close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Соотношения между нормами функции и ее градиентом в классах сферических и шаровых функций в конечномерном пространстве.

код для вставкиСкачать
УДК 517.586
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2008, вып. 2
К. В. Холшевников, В. Ш. Шайдулин
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НОРМАМИ ФУНКЦИИ
И ЕЕ ГРАДИЕНТОМ В КЛАССАХ СФЕРИЧЕСКИХ
И ШАРОВЫХ ФУНКЦИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ∗
1. Введение
Широко известны линейные нормированные пространства, в которых нормы функций и их производных связаны неравенствами. Таковы, например, пространства, элементами которых являются сужения на компакт многочленов степени не выше некоторого n от нескольких вещественных переменных. Нас интересуют пространства сферических и шаровых функций конечного числа переменных. В статье [2] и в книге [3]
выведены соотношения, связывающие чебышевские нормы сферических функций и их
градиентов в касательном к сфере S2 пространстве, а также шаровых функций в R3 и
их градиентов. Здесь мы обобщим результат на функции в Sk−1 , Rk при произвольном
k и получим соответствующие аналоги для евклидовых норм.
2. Определения и обозначения
Обозначим через Yn сферическую функцию порядка n на единичной сфере Sk−1 ⊂
R ; gradT — градиент в касательном расслоении Sk−1 ; Un и Vn — внутреннюю и внешнюю шаровые функции порядка n. Точки Rk зададим декартовыми координатами
(x1 , x2 , . . . , xk ) или парой (r, Q), где Q ∈ Sk−1 . По определению
∂f 1
gradf (r, Q) =
, gradT f (r, Q) ,
∂r r
(1)
n
Un (r, Q) = r Yn (Q),
k
Vn (r, Q) = r−n−k+2 Yn (Q).
Для произвольной скалярной или векторной непрерывной функции f на сфере введем чебышевскую (равномерную) и евклидову (среднеквадратичную) нормы
Z
1
hf i = max |f (Q)|,
kf k2 =
|f (Q)|2 dσ,
(2)
k−1
π
k
Q∈S
где πk — площадь (мера), а dσ — элемент площади сферы Sk−1 , по которой здесь и ниже
производится интегрирование. Нормировка в формулах (2) соответствует условию h1i =
k1k = 1. Согласно формуле Якоби [1, п. 676]
(
(2π)k/2 ,
если k четно,
(k − 2)!!πk =
(k−1)/2
2(2π)
, если k нечетно.
∗ Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-1323.2008.2)
и Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы
(2006–2008 годы)» Федерального агентства по образованию Министерства образования и науки РФ.
c К. В. Холшевников, В. Ш. Шайдулин, 2008
93
В частности,
π2 = 2π,
π3 = 4π,
π4 = 2π 2 .
Формулы (2) применимы и к функциям f (r, Q) в слое r1 < r < r2 , Q ∈ Sk−1 при
0 6 r1 < r2 6 ∞. В этом случае нормы становятся функциями от r.
Выведем соотношения, связывающие нормы сферических и шаровых функций и их
градиентов.
3. Функции на сфере
Пусть F — многочлен степени не выше n от k переменых, f — его сужение на Sk−1 .
В [2, 3] доказано обобщение неравенства Бернштейна
(gradT f )2 + n2 f 2 6 n2 hf i2 .
(3)
В частности, отсюда вытекает
hgradT f i 6 nhf i.
(4)
Неравенство (3) — точное. Равенство достигается по крайней мере в одной точке
сферы, а именно, в точке наибольшего значения |f |. Кроме того, существуют полиномы,
для которых (3) обращается в тождество. Пусть, например, F = rn Tn (ξ), где Tn —
многочлен от ξ = x1 /r, содержащий лишь степени n, n−2, n−4, . . . Прямые вычисления
дают
(gradT f )2 = (1 − ξ 2 )[Tn′ (ξ)]2 ,
(5)
где штрих означает производную по явно указанному аргументу. Если Tn (ξ) =
cos(n arccos ξ) — полином Чебышева, то (3) обращается в тождество. При ξ, равном одному из корней полинома Чебышева, модуль gradT f достигает наибольшего значения,
равного nhf i. Поэтому в (4) осуществляется равенство.
Сферическая функция представляет собой сужение однородного гармонического
многочлена на единичную сферу. Поэтому формулы (3, 4) справедливы для f = Yn .
Оба неравенства остаются точными и в классе
сферических функций. Действительно,
p
пусть F = Rn Tn (η), где η = x1 /R, R = x21 + x22 , Tn — многочлен от η, содержащий
лишь степени n, n − 2, n − 4, . . . Прямые вычисления дают
(gradT f )2 = n2 R2n−2 (1 − R2 )Tn2 + R2n−4 (1 − x21 )[Tn′ ]2 .
На экваторе (x3 = x4 = . . . = 0, x21 + x22 = R2 = 1) выполняется соотношение
(gradT f )2 = (1 − η 2 )[Tn′ ]2 (η).
Если Tn — полином Чебышева, то (3) обращается в равенство (на экваторе; на остальной
части сферы нервенство строгое). В формуле (4) также имеет место равенство.
Вычисляя действие оператора Лапласа на F , найдем
∆F = Rn−2 [(1 − η 2 )Tn′′ − ηTn′ + n2 Tn ].
Если Tn — полином Чебышева, то выражение в квадратных скобах обращается в нуль
в силу соответствующего дифференциального уравнения. Таким образом, F — гармоническая, а ее сужение f на сферу Sk−1 — сферическая функция. При k = 2 она превращается в тригонометрическую гармонику cos nλ, а при k = 3 — в секториальную
гармонику sinn θ cos nλ.
94
Перейдем к среднеквадратичным нормам. Воспользуемся интегральным соотношением для скалярной функции на сфере [4, § 13.4]
Z
Z
2
(gradT f ) dσ = − f Df dσ,
(6)
где D — оператор Бельтрами (сферическая часть оператора Лапласа).
Подставляя в (6) f = Yn и пользуясь тем, что Yn — собственные функции оператора
D с собственным значением −n(n + k − 2), получаем
Z
Z
(gradT Yn )2 dσ = n(n + k − 2) Yn2 dσ,
или окончательно
kgradT Yn k =
p
n(n + k − 2)kYn k.
(7)
4. Шаровые функции
Для функций в Rk согласно (11)
2
|gradf | =
∂f
∂r
2
+
1
(gradT f )2 .
r2
В частности, для шаровых функций
|gradUn |2 = r2n−2 (gradT Yn )2 + n2 Yn2 ,
|gradVn |2 = r−2n−2k+2 (gradT Yn )2 + (n + k − 2)2 Yn2 .
(8)
Поскольку в (3) равенство осуществляется по крайней мере в одной точке, то hgradUn i =
nrn−1 hYn i. Обращаясь к внешней шаровой функции, заметим сначала, что в (3) n2
можно заменить любым бо́льшим числом. В частности,
(gradT Yn )2 + (n + k − 2)2 Yn2 6 (n + k − 2)2 hYn i2 .
(9)
По-прежнему в (9) достигается равенство в точке максимума Yn2 , так что hgradVn i =
(n + k − 2)r−n−k+1 hYn i.
Окончательно, для чебышевских норм
hgradUn i =
n
hUn i,
r
hgradVn i =
n+k−2
hVn i.
r
(10)
Интегрируя (8) по сфере, получаем с учетом (7)
p
n(2n + k − 2)
kUn k,
(11)
kgradUn k = r
r
p
p
(n + k − 2)(2n + k − 2)
−n−k+1
kgradVn k = r
(n + k − 2)(2n + k − 2) kYn k =
kVn k.
r
(12)
n−1
p
n(2n + k − 2) kYn k =
95
В следующей статье мы применим приведенные здесь соотношения для сравнительного анализа имеющихся моделей гравитационного поля Земли, использующих его
представление рядом Лапласа по шаровым функциям.
Авторы благодарны профессору В. А. Антонову за полезное обсуждение.
Литература
1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. СПб:
Лань, 1997. 656 с.
2. Antonov V. A., Kholshevnikov K. V. Die multidimensionale Ungleichung von Bernstein und
die Abschätzung der Ableitungen des Gravitationspotentials // Astronomische Nachrichten. 1978.
Bd 299. Heft 3. S. 131–135.
3. Антонов В. А., Тимошкова Е. И., Холшевников К. В. Введение в теорию ньютоновского
потенциала. М.: Наука, 1988. 270 с.
4. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.
432 с.
Статья поступила в редакцию 11 ноября 2007 г.
96
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
225 Кб
Теги
шаровых, сферическая, между, пространство, градиент, соотношения, функции, нормами, класса, конечномерные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа