close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Спектральные свойства краевой задачи с производной по нормали в граничном условии для уравнений смешанного типа и их применения.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ
ВЫСШИХ
2003
УЧЕБНЫХ
ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 6 (493)
УДК 517.956
К.Б. САБИТОВ, С.Л. ХАСАНОВА
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ПРОИЗВОДНОЙ
ПО НОРМАЛИ В ГРАНИЧНОМ УСЛОВИИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
СМЕШАННОГО ТИПА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
1. Постановка задачи и основные результаты
Рассмотрим уравнение
Lu uxx + sgn y uyy + u = 0;
(1.1)
где | комплексный параметр, в области D, ограниченной кусочно-гладкой кривой ;, расположенной в полуплоскости y > 0 с концами в точках A(1; 0) и B (0; 1), и характеристиками AC
(x + y = 0) и CB (x ; y = 1) уравнения (1.1) при y < 0.
Обозначим D+ = D \ fy > 0g, D; = D \ fy < 0g. В области D для уравнения (1.1) поставим
следующую задачу.
TN ). Найти значения комплексного параметра и соu(x; y), удовлетворяющие условиям
Спектральная задача (задача
ответствующие им функции
u(x; y) 2 C ( D ) \ C 1 (D [ ;) \ C 2 (D+ [ D; );
Lu(x; y) = 0; (x; y) 2 D+ [ D; ;
@u = 0; (x; y) 2 ;;
@N
u(x; y) = 0; (x; y) 2 AC;
где
@
@N
| производная по нормали к границе
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
; области D+ .
В [1], [2] обнаружены важные приложения краевой задачи с производной по нормали в граничном условии (задача TN ) в трансзвуковой газодинамике. А.В. Бицадзе [3] исследовал задачу
TN для уравнения (1.1) при = 0. В [4] изучена задача TN для уравнения (1.1) при = ;1. В
([5], гл. II, x 6) доказана корректность этой задачи для уравнения
sgn y jyjm uxx + uyy = 0; m > 0:
В данной работе в области D специального вида найдены собственные значения задачи TN
и построена соответствующая система собственных функций. Найденная система собственных
функций исследована на полноту в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области. Затем на основании системы собственных функций задачи TN построены в виде суммы ряда решения задачи TN для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева{
Бицадзе. Ранее аналогичные исследования по задаче Трикоми, Геллерстедта были проведены в
[6]{[8].
64
2. Построение системы собственных функций задачи
TN
и исследование на полноту
Решение задачи Дарбу для уравнения (1.1) с условиями (1.5) и
uy (x; 0) = (x); 0 < x < 1;
в области D; определяется формулой [9]
u(x; y) =
Z x+y
0
p
q
(t)J0 (x + y ; t)(x ; y ; t) dt;
(2.1)
где J0 () | функция Бесселя, > 0 при > 0.
Полагая в формуле (2.1) y = 0, имеем
u(x; 0) =
Z
0
x
p
uy (t; 0)J0 (x ; t) dt; 0 x 1:
(2.2)
Таким образом, задача TN сведена к новой нелокальной эллиптической задаче на собственные значения в области D+ : найти значения параметра и соответствующие им собственные
функции u(x; y), удовлетворяющие условиям (1.2){(1.4) и (2.2).
В общем случае, т. е. когда кривая ; является произвольной, не удается пока найти решение указанной нелокальной задачи, поэтому рассмотрим случай, когда область D+ является
сектором с центром в точке A и радиусом r = 1: 0 < ' < '0 , 0 < r < 1.
В области D+ введем полярные координаты x = r cos ', y = r sin ', 0 < ' < '0 , 0 < r < 1. В
полярных координатах (r; '), разделяя переменные u(x; y) = v(r; ') = R(r)('), получим
2
R00(r) + 1r R0(r) + ; r2 R(r) = 0; 0 < r < 1;
R(0) = 0; R0 (1) = 0;
00 (') + 2 (') = 0; 0 < ' < '0 ;
0 ('0 ) = 0;
Z x
p
R(x)(0) = 0 (0) t;1 R(t)J0 (x ; t) dt; 0 x 1:
0
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Известно, что решением уравнения (2.3), удовлетворяющим первому условию из (2.4), является функция Бесселя
p
R(r) = J ( r); Re > 0:
(2.8)
Подставляя функцию (2.8) в равенство (2.7) и вычисляя интеграл по формуле [10]
Z a
1
J{ (ca ; cx)J (cx)dx = 1 J{+ (ac); a; Re > 0; Re { > ;1;
0
x
получим второе граничное условие для определения функции (')
0 (0) ; (0) = 0:
(2.9)
Решая краевую задачу (2.5), (2.6), (2.9), находим
где Cn = const 6= 0, n = 1; 2; : : : ,
n (') = Cn (cos n ' + sin n ');
(2.10)
n = ' n ; 43 ; n = 1; 2; : : :
0
(2.11)
65
Так как функция (2.8) удовлетворяет второму условию из (2.4), то
p
p
J0 n ( ) = 0:
p
(2.12)
Из теории бесселевых функций ([11], c. 530) известно, что функция Бесселя J0 n () при
n > ;1 имеет только вещественные нули. Тогда, обозначая m-й корень уравнения (2.12) через
n;m , получим собственные значения задачи TN
n;m = 2n;m ; n; m = 1; 2; : : :
(2.13)
На основании формул (2.8), (2.10), (2.13) найдем собственные функции задачи TN в области
D+
un;m(x; y) = vn;m (r; ') = cn;mJn (n;m r)(cos n' + sin n '):
(2.14)
Для построения собственных функций в области D; можно воспользоваться формулой (2.1),
но из-за громоздкости такого подхода воспользуемся методом, предложенным в [12]. Для этого
в области D; введем новые переменные
2
p
= x2 ; y2 ; = ; x2 y; y2 :
Тогда в координатах (; ) уравнение (1.1) примет вид
1
4(1 ; )u + 4 ; u + 2 u + u + 2 u = 0:
2
Разделяя переменные u(; ) = Q()P (), получим
2
P 00 () + 1 P 0 () + ; 2 P () = 0; 0 < < 1;
1
(1 ; )Q00 () + 2 ; Q0 () + 2 Q() = 0:
(2.15)
(2.16)
Решением уравнения (2.15) является функция
p
P () = J ( ); Re > 0:
(2.17)
Уравнение (2.16) является гипергеометрическим уравнением ([13], c. 69). Его общее решение
определяется формулой
1; 1 1 1+
1
=
2
Q() = k1 (1 ; ) F 2 ; ; 2 ; 2 ; ; 1 + k2 F 2 ; 2 ; 1 + ; 1 ; :
(2.18)
На основании известных формул ([13], c. 110) равенству (2.18) придадим более простой вид
y =2 + k x + y =2 :
Q() = k1 xx ;
2
+y
x;y
(2.19)
Тогда в силу (2.17) и (2.19) найдем семейство решений уравнения (1.1) в области D;
=2
x
+ y =2 q 2 2 x
;
y
J (x ; y ) ;
u(x; y) = Q()P () = k1 x + y + k2 x ; y
где Re 0, k1 и k2 | произвольные постоянные.
(2.20)
Из формулы (2.14) вычислим
n;m(x) = un;m (x; 0) = cn;m Jn (n;m x);
@ u (x; 0) = c x;1J ( x):
n;m(x) = @y
n;m
n;m n
n n;m
66
(2.21)
(2.22)
Если в формуле (2.20) положить = n , = 2n;m , k1 = 0, k2 = cn;m , то определится
решение задачи Коши для уравнения (1.1) в области D; с краевыми условиями (2.21) и (2.22).
Следовательно, система собственных функций задачи TN в области D; имеет вид
un;m(x; y) = cn;m
x + y n =2 J q (x2 ; y2 ) :
n
n;m
x;y
(2.23)
Таким образом, объединяя формулы (2.14) и (2.23), получим систему собственных функций
задачи T в области D
;q
8
>
>
<
cn;mJn n;m (x2 + y2 ) (cos n ' + sin n '); (x; y) 2 D+;
un;m(x; y) = > x + y n =2 ;q
>
:cn;m
(x2 ; y2 ) ;
(x; y) 2 D; :
J
n;m
n
x;y
Теорема 1. Система собственных функций (2:24) задачи TN полна в L2 (D+ ).
Доказательство. Допустим, что в L2 (D+ ) существует функция F (x; y ) такая, что
ZZ
F (x; y)un;m (x; y)dx dy = 0
D+
(2.24)
(2.25)
для всех n; m = 1; 2; : : : Покажем, что F (x; y) = 0 почти всюду в D+ . В интеграле (2.25) перейдем
в полярную систему координат x = r cos ', y = r sin '. Тогда с учетом (2.24) получим
0=
'0
Z 1Z
0
0
;q
f (r; ')Jn n;mr (cos n' + sin n')r d' dr =
p
= 2
'0
Z 1Z
0
0
;q
f (r; ')Jn n;m r sin n' + 4 r d' dr:
Произведем замену ' = '0 , тогда, полагая f (r; ') = f (r; '0 =) = g(r; ), n = n ; 3=4, получим
p Z 1 Z '0
;q
2
f (r; ')Jn n;mr sin n' + 4 r d' dr =
0
0
=
где
p
;q
g(r; )Jn n;m r sin n + 4 r d dr =
0 0
p Z1
q
2'0
=
F
(r)Jn n;mr r dr = 0; (2.26)
n
0
Z F (r) = g(r; ) sin + d:
2'0 Z
1Z n
n
4
Из (2.26) имеем, что для функции Fn (r) все коэффициенты ряда Фурье{Бесселя равны нулю,
R1 p
поэтому из теоремы Юнга [11] следует, что Fn (r) 0 (n = 1; 2; : : : ), если интеграл
rjFn (r)jdr
0
существует и абсолютно сходится. В самом деле, из неравенства Коши{Буняковского
Z 1
p
поэтому
2'0
0
sZ
0
0
prjF (r)jdr Z 1 r dr Z 1 Z g(r; ) sin( + =4)d2dr1=2 n
n
0
s
sin2 (n + )d
4
Z 1Z
0
Z
0
0
0
0
g2 (r; )d dr = C kF kL2 (D+) < +1; C = const > 0;
g(r; ) sin(n + =4)d = 0
67
(2.27)
для всех n = 1; 2; : : : при любом r 2 (0; 1). Из результатов [14] следует, что система синусов
fsin(n + =4)g образует базис в L2(0; ). Тогда система функций fsin(n + =4)g полна в
L2 (0; ). Поэтому при каждом r в силу (2.27) множество тех , для которых g(r; ) 6= 0, имеет
меру нуль. В силу теоремы Фубини это означает, что g(r; ) = 0 почти всюду в D+ .
Теорема 2. Если '0 2 (0; =2), то система собственных функций (2:24) задачи TN полна
в L2 (D; ). Если '0 2 [=2; ], то подсистема системы собственных функций (2:24) задачи TN ,
начиная с номера n = 2; 3; : : : , полна в L2 (D; ).
Доказательство. Допустим, что существует функция F (x; y ) 2 L2 (D; ) такая, что
ZZ
F (x; y)un;m (x; y)dx dy = 0
D
(2.28)
для всех n; m = 1; 2; : : : Покажем, что F (x; y) = 0 почти всюду в D; . Проведем в (2.28) замену
переменных 2x = + , 2y = ; . Тогда область D; перейдет в область = f(; ) j 0 < <
< 1g, а интеграл (2.28) запишется в виде
ZZ
f (; )vn;m (; )d d = 0;
(2.29)
где f (; ) = F (x; y), vn;m(; ) = un;m (x; y). Учитывая (2.24), преобразуем интеграл (2.29)
n =2
q
f (; ) Jn ( n;m )d:
0
0
Полагая во внутреннем интеграле = t и меняя порядок интегрирования, получим
0=
p
Z 1
d
Z 1
0=
0
Z
tn=2dt
Z 1
0
q
f (t; )Jn ( n;m 2 t)d:
Затем, заменяя t = r, t = s и меняя порядок интегрирования, имеем
2
0=
Z 1
0
;q
Jn n;m r r dr
Из последнего равенства для функции
Fn (r ) =
Z 1
r
Z 1
r
sn ;1 f (rs; r=s)ds:
f (rs; r=s)sn;1 ds; 0 r 1; n 2 N;
видно, что все коэффициенты ряда Фурье{Бесселя равны нулю, поэтому из теоремы Юнга
следует
Z 1
f (rs; r=s)sn;1 ds = 0
r
для всех n 2 N при каждом r 2 [0; 1].
Рассмотрим систему функций fsn ;1 g. По теореме Мюнца ([15], с. 53) условие
1 1
X
1
= 1; ; < m1 < m2 < ;
k=1 mk
p
необходимо и достаточно для полноты fxmk g1
k=1 в Lp [a; b], a 0, p > 1. В нашем случае при
p = 2, mk = k ; 1 необходимым и достаточным условием полноты системы функций fsn;1 g1n=1
является условие 1 ; 1 > ;1=2. Поскольку n = '0 (n ; 3=4), то система fsn ;1 g1
n=1 полна в L2
при '0 2 (0; =2). Если же '0 2 [=2; ], то подсистема системы fsn ;1 g1
полна
в L2 . Тогда в
n=2
силу этой полноты имеем, что при каждом r множество тех s, для которых f (rs; r=s) 6= 0, имеет
меру нуль. В силу теоремы Фубини это означает, что f (rs; r=s) = 0 почти всюду в D; = f(s; r) :
r < s < 1, 0 < r < 1g и в области D;. 68
Теорема 3.
Система собственных функций
Доказательство.
(2:24) задачи TN
не полна в
L2 (D).
В области D рассмотрим функцию
(
F (x; y) = F1 (x; y); (x; y) 2 D+ ;
F2 (x; y); (x; y) 2 D;
из L2 (D) и интеграл
J=
ZZ
D
F (x; y)un;m (x; y)dx dy =
=
ZZ
D+
F1(x; y)un;m (x; y)dx dy +
ZZ
D;
;
F2 (x; y)un;m (x; y)dx dy = i1 + i2 : (2.30)
В интеграле i1 , переходя к полярным координатам r; '0 , получим
p
;q
'
0
i1 = cn;m
f1 r; Jn n;mr sin n + 4 r d dr =
0 0
p
Z 1
Z q
2'0
'0 sin( + =4)d; (2.31)
=
r
)
r
dr
f
r;
c
J
(
1
n
n;m 0 n n;m
0
;
где n = n ; 34 , n = 1; 2; : : : , f1 r; '0 = F1 (x; y). Интеграл i2 преобразуем к виду
2'0
Z 1Z
i2 = cn;m
Z 1
0
;q
Jn n;m r r dr
Z 1
r
sn;1 f2 (rs; r=s)ds;
(2.32)
где f2 (; ) = F2 (x; y). Теперь, подставляя (2.31) и (2.32) в (2.30), получим
J = cn;m
Z 1
0
;q
Jn n;mr r p
Z 1
2'0 Z '
0
;
1
n
f1 r; sin(n + =4)d + s f2(rs; r=s)ds dr: (2.33)
0
r
Следуя [12], рассмотрим функции
'
0
f1 r; = p 2 '0
1
X
rk ; rk +1 ;
1
(2.34)
k + 1 k (k + 1) hk (');
k=1 k
f2 (rs; r=s) = 1 ; s;
(2.35)
где hk (') | биортогональная система относительно системы синусов sin(n + =4), n = 1; 2; : : : ,
имеющая вид [14]
k
;1 X
Bl =
l
X
m=0
hk () = 2 (2(tgcos==2)2)1=2
(sin n)Bk;n ;
n=1
(2.36)
C1l;=2mC1m=2 (;1)l;m ; Cln = l(l ; 1) n(!l ; n + 1) :
Поскольку hk (') равномерно ограничена по k [14], ряд (2.34) при любом r 1 сходится
равномерно. Подставляя функции (2.34), (2.35) в (2.33), получим, что существует функция
F (x; y) 2 L2 (D) и F (x; y) 6= 0 в D такая, что интеграл J = 0.
69
3. Построение решения краевой задачи
TN
для уравнения Лаврентьева{Бицадзе
Рассмотрим уравнение
Bu uxx + sgn y uyy = 0
(3.1)
в области D, когда область D+ есть сектор единичного радиуса с центром в начале координат:
0 < ' < '0 , 0 < r < 1.
Задача TN . Найти функцию u(x; y ), удовлетворяющую условиям
u(x; y) 2 C ( D ) \ C 1 (D [ ;0 [ AK ) \ C 2 (D+ [ D; );
Bu(x; y) 0; (x; y) 2 D+ [ D; ;
@u = 0;
@N AK
@u = @u = f ('); 0 < ' < ' ;
0
@N @r ;0
где
f
r=1
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
uAC = 0;
| заданная достаточно гладкая функция.
Решая задачу Дарбу для уравнения (3.1) в области D; с условиями
u(x; 0) = (x); x 2 [0; 1]; u(x; ;x) = 0; x 2 [0; 1=2];
(3.6)
можно получить соотношение на отрезке AB оси y = 0
ux(x; 0) ; uy (x; 0) = 0; x 2 (0; 1):
(3.7)
Теперь решим в области D+ следующую смешанную задачу для уравнения Лапласа: найти
функцию u(x; y), удовлетворяющую условиям (3.2){(3.5) и (3.7).
Переходя к полярным координатам (r; ') и разделяя переменные u(x; y) = v(r; ') = R(r)('),
получим
2
R00(r) + 1r R0(r) ; r2 R(r) = 0; 0 < r < 1;
R(0) = 0;
00
2
(') + (') = 0; 0 < ' < '0 ;
0 ('0 ) = 0;
R0 (x)(0) ; Rx(x) 0 (0) = 0; 0 < x < 1;
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
где 6= 0 | постоянная разделения.
Решением уравнения (3.8), удовлетворяющего условию (3.9), является функция
R(r) = r; > 0:
(3.13)
Подставляя функцию (3.13) в условие (3.12), получим
(0) ; 0 (0) = 0:
Решая краевую задачу (3.10), (3.11), (3.14), находим
n (') = Cn sin (n' + =4) ;
где n определяется по формуле (2.11).
70
(3.14)
Следовательно, функции вида
vn(r; ') = Cn rn sin (n ' + =4)
удовлетворяют в области D+ условиям (3.2){(3.4) и (3.7).
Решение задачи (3.2){(3.5) и (3.7) в области D+ будем искать в виде суммы ряда
u(x; y) = v(r; ') =
1
X
n=1
vn(r; ') =
1
X
n=1
fnrn sin (n ' + =4) :
(3.15)
При любом r r0 < 1 ряд (3.15) сходится равномерно и допускает почленное дифференцирование по переменным r и ' любое число раз, за исключением точки (0; 0).
Предположим, что ряд (3.15) допускает почленное дифференцирование по переменной r на
множестве 0 < r 1, 0 ' '0 . Так как ряд (3.15) удовлетворяет граничному условию (3.5),
то
f (') =
1
X
n=1
nfn sin (n ' + =4) ; 0 ' '0 :
(3.16)
В ряде (3.16) произведем замену ' = '0 . Тогда, полагая f (') = f ('0 =) = g(), получим
g() =
1
X
n=1
n fn sin (n + =4) ; 0 ; n = n ; 3=4:
(3.17)
Если функция g() 2 C [0; ]; 2 (0; 1], то в силу результатов работы [14] ряд (3.17) сходится равномерно на [0; ]. Тогда ряд (3.16) также сходится равномерно на [0; '0 ]. Таким образом,
сумма ряда (3.15) непрерывна на D+ и на множестве 0 < r 1 допускает почленное дифференцирование по переменной r. Коэффициенты ряда fn определяются по формуле
1
fn = Z
n 0
1 Z '0
g()hn ()d = n ; 3=4
f (')hn '' d'; n = 1; 2; : : : ;
0
0
(3.18)
hn определяются по формуле (2.36).
Таким образом, сумма ряда (3.15) непрерывна в замкнутой области D+ , в которой допускает
почленное дифференцирование по r и ' за исключением точки r = 0, и на множестве D+ [ AB
имеет производные по r и ' любого порядка.
Полагая в (3.15) ' = 0, найдем функцию
v(r; ')'=0 = u(x; 0) = (x) = p1
1
X
f xn ;
2 n=1 n
(3.19)
которая принадлежит классу C [0; 1] [ C 1 (0; 1). В области D; решение задачи TN определяется как решение задачи Дарбу для уравнения (3.1) с данными (3.6), функция (x) определена
формулой (3.19). Это решение имеет вид
u(x; y) = p1
1
X
f (x + y)n ; (x; y) 2 D; :
2 n=1 n
(3.20)
Поскольку 0 x + y 1 в D; , то ряд (3.20) в D; сходится равномерно и на множестве D; [ AB
допускает почленное дифференцирование по x и y любого порядка.
Таким образом, доказана
71
Теорема 4.
Если
f (') 2 C [0; '0 ], 2 (0; 1],
то единственное решение задачи
TN
суще-
ствует и имеет вид
8P
1
>
<
fnrn sin( n' + =4); (r; ') 2 D+;
n
=1
u(x; y) = > 1 P
1
n
:p
(x; y) 2 D; ;
2 n=1 fn (x + y ) ;
где
fn определяются по формуле (3:18).
4. Построение решения задачи
TN
для уравнения Лаврентьева{Бицадзе
с комплексным параметром
Для уравнения Лаврентьева{Бицадзе с комплексным параметром (1.1) в области D (см. п. 3)
найдем решение следующей задачи.
Задача TN . Найти функцию u(x; y ), удовлетворяющую условиям
u(x; y) 2 C ( D ) \ C 1(D [ ;0 [ AK ) \ C 2 (D+ [ D; );
Lu(x; y) uxx + sgn y uyy + u = 0; (x; y) 2 D;
@u = @u = f ('); 0 ' ' ;
0
@N ; @r r=1
@u = 0;
@N AK
где
f
u(x; y)AC = 0;
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
{ заданная достаточно гладкая функция.
Используя собственные функции (2.24) задачи TN , решение задачи (4.1){(4.4) в области D+
при 6= n;m будем искать в виде суммы ряда
p
1
X
v(r; ') = fn Jn (rp ) sin(n' + =4); 0 < ' '0 ;
n=1 Jn ( )
(4.6)
p
где коэффициенты fn определяются по формуле (3.18), а JJnn((rp)) | ортонормированные собственные функции задачи для уравнения (2.3) с граничным условием R(0) = 0. На основании
асимптотической формулы ([16], c. 217)
1 z n
Jn(z) n! 2 при n ! 1
ряд (4.6) при любом r r0 < 1 сходится равномерно, т. к. при больших n справедлива оценка
p
n
fn Jn (rp ) sin (n' + =4) M r ;
Jn ( )
n
где M = const > 0. Можно также показать, что ряд (4.6) на D+ [ AB допускает почленное
дифференцирование по переменным r и ' любого порядка.
Удовлетворяя функцией (4.6) граничному условию (4.3), получим ряд
1
@u = f (') = X
n fn sin n' + 4 ; 0 ' '0 ;
@r r=1
n=1
равномерная сходимость которого обоснована в п. 3.
Для построения решения задачи TN в области D; воспользуемся формулой (2.23).
72
Из формулы (4.6) находим
1 J (xp)
1 X
v(r; 0) = u(x; 0) = (x) = p
fn n p ; x 2 [0; 1];
2 n=1 Jn ( )
p
1
X
J
(
x
1
n
p ) ; x 2 (0; 1):
n fn
uy (x; 0) = (x) = p
2 x n=1
Jn ( )
(4.7)
(4.8)
Если в формуле (2.23) положить cn;m = p12 Jnf(np) , то сумма ряда от функций un;m (x; y) по
индексу n определяет решение задачи Коши для уравнения (1.1) в области D; с краевыми
условиями (4.7) и (4.8)
1 x + y n =2 J ;p(x2 ; y2 ) 1 X
n
u(x; y) = p
fn x ; y
:
;p 2 n=1
Jn Таким образом, доказана
Теорема 5.
Если
f (') 2 C [0; '0 ], 2 (0; 1], то решение задачи (4:1){(4:5) при всех 6= n;m
существует и имеет вид
81
P
>
>
<
n=1
u(x; y) = > 1
>
: p2
где
p
fn JJnn((rp)) sin (n ' + =4) ;
1
P
n=1
fn
; x+y n =2 Jn
x;y
p(x2 ;y2) ;
Jn
;p (r; ') 2 D+ ;
; (x; y) 2 D; ;
n;m | собственные значения задачи TN , fn определяются по формуле (3:18).
5. Пространственная задача
TN
Рассмотрим уравнение
LW Wxx + sgn y Wyy + Wzz = 0
(5.1)
в области G = D (0; ), где D | область плоскости R2xy , описанная в п. 3. Обозначим S0 =
;0 [0; ], SAK = AK [0; ], z 2 [0; ]; G+ = G \ fy > 0g; G; = G \ fy < 0g.
Задача
TN . Найти функцию W (x; y; z), удовлетворяющую условиям
W (x; y; z ) 2 C ( G ) \ C 1(G [ S0 [ SAK ) \ C 2(G+ [ G; );
LW (x; y; z) 0; (x; y; z) 2 G+ [ G; ;
@W = @W = F ('; z ); 0 < ' ' ; z 2 [0; ];
0
@N S0 @r r=1
@W = 0;
@N SAK
W (x; y; z)y=;x = 0; x 2 [0; 1=2]; z 2 [0; ];
W (x; y; z)z=0 = W (x; y; z)z= = 0;
где
F
| заданная достаточно гладкая функция.
73
(5.2)
В области G, разделив в уравнении (5.1) переменные W (x; y; z ) = u(x; y)Z (z ), получим
u(x; y) 2 C ( D ) \ C 1 (D [ ;0 [ AK ) \ C 2 (D+ [ D; );
uxx + sgn y uyy ; 2 u = 0; (x; y) 2 D;
@u = 0;
@N AK
u(x; y)y=;x = 0; x 2 [0; 1=2];
Z 00 + 2 Z = 0; 0 z ; Z (0) = Z () = 0;
(5.3)
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
где = const > 0.
Задача (5.3){(5.6) есть задача (4.1), (4.2), (4.4) и (4.5), где = ;2. Полагая в формуле (2.1)
= ;2 и учитывая J (ix) = i I (x), получим соотношение
u(x; 0) = 2
x
Z
0
uy (t; 0)I0 [(x ; t)]dt; 0 x 1;
(5.8)
где I0 (t) | модифицированная функция Бесселя, позволяющее свести полученную задачу к
нелокальной эллиптической задаче в области D+ (см. п. 4).
В области D+ , разделяя переменные u(x; y) = v(r; ') = R(r)('), переходим к задаче
2
Rrr + 1r Rr ; 2 + r2 R = 0; 0 < r < 1;
R(0) = 0; jR0 (1)j < +1;
00 (') + 2 (') = 0; 0 < ' < '0 ;
0 ('0 ) = 0;
Z r
(0)R(r) = 0 (0) t;1 R(t)I0 ((r ; t))dt; 0 < r < 1:
0
(5.9)
(5.10)
(5.11)
(5.12)
(5.13)
Решением уравнения (5.11), удовлетворяющим условиям (5.10), является модифицированная
функция Бесселя
R(r) = I (r); Re > 0:
Подставив ее в равенство (5.13), получим второе граничное условие для определения функции
(')
(0) ; 0 (0) = 0:
(5.14)
Решениями уравнения (5.11), удовлетворяющими граничным условиям (5.12) и (5.14), являются
функции
k (') = Ck sin (n ' + =4) ; Ck = const 6= 0:
Таким образом, функции
uk (x; y) = vk (r; ') = Ck In (r) sin (n' + =4)
определяют в области D+ решения уравнения (5.4), удовлетворяющие условиям (5.5) и (5.8).
Решениями задачи (5.7) являются функции
Zn (z) = Bn sin nz; Bn = const 6= 0; = n = 1; 2; : : :
Решение задачи TN в области G+ будем искать в виде суммы ряда
1
X
)
:
W (x; y; z) = V (r; '; z) =
fnk sin nz sin (n' + =4) IIn ((nr
n
)
n
n;k=1
74
(5.15)
Удовлетворив суммой ряда (5.15) граничному условию (5.2), имеем
1
@W = @V = F ('; z) = X
nfnk sin (n ' + =4) sin nz;
@N r=1 @r r=1
n;k=1
где коэффициенты fnk находятся из разложения (см. п. 3)
Pn(') =
1
X
k=1
k fnk sin (k ' + =4) ; 0 ' '0 ;
(5.16)
а функция Pn (') определяется по формуле
2Z
Pn (') =
F ('; z) sin nz dz:
0
Если функция F ('; z ) по переменной ' удовлетворяет на сегменте [0; '0 ] условию Гeльдера
с показателем 0 < 1, то функция Pn (') также удовлетворяет с тем же показателем на
сегменте [0; '0 ] условию Гельдера, поэтому ряд (5.16) сходится равномерно на [0; '0 ].
Ряд (5.15) сходится равномерно в замкнутой области G+ и там допускает почленное дифференцирование по переменной r, за исключением отрезка r = 0, если функция F ('; z ) в замкнутой
области 0 ' '0 , 0 z удовлетворяет условию Гельдера с показателем 0 < < 1 ([17],
c. 364).
Решение задачи TN в области G; имеет вид
; p
n =2
1
2 ; y2
X
x
1
x
+
y
I
n
k
W (x; y; z) = p
f sin nz x ; y
:
Ik (n)
2 n;k=1 nk
Итак, справедливa
Теорема 6.
Если функция
F ('; z)
в замкнутой области
0 < < 1,
области G и оно задается формулами (5:15), (5:17).
творяет условию Г
ельдера с показателем
0
' '0 0 z ,
(5.17)
удовле-
то существует решение задачи
TN
в
Литература
1. Франкль Ф.И. К теории сопел Лаваля // Изв. АН СССР. Cер. Матем. { 1945. { T. 9. { Є 5.
{ C. 387{422.
@ 2 z + @ 2 z = 0 // Изв. АН СССР. Cер. Матем. { 1946. {
2. Франкль Ф.И. К теории уравнения y @x
2
@y2
T. 10. { Є 2. { C. 135{166.
3. Бицадзе А.В. О некоторых задачах смешанного типа // ДАН СССР. { 1950. { Т. 70. { Є 4.
{ C. 561{564.
4. Вострова Л.Е. Смешанная краевая задача для уравнения uxx + sgn y uyy ; u = 0 // Учен.
зап. Куйб. гос. пед. ин-та. { 1958. { Вып. 21. { С. 219{267.
5. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. { М.: Наука, 1970. { 296 c.
6. Моисеев Е.И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения.
{ 1992. { T. 26. { Є 1. { C. 93{103.
7. Сабитов К.Б., Карамова А.А. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применения // Изв. PАН.
Cер. Матем. { 2001. { Т. 65. { Є 4. { C. 133{150.
8. Сабитов К.Б., Кучкарова А.Н. Спектральные свойства решения задачи Геллерстедта для
уравнений смешанного типа и их применение // Сиб. матем. журн. { 2001. { Т. 42. { Є 5. {
С. 1147{1161.
9. Сабитов К.Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения
и их применение при обращении интегральных уравнений. I // Дифференц. уравнения. {
1990. { Т. 26. { Є 6. { C. 1023{1032.
75
10. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции.
{ М.: Наука, 1983. { 750 с.
11. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. I. { М: Ин. лит., 1949. { 799 c.
12. Сабитов К.Б., Тихомиров В.В. О построении собственных значений и функций одной газодинамической задачи Франкля // Матем. моделир. { 1990. { Т. 2. { Є 10. { C. 100{109.
13. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. { М.: Наука, 1965. { 294 c.
14. Моисеев Е.И. О базисности одной системы синусов // Дифференц. уравнения. { 1987. {
Т. 23. { Є 1. { C. 177{179.
15. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. {М., 1965. { 407 c.
16. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. II. Трансцендентные функции.
{ М.: Физматгиз, 1963. { 515 c.
17. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. II. { M.: Наука, 1998. { 448 c.
Стерлитамакский государственный
Поступила
28.03.2002
педагогический институт,
Стерлитамакский филиал Академии
Наук Республики Башкортостан
76
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа