close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Спектр оператора Лапласа связных компактных простых групп Ли ранга один и два.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2010
Том 152, кн. 1
УДК 514.764.227+514.765+517.984.56+511.
СПЕКТ ОПЕАТОА ЛАПЛАСА
СВЯЗНЫХ КОМПАКТНЫХ ПОСТЫХ
УПП ЛИ АНА ОДИН И ДВА
В.М. Свиркин
Аннотация
Излагается алгоритм вычисления спектра лапласиана для вещественных и комплексных ункций на связной компактной простой группе Ли с биинвариантной римановой
метрикой. Указанный алгоритм используется для явного вычисления спектра лапласиана
для компактных связных простых групп Ли ранга один и два.
Ключевые слова:
вес, орма Киллинга.
оператор Лапласа, спектр, представление группы Ли, старший
Введение
В работе [1? изучается спектр оператора Лапласа на гладких вещественных
ункциях, определенных на компактных однородных нормальных римановых многообразиях. Показано, что эту задачу можно свести к рассмотрению компактных
односвязных (связных) простых групп Ли G с биинвариантной (то есть инвариантной относительно левых и правых сдвигов) римановой метрикой ? . В последнем
случае на основе теорем 4.4 и 5.2 из [1?, доказательство которых опирается на результаты теории линейных конечномерных представлений групп Ли, предлагается
способ вычисления спектра лапласиана, который применяется в џ 7 в [1? для вычисления спектра лапласиана на группе Ли (SU (2), ?), изометричной единичной
евклидовой трехмерной сере S 3 .
В работе [2? приводится упрощение доказательства теоремы 4.4 из [1?, а также
в следствии 1.4 ормулируется улучшенный алгоритм поиска спектра лапласиана
на односвязной группе Ли G с метрикой ? . Применение этого алгоритма иллюстрируется в џџ 24 при вычислении спектра лапласиана групп Ли G ранга два.
Улучшение алгоритма в основном заключалось в переходе к комплексному случаю
при подсчете кратности собственного значения лапласиана.
В џ 1 настоящей работы алгоритм поиска спектра лапласиана из [2? обобщается на неодносвязный случай, то есть рассматривается случай произвольной компактной связной простой группы Ли G . Сначала в предложении 1 доказывается
совпадение спектров лапласиана в вещественном и комплексном случаях для любого компактного риманового многообразия класса C ? . Далее с использованием
предложения 1 и рассуждений џ 1 [2? ормулируются теоремы 1 и 2, являющиеся
соответственно аналогами теорем 4.4 и 5.2 из [1? в комплексном случае. Из теорем 1 и 2 следует, что вычисление спектра лапласиана группы Ли G сводится
к поиску множества старших весов ?+ (G) всех ее неприводимых комплексных
представлений.
Поиск множества старших весов ?+ (G) сводится к поиску решетки ?(G) всех
весов неприводимых комплексных представлений группы Ли G , которая называется характеристической решеткой группы Ли G . Характеристическая решетка
подробно рассматривается в [3? и в добавлении А.Л. Онищика в книге [4?. В предложении 4 доказывается, что множества ?+ (G) и ?(G) задаются целочисленной
220
В.М. СВИКИН
решеткой I группы Ли G , определенной однозначно для группы Ли G с точностью
до внутреннего автоморизма. Далее ормулируются основные свойства характеристической решетки ?(G) , главными из которых являются следующие: характеристическая решетка ?(G) однозначно определяет группу Ли G с точностью до
изоморизма и соотношение (7) определяет все возможные характеристические
решетки ?(G) для заданной алгебры Ли. Использование свойств характеристической решетки в качестве итога рассуждений в џ 1 позволило сормулировать
в следствии 5 алгоритм вычисления спектров лапласианов всех связных компактных простых групп Ли с иксированной простой алгеброй Ли g и биинвариантной
римановой метрикой ? .
На основании следствия 5 в џ 2 вычисляются спектры лапласианов всех связных
компактных простых групп Ли ранга один: SU(2) и SO(3) , а в џџ 35 с учетом
результатов вычислений из статьи [2? задаются спектры лапласианов всех связных
компактных простых групп Ли ранга два: SU(3) и SU(3)/C(SU(3)) , G2 , Spin(5)
и SO(5) .
1.
План поиска спектра лапласиана
связной компактной простой группы Ли
ассмотрим связную компактную простую группу Ли G с биинвариантной римановой метрикой ? . Множество Spec (G, ?) всех собственных значений оператора Лапласа Бельтрами ? на гладких вещественных ункциях, определенных на
(G, ?), с учетом кратности собственных значений, то есть размерности пространств
соответствующих собственных ункций, называется спектром оператора Лапласа. Некоторые общие понятия и результаты, относящиеся к оператору Лапласа Бельтрами, его собственным значениям и собственным вещественным ункциям
на компактных римановых многообразиях класса C ? , указаны в [1?. Лапласиан
естественным образом обобщается на комплекснозначные ункции. ассмотрим
комплексный случай подробней.
Пусть (N, ?) компактное риманово многообразие класса C ? с метрическим
тензором ? , f комплекснозначная ункция на (N, ?) , вещественная fR := Re f
и мнимая fI := Im f части которой являются вещественными ункциями класса
C 2 . Лапласиан комплекснозначной ункции f по определению равен комплекснозначной ункции
?f := ?fR + i?fI .
(1)
Пусть E?C и E?R являются соответственно пространствами комплексных и вещественных собственных ункций, отвечающих собственному числу ? . Из ормулы (1) следует, что вещественные ункции g, h ? E?R задают комплекснозначную
ункцию f = g +ih ? E?C , и, наоборот, вследствие однозначности разложения комплекснозначной ункции f на вещественную g = Re f и мнимую h = Im f части
ункция f ? E?C отвечает двум вещественным ункциям g, h ? E?R . Таким образом, множества собственных значений лапласиана для пространств вещественных
и комплекснозначных ункций совпадают и имеют место соотношения E?C = E?R +
+ iE?R и dim C E?C = dim R E?R . Получаем
Предложение 1. Спектры лапласиана для пространств комплексных и вещественных ункций на компактном римановом многообразии класса C ? совпадают.
Вычисление кратности собственного значения, а значит, и самого спектра, лапласиана проще вести в комплексном случае, чем в вещественном. Поэтому при
составлении плана поиска спектра лапласиана для связной компактной простой
группы Ли G будем следовать ходу рассуждений џ 1 в [2?, опирающемуся на приводимые ниже аналоги теорем из [1?, сормулированные в комплексном случае.
СПЕКТ ЛАПЛАСИАНА ПОСТЫХ УПП ЛИ АНА ОДИН И ДВА
221
Далее lg (соответственно rg ) обозначает отображение lg : h ? G ? gh ? G (соответственно rg : h ? G ? hg ? G ); dg (инвариантная) вероятностная мера Хаара
на G , пропорциональная мере объема µ? , определяемой римановой метрикой ?.
Мера Хаара dg индуцирует инвариантное скалярное произведение в вещественном линейном пространстве L2 (G, dg) , которое естественным образом обобщается
до инвариантного эрмитового скалярного произведения на комплексном линейном
пространстве L2C (G, dg) := L2 (G, dg)+ iL2 (G, dg) . Из ормулы (10) теоремы 30 в [5?
следует, что размерность пространства матричных элементов Mc неприводимого
комплексного представления c равна dc 2 , где dc размерность представления c .
Повторяя ход доказательства теоремы 4.4 в [1? и заменяя неприводимые вещественные представления r на неприводимые комплексные представления c , получаем
аналог указанной теоремы в комплексном случае.
Теорема 1. Пусть G компактная связная группа Ли с биинвариантной
римановой метрикой ?, c некоторое неприводимое комплексное представление
группы G размерности dc . Понимая c как некоторый гомоморизм c : G ? U(dc )
групп Ли, можно утверждать, что все ункции cij : G ? c(g)ij ; i, j = 1, . . . , dc ,
являются линейно независимыми над C собственными ункциями оператора Лапласа ? на (G, ?) с одним и тем же собственным значением ?c . Линейная оболочка Mc этих ункций является прямой суммой dc неприводимых пространств
представления ? : g ? G ? ?(g) группы G (где ?(g) сопоставляет каждой вещественной ункции f на G ункцию ?(g)(f ) := f ? lg?1 ), ограничение которого на
каждое из них эквивалентно c. Выбирая для некоторого представителя c каждого класса эквивалентности неприводимых комплексных представлений группы G
некоторый ортонормированный относительно стандартного скалярного произведения h·, ·i на L2C (G, dg) базис из dc 2 комплекснозначных ункций в Mc , получим
полную в L2C (G, dg) ортонормированную систему (из собственных ункций оператора ? ).
Из теоремы 1 вытекает следствие, аналогичное следствию 1.1 из [2?.
Следствие 1. В обозначениях теоремы 1 получаем, что кратность собственного значения ? равна
X
dc 2 ,
c:?c =?
где c пробегает все классы эквивалентности неприводимых комплексных представлений группы Ли G , отвечающих собственному числу ? .
Прежде чем сормулировать теорему, которая предоставляет способ вычисления ?c и dc через старший вес представления c , аналог теоремы 5.2 [1? для
комплексного случая, изложим необходимые для дальнейшего сведения и рассуждения из џ 5 [1?.
На основании п. 11 џ 3 гл. III и п. 1 џ 6 гл. III книги [6? приведем распространение предложения 5.1 и предшествующих ему рассуждений из [1? на комплексный
случай.
Предложение 2. Для всякой группы Ли G существует соответствие
между неприводимыми линейными комплексными (вещественными) представлениями r группы Ли G и неприводимыми линейными комплексными (вещественными) представлениями ? ее касательной алгебры Ли g , заданное ормулой
? = dr(e) . Если группа Ли G односвязна, то указанное соответствие является
взаимнооднозначным.
222
В.М. СВИКИН
Из предложения 2 следует, что рассмотрение неприводимых представлений
группы Ли G сводится к рассмотрению соответствующих неприводимых представлений ее алгебры Ли g.
Определение 1.
данная ормулой:
Билинейная (симметричная) орма k? на алгебре Ли g , заk? (u, v) = trace(?(u)?(v)),
u, v ? g,
называется ормой, ассоциированной с представлением ? . Форма kad , где
ad(u)(v) := [u, v] присоединенное представление алгебры Ли g, называется ормой Киллинга алгебры Ли g.
Замечание 1. Связная компактная группа Ли G проста тогда и только тогда,
когда алгебра Ли g проста, что эквивалентно неприводимости присоединенного
представления ad . При этом для любого неприводимого ненулевого представления ? алгебры Ли g, орма k? отрицательно определена и пропорциональна скалярному произведению ? .
Опуская детали, скажем, что алгебра Ли g определяет систему корней ? как
некоторое подмножество дуального пространства t(R)? к вещественной орме t(R)
подалгебры Картана t комплексной оболочки k алгебры Ли g . Определяются подсистемы ?+ ? ? положительных корней и ? = {?1 , . . . , ?l } ? ?+ положительных
(линейно независимых) простых корней. Пара (t(R),
(·, ·)) является вещественным
евклидовым пространством, где (·, ·) := := kad t(R) ограничение ормы Киллинга kad алгебры Ли g на подпространство t(R) . Сохраняя то же обозначение,
орму (·, ·) можно перенести на дуальное пространство t(R)? . Более подробная
инормация о системе корней и весов алгебры Ли содержится в џ 5 [1? или џ 1 [2?,
а также в книге [7?.
Определим ункцию {·, ·} следующим образом:
{?, ?} :=
2 (?, ?)
(?, ?)
для ? 6= 0, ? ? t(R)? . Известно, что если ? и ? ? ? , то {?, ?} ? Z . Фундаментальные веса ?1 , . . . , ?l алгебры Ли g определяются однозначно следующими
соотношениями:
{?i , ?j } = ?ij , где ?ij ? символ Кронекера, 1 ? i, j ? l.
(2)
Значение старшего веса для теории линейных представлений видно из следующих
результатов Э. Картана (см. [8?)
Множества весов ?(g) и старших весов ?+ (g) всех неприводимых комплексных представлений комплексной оболочки k простой алгебры
Ли g с ундаментальными весами ?1 , . . . , ?l задаются следующим образом:
Предложение 3.
l
n
o
X
?(g) = ? ? t(R)? ? =
?i ?i , где ?i ? Z ,
(3)
i=1
l
n
o
X
?+ (g) = ? ? t(R)? ? =
?i ?i , где ?i ? Z и ?i ? 0 .
i=1
При этом неприводимое комплексное представление алгебры Ли k с точностью
до эквивалентности определяется своим старшим весом ? ? ?+ (g) .
СПЕКТ ЛАПЛАСИАНА ПОСТЫХ УПП ЛИ АНА ОДИН И ДВА
223
Вследствие ормулы (2) множества ?(g) и ?+ (g) можно задать посредством
отображения {·, ·} :
?(g) = {? ? t(R)? | {?, ?i } ? Z, где 1 ? i ? l},
?+ (g) = {? ? t(R)? | {?, ?i } ? Z и {?, ?i } ? 0, где 1 ? i ? l}.
На основании предложений 2 и 3 и предложения 1.3 из [2?
Следствие 2. Пусть G и G1 связные компактные группы Ли с простой
алгеброй Ли g , при этом группа Ли G1 является односвязной. Пусть, далее,
?(g) , ?(G) и ?(G1 ) ( ?+ (g) , ?+ (G) и ?+ (G1 ) ) множества (старших) весов всех
неприводимых комплексных представлений комплексной оболочки алгебры Ли g ,
групп Ли G и G1 соответственно. Тогда выполняются следующие соотношения:
?(G1 ) = ?(g)
?+ (G1 ) = ?+ (g)
и
?(G) ? ?(g),
и ?+ (G) ? ?+ (g).
Переормулируем теорему 5.2 из [1? для комплексного случая, исходя из предложений 1, 2 и предложения 1.4 из [2?, а также из равенства собственных значений
лапласиана, отвечающих неприводимым комплексному и вещественному представлениям группы Ли с одним и тем же старшим весом.
Теорема 2. Предположим, что биинвариантная риманова метрика ? на
связной компактной простой группе Ли G с алгеброй Ли g и множеством старших весов ?+ (G) определяется скалярным произведением ?(e) = ?kad (минус
ормой Киллинга) на g . Пусть старшему весу ? ? ?+ (G) отвечает неприводимое комплексное линейное представление c : G ? GL(d(? + ?), C) группы Ли
G с собственным значением ?(?) лапласиана ? на (G, ?) . Тогда имеют место
равенства
?(?) = ?[(? + ?, ? + ?) ? (?, ?)],
(4)
Y (? + ?, ?)
d(? + ?) = dimC c =
(5)
,
(?, ?)
+
???
где
?=
1 X
?.
2
+
???
Если ?(e) = ??kad , то все числа в ормуле (4) нужно умножить на 1/? ,
а все остальное оставить без изменений.
Из теоремы 2 и следствия 1 получаем
Следствие 3. В обозначениях теоремы 2 кратность собственного значения
? лапласиана ? на (G, ?) равна
?(?) =
X
Y (? + ?, ?) 2
,
(?, ?)
+
(6)
?: ?(?)=? ???
где ? пробегает все элементы множества ?+ (G) , отвечающие собственному
числу ? .
Из теорем 1 и 2 следует, что вычисление спектра лапласиана связной компактной группы Ли G сводится к поиску множества старших весов ?+ (G) всех ее
224
В.М. СВИКИН
неприводимых комплексных представлений. Согласно предложению 2 в односвязном случае множество ?+ (G) совпадает с множеством ?+ (g) , которое определяется системой корней группы Ли G через ундаментальные веса; в произвольном случае ?+ (G) является лишь некоторым подмножеством множества ?+ (g) ,
причем, как будет показано ниже, множество ?+ (G) совпадает с ?+ (g) только
в односвязном случае и определяет группу G с точностью до изоморизма.
Пусть k комплексная оболочка алгебры Ли g группы Ли G . Тогда для присоединенного представления ad : k ? gl(k) разложение
в прямую сумму весовых подL
пространств (см. џ 1 [2?) имеет вид: k = V0
V? . Из определения подпространства
???
V0 следует, что оно является абелевой, в частности, нильпотентной подалгеброй алгебры Ли k , совпадающей со своим нормализатором. Таким образом, V0 является
подалгеброй Картана. Для удобства будем обозначать V0 через t . Подалгебра t
является максимальной абелевой подалгеброй алгебры Ли k , то есть такой, которая не содержится ни в какой большей абелевой подалгебре. Вследствие того, что
связная компактная абелева группа Ли является тором (п. 2.20 [4?), вещественная
орма t(R) подалгебры Картана t , как максимальная абелева подалгебра алгебры
Ли g , при экспоненциальном отображении exp группы Ли G переходит в максимальный тор T группы Ли G , то есть такой тор, который является подгруппой
группы Ли G и не содержится ни в какой ее большей подгруппе, являющейся
тором. При таком построении тора T непосредственно получаем равенство t(R) =
= L(T ) , где L(T ) касательное пространство тора в единице. Максимальные торы
подробно рассматриваются в главе 4 [4?. В частности, в п. 4.23 [4? доказывается, что
любые два максимальных тора T и T1 сопряжены посредством некоторого внутреннего автоморизма, то есть существует такой элемент x ? G , что T1 = xT x?1 .
Отсюда вытекает следующее замечание.
Замечание 2. Любая конструкция, кажущаяся зависимой от выбора максимального тора (подалгебры Картана), на самом деле с точностью до внутреннего
автоморизма группы Ли G (алгебры Ли g ) не зависит от этого выбора.
Определение 2. Пусть подалгебре Картана t соответствует максимальный
тор T группы Ли G с касательным пространством L(T ) = t(R) в единице.
Тогда целочисленной решеткой I в пространстве L(T ) называется множество
?1
exp (e) , где e единица группы, exp : L(T ) ? T сужение экспонен-
L(T )
L(T )
циального отображения exp на пространство L(T ) .
Из замечания 2 следует, что целочисленная решетка I определена однозначно
для группы Ли G с точностью до внутреннего автоморизма.
Используя свойства экспоненциального отображения exp группы Ли G , получаем равенство exp(L(T )) = T , из которого следует, что сужение exp L(T ) экспоненциального отображения на пространство L(T ) совпадает с каноническим
отображением p тора T . Из свойств отображения p вытекает, что в пространстве L(T ) размерности l можно ввести базис v1 , . . . , vl , при котором L(T ) ?
= Rl ,
l
l
l
?
T = T = R /Z , и вектор x с координатами (x1 , . . . , xl ) в введенном базисе, где
xi ? R , 1 ? i ? l , при отображении p переходит в элемент p(x) тора Tl , где
p(x) = (x1 mod 1, . . . , xl mod 1) . Таким образом, целочисленная решетка I в базисе v1 , . . . , vl совпадает с целочисленной решеткой Zl пространства Rl . Как следствие, целочисленная решетка I является решеткой с базисом v1 , . . . , vl , то есть
свободной абелевой (аддитивной) подгруппой в пространстве L(T ) , порожденной
векторами v1 , . . . , vl . Из п. 6.33 [4? и п. 10 [3, с. 13? получаем
Предложение 4. Целочисленная решетка I , отвечающая некоторому максимальному тору группы Ли G , с базисом v1 , . . . , vl и подмножество I + ? I всех
СПЕКТ ЛАПЛАСИАНА ПОСТЫХ УПП ЛИ АНА ОДИН И ДВА
линейных комбинаций вида
l
P
225
ni vi , где ni ? Z и ni ? 0 при i = 1, . . . , l , задают
i=1
множества весов ?(G) и старших весов ?+ (G) группы Ли G соответственно
следующими равенствами
?(G) = {? ? t(R)? | ?(v) ? Z , для всех v ? I} ,
?+ (G) = ? ? t(R)? | ?(v) ? Z и ?(v) ? 0 , для всех v ? I + .
Корректность данного выше определения обосновывается замечанием 2, ормулой (8) из [2? и инвариантностью скалярного произведения (·, ·) относительно
внутренних автоморизмов группы.
Из предложения 4 следует, что множество ?(G) является решеткой и что поиск
множества ?+ (G) сводится к поиску решетки ?(G) . Множество весов ?(G) называется также характеристической решеткой группы Ли G . Характеристическая
решетка подробно рассматривается в [3? и в добавлении А.Л. Онищика в книге [4?.
Приведем основные результаты о характеристической решетке ?(G) (см. [4?).
Определение 3. Пусть E евклидово пространство. Наряду со скалярным
произведением (·, ·) будем рассматривать в E ункцию {·, ·} , линейную лишь по
первому аргументу и заданную ормулой
{?, ?} =
2 (?, ?)
,
(?, ?)
где ?, ? ? E.
Системой корней в E называется пара (?, E) (кратко ? ), обладающая следующими свойствами:
1) ? является конечным подмножеством E и 0 ?
/ ?;
2) если ? ? ? , то ?? ? ? , но c? ?
/ ? для любых c ? R , c 6= ±1 ;
3) если ? ? ? и P? = {? ? E | (?, ?) = 0} , то отражение ?? в гиперплоскости
P? переводит ? в себя;
4) {?, ?} ? Z для любых ?, ? ? ? .
Примером является описанная выше система корней ( ? , t(R)? ) группы Ли G
со скалярным произведением (·, ·) = kt(R)? , индуцированным ормой Киллинга.
Пусть (?, E) система корней и ?1 , . . . , ?l ее простые корни, тогда система
(?, E) задает две замкнутые подгруппы ?0 (?) и ?1 (?) группы E относительно
операции сложения: ?0 (?) подгруппа, порожденная системой ? , то есть
l
n
o
X
?0 (?) = ? ? E ? =
nj ?j , где nj ? Z ,
j=1
?1 (?) подгруппа, являющаяся дуальной к системе ? относительно ункции
{·, ·} :
?1 (?) = {? ? E | {?, ?j } ? Z, где j = 1, . . . , l} .
Согласно свойству 4) определения 3 верно включение ?0 (?) ? ?1 (?) . Из определения подгруппы ?0 (?) непосредственно следует, что ?0 (?) является решеткой
с базисом, состоящим из простых корней. Простые корни компактной полупростой
группы Ли G составляют базис в пространстве t(R)? (см. п. 12 [3, с. 15?). Поэтому в случае связной компактной полупростой группы Ли G из ормулы (3)
получаем, что ?1 (?) = ?(g) и ?1 (?) является решеткой с базисом, состоящим
из ундаментальных весов ?1 , . . . , ?l .
ешетки ?0 (?) , ?(G) и подгруппа ?1 (?) обладают важными свойствами (см.
[4, . 134?), представленными в следующем утверждении.
226
В.М. СВИКИН
Предложение 5. Пусть G связная компактная группа Ли. Тогда решетка
?(G) связана с решеткой ?0 (?) и подгруппой ?1 (?) следующими соотношениями:
?0 (?) ? ?(G) ? ?1 (?),
(7)
причем в этой цепочке аддитивных подгрупп группы t(R)? каждая предыдущая
является подгруппой следующей, при этом
?1 (?)/?(G) ?
= ?1 (G),
?(G)/?0 (?) ?
= C(G),
где ?1 (G) ундаментальная группа, а C(G) центр группы Ли G
Утверждение о том, что характеристическая решетка ?(G) любой связной компактной группы Ли G с системой корней ? удовлетворяет соотношению (7), можно
обратить. Для более точной ормулировки обратного утверждения введем понятие
изоморизма системы корней.
Определение 4. Пусть ( ?1 , E1 ) и ( ?2 , E2 ) две системы корней.
Изоморизмом систем ( ?1 , E1 ) и ( ?2 , E2 ) называется линейный изоморизм
? : E1 ? E2 , отображающий ?1 в ?2 и удовлетворяющий условию {?(?), ?(?)} =
= {?, ?} , где ?, ? ? ?1 .
Основная теорема классиикации связных компактных групп Ли ормулируется следующим образом.
Теорема 3 [4, теорема 1 с. 134?. Пусть G1 и G2 связные компактные
группы Ли, T1 и T2 их максимальные торы, E1 = L(T1 )? , E2 = L(T2 )? . Для
всякого изоморизма ? : E1 ? E2 систем корней (?1 , E1 ) и (?2 , E2 ) , удовлетворяющих условию: ? (?(G1 )) = ? (G2 ) , существует такой изоморизм ? : G1 ?
? G2 групп Ли G1 и G2 , переводящий T1 в T2 , что ?? |L(T ) = ???1 .
Далее, для любой системы корней (?, E) и любой решетки ? максимального
ранга в E , удовлетворяющей условию ?0 (?) ? ? ? ?1 (?) , существуют связная
компактная группа Ли G , максимальный тор T ? G и изоморизм ? : E ?
? L(T )? систем корней ? и ?(G) , для которого ? (?) = ? (G) .
ассмотрим семейство связных компактных полупростых групп Ли с алгеброй
Ли g . Вследствие теоремы 3 это семейство с точностью до изоморизма групп
Ли совпадает с семейством всех возможных решеток максимального ранга, удовлетворяющих соотношению (7). Таким образом, основную роль в классиикации
полупростых групп с заданной алгеброй Ли играет максимальная ундаментальная группа ?1 (?)/?0 (?) . Приведем из добавления А.Л. Онищика в книге [4? все
максимальные ундаментальные группы для простых неабелевых алгебр Ли:
Тип ?
?1 (?)/?0 (?)
Al
Zl
Bl , Cl , E7
Z2
D2s
Z2 ? Z2
D2s+1
Z4
E6
Z3
E8 , F4 , G2
0
Из теоремы 3 и предложения 5 получаем
Следствие 4. Пусть максимальная ундаментальная группа ?1 (?)/?0 (?)
алгебры Ли g имеет простой порядок. Тогда семейство неизоморных связных
компактных групп Ли с алгеброй Ли g состоит из двух групп: односвязной группы Ли G1 с центром ?1 (?)/?0 (?) и решеткой весов ?1 (?) , совпадающей с решеткой весов алгебры Ли ?(g) , и группы Ли G0 без центра с ундаментальной
группой ?1 (?)/?0 (?) и решеткой весов ?0 (?) .
СПЕКТ ЛАПЛАСИАНА ПОСТЫХ УПП ЛИ АНА ОДИН И ДВА
227
Замечание 3. Из таблицы максимальных ундаментальных групп, приведенной выше, получаем, что следствие 4 применимо к алгебрам Ли со следующими
типами систем корней: сериям Bl и Cl , Ap , где p простое число, и ко всем
исключительным алгебрам Ли.
Вследствие того, что корни алгебры Ли являются весами присоединенного представления и старшинство веса определяется порядком, описанным, например, в
п. 12 [3, с. 15?, получаем, что старшим весом присоединенного представления ad
комплексной оболочки простой алгебры Ли g является максимальный по высоте
(сумме компонент разложения на простые корни) корень, обозначаемый в книге [7?
как ?
e . На основании приведенных выше рассуждений и теорем 2, 3, а также следствия 3 и предложения 5 сормулируем правило вычисления спектров лапласианов
всех связных компактных простых групп Ли G с иксированной алгеброй Ли g ,
предполагая использование табл. IIX [7? (в которых ? обозначает вектор ? ).
Следствие 5. Для вычисления спектров лапласианов всех связных компактных простых групп Ли с простой алгеброй Ли g и биинвариантной римановой
метрикой ? с условием ?(e) = ??kad нужно выполнить следующие действия:
1) вычислить выражение b := he
? + ?, ?
e + ?i?h?, ?i , предполагая, что относительно скалярного произведения h·, ·i (на t(R) ) векторы ?i из соответствующей
таблицы книги [7? взаимно ортогональны и единичны, где ?
e старший (максимальный) корень;
1
2) взять скалярное произведение (·, ·) = h·, ·i ;
b
3) найти ундаментальные веса ?1 , . . . , ?l алгебры Ли g (если g имеет
ранг l ) по соответствующей таблице из [7?;
l
P
4) для каждого старшего веса ? ? ?+ (g) , то есть для каждого ? =
? j ?j ,
j=1
где ?j ? Z и ?j ? 0 при j = 1, . . . , l , найти собственное число ?(?) оператора
Лапласа, отвечающее старшему весу ? , по ормуле (4), деленной на ? , и размерность d(?+?) неприводимого комплексного представления комплексной оболочки
алгебры Ли g со старшим весом ? , применяя ормулу (5);
5) для каждой решетки ?(G) , удовлетворяющей соотношению ?0 (?) ?
? ?(G) ? ?1 (?) , где ?0 (?) и ?1 (?) решетки, порожденные простыми корнями и ундаментальными весами, найденные в п. 1) и п. 3) соответственно,
G группа Ли с алгеброй Ли g , соответствующая характеристической решетке
?(G) , выполнить следующие три пункта;
6) найти множество старших весов ?+ (G) = ?(G) ? ?+ (g) , задав его через
ундаментальные веса ?1 , . . . , ?l ;
7) для каждого старшего веса ? ? ?+ (G) найти из п. 4) собственное число
?(?) и размерность d(? + ?) неприводимого комплексного представления, отвечающих весу ? ;
8) найти кратность каждого собственного значения ? , применяя ормулу
(6), получив таким образом спектр Spec (G(?), ?) группы Ли G , отвечающей
характеристической решетке ?(G) .
Таким образом, получаем все спектры Spec (G, ?) групп Ли G с алгеброй Ли
g и метрикой ? .
Замечание 4. В ормулах (5) и (6), применяемых в п. 4) и п. 8) следствия 5,
вместо (·, ·) можно использовать любое пропорциональное ему скалярное произведение, в частности h·, ·i из п. 1) следствия 5.
Ниже, используя следствие 5, найдем спектры лапласиана всех связных компактных простых групп Ли ранга один: SU(2) , SO(3) и ранга два: SU(3) , G2 ,
Spin(5) , SU(3)/C(SU(3)) , SO(5) . В случае ранга два будем опираться на результаты вычислений из статьи [2? для односвязных групп Ли.
228
В.М. СВИКИН
2.
Вычисление спектра лапласиана групп
SU(2)
и
SO(3)
руппам Ли SU(2) и SO(3) соответствует алгебра Ли su(2) с системой корней A1 . Применяем табл. I из книги [7?. Единственным простым корнем является
орма ?1 = ?1 ? ?2 , при этом ?1 + ?2 = 0 . Из последнего равенства получаем
1
?1 = ?
e = 2?1 и ? = ?1 = ?1 .
2
1) b = he
? + ?, ?
e + ?i ? h?, ?i = 8 h?, ?i = 8 .
1
2) (·, ·) = h·, ·i .
8
1
3) Единственным ундаментальным весом является орма ?1 = (?1 ? ?2 ) =
2
= ?1 .
4) Пусть ? = ?1 ?1 ? ?+ (su(2)) , где ?1 ? Z и ?1 ? 0 ; тогда ? + ? = (?1 +
+1)?1 = ??1 , где ? = ?1 +1 и ? ? N . Найдем собственное число ?(?) , отвечающее
старшему весу ? , разделив на ? правую часть ормулы (4):
1
1
1
?(?) = ? [(? + ?, ? + ?) ? (?, ?)] = ? [(??1 , ??1 ) ? (?1 , ?1 )] = ? (? 2 ? 1).
?
?
8?
Теперь вычислим размерность d(? + ?) неприводимого комплексного представления, отвечающего старшему весу ? , по ормуле (5):
d(? + ?) =
(??1 , 2?1 )
= ?.
(?1 , 2?1 )
5) Указанные выше простой корень ?1 и ундаментальный вес ?1 алгебры Ли
su(2) задают соответственно решетки ?0 (A1 ) и ?1 (A1 ) следующим образом:
?0 (A1 ) = {?1 ?1 | ?1 ? Z} = {2?1 ?1 | ?1 ? Z},
(8)
?1 (A1 ) = {?1 ?1 | ?1 ? Z}.
(9)
Получаем, что максимальная ундаментальная группа алгебры Ли su(2) равна
?1 (A1 )/?0 (A1 ) ?
= Z2 , то есть имеет простой порядок, поэтому решеток ?(G) , удовлетворяющих соотношению (7), существует всего две: ?0 (A1 ) и ?1 (A1 ) . На основании предложения 5 решетке ?1 (A1 ) соответствует односвязная группа Ли с алгеброй Ли su(2) , то есть группа Ли SU(2) , а решетке ?0 (A1 ) неодносвязная
группа Ли с алгеброй Ли su(2) , то есть группа Ли SO(3) .
а) Приведем ормулы, задающие спектр лапласиана группы Ли SU(2) .
6а) Из ормулы (9) получаем множество старших весов группы Ли SU(2)
?+ (SU(2)) = {?1 ?1 | ?1 ? Z и ?1 ? 0}.
7а) Пусть ? = ?1 ?1 ? ?+ (SU(2)) , тогда из п. 4) получаем:
?(?) = ?
1 2
(? ? 1),
8?
d(? + ?) = ?,
(10)
(11)
где ? = ?1 + 1 , ? ? N .
8а) Применяя ормулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратность собственного значения ? :
X
?(?) =
? 2 = 1 ? 8??.
? 2 =1?8??;
??N
СПЕКТ ЛАПЛАСИАНА ПОСТЫХ УПП ЛИ АНА ОДИН И ДВА
229
Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно
3
?
и соответствует неприводимому комплексному представлению группы Ли
8?
SU(2) со старшим весом ?1 . азмерность этого представления равна 2 . Крат3
24?
ность собственного значения ?
равна 1 +
= 4.
8?
8?
б) Приведем ормулы, задающие спектр лапласиана группы Ли SO(3) .
6б) Из ормулы (8) получаем множество старших весов группы Ли SO(3)
?+ (SO(3)) = {2?1 ?1 | ?1 ? Z и ?1 ? 0}.
7б) Пусть ? = 2?1 ?1 ? ?+ (SU(2)) , тогда из п. 4) собственное число ?(?) и
размерность d(? + ?) вычисляются по ормулам (10) и (11) соответственно, где
? = 2?1 + 1 , ? ? N и ? ? 1(mod 2) .
8б) Применяя ормулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратность собственного значения ? :
X
?(?) =
? 2 = 1 ? 8??.
? 2 =1?8??;
??N, ??1(mod 2)
Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно
1
? и соответствует присоединенному представлению группы Ли SO(3) со стар?
шим весом 2?1 . азмерность этого представления равна 3 . Кратность собствен1
8?
ного значения ? равна 1 +
= 9.
?
?
3.
Вычисление спектра лапласиана групп
SU(3)
и
SU(3)/C(SU(3))
руппам Ли SU(3) и SU(3)/C(SU(3)) соответствует алгебра Ли su(3) с системой корней A2 . Применяем табл. I из книги [7?. Простыми корнями являются
ормы {?1 = ?1 ? ?2 , ?2 = ?2 ? ?3 } , при этом ?1 + ?2 + ?3 = 0 .
Приведем результаты вычислений в первых четырех пунктах, взятые из џ 2 [2?.
1) b = 6 .
1
2) (·, ·) = h·, ·i .
6
1
1
3) Фундаментальные веса имеют вид: {?1 = (2?1 ? ?2 ? ?3 ), ?2 = (?1 + ?2 ?
3
3
? 2?3 )} .
4) Пусть ? = ?1 ?1 + ?2 ?2 ? ?+ (su(3)) , где ?1 , ?2 ? Z и ?1 , ?2 ? 0 , тогда
? + ? = ?1 ?1 + ?2 ?2 , где ?1 = ?1 + 1, ?2 = ?2 + 1 и ?1 , ?2 ? N . Собственное число
?(?) , отвечающее старшему весу ? , равно
i
1 h 2
?(?) = ?
(?1 + ?1 ?2 + ?22 ) ? 3 .
(12)
9?
азмерность d(? + ?) неприводимого комплексного представления, отвечающего старшему весу ? , равна
1
?1 ?2 (?1 + ?2 ).
(13)
2!
5) Указанные выше простые корни и ундаментальные веса алгебры Ли su(3)
задают соответственно решетки ?0 (A2 ) и ?1 (A2 ), определенные следующим образом:
?0 (A2 ) = {?1 ?1 + ?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z},
d(? + ?) =
230
В.М. СВИКИН
?1 (A2 ) = {?1 ?1 + ?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z}.
(14)
После замены переменных {?1 = 2?1 + ?2 , ?2 = ?1 + ?2 } и выражения корней
через ундаментальные веса {?1 = 2?1 ? ?2 , ?2 = 2?2 ? ?1 } решетка ?0 (A2 )
приобретает следующий вид:
?0 (A2 ) = {3?1 ?1 + ?2 (?1 + ?2 ) | ?1 , ?2 ? Z}.
(15)
Определим решетку ?1 (A2 ) в базисе {?1 , ?1 + ?2 } посредством замены переменных {?1 = ?1 + ?2 , ?2 = ?2 } :
?1 (A2 ) = {?1 ?1 + ?2 (?1 + ?2 ) | ?1 , ?2 ? Z}.
(16)
Из ормул (15) и (16) следует, что максимальная ундаментальная группа
алгебры Ли su(3) равна ?1 (A2 )/?0 (A2 ) ?
= Z3 , то есть имеет простой порядок, поэтому решеток ?(G) , удовлетворяющих соотношению (7), существует всего две:
?0 (A2 ) и ?1 (A2 ) . На основании предложения 5 решетке ?1 (A2 ) соответствует односвязная группа Ли с алгеброй Ли su(3) , то есть группа Ли SU(3) , а решетке
?0 (A1 ) группа Ли с нулевым центром и алгеброй Ли su(3) , то есть группа Ли
SU(3)/C(SU(3)) .
а) Приведем ормулы, задающие спектр лапласиана группы Ли SU(3) .
6а) Из ормулы (14) получаем множество старших весов группы Ли SU(3)
?+ (SU(3)) = {?1 ?1 + ?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z и ?1 ? 0, ?2 ? 0}.
7а) Пусть ? = ?1 ?1 +?2 ?2 ? ?+ (SU(3)) , тогда из п. 4) собственное число ?(?)
и размерность d(? + ?) вычисляются по ормулам (12) и (13) соответственно, где
?1 = ?1 + 1, ?2 = ?2 + 1 , ?1 , ?2 ? N .
8а) Применяя ормулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратность собственного значения ? :
X
2
1 ?(?) =
??(? + ?) .
2
(2!)
2
2
? +??+? =3?9??;
?,??N
В џ 2 статьи [2? при подсчете наименьшего по модулю ненулевого собственно4
и соответствует
го значения лапласиана была допущена ошибка, оно равно ?
9?
неприводимым комплексным представлениям группы Ли SU(3) со старшими весами ?1 и ?2 . азмерности этих представлений равны 3 . Следовательно, кратность
4
собственного значения ?
равна 32 + 32 = 18.
9?
б) Приведем ормулы, задающие спектр лапласиана группы Ли
SU(3)/C(SU(3)) .
6б) Из ормулы (15) получаем множество старших весов рассматриваемой
группы Ли
?+ (SU(3)/C(SU(3))) = {(3?1 + ?2 )?1 + ?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z и ?1 ? 0, ?2 ? 0}.
7б) Пусть ? = (3?1 + ?2 )?1 + ?2 ?2 ? ?+ (SU(3)/C(SU(3))) , тогда из п. 4)
собственное число ?(?) и размерность d(? + ?) вычисляются по ормулам (12)
и (13) соответственно, где ?1 = 3?1 + ?2 + 1, ?2 = ?2 + 1 , ?1 , ?2 ? N , ?1 ? ?2 и
?1 ? ?2 ? 0(mod 3) .
СПЕКТ ЛАПЛАСИАНА ПОСТЫХ УПП ЛИ АНА ОДИН И ДВА
231
8б) Применяя ормулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратность собственного значения ? :
X
2
1 ??(? + ?) .
?(?) =
(17)
2
(2!)
2
2
? +??+? =3?9??;
?,??N, ???, ????0(mod 3)
Сделав замену переменных {? = ? + 2?, ? = ? ? ?} , получаем:
?(?) =
2
X
2
? +??+? =1?3??;
??N, ??N?{0}, ?>?
2
1 (? + 2?)(? ? ?)(2? + ?) .
2
(2!)
(18)
Нетрудно проверить, что несмотря на то что определитель матрицы замены переменных ?, ? на переменные ?, ? равен ?3 , условия на ?, ? в ормуле (17) равносильны условиям на ?, ? в ормуле (18).
Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно
1
? и соответствует присоединенному представлению группы Ли SU(3)/C(SU(3))
?
со старшим весом ?1 + ?2 . азмерность этого представления равна 8 . Следова1
тельно, кратность собственного значения ? равна 82 = 64.
?
4.
Вычисление спектра лапласиана группы
G2
руппе Ли G2 соответствует алгебра Ли g2 с системой корней G2 . Применяем
табл. IX из книги [7?. Простыми корнями являются ормы {?1 = ?1 ? ?2 , ?2 = ?
?2?1 + ?2 + ?3 } , при этом ?1 + ?2 + ?3 = 0 .
Приведем результаты вычислений в первых четырех пунктах, взятые из џ 4 [2?.
1) b = 24 .
1
2) (·, ·) =
h·, ·i .
24
3) Фундаментальные веса имеют вид: {?1 = ??2 + ?3 , ?2 = ??1 ? ?2 + 2?3 }.
4) Пусть ? = ?1 ?1 + ?2 ?2 ? ?+ (g2 ) , где ?1 , ?2 ? Z и ?1 , ?2 ? 0 . Вместо ?2
будем использовать ? = ?2 ? ?1 , тогда ? + ? = ?1 ?1 + ?2 ?, где ?1 = ?1 + ?2 + 2,
?2 = ?2 + 1 , ?1 , ?2 ? N , ?1 > ?2 . Собственное число ?(?) , отвечающее старшему
весу ? , равно
i
1 h 2
?(?) = ?
(?1 + ?1 ?2 + ?22 ) ? 7 .
(19)
12?
азмерность d(? + ?) неприводимого комплексного представления, отвечающего старшему весу ? , равна
d(? + ?) =
1
?1 ?2 (?1 + ?2 )(?1 ? ?2 )(?1 + 2?2 )(2?1 + ?2 ).
5!
(20)
5) Указанные выше простые корни и ундаментальные веса алгебры Ли g2
задают решетки ?0 (G2 ) и ?1 (G2 ) соответственно, выразив корни через ундаментальные веса {?1 = 2?1 ? ?2 , ?2 = 2?2 ? 3?1 } , получим
?0 (G2 ) = { (2?1 ? ?2 )?1 + (2?2 ? 3?1 )?2 | ?1 , ?2 ? Z},
?1 (G2 ) = {?1 ?1 + ?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z}.
(21)
Пусть ? это линейное преобразование ? : R2 ? R2 , заданное следующим
образом: (?1 , ?2 ) ? (2?1 ? ?2 , 2?2 ? 3?1 ) . Тогда вследствие того, что ? задается
232
В.М. СВИКИН
целочисленной матрицей с единичным определителем, ? является изоморизмом
решетки Z2 на себя. Поэтому ?0 (G) = ?1 (G2 ) , решетка ?(G), удовлетворяющая
соотношению (7), единственна и совпадает с ?1 (G2 ) . Из предложения 5 следует,
что существует единственная группа Ли G = G2 с алгеброй Ли g2 , причем она
односвязна.
Таким образом, нужно вычислить спектр только для группы G2 с характеристической решеткой ?1 (G2 ) .
6) Из ормулы (21) получаем множество старших весов группы Ли G2
?+ (G2 ) = {?1 ?1 + ?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z и ?1 ? 0, ?2 ? 0 }.
7) Пусть ? = ?1 ?1 + ?2 ?2 ? ?+ (G2 ) , тогда из п. 4) собственное число ?(?) и
размерность d(? + ?) вычисляются по ормулам (19) и (20) соответственно, где
?1 = ?1 + ?2 + 2, ?2 = ?2 + 1 , ?1 , ?2 ? N , ?1 > ?2 .
8) Применяя ормулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратность собственного значения ? :
X
2
1
??(? + ?)(? ? ?)(? + 2?)(2? + ?) .
?(?) =
(5!)2 2
2
? +??+? =7?12??;
?,??N,?>?
Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно
1
?
и соответствует неприводимому комплексному представлению группы Ли G2
2?
со старшим весом ?1 . азмерность этого представления равна 7 . Следовательно,
1
кратность собственного значения ?
равна 72 = 49.
2?
5.
Вычисление спектра лапласиана групп
Spin(5)
и
SO(5)
руппам Ли Spin(5) и SO(5) соответствует алгебра Ли so(5) с системой корней B2 . Применяем табл. II из книги [7?. Простыми корнями являются ормы
{?1 = ?1 ? ?2 , ?2 = ?2 } .
Приведем результаты вычислений в первых четырех пунктах, взятые из џ 3 [2?.
1) b = 6 .
1
2) (·, ·) = h·, ·i .
6
1
3) Фундаментальные веса имеют вид: {?1 = ?1 , ?2 = (?1 + ?2 )} .
2
4) Пусть ? = ?1 ?1 + ?2 ?2 ? ?+ (so(5)) , где ?1 , ?2 ? Z и ?1 , ?2 ? 0 . Вместо
?1 будем использовать ? = ?1 ? ?2 , тогда ? + ? = ?1 ? + ?2 ?2 , где ?1 = ?1 +
+ 1, ?2 = ?1 + ?2 + 2 , ?1 , ?2 ? N , ?2 > ?1 . Собственное число ?(?) , отвечающее
старшему весу ? , равно
?(?) = ?
1
(? 2 + ?22 ? 5).
12? 1
(22)
азмерность d(? + ?) неприводимого комплексного представления, отвечающего старшему весу ? , равна
d(? + ?) =
1
?1 ?2 (?2 ? ?1 )(?1 + ?2 ).
3!
(23)
5) Указанные выше простые корни и ундаментальные веса алгебры Ли so(5)
задают решетки ?0 (B2 ) и ?1 (B2 ) соответственно следующим образом:
?0 (B2 ) = {?1 ?1 +?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z},
?1 (B2 ) = {?1 ?1 +?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z}. (24)
СПЕКТ ЛАПЛАСИАНА ПОСТЫХ УПП ЛИ АНА ОДИН И ДВА
233
После замены переменных {?1 = ?1 + ?2 , ?2 = ?1 + 2?2 } и выражения корней
через ундаментальные веса {?1 = 2?1 ? 2?2 , ?2 = 2?2 ? ?1 } решетка ?0 (B2 )
приобретает следующий вид:
?0 (B2 ) = {?1 ?1 + 2?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z}.
(25)
Из ормул (24) и (25) следует, что максимальная ундаментальная группа
алгебры Ли so(5) равна ?1 (B2 )/?0 (B2 ) ?
= Z2 , то есть имеет простой порядок, поэтому решеток ?(G) , удовлетворяющих соотношению (7), существует всего две:
?0 (B2 ) и ?1 (B2 ) . На основании предложения 5 решетке ?1 (B2 ) соответствует односвязная группа Ли с алгеброй Ли so(5) , то есть группа Ли Spin(5) , а решетке
?0 (B2 ) неодносвязная группа Ли с алгеброй Ли so(5) , то есть группа Ли SO(5) .
а) Приведем ормулы, задающие спектр лапласиана группы Ли Spin(5) .
6а) Из ормулы (24) получаем множество старших весов группы Ли Spin(5)
?+ (Spin(5)) = {?1 ?1 + ?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z и ?1 ? 0, ?2 ? 0}.
7а) Пусть ? = ?1 ?1 + ?2 ?2 ? ?+ (Spin(5)) , тогда из п. 4) собственное число
?(?) и размерность d(?+?) вычисляются по ормулам (22) и (23) соответственно,
где ?1 = ?1 + 1, ?2 = ?1 + ?2 + 2 , ?1 , ?2 ? N и ?2 > ?1 .
8а) Применяя ормулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратность собственного значения ? :
X
2
1
?(?) =
??(? ? ?)(? + ?) .
2
(3!) 2 2
? +? =5?12??;
?,??N, ?>?
Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно
5
?
и соответствует неприводимому комплексному представлению группы Ли
12?
Spin(5) со старшим весом ?2 . азмерность этого представления равны 4 . Следо5
вательно, кратность собственного значения ?
равна 42 = 16.
12?
б) Приведем ормулы, задающие спектр лапласиана группы Ли SO(5) .
6б) Из ормулы (25) получаем множество старших весов группы Ли SO(5)
?+ (SO(5)) = {?1 ?1 + 2?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z и ?1 ? 0, ?2 ? 0}.
7б) Пусть ? = ?1 ?1 + 2?2 ?2 ? ?+ (SO(5)) , тогда из п. 4) собственное число
?(?) и размерность d(?+?) вычисляются по ормулам (22) и (23) соответственно,
где ?1 = ?1 + 1, ?2 = ?1 + 2?2 + 2 , ?1 , ?2 ? N , ?2 > ?1 и ?2 ? ?1 ? 1(mod 2) .
8б) Применяя ормулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратность собственного значения ? :
X
2
1
?(?) =
??(? ? ?)(? + ?) .
(26)
2
(3!)
2
2
? +? =5?12??;
?,??N, ?>?, ????1(mod 2)
Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно
2
?
и соответствует неприводимому комплексному представлению группы Ли
3?
SO(5) со старшим весом ?1 . азмерность этого представления равна 5 . Следова2
тельно, кратность собственного значения ?
равна 52 = 25.
3?
234
В.М. СВИКИН
Замечание 5. Может показаться, что задание спектра лапласиана посредством следствия 5 полностью решает задачу о поиске спектра лапласиана, что
имело место, например, в џ 2 в случае групп Ли SU(2) и SO(3) . Более глубокий анализ показывает, что в остальных случаях это не так (подробнее см. џ 6 [2?).
Некоторые вопросы, такие, как является ли указанное число собственным значением лапласиана и сколько старших весов отвечают одному и тому же собственному
значению лапласиана, удалось решить для односвязных простых групп Ли ранга
два в статье [2? с помощью теории бинарных квадратичных орм с целыми коэициентами (и натуральными аргументами) и теории чисел. Тем же способом это
можно сделать в случае неодносвязной группы Ли SU(3)/C(SU(3)) , пользуясь
ормулой (18). В случае неодносвязной группы Ли SO(5) ответы на эти вопросы
получить существенно сложнее из-за дополнительного ограничения на аргументы
канонической бинарной квадратичной ормы ? 2 + ? 2 в ормуле (26), имеющего
вид нетривиального сравнения ? ? ? ? 1(mod 2) .
Автор выражает благодарность научному руководителю, проессору Валерию
Николаевичу Берестовскому за внимание и ценные замечания при написании настоящей статьи.
Summary
The Laplae Operator Spetrum on Conneted Compat Simple Rank One
and Two Lie Groups.
V.M. Svirkin.
In the paper we suggest an algorithm for alulation of the Laplae operator spetrum for
real-valued and omplex-valued funtions dened on a onneted ompat simple Lie group
with a bi-invariant Riemannian metri. By means of the algorithm an expliit alulation of
the spetrum is given for all onneted ompat simple Lie groups of rank one and two.
Key words:
form.
Laplae operator, spetrum, Lie group representation, highest weight, Killing
Литература
1.
Оператор Лапласа на однородных нормальных
римановых многообразиях // Матем. труды. 2009. Т. 12, ќ 2. С. 340.
Берестовский В.Н., Свиркин В.М.
2.
Спектр оператора Лапласа на компактных односвязных простых группах Ли ранга два // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем.
науки. 2009. Т. 151, ќ 4. С. 1535.
3.
Дынкин Е.Б., Онищик А.Л. Компактные группы Ли в целом // Усп. матем. наук. 1955. Т. 10, ќ 4(66) С. 374.
Берестовский В.Н., Свиркин В.М.
4.
Адамс Дж.
5.
Понтрягин Л.С.
6.
Бурбаки Н.
руппы и алгебры Ли. лавы IIII. М.: Мир, 1976. 496 с.
7.
Бурбаки Н.
руппы и алгебры Ли. лавы IVVI. М.: Мир, 1972. 334 с.
8.
Лекции по группам Ли. М.: Наука, 1979. 144 с.
Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. 520 с.
Cartan E. Les groupes projetifs qui ne laissent invariante auune multipliity plane //
Bull. So. Math. 1913. V. 41 P. 5394.
Поступила в редакцию
25.01.10
Свиркин Виктор Михайлович
тики им. С.Л. Соболева СО АН.
E-mail: v_svirkinmail.ru
аспирант Омского илиала Института матема-
?ание свойств характеристической решетки в качестве итога рассуждений в џ 1 позволило сормулировать
в следствии 5 алгоритм вычисления спектров лапласианов всех связных компактных простых групп Ли с иксированной простой алгеброй Ли g и биинвариантной
римановой метрикой ? .
На основании следствия 5 в џ 2 вычисляются спектры лапласианов всех связных
компактных простых групп Ли ранга один: SU(2) и SO(3) , а в џџ 35 с учетом
результатов вычислений из статьи [2? задаются спектры лапласианов всех связных
компактных простых групп Ли ранга два: SU(3) и SU(3)/C(SU(3)) , G2 , Spin(5)
и SO(5) .
1.
План поиска спектра лапласиана
связной компактной простой группы Ли
ассмотрим связную компактную простую группу Ли G с биинвариантной римановой метрикой ? . Множество Spec (G, ?) всех собственных значений оператора Лапласа Бельтрами ? на гладких вещественных ункциях, определенных на
(G, ?), с учетом кратности собственных значений, то есть размерности пространств
соответствующих собственных ункций, называется спектром оператора Лапласа. Некоторые общие понятия и результаты, относящиеся к оператору Лапласа Бельтрами, его собственным значениям и собственным вещественным ункциям
на компактных римановых многообразиях класса C ? , указаны в [1?. Лапласиан
естественным образом обобщается на комплекснозначные ункции. ассмотрим
комплексный случай подробней.
Пусть (N, ?) компактное риманово многообразие класса C ? с метрическим
тензором ? , f комплекснозначная ункция на (N, ?) , вещественная fR := Re f
и мнимая fI := Im f части которой являются вещественными ункциями класса
C 2 . Лапласиан комплекснозначной ункции f по определению равен комплекснозначной ункции
?f := ?fR + i?fI .
(1)
Пусть E?C и E?R являются соответственно пространствами комплексных и вещественных собственных ункций, отвечающих собственному числу ? . Из ормулы (1) следует, что вещественные ункции g, h ? E?R задают комплекснозначную
ункцию f = g +ih ? E?C , и, наоборот, вследствие однозначности разложения комплекснозначной ункции f на вещественную g = Re f и мнимую h = Im f части
ункция f ? E?C отвечает двум вещественным ункциям g, h ? E?R . Таким образом, множества собственных значений лапласиана для пространств вещественных
и комплекснозначных ункций совпадают и имеют место соотношения E?C = E?R +
+ iE?R и dim C E?C = dim R E?R . Получаем
Предложение 1. Спектры лапласиана для пространств комплексных и вещественных ункций на компактном римановом многообразии класса C ? совпадают.
Вычисление кратности собственного значения, а значит, и самого спектра, лапласиана проще вести в комплексном случае, чем в вещественном. Поэтому при
составлении плана поиска спектра лапласиана для связной компактной простой
группы Ли G будем следовать ходу рассуждений џ 1 в [2?, опирающемуся на приводимые ниже аналоги теорем из [1?, сормулированные в комплексном случае.
СПЕКТ ЛАПЛАСИАНА ПОСТЫХ УПП ЛИ АНА ОДИН И ДВА
221
Далее lg (соответственно rg ) обозначает отображение lg : h ? G ? gh ? G (соответственно rg : h ? G ? hg ? G ); dg (инвариантная) вероятностная мера Хаара
на G , пропорциональная мере объема µ? , определяемой римановой метрикой ?.
Мера Хаара dg индуцирует инвариантное скалярное произведение в вещественном линейном пространстве L2 (G, dg) , которое естественным образом обобщается
до инвариантного эрмитового скалярного произведения на комплексном линейном
пространстве L2C (G, dg) := L2 (G, dg)+ iL2 (G, dg) . Из ормулы (10) теоремы 30 в [5?
следует, что размерность пространства матричных элементов Mc неприводимого
комплексного представления c равна dc 2 , где dc размерность представления c .
Повторяя ход доказательства теоремы 4.4 в [1? и заменяя неприводимые вещественные представления r на неприводимые комплексные представления c , получаем
аналог указанной теоремы в комплексном случае.
Теорема 1. Пусть G компактная связная группа Ли с биинвариантной
римановой метрикой ?, c некоторое неприводимое комплексное представление
группы G размерности dc . Понимая c как некоторый гомоморизм c : G ? U(dc )
групп Ли, можно утверждать, что все ункции cij : G ? c(g)ij ; i, j = 1, . . . , dc ,
являются линейно независимыми над C собственными ункциями оператора Лапласа ? на (G, ?) с одним и тем же собственным значением ?c . Линейная оболочка Mc этих ункций является прямой суммой dc неприводимых пространств
представления ? : g ? G ? ?(g) группы G (где ?(g) сопоставляет каждой вещественной ункции f на G ункцию ?(g)(f ) := f ? lg?1 ), ограничение которого на
каждое из них эквивалентно c. Выбирая для некоторого представителя c каждого класса эквивалентности неприводимых комплексных представлений группы G
некоторый ортонормированный относительно стандартного скалярного произведения h·, ·i на L2C (G, dg) базис из dc 2 комплекснозначных ункций в Mc , получим
полную в L2C (G, dg) ортонормированную систему (из собственных ункций оператора ? ).
Из теоремы 1 вытекает следствие, аналогичное следствию 1.1 из [2?.
Следствие 1. В обозначениях теоремы 1 получаем, что кратность собственного значения ? равна
X
dc 2 ,
c:?c =?
где c пробегает все классы эквивалентности неприводимых комплексных представлений группы Ли G , отвечающих собственному числу ? .
Прежде чем сормулировать теорему, которая предоставляет способ вычисления ?c и dc через старший вес представления c , аналог теоремы 5.2 [1? для
комплексного случая, изложим необходимые для дальнейшего сведения и рассуждения из џ 5 [1?.
На основании п. 11 џ 3 гл. III и п. 1 џ 6 гл. III книги [6? приведем распространение предложения 5.1 и предшествующих ему рассуждений из [1? на комплексный
случай.
Предложение 2. Для всякой группы Ли G существует соответствие
между неприводимыми линейными комплексными (вещественными) представлениями r группы Ли G и неприводимыми линейными комплексными (вещественными) представлениями ? ее касательной алгебры Ли g , заданное ормулой
? = dr(e) . Если группа Ли G односвязна, то указанное соответствие является
взаимнооднозначным.
222
В.М. СВИКИН
Из предложения 2 следует, что рассмотрение неприводимых представлений
группы Ли G сводится к рассмотрению соответствующих неприводимых представлений ее алгебры Ли g.
Определение 1.
данная ормулой:
Билинейная (симметричная) орма k? на алгебре Ли g , заk? (u, v) = trace(?(u)?(v)),
u, v ? g,
называется ормой, ассоциированной с представлением ? . Форма kad , где
ad(u)(v) := [u, v] присоединенное представление алгебры Ли g, называется ормой Киллинга алгебры Ли g.
Замечание 1. Связная компактная группа Ли G проста тогда и только тогда,
когда алгебра Ли g проста, что эквивалентно неприводимости присоединенного
представления ad . При этом для любого неприводимого ненулевого представления ? алгебры Ли g, орма k? отрицательно определена и пропорциональна скалярному произведению ? .
Опуская детали, скажем, что алгебра Ли g определяет систему корней ? как
некоторое подмножество дуального пространства t(R)? к вещественной орме t(R)
подалгебры Картана t комплексной оболочки k алгебры Ли g . Определяются подсистемы ?+ ? ? положительных корней и ? = {?1 , . . . , ?l } ? ?+ положительных
(линейно независимых) простых корней. Пара (t(R),
(·, ·)) является вещественным
евклидовым пространством, где (·, ·) := := kad t(R) ограничение ормы Киллинга kad алгебры Ли g на подпространство t(R) . Сохраняя то же обозначение,
орму (·, ·) можно перенести на дуальное пространство t(R)? . Более подробная
инормация о системе корней и весов алгебры Ли содержится в џ 5 [1? или џ 1 [2?,
а также в книге [7?.
Определим ункцию {·, ·} следующим образом:
{?, ?} :=
2 (?, ?)
(?, ?)
для ? 6= 0, ? ? t(R)? . Известно, что если ? и ? ? ? , то {?, ?} ? Z . Фундаментальные веса ?1 , . . . , ?l алгебры Ли g определяются однозначно следующими
соотношениями:
{?i , ?j } = ?ij , где ?ij ? символ Кронекера, 1 ? i, j ? l.
(2)
Значение старшего веса для теории линейных представлений видно из следующих
результатов Э. Картана (см. [8?)
Множества весов ?(g) и старших весов ?+ (g) всех неприводимых комплексных представлений комплексной оболочки k простой алгебры
Ли g с ундаментальными весами ?1 , . . . , ?l задаются следующим образом:
Предложение 3.
l
n
o
X
?(g) = ? ? t(R)? ? =
?i ?i , где ?i ? Z ,
(3)
i=1
l
n
o
X
?+ (g) = ? ? t(R)? ? =
?i ?i , где ?i ? Z и ?i ? 0 .
i=1
При этом неприводимое комплексное представление алгебры Ли k с точностью
до эквивалентности определяется своим старшим весом ? ? ?+ (g) .
СПЕКТ ЛАПЛАСИАНА ПОСТЫХ УПП ЛИ АНА ОДИН И ДВА
223
Вследствие ормулы (2) множества ?(g) и ?+ (g) можно задать посредством
отображения {·, ·} :
?(g) = {? ? t(R)? | {?, ?i } ? Z, где 1 ? i ? l},
?+ (g) = {? ? t(R)? | {?, ?i } ? Z и {?, ?i } ? 0, где 1 ? i ? l}.
На основании предложений 2 и 3 и предложения 1.3 из [2?
Следствие 2. Пусть G и G1 связные компактные группы Ли с простой
алгеброй Ли g , при этом группа Ли G1 является односвязной. Пусть, далее,
?(g) , ?(G) и ?(G1 ) ( ?+ (g) , ?+ (G) и ?+ (G1 ) ) множества (старших) весов всех
неприводимых комплексных представлений комплексной оболочки алгебры Ли g ,
групп Ли G и G1 соответственно. Тогда выполняются следующие соотношения:
?(G1 ) = ?(g)
?+ (G1 ) = ?+ (g)
и
?(G) ? ?(g),
и ?+ (G) ? ?+ (g).
Переормулируем теорему 5.2 из [1? для комплексного случая, исходя из предложений 1, 2 и предложения 1.4 из [2?, а также из равенства собственных значений
лапласиана, отвечающих неприводимым комплексному и вещественному представлениям группы Ли с одним и тем же старшим весом.
Теорема 2. Предположим, что биинвариантная риманова метрика ? на
связной компактной простой группе Ли G с алгеброй Ли g и множеством старших весов ?+ (G) определяется скалярным произведением ?(e) = ?kad (минус
ормой Киллинга) на g . Пусть старшему весу ? ? ?+ (G) отвечает неприводимое комплексное линейное представление c : G ? GL(d(? + ?), C) группы Ли
G с собственным значением ?(?) лапласиана ? на (G, ?) . Тогда имеют место
равенства
?(?) = ?[(? + ?, ? + ?) ? (?, ?)],
(4)
Y (? + ?, ?)
d(? + ?) = dimC c =
(5)
,
(?, ?)
+
???
где
?=
1 X
?.
2
+
???
Если ?(e) = ??kad , то все числа в ормуле (4) нужно умножить на 1/? ,
а все остальное оставить без изменений.
Из теоремы 2 и следствия 1 получаем
Следствие 3. В обозначениях теоремы 2 кратность собственного значения
? лапласиана ? на (G, ?) равна
?(?) =
X
Y (? + ?, ?) 2
,
(?, ?)
+
(6)
?: ?(?)=? ???
где ? пробегает все элементы множества ?+ (G) , отвечающие собственному
числу ? .
Из теорем 1 и 2 следует, что вычисление спектра лапласиана связной компактной группы Ли G сводится к поиску множества старших весов ?+ (G) всех ее
224
В.М. СВИКИН
неприводимых комплексных представлений. Согласно предложению 2 в односвязном случае множество ?+ (G) совпадает с множеством ?+ (g) , которое определяется системой корней группы Ли G через ундаментальные веса; в произвольном случае ?+ (G) является лишь некоторым подмножеством множества ?+ (g) ,
причем, как будет показано ниже, множество ?+ (G) совпадает с ?+ (g) только
в односвязном случае и определяет группу G с точностью до изоморизма.
Пусть k комплексная оболочка алгебры Ли g группы Ли G . Тогда для присоединенного представления ad : k ? gl(k) разложение
в прямую сумму весовых подL
пространств (см. џ 1 [2?) имеет вид: k = V0
V? . Из определения подпространства
???
V0 следует, что оно является абелевой, в частности, нильпотентной подалгеброй алгебры Ли k , совпадающей со своим нормализатором. Таким образом, V0 является
подалгеброй Картана. Для удобства будем обозначать V0 через t . Подалгебра t
является максимальной абелевой подалгеброй алгебры Ли k , то есть такой, которая не содержится ни в какой большей абелевой подалгебре. Вследствие того, что
связная компактная абелева группа Ли является тором (п. 2.20 [4?), вещественная
орма t(R) подалгебры Картана t , как максимальная абелева подалгебра алгебры
Ли g , при экспоненциальном отображении exp группы Ли G переходит в максимальный тор T группы Ли G , то есть такой тор, который является подгруппой
группы Ли G и не содержится ни в какой ее большей подгруппе, являющейся
тором. При таком построении тора T непосредственно получаем равенство t(R) =
= L(T ) , где L(T ) касательное пространство тора в единице. Максимальные торы
подробно рассматриваются в главе 4 [4?. В частности, в п. 4.23 [4? доказывается, что
любые два максимальных тора T и T1 сопряжены посредством некоторого внутреннего автоморизма, то есть существует такой элемент x ? G , что T1 = xT x?1 .
Отсюда вытекает следующее замечание.
Замечание 2. Любая конструкция, кажущаяся зависимой от выбора максимального тора (подалгебры Картана), на самом деле с точностью до внутреннего
автоморизма группы Ли G (алгебры Ли g ) не зависит от этого выбора.
Определение 2. Пусть подалгебре Картана t соответствует максимальный
тор T группы Ли G с касательным пространством L(T ) = t(R) в единице.
Тогда целочисленной решеткой I в пространстве L(T ) называется множество
?1
exp (e) , где e единица группы, exp : L(T ) ? T сужение экспонен-
L(T )
L(T )
циального отображения exp на пространство L(T ) .
Из замечания 2 следует, что целочисленная решетка I определена однозначно
для группы Ли G с точностью до внутреннего автоморизма.
Используя свойства экспоненциального отображения exp группы Ли G , получаем равенство exp(L(T )) = T , из которого следует, что сужение exp L(T ) экспоненциального отображения на пространство L(T ) совпадает с каноническим
отображением p тора T . Из свойств отображения p вытекает, что в пространстве L(T ) размерности l можно ввести базис v1 , . . . , vl , при котором L(T ) ?
= Rl ,
l
l
l
?
T = T = R /Z , и вектор x с координатами (x1 , . . . , xl ) в введенном базисе, где
xi ? R , 1 ? i ? l , при отображении p переходит в элемент p(x) тора Tl , где
p(x) = (x1 mod 1, . . . , xl mod 1) . Таким образом, целочисленная решетка I в базисе v1 , . . . , vl совпадает с целочисленной решеткой Zl пространства Rl . Как следствие, целочисленная решетка I является решеткой с базисом v1 , . . . , vl , то есть
свободной абелевой (аддитивной) подгруппой в пространстве L(T ) , порожденной
векторами v1 , . . . , vl . Из п. 6.33 [4? и п. 10 [3, с. 13? получаем
Предложение 4. Целочисленная решетка I , отвечающая некоторому максимальному тору группы Ли G , с базисом v1 , . . . , vl и подмножество I + ? I всех
СПЕКТ ЛАПЛАСИАНА ПОСТЫХ УПП ЛИ АНА ОДИН И ДВА
линейных комбинаций вида
l
P
225
ni vi , где ni ? Z и ni ? 0 при i = 1, . . . , l , задают
i=1
множества весов ?(G) и старших весов ?+ (G) группы Ли G соответственно
следующими равенствами
?(G) = {? ? t(R)? | ?(v) ? Z , для всех v ? I} ,
?+ (G) = ? ? t(R)? | ?(v) ? Z и ?(v) ? 0 , для всех v ? I + .
Корректность данного выше определения обосновывается замечанием 2, ормулой (8) из [2? и инвариантностью скалярного произведения (·, ·) относительно
внутренних автоморизмов группы.
Из предложения 4 следует, что множество ?(G) является решеткой и что поиск
множества ?+ (G) сводится к поиску решетки ?(G) . Множество весов ?(G) называется также характеристической решеткой группы Ли G . Характеристическая
решетка подробно рассматривается в [3? и в добавлении А.Л. Онищика в книге [4?.
Приведем основные результаты о характеристической решетке ?(G) (см. [4?).
Определение 3. Пусть E евклидово пространство. Наряду со скалярным
произведением (·, ·) будем рассматривать в E ункцию {·, ·} , линейную лишь по
первому аргументу и заданную ормулой
{?, ?} =
2 (?, ?)
,
(?, ?)
где ?, ? ? E.
Системой корней в E называется пара (?, E) (кратко ? ), обладающая следующими свойствами:
1) ? является конечным подмножеством E и 0 ?
/ ?;
2) если ? ? ? , то ?? ? ? , но c? ?
/ ? для любых c ? R , c 6= ±1 ;
3) если ? ? ? и P? = {? ? E | (?, ?) = 0} , то отражение ?? в гиперплоскости
P? переводит ? в себя;
4) {?, ?} ? Z для любых ?, ? ? ? .
Примером является описанная выше система корней ( ? , t(R)? ) группы Ли G
со скалярным произведением (·, ·) = kt(R)? , индуцированным ормой Киллинга.
Пусть (?, E) система корней и ?1 , . . . , ?l ее простые корни, тогда система
(?, E) задает две замкнутые подгруппы ?0 (?) и ?1 (?) группы E относительно
операции сложения: ?0 (?) подгруппа, порожденная системой ? , то есть
l
n
o
X
?0 (?) = ? ? E ? =
nj ?j , где nj ? Z ,
j=1
?1 (?) подгруппа, являющаяся дуальной к системе ? относительно ункции
{·, ·} :
?1 (?) = {? ? E | {?, ?j } ? Z, где j = 1, . . . , l} .
Согласно свойству 4) определения 3 верно включение ?0 (?) ? ?1 (?) . Из определения подгруппы ?0 (?) непосредственно следует, что ?0 (?) является решеткой
с базисом, состоящим из простых корней. Простые корни компактной полупростой
группы Ли G составляют базис в пространстве t(R)? (см. п. 12 [3, с. 15?). Поэтому в случае связной компактной полупростой группы Ли G из ормулы (3)
получаем, что ?1 (?) = ?(g) и ?1 (?) является решеткой с базисом, состоящим
из ундаментальных весов ?1 , . . . , ?l .
ешетки ?0 (?) , ?(G) и подгруппа ?1 (?) обладают важными свойствами (см.
[4, . 134?), представленными в следующем утверждении.
226
В.М. СВИКИН
Предложение 5. Пусть G связная компактная группа Ли. Тогда решетка
?(G) связана с решеткой ?0 (?) и подгруппой ?1 (?) следующими соотношениями:
?0 (?) ? ?(G) ? ?1 (?),
(7)
причем в этой цепочке аддитивных подгрупп группы t(R)? каждая предыдущая
является подгруппой следующей, при этом
?1 (?)/?(G) ?
= ?1 (G),
?(G)/?0 (?) ?
= C(G),
где ?1 (G) ундаментальная группа, а C(G) центр группы Ли G
Утверждение о том, что характеристическая решетка ?(G) любой связной компактной группы Ли G с системой корней ? удовлетворяет соотношению (7), можно
обратить. Для более точной ормулировки обратного утверждения введем понятие
изоморизма системы корней.
Определение 4. Пусть ( ?1 , E1 ) и ( ?2 , E2 ) две системы корней.
Изоморизмом систем ( ?1 , E1 ) и ( ?2 , E2 ) называется линейный изоморизм
? : E1 ? E2 , отображающий ?1 в ?2 и удовлетворяющий условию {?(?), ?(?)} =
= {?, ?} , где ?, ? ? ?1 .
Основная теорема классиикации связных компактных групп Ли ормулируется следующим образом.
Теорема 3 [4, теорема 1 с. 134?. Пусть G1 и G2 связные компактные
группы Ли, T1 и T2 их максимальные торы, E1 = L(T1 )? , E2 = L(T2 )? . Для
всякого изоморизма ? : E1 ? E2 систем корней (?1 , E1 ) и (?2 , E2 ) , удовлетворяющих условию: ? (?(G1 )) = ? (G2 ) , существует такой изоморизм ? : G1 ?
? G2 групп Ли G1 и G2 , переводящий T1 в T2 , что ?? |L(T ) = ???1 .
Далее, для любой системы корней (?, E) и любой решетки ? максимального
ранга в E , удовлетворяющей условию ?0 (?) ? ? ? ?1 (?) , существуют связная
компактная группа Ли G , максимальный тор T ? G и изоморизм ? : E ?
? L(T )? систем корней ? и ?(G) , для которого ? (?) = ? (G) .
ассмотрим семейство связных компактных полупростых групп Ли с алгеброй
Ли g . Вследствие теоремы 3 это семейство с точностью до изоморизма групп
Ли совпадает с семейством всех возможных решеток максимального ранга, удовлетворяющих соотношению (7). Таким образом, основную роль в классиикации
полупростых групп с заданной алгеброй Ли играет максимальная ундаментальная группа ?1 (?)/?0 (?) . Приведем из добавления А.Л. Онищика в книге [4? все
максимальные ундаментальные группы для простых неабелевых алгебр Ли:
Тип ?
?1 (?)/?0 (?)
Al
Zl
Bl , Cl , E7
Z2
D2s
Z2 ? Z2
D2s+1
Z4
E6
Z3
E8 , F4 , G2
0
Из теоремы 3 и предложения 5 получаем
Следствие 4. Пусть максимальная ундаментальная группа ?1 (?)/?0 (?)
алгебры Ли g имеет простой порядок. Тогда семейство неизоморных связных
компактных групп Ли с алгеброй Ли g состоит из двух групп: односвязной группы Ли G1 с центром ?1 (?)/?0 (?) и решеткой весов ?1 (?) , совпадающей с решеткой весов алгебры Ли ?(g) , и группы Ли G0 без центра с ундаментальной
группой ?1 (?)/?0 (?) и решеткой весов ?0 (?) .
СПЕКТ ЛАПЛАСИАНА ПОСТЫХ УПП ЛИ АНА ОДИН И ДВА
227
Замечание 3. Из таблицы максимальных ундаментальных групп, приведенной выше, получаем, что следствие 4 применимо к алгебрам Ли со следующими
типами систем корней: сериям Bl и Cl , Ap , где p простое число, и ко всем
исключительным алгебрам Ли.
Вследствие того, что корни алгебры Ли являются весами присоединенного представления и старшинство веса определяется порядком, описанным, например, в
п. 12 [3, с. 15?, получаем, что старшим весом присоединенного представления ad
комплексной оболочки простой алгебры Ли g является максимальный по высоте
(сумме компонент разложения на простые корни) корень, обозначаемый в книге [7?
как ?
e . На основании приведенных выше рассуждений и теорем 2, 3, а также следствия 3 и предложения 5 сормулируем правило вычисления спектров лапласианов
всех связных компактных простых групп Ли G с иксированной алгеброй Ли g ,
предполагая использование табл. IIX [7? (в которых ? обозначает вектор ? ).
Следствие 5. Для вычисления спектров лапласианов всех связных компактных простых групп Ли с простой алгеброй Ли g и биинвариантной римановой
метрикой ? с условием ?(e) = ??kad нужно выполнить следующие действия:
1) вычислить выражение b := he
? + ?, ?
e + ?i?h?, ?i , предполагая, что относительно скалярного произведения h·, ·i (на t(R) ) векторы ?i из соответствующей
таблицы книги [7? взаимно ортогональны и единичны, где ?
e старший (максимальный) корень;
1
2) взять скалярное произведение (·, ·) = h·, ·i ;
b
3) найти ундаментальные веса ?1 , . . . , ?l алгебры Ли g (если g имеет
ранг l ) по соответствующей таблице из [7?;
l
P
4) для каждого старшего веса ? ? ?+ (g) , то есть для каждого ? =
? j ?j ,
j=1
где ?j ? Z и ?j ? 0 при j = 1, . . . , l , найти собственное число ?(?) оператора
Лапласа, отвечающее старшему весу ? , по ормуле (4), деленной на ? , и размерность d(?+?) неприводимого комплексного представления комплексной оболочки
алгебры Ли g со старшим весом ? , применяя ормулу (5);
5) для каждой решетки ?(G) , удовлетворяющей соотношению ?0 (?) ?
? ?(G) ? ?1 (?) , где ?0 (?) и ?1 (?) решетки, порожденные простыми корнями и ундаментальными весами, найденные в п. 1) и п. 3) соответственно,
G группа Ли с алгеброй Ли g , соответствующая характеристической решетке
?(G) , выполнить следующие три пункта;
6) найти множество старших весов ?+ (G) = ?(G) ? ?+ (g) , задав его через
ундаментальные веса ?1 , . . . , ?l ;
7) для каждого старшего веса ? ? ?+ (G) найти из п. 4) собственное число
?(?) и размерность d(? + ?) неприводимого комплексного представления, отвечающих весу ? ;
8) найти кратность каждого собственного значения ? , применяя ормулу
(6), получив таким образом спектр Spec (G(?), ?) группы Ли G , отвечающей
характеристической решетке ?(G) .
Таким образом, получаем все спектры Spec (G, ?) групп Ли G с алгеброй Ли
g и метрикой ? .
Замечание 4. В ормулах (5) и (6), применяемых в п. 4) и п. 8) следствия 5,
вместо (·, ·) можно использовать любое пропорциональное ему скалярное произведение, в частности h·, ·i из п. 1) следствия 5.
Ниже, используя следствие 5, найдем спектры лапласиана всех связных компактных простых групп Ли ранга один: SU(2) , SO(3) и ранга два: SU(3) , G2 ,
Spin(5) , SU(3)/C(SU(3)) , SO(5) . В случае ранга два будем опираться на результаты вычислений из статьи [2? для односвязных групп Ли.
228
В.М. СВИКИН
2.
Вычисление спектра лапласиана групп
SU(2)
и
SO(3)
руппам Ли SU(2) и SO(3) соответствует алгебра Ли su(2) с системой корней A1 . Применяем табл. I из книги [7?. Единственным простым корнем является
орма ?1 = ?1 ? ?2 , при этом ?1 + ?2 = 0 . Из последнего равенства получаем
1
?1 = ?
e = 2?1 и ? = ?1 = ?1 .
2
1) b = he
? + ?, ?
e + ?i ? h?, ?i = 8 h?, ?i = 8 .
1
2) (·, ·) = h·, ·i .
8
1
3) Единственным ундаментальным весом является орма ?1 = (?1 ? ?2 ) =
2
= ?1 .
4) Пусть ? = ?1 ?1 ? ?+ (su(2)) , где ?1 ? Z и ?1 ? 0 ; тогда ? + ? = (?1 +
+1)?1 = ??1 , где ? = ?1 +1 и ? ? N . Найдем собственное число ?(?) , отвечающее
старшему весу ? , разделив на ? правую часть ормулы (4):
1
1
1
?(?) = ? [(? + ?, ? + ?) ? (?, ?)] = ? [(??1 , ??1 ) ? (?1 , ?1 )] = ? (? 2 ? 1).
?
?
8?
Теперь вычислим размерность d(? + ?) неприводимого комплексного представления, отвечающего старшему весу ? , по ормуле (5):
d(? + ?) =
(??1 , 2?1 )
= ?.
(?1 , 2?1 )
5) Указанные выше простой корень ?1 и ундаментальный вес ?1 алгебры Ли
su(2) задают соответственно решетки ?0 (A1 ) и ?1 (A1 ) следующим образом:
?0 (A1 ) = {?1 ?1 | ?1 ? Z} = {2?1 ?1 | ?1 ? Z},
(8)
?1 (A1 ) = {?1 ?1 | ?1 ? Z}.
(9)
Получаем, что максимальная ундаментальная группа алгебры Ли su(2) равна
?1 (A1 )/?0 (A1 ) ?
= Z2 , то есть имеет простой порядок, поэтому решеток ?(G) , удовлетворяющих соотношению (7), существует всего две: ?0 (A1 ) и ?1 (A1 ) . На основании предложения 5 решетке ?1 (A1 ) соответствует односвязная группа Ли с алгеброй Ли su(2) , то есть группа Ли SU(2) , а решетке ?0 (A1 ) неодносвязная
группа Ли с алгеброй Ли su(2) , то есть группа Ли SO(3) .
а) Приведем ормулы, задающие спектр лапласиана группы Ли SU(2) .
6а) Из ормулы (9) получаем множество старших весов группы Ли SU(2)
?+ (SU(2)) = {?1 ?1 | ?1 ? Z и ?1 ? 0}.
7а) Пусть ? = ?1 ?1 ? ?+ (SU(2)) , тогда из п. 4) получаем:
?(?) = ?
1 2
(? ? 1),
8?
d(? + ?) = ?,
(10)
(11)
где ? = ?1 + 1 , ? ? N .
8а) Применяя ормулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратность собственного значения ? :
X
?(?) =
? 2 = 1 ? 8??.
? 2 =1?8??;
??N
СПЕКТ ЛАПЛАСИАНА ПОСТЫХ УПП ЛИ АНА ОДИН И ДВА
229
Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно
3
?
и соответствует неприводимому комплексному представлению группы Ли
8?
SU(2) со старшим весом ?1 . азмерность этого представления равна 2 . Крат3
24?
ность собственного значения ?
равна 1 +
= 4.
8?
8?
б) Приведем ормулы, задающие спектр лапласиана группы Ли SO(3) .
6б) Из ормулы (8) получаем множество старших весов группы Ли SO(3)
?+ (SO(3)) = {2?1 ?1 | ?1 ? Z и ?1 ? 0}.
7б) Пусть ? = 2?1 ?1 ? ?+ (SU(2)) , тогда из п. 4) собственное число ?(?) и
размерность d(? + ?) вычисляются по ормулам (10) и (11) соответственно, где
? = 2?1 + 1 , ? ? N и ? ? 1(mod 2) .
8б) Применяя ормулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратность собственного значения ? :
X
?(?) =
? 2 = 1 ? 8??.
? 2 =1?8??;
??N, ??1(mod 2)
Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно
1
? и соответствует присоединенному представлению группы Ли SO(3) со стар?
шим весом 2?1 . азмерность этого представления равна 3 . Кратность собствен1
8?
ного значения ? равна 1 +
= 9.
?
?
3.
Вычисление спектра лапласиана групп
SU(3)
и
SU(3)/C(SU(3))
руппам Ли SU(3) и SU(3)/C(SU(3)) соответствует алгебра Ли su(3) с системой корней A2 . Применяем табл. I из книги [7?. Простыми корнями являются
ормы {?1 = ?1 ? ?2 , ?2 = ?2 ? ?3 } , при этом ?1 + ?2 + ?3 = 0 .
Приведем результаты вычислений в первых четырех пунктах, взятые из џ 2 [2?.
1) b = 6 .
1
2) (·, ·) = h·, ·i .
6
1
1
3) Фундаментальные веса имеют вид: {?1 = (2?1 ? ?2 ? ?3 ), ?2 = (?1 + ?2 ?
3
3
? 2?3 )} .
4) Пусть ? = ?1 ?1 + ?2 ?2 ? ?+ (su(3)) , где ?1 , ?2 ? Z и ?1 , ?2 ? 0 , тогда
? + ? = ?1 ?1 + ?2 ?2 , где ?1 = ?1 + 1, ?2 = ?2 + 1 и ?1 , ?2 ? N . Собственное число
?(?) , отвечающее старшему весу ? , равно
i
1 h 2
?(?) = ?
(?1 + ?1 ?2 + ?22 ) ? 3 .
(12)
9?
азмерность d(? + ?) неприводимого комплексного представления, отвечающего старшему весу ? , равна
1
?1 ?2 (?1 + ?2 ).
(13)
2!
5) Указанные выше простые корни и ундаментальные веса алгебры Ли su(3)
задают соответственно решетки ?0 (A2 ) и ?1 (A2 ), определенные следующим образом:
?0 (A2 ) = {?1 ?1 + ?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z},
d(? + ?) =
230
В.М. СВИКИН
?1 (A2 ) = {?1 ?1 + ?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z}.
(14)
После замены переменных {?1 = 2?1 + ?2 , ?2 = ?1 + ?2 } и выражения корней
через ундаментальные веса {?1 = 2?1 ? ?2 , ?2 = 2?2 ? ?1 } решетка ?0 (A2 )
приобретает следующий вид:
?0 (A2 ) = {3?1 ?1 + ?2 (?1 + ?2 ) | ?1 , ?2 ? Z}.
(15)
Определим решетку ?1 (A2 ) в базисе {?1 , ?1 + ?2 } посредством замены переменных {?1 = ?1 + ?2 , ?2 = ?2 } :
?1 (A2 ) = {?1 ?1 + ?2 (?1 + ?2 ) | ?1 , ?2 ? Z}.
(16)
Из ормул (15) и (16) следует, что максимальная ундаментальная группа
алгебры Ли su(3) равна ?1 (A2 )/?0 (A2 ) ?
= Z3 , то есть имеет простой порядок, поэтому решеток ?(G) , удовлетворяющих соотношению (7), существует всего две:
?0 (A2 ) и ?1 (A2 ) . На основании предложения 5 решетке ?1 (A2 ) соответствует односвязная группа Ли с алгеброй Ли su(3) , то есть группа Ли SU(3) , а решетке
?0 (A1 ) группа Ли с нулевым центром и алгеброй Ли su(3) , то есть группа Ли
SU(3)/C(SU(3)) .
а) Приведем ормулы, задающие спектр лапласиана группы Ли SU(3) .
6а) Из ормулы (14) получаем множество старших весов группы Ли SU(3)
?+ (SU(3)) = {?1 ?1 + ?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z и ?1 ? 0, ?2 ? 0}.
7а) Пусть ? = ?1 ?1 +?2 ?2 ? ?+ (SU(3)) , тогда из п. 4) собственное число ?(?)
и размерность d(? + ?) вычисляются по ормулам (12) и (13) соответственно, где
?1 = ?1 + 1, ?2 = ?2 + 1 , ?1 , ?2 ? N .
8а) Применяя ормулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратность собственного значения ? :
X
2
1 ?(?) =
??(? + ?) .
2
(2!)
2
2
? +??+? =3?9??;
?,??N
В џ 2 статьи [2? при подсчете наименьшего по модулю ненулевого собственно4
и соответствует
го значения лапласиана была допущена ошибка, оно равно ?
9?
неприводимым комплексным представлениям группы Ли SU(3) со старшими весами ?1 и ?2 . азмерности этих представлений равны 3 . Следовательно, кратность
4
собственного значения ?
равна 32 + 32 = 18.
9?
б) Приведем ормулы, задающие спектр лапласиана группы Ли
SU(3)/C(SU(3)) .
6б) Из ормулы (15) получаем множество старших весов рассматриваемой
группы Ли
?+ (SU(3)/C(SU(3))) = {(3?1 + ?2 )?1 + ?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z и ?1 ? 0, ?2 ? 0}.
7б) Пусть ? = (3?1 + ?2 )?1 + ?2 ?2 ? ?+ (SU(3)/C(SU(3))) , тогда из п. 4)
собственное число ?(?) и размерность d(? + ?) вычисляются по ормулам (12)
и (13) соответственно, где ?1 = 3?1 + ?2 + 1, ?2 = ?2 + 1 , ?1 , ?2 ? N , ?1 ? ?2 и
?1 ? ?2 ? 0(mod 3) .
СПЕКТ ЛАПЛАСИАНА ПОСТЫХ УПП ЛИ АНА ОДИН И ДВА
231
8б) Применяя ормулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратность собственного значения ? :
X
2
1 ??(? + ?) .
?(?) =
(17)
2
(2!)
2
2
? +??+? =3?9??;
?,??N, ???, ????0(mod 3)
Сделав замену переменных {? = ? + 2?, ? = ? ? ?} , получаем:
?(?) =
2
X
2
? +??+? =1?3??;
??N, ??N?{0}, ?>?
2
1 (? + 2?)(? ? ?)(2? + ?) .
2
(2!)
(18)
Нетрудно проверить, что несмотря на то что определитель матрицы замены переменных ?, ? на переменные ?, ? равен ?3 , условия на ?, ? в ормуле (17) равносильны условиям на ?, ? в ормуле (18).
Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно
1
? и соответствует присоединенному представлению группы Ли SU(3)/C(SU(3))
?
со старшим весом ?1 + ?2 . азмерность этого представления равна 8 . Следова1
тельно, кратность собственного значения ? равна 82 = 64.
?
4.
Вычисление спектра лапласиана группы
G2
руппе Ли G2 соответствует алгебра Ли g2 с системой корней G2 . Применяем
табл. IX из книги [7?. Простыми корнями являются ормы {?1 = ?1 ? ?2 , ?2 = ?
?2?1 + ?2 + ?3 } , при этом ?1 + ?2 + ?3 = 0 .
Приведем результаты вычислений в первых четырех пунктах, взятые из џ 4 [2?.
1) b = 24 .
1
2) (·, ·) =
h·, ·i .
24
3) Фундаментальные веса имеют вид: {?1 = ??2 + ?3 , ?2 = ??1 ? ?2 + 2?3 }.
4) Пусть ? = ?1 ?1 + ?2 ?2 ? ?+ (g2 ) , где ?1 , ?2 ? Z и ?1 , ?2 ? 0 . Вместо ?2
будем использовать ? = ?2 ? ?1 , тогда ? + ? = ?1 ?1 + ?2 ?, где ?1 = ?1 + ?2 + 2,
?2 = ?2 + 1 , ?1 , ?2 ? N , ?1 > ?2 . Собственное число ?(?) , отвечающее старшему
весу ? , равно
i
1 h 2
?(?) = ?
(?1 + ?1 ?2 + ?22 ) ? 7 .
(19)
12?
азмерность d(? + ?) неприводимого комплексного представления, отвечающего старшему весу ? , равна
d(? + ?) =
1
?1 ?2 (?1 + ?2 )(?1 ? ?2 )(?1 + 2?2 )(2?1 + ?2 ).
5!
(20)
5) Указанные выше простые корни и ундаментальные веса алгебры Ли g2
задают решетки ?0 (G2 ) и ?1 (G2 ) соответственно, выразив корни через ундаментальные веса {?1 = 2?1 ? ?2 , ?2 = 2?2 ? 3?1 } , получим
?0 (G2 ) = { (2?1 ? ?2 )?1 + (2?2 ? 3?1 )?2 | ?1 , ?2 ? Z},
?1 (G2 ) = {?1 ?1 + ?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z}.
(21)
Пусть ? это линейное преобразование ? : R2 ? R2 , заданное следующим
образом: (?1 , ?2 ) ? (2?1 ? ?2 , 2?2 ? 3?1 ) . Тогда вследствие того, что ? задается
232
В.М. СВИКИН
целочисленной матрицей с единичным определителем, ? является изоморизмом
решетки Z2 на себя. Поэтому ?0 (G) = ?1 (G2 ) , решетка ?(G), удовлетворяющая
соотношению (7), единственна и совпадает с ?1 (G2 ) . Из предложения 5 следует,
что существует единственная группа Ли G = G2 с алгеброй Ли g2 , причем она
односвязна.
Таким образом, нужно вычислить спектр только для группы G2 с характеристической решеткой ?1 (G2 ) .
6) Из ормулы (21) получаем множество старших весов группы Ли G2
?+ (G2 ) = {?1 ?1 + ?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z и ?1 ? 0, ?2 ? 0 }.
7) Пусть ? = ?1 ?1 + ?2 ?2 ? ?+ (G2 ) , тогда из п. 4) собственное число ?(?) и
размерность d(? + ?) вычисляются по ормулам (19) и (20) соответственно, где
?1 = ?1 + ?2 + 2, ?2 = ?2 + 1 , ?1 , ?2 ? N , ?1 > ?2 .
8) Применяя ормулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратность собственного значения ? :
X
2
1
??(? + ?)(? ? ?)(? + 2?)(2? + ?) .
?(?) =
(5!)2 2
2
? +??+? =7?12??;
?,??N,?>?
Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно
1
?
и соответствует неприводимому комплексному представлению группы Ли G2
2?
со старшим весом ?1 . азмерность этого представления равна 7 . Следовательно,
1
кратность собственного значения ?
равна 72 = 49.
2?
5.
Вычисление спектра лапласиана групп
Spin(5)
и
SO(5)
руппам Ли Spin(5) и SO(5) соответствует алгебра Ли so(5) с системой корней B2 . Применяем табл. II из книги [7?. Простыми корнями являются ормы
{?1 = ?1 ? ?2 , ?2 = ?2 } .
Приведем результаты вычислений в первых четырех пунктах, взятые из џ 3 [2?.
1) b = 6 .
1
2) (·, ·) = h·, ·i .
6
1
3) Фундаментальные веса имеют вид: {?1 = ?1 , ?2 = (?1 + ?2 )} .
2
4) Пусть ? = ?1 ?1 + ?2 ?2 ? ?+ (so(5)) , где ?1 , ?2 ? Z и ?1 , ?2 ? 0 . Вместо
?1 будем использовать ? = ?1 ? ?2 , тогда ? + ? = ?1 ? + ?2 ?2 , где ?1 = ?1 +
+ 1, ?2 = ?1 + ?2 + 2 , ?1 , ?2 ? N , ?2 > ?1 . Собственное число ?(?) , отвечающее
старшему весу ? , равно
?(?) = ?
1
(? 2 + ?22 ? 5).
12? 1
(22)
азмерность d(? + ?) неприводимого комплексного представления, отвечающего старшему весу ? , равна
d(? + ?) =
1
?1 ?2 (?2 ? ?1 )(?1 + ?2 ).
3!
(23)
5) Указанные выше простые корни и ундаментальные веса алгебры Ли so(5)
задают решетки ?0 (B2 ) и ?1 (B2 ) соответственно следующим образом:
?0 (B2 ) = {?1 ?1 +?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z},
?1 (B2 ) = {?1 ?1 +?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z}. (24)
СПЕКТ ЛАПЛАСИАНА ПОСТЫХ УПП ЛИ АНА ОДИН И ДВА
233
После замены переменных {?1 = ?1 + ?2 , ?2 = ?1 + 2?2 } и выражения корней
через ундаментальные веса {?1 = 2?1 ? 2?2 , ?2 = 2?2 ? ?1 } решетка ?0 (B2 )
приобретает следующий вид:
?0 (B2 ) = {?1 ?1 + 2?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z}.
(25)
Из ормул (24) и (25) следует, что максимальная ундаментальная группа
алгебры Ли so(5) равна ?1 (B2 )/?0 (B2 ) ?
= Z2 , то есть имеет простой порядок, поэтому решеток ?(G) , удовлетворяющих соотношению (7), существует всего две:
?0 (B2 ) и ?1 (B2 ) . На основании предложения 5 решетке ?1 (B2 ) соответствует односвязная группа Ли с алгеброй Ли so(5) , то есть группа Ли Spin(5) , а решетке
?0 (B2 ) неодносвязная группа Ли с алгеброй Ли so(5) , то есть группа Ли SO(5) .
а) Приведем ормулы, задающие спектр лапласиана группы Ли Spin(5) .
6а) Из ормулы (24) получаем множество старших весов группы Ли Spin(5)
?+ (Spin(5)) = {?1 ?1 + ?2 ?2 | ?1 , ?2 ? Z и ?1 ? 0, ?2 ? 0}.
7а) Пусть ? = ?1 ?1 + ?2 ?2 ? ?+ (Spin(5)) , тогда из п. 4) собственное число
?(?) и размерность d(?+?) вычисляются по ормулам (22) и (23) соответственно,
где ?1 = ?1 + 1, ?2 = ?1 + ?2 + 2 , ?1 , ?2 ? N и ?2 > ?1 .
8а) Применяя ормулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратность собственного значения ? :
X
2
1
?(?) =
??(? ? ?)(? + ?) .
2
(3!) 2 2
? +? =5?12??;
?,??N, ?>?
Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно
5
?
и соответствует неприводимому комплексному представлению группы Ли
12?
Spin(5) со старшим весом ?2 . азмерность этого пр
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
274 Кб
Теги
ранга, связных, один, спектр, группы, простые, оператора, компактных, лапласа, два
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа