра
евых условий.
В дальнейшем краевые задачи для систем вида
(3) изучались многими авторами с различных то
чек зрения (см. [5, 6] и имеющуюся там библио
графию). Однако за редким исключением во всех
этих исследованиях неизменно присутствовали
условия (BT). Между тем операторы вида L, для
которых условия (BT) не выполняются, представ
ляют как практический, так и теоретический ин
терес (см. [6–8], а также главу X монографии [5]).
Вместе с тем условия (BT) сами по себе довольно
обременительны, чтобы не попытаться их осла
бить. Первая такая попытка была предпринята в
1939 г. Р.Е. Лангером (см. [9]), который показал,
что результаты Биркгофа и Тамаркина остаются
справедливыми и в том случае, когда
L1) матрицы A0 и A1 аналитичны в некоторой
окрестности Ω отрезка [0, 1],
L2) для любой точки z ∈ Ω и пары (i, j) суще
ствует кривая γij(z), лежащая целиком в Ω, соеди
няющая точку z с 0 или 1, при движении вдоль ко
Пусть L – оператор, действующий в простран
стве L2(0, 1); ⺓n) по формуле
( Lu ) ( x ) = ᏸu ( x ) := A 0 ( x )u' ( x ) + A 1 ( x )u ( x ) (1)
с областью определения
1
n
D(L) = { u ∈ W 2 ( ( 0, 1 ); ⺓ ): Su ( 0 ) + Tu ( 1 ) = 0 }, (2)
где A0(x), A1(x), S, T – некоторые матрицы nго
порядка, такие, что элементы A0(x), A1(x) измери
мы на [0; 1] и
1
∫( A
–1
0
–1
+ A 0 A 1 ) dx < ∞.
0
Тогда фундаментальная матрица решений (ФМР)
U(x, μ) системы
(3)
ᏸu ( x ) = μu ( x ), x ∈ [ 0, 1 ],
удовлетворяющая условию U(0, μ) = I, при каж
дом фиксированном x является целой функцией
по μ, так что собственные числа L совпадают с ну
лями целой функции
(4)
F ( μ ) = det ( S + TU ( 1, μ ) ).
Следовательно, спектр оператора L либо совпада
ет с ⺓, либо пуст, либо дискретен. Будем считать,
что матрицы S, T таковы, что имеет место послед
ний случай.
Спектральная теория операторов вида L вос
ходит к классическим работам Дж.Д. Биркгофа
[1] и Я.Д. Тамаркина [2, 3], в которых изучались
системы вида (3), где A0, A1 – достаточно гладкие
матрицы n × n, при каждом x ∈ [0, 1] матрица A0(x)
невырождена, диагонализуема и собственные
–1
значения d1, d2, …, dn матрицы A 0 удовлетворяют
условиям
arg ( d i – d j ) = const, i, j = 1, 2, …, n, i ≠ j. (BT)
Независимо друг от друга Биркгоф и Тамаркин по
казали, что если соотношения (BT) верны, то ФМР
z
∫
торой точки ζ аргумент функции ( di(t) – dj(t))dt
ζ
постоянен.
Условия Лангера L1), L1), с одной стороны, не
намного мягче условий (BT), с другой – вовсе не
избавляют от условий (BT), а лишь позволяют по
средством подходящей замены независимой пе
ременной преобразовать исходное уравнение (3)
в другое, которое как раз удовлетворяет условиям
(BT) относительно новой переменной. Если же
отказаться от условий Лангера, то непонятно, как
получить асимптотические разложения для ФСР
уравнения (3), без которых невозможна сколь
Башкирский государственный университет, Уфа
E"mail: ishkin62@mail.ru
11
12
ИШКИН
нибудь содержательная теория операторов вида
L. Впрочем, в одном (возможно, единственном)
частном случае, когда матрица A0(x), помимо не
вырожденности и диагонализуемости, кусочно
аналитична так, что каждый “кусок” удовлетво
ряет условиям Лангера, удается получить асимп
тотические разложения для ФМР. Это следует не
посредственно из результатов работы Э.Б. Дэвиса
[10], в которой изучаются различные свойства
оператора L при кусочнопостоянном A0 и A1 = 0.
Используя явный вид ФМР U(x, μ) уравнения (3) на
отдельных “кусках”, показано, что характеристиче
ская функция спектра F(μ) (см. (4)) имеет вид
R
F(μ) =
∑
μγ
δr e r ,
(5)
где δr, γr – явно вычисляемые константы. Из этой
формулы получены несколько следствий. Приве
дем из них те, которые будут иметь непосред
ственное отношение к вопросам, обсуждаемым в
данном сообщении. Следуя Дэвису, будем гово
рить, что имеет место случай общего положения,
если каждая сторона многоугольника ᏼ – выпук
лой оболочки множества {γr} – содержит ровно
две точки из {γr}. Без ограничения общности мож
но считать, что γ1, γ2, …, γm (m ≤ R) – вершины ᏼ.
Те о р е м а 1 (E.B. Davies [10]). Пусть матрица
A0(x) кусочно"постоянна, при каждом x ∈ [0, 1] не"
вырождена, диагонализуема и A1(x) ≡ 0. Тогда в слу"
чае общего положения справедливы следующие
утверждения:
1) для спектра оператора L имеет место пред"
ставление
m
∞
∪ ∪ (μ
s = 1j = 1
j, s ),
2πi j + O ( 1 ),
μ j, s ∼ γs + 1 – γs
(6)
j → +∞,
где при s = m под γm + 1 следует понимать γ1;
2) если N(E) – число собственных значений опе"
ратора L в круге |μ| ≤ E, то
1
E
N ( E ) ∼ b ( x ) dx + O ( 1 ),
2π
∫
1
⎛
⎞
– a1)dx ≠ 0, A1 ≡ 0 и S = ⎜ 1 1 ⎟ , T =
⎝ 00⎠
0
Действительно,
в
этом
случае
∫( a
2
⎛ 00
⎜
⎝ 11
λk
⎞
⎟.
⎠
=
–1
1
⎛
⎞
= 2πki ⎜ ( a 2 – a 1 ) dx⎟ , k ∈ ⺪, так что
⎝
⎠
∫
0
1
r=1
σ =
В связи с утверждением 2) Дэвисом высказана
следующая
Ги п о т е з а. Формула (7) остается верной и в
случае кусочнонепрерывной матрицы A0(x).
То, что эта гипотеза неверна, следует из просто
–1
го примера, когда A 0 = diag(a1, a2), a1, a2 ∈ C[0, 1],
E → +∞,
(7)
0
где b(x) – периметр K(x) – выпуклой оболочки мно"
–1
жества собственных чисел матрицы A 0 (x).
Отметим, что формула (6) была получена в [11]
для более широкого класса функций K, подробно
изученного в этой же работе. Также отметим, что
при некоторых дополнительных условиях пред
ставление (6) сохраняет силу и в случае бесконеч
ного числа “кусков” [12], а также в случае беско
нечно дифференцируемых A0(x), A1(x) [13, 14].
N(E) ∼ E
( a 2 – a 1 )dx ,
π
∫
E → +∞.
0
С другой стороны, b(x) = 2|a2(x) – a1(x)|, следова
тельно, соотношение (7) в рассматриваемом слу
чае выполняется только при a2(x) – a1(x) = r(x)eiα,
r(x) ≥ 0, α = const.
Цель данного сообщения – попытаться дать
описание класса матриц A0 и A1, при которых вер
ны утверждения 1) и 2). Для этого заметим следу
ющее: из формулы (5) следует, что функция F(μ)
вполне регулярного роста и ее сопряженная диа
грамма есть ᏹ – многоугольник, симметричный
ᏼ относительно вещественной оси. Ясно, что эти
свойства F(μ) следуют и из формулы (6), т.е. когда
спектр асимптотически локализуется около m лу
чей. Исходя из этого мы будем говорить, что
спектр некоторого оператора T mлокализован,
если собственные числа T являются нулями неко
торой целой функции вполне регулярного роста,
сопряженная диаграмма которой есть mуголь
ник. Основной результат сообщения – теорема 3,
которая в случае n = 2 при некоторых условиях
(гораздо более слабых, чем (BT)) на поведение
собственных чисел A0(x) доставляет критерий (в
терминах элементов матриц A0 и A1) выполнения
некоторого спектрального свойства, которое сла
бее, чем mлокализация спектра. Из этого крите
рия, в частности, будет следовать, что для выпол
нения 1) необходимо, чтобы матрицы A0 и A1 были
в некотором смысле (см. следствие из теоремы 3)
кусочноаналитичны.
1. ФОРМУЛИРОВКИ
ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Пусть n = 2. На матрицы A0(x), A1(x), S, T нало
жим ограничения:
а) существует абсолютно непрерывная на [0, 1]
–1
невырожденная матрица P(x) такая, что A 0 (x) =
= P(x)D(x)P–1(x), где D(x) = diag(a1(x), a2(x)),
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК
том 462
№1
2015
ОБ УСЛОВИЯХ БИРКГОФА–ТАМАРКИНА–ЛАНГЕРА
функции a1(x), a2(x) непрерывны, вместе с функ
a1 ( x ) – a2 ( x )
цией a(x) = не имеют нулей на [0; 1]
2
и функция α(x) = arg a (x) монотонна на [0, 1],
|α(1) – α(0)| < π;
(A)
б) краевые условия в (2) – разделенные:
⎛
⎞
S = ⎜ 1 s ⎟,
⎝ 00⎠
⎛
⎞
T = ⎜ 0 0 ⎟,
⎝ 1 t ⎠
f i ( z ) = g i ( x ( z ) ),
x
z( x) =
∫
0
∫
u = e
P ( x )e
0
∑ ∫f g
k k |dz|.
Введем в
⎛
⎞
D γ y = Ᏸ γ y := ⎜ 0 1 ⎟ y' + Qy,
⎝ –1 s ⎠
H 1 y 1 ( 1 ) + H 2 y 2 ( 1 ) = 0 },
где штрих означает дифференцирование вдоль γ,
(8)
1
q 1, q 2 ∈ L ( γ ),
h 1 ≠ ± ih 2 , H 1 ≠ ± iH 2 .
Введем обозначения (см. [15]):
–1
G ( x ) = ( g ij ( x ) ) = P ( x ) ( P' ( x ) – A 1 P ( x ) ),
˜ ( x ) = diag ( g ( x ), g ( x ) ),
G
22
a1 ( x ) + a2 ( x )
b ( x ) = ,
2
1
x
⎛
⎞
12 ( x ) exp ⎜ ( g 11 ( t ) – g 22 ( t ) ) dt⎟ , (9)
⎝
⎠
∫
0
1
0
g
a(x)
x
⎛
⎞
21 ( x ) exp ⎜ ( g 22 ( t ) – g 11 ( t ) ) dt⎟ ,
⎝
⎠
∫
0
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК
1
–1
∫ a ( t )dt ⋅ μ ,
k
k ∈ ⺞.
1
F(μ) = e
c0 + c1 μ
⎛ –1
⎞
Φ ⎜ i a ( t ) dt ⋅ μ⎟ ,
⎝
⎠
∫
0
⎛ q q ⎞
Q = ⎜ 1 2 ⎟,
⎝ q2 –q1 ⎠
∫ a ( t )dt
f1 – f2
f1 + f2
(10)
q 1 = , q 2 = .
2i
2
Поэтому для собственных чисел {μk} оператора L
и {λk} оператора Dγ при надлежащей нумерации
справедливо равенство
0
Ᏸ γ y ∈ Ᏼ γ, h 1 y 1 ( 0 ) + h 2 y 2 ( 0 ) = 0,
a(x)
∫ a ( t ) dt ⋅ μ
Следовательно, Φ(λ) – характеристическая функ
ция спектра оператора Dγ – связана с F(λ) соотно
шением
D ( D γ ) = { y = ( y 1, y 2 ) ∈ Ᏼ γ : y 1, y 2 ∈ AC ( γ ),
0
g
–1
где
λk = i
T
∫ a ( t )dt
λ = i
D γ v = λv,
рассмотрение оператор Dγ, действующий в гильбер
товом пространстве Ᏼγ = L2(γ, ⺓2) по правилу
11
⎛ 1 i ⎞
⎜
⎟ v,
⎝ 1 –i ⎠
преобразует уравнение Lu = μu к виду
x ∈ [ 0, 1 ].
k=1γ
a1 ( x ) – a2 ( x )
a ( x ) = ,
2
0
0
0
ным произведением (f, g) =
∫
1
2
g2 ( x ) =
∫
z = z ( x ),
Обозначим через L2(γ, ⺓2) гильбертово простран
ство 2компонентных векторфункций со скаляр
g1 ( x ) =
x
˜ ( t ) dt
– G
μ b ( t ) dt
s ⋅ t ≠ 0.
–1
1
⎛
⎞
a ( t ) dt ⎜ a ( t ) dt⎟ ,
⎝
⎠
i = 1, 2,
где x(z) – обратная к z(x) функция. Тогда подста
новка
Пусть γ – кривая с параметризацией
x
13
том 462
№1
2015
где постоянные c0, c1 явно вычисляются (см. [14]).
Введем обозначения. Пусть G – односвязная
область со спрямляемой границей. Обозначим
через M(G) множество мероморфных в G матриц
Q вида (8), таких, что любое решение уравнения
Ᏸγy = λy при всех значениях λ однозначно в G. Да
лее обозначим через M0(G) множество Q из M(G) с
конечным числом полюсов и через MC(G) – мно
˜ – регулярная
жество Q из M0(G), для которых Q
часть Q – непрерывна вплоть до границы G.
Далее, если 0 = x0 < x1 < … < xm – 1 < xm = 1, то
Bk = γ(xk), k = 0, 1, …, m, γk – дуга γ, соединяющая
точки Bk – 1 и Bk, Ωk – область, ограниченная γk и
отрезком [Bk – 1, Bk], l – ломаная с вершинами в
точках Bk, ᏹ – 2mугольник с вершинами в точ
ках ±i(2Bk – 1), k = 0, 1, …, m, I – сопряженная
диаграмма характеристической функции Φ(λ)
спектра Dγ. Если на l определены суммируемые
функции ql1, ql2, то через Dl обозначим оператор,
который определяется так же, как и Dγ при γ = l,
q1 = ql1, q2 = ql2. Соответственно, через Φl(λ) обо
значим характеристическую функцию спектра
14
ИШКИН
оператора Dl и через Il – сопряженную диаграмму
Φl(λ). Справедлива
Л е м м а 1. Il ⊂ ᏹ.
Скачком функции f, кусочнонепрерывной на
некоторой кривой β с параметризацией z = β(x),
x ∈ [0, 1], будем называть величину Δf(z0) := f(z0 + 0) –
– f(z0 – 0), где f(z0 ± 0) = f(β(x0 ± 0)). Положим p1 =
= iq1 + q2, p2 = –iq1 + q2.
Всюду далее будем считать, что при всех k = 1,
2, …, k, Ωk ≠ 䊊 , т.е. ᏹ – невырожденный
2mугольник. Сначала сформулируем одно доста
точное условие mлокализации спектра операто
ра Dγ.
Те о р е м а 2. Пусть q1(z) = q1k(z), q2(z) = q2k(z),
1
z ∈ γ°k , k = 1, 2, …, m, где q1k, q2k ∈ W 2 (γk). Тогда если
Qk допускает мероморфное продолжение в область
Ωk так, что
1
(M)
Q k ∈ MC ( Ω k ) ∩ W 2 ( [ B k – 1, B k ] )
k = 1, 2, …, m,
то имеет место равенство
σ ( D γ ) = σ ( D l ).
Если, дополнительно к условиям (M),
Δp 1 ( B k ) ⋅ Δp 2 ( B k ) ≠ 0, k = 1, 2, …, m – 1,
то для спектра оператора D справедливо пред"
ставление
σ ( Dγ ) =
m
∞
∪ ∪λ
±
kj ,
k = 1j = 1
±
πj
λ kj ∼ ± + O ( 1 ),
dk
k = 2, 3, …, m – 1, j → ∞,
±
πj
1
λ kj ∼ ± ± σ k ln j + O ( 1 ), k = 1, m, j → ∞,
dk
2id k
где dk = Bk – Bk – 1, σ1 = –1, σm = 1.
Таким образом, из условий (M) в силу леммы 1
следует, что I ⊂ ᏹ. Возникает вопрос: насколько
условия (M) необходимы для выполнения соот
ношения I ⊂ ᏹ?
Те о р е м а 3 (Основной результат). Пусть
q1(z) = q1k(z), q2(z) = q2k(z), z ∈ γ°k , k = 1, 2, …, m, где
q1k, q2k ∈ W 2 (γk). Тогда I ⊂ ᏹ в том и только том
случае, когда при каждом k = 1, 2, …, m матрица Qk
допускает мероморфное продолжение с дуги γk в об"
1
ласть Ωk так, что Qk ∈ M(Ωk) и полюса Qk могут
скапливаться только к отрезку [Bk – 1, Bk].
С л е д с т в и е. Рассмотрим оператор L, опре"
деленный по формулам (1), (2), где n = 2 и матрицы
A0(x), A1(x), S, T удовлетворяют условиям а) и б).
Пусть функции q1 и q2 определены по формулам (9),
(10) и удовлетворяют условиям теоремы 3.
Тогда для выполнения соотношений (6) необходи"
мо, чтобы матрицы Qk, определенные по формуле (8)
при q1 = q1k, q2 = q2k, допускали мероморфное продол"
жение с дуги γk в область Ωk так, что Qk ∈ M(Ωk) и
полюса Qk могли скапливаться только к отрезку
[Bk – 1, Bk].
Работа выполнена при поддержке Российско
го фонда фундаментальных исследований, грант
15–01–01095, и Минобрнауки России, грант
01201456408.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Birkhoff G.D. // Trans. Аmer. Math. Soc. 1908. V. 9.
P. 219–231; 373–395.
2. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории
обыкновенных дифференциальных уравнений и о
разложении произвольных функций в ряды. Пет
роград, 1917. 305 c.
3. Tamarkin J.D. // Math. Zeit. 1927. Bd. 27. P. 1–54.
4. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные опе
раторы. М.: Наука, 1969. 528 c.
5. Mennicken R., Möller M. NonSelfAdjoint Boundary
Eigenvalue Problems. Amsterdam; L.: Elsevier, 2003.
500 p.
6. Scott S.G. // Communs. Math. Phys. 1995. V. 173.
P. 43–76.
7. Lech M., Tolksdorf J. // Communs. Math. Phys. 1998.
V. 193. P. 643–660.
8. Streater R.F. // Open Syst. and Inform. Dyn. 2001. V. 8.
P. 19–27.
9. Langer R.E. // Trans. Amer. Math. Soc. 1939. V. 46.
P. 151–190.
10. Davies E.B. // Math. Ztschr. 2003. V. 243. P. 719–743.
11. Лидский В.Б., Садовничий В.А. // Функцион. анализ
и его прил. 1967. T. 1. Вып. 2. C. 52–59.
12. Ишкин Х.К. // Фундамен. и прикл. математика.
2006. Т. 12. № 5. С. 49–64.
13. Ишкин Х.К. // Мат. заметки. 2005. Т. 78. № 1. С. 72–
84.
14. Ишкин Х.К. // Мат. заметки. 2013. Т. 94. № 4. С. 552–
568.
15. Ишкин Х.К. // ДАН. 2009. Т. 429. № 3. С. 301–304.
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК
том 462
№1
2015
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
215 Кб
Теги
современные, арсенале, препарата, антивирусных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа