close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Сплошные среды с субструктурой. Часть II

код для вставкиСкачать
37
Каприц Дж. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 37–50
Сплошные среды с субструктурой. Часть II
Дж. Каприц
Факультет математики, Пизанский университет, Пиза, 56127, Италия
Часть I.*
1. Предисловие. 2. Введение. 3. Тела и элементы тел. 4. Предел последовательности тел. 5. Смещение. 6. Движение. 7. Свойства
многообразия M. 8. Распределение субструктур. 9. Деформации.
Часть II.
10. Дополнительные следствия в элементарной механике. 11. Многообразие отображений. Виртуальная мощность. 12.
Законы равновесия. 13. Слабо нелокальные эффекты. 14. Скрытая субструктура. 15. Кинетические тела. 16. Нагрев и
температура в зернистых средах. 17. Волокнистые сплошные среды. 18. Методы многих переменных. 19. Заключение.
10. Дополнительные следствия
в элементарной механике
Когда вид субструктуры ясен, тогда, как уже упоминалось ранее в разделе 3, возможно достаточно эффективно описать ее математически, задавая конечное число
параметров, и предположения элементарной теории
лагранжевых систем можно свести к преимуществу использования уравнений баланса. Однако в большинстве
изложений этой теории полномочия закона равенств сил
действия и противодействия признаются по умолчанию
и не имеют явного обоснования их использования; здесь
кроется опасное стремление к обобщению.
Удивительно, что такое важное утверждение общепринятой элементарной механики почти не играет роли
в элементарной лагранжевой механике. Чтобы убедиться в этом пробеле, нам необходимо только привести явно
обоснованную, очень элементарную лагранжеву систему, для которой закон равенства сил действия и противодействия не выполняется. Пусть x (1) и x ( 2) — две
массовые точки, чье движение ограничено движением
)
без трения вдоль плоской кривой x = x (?) (? — длина
дуги); в качестве лагранжевых координат выберем функ)
ции ? (1) , ? ( 2) от ? такие, что x (i ) = x (? ( i ) ). Тогда можно
было бы предположить, что любая пара функций
? (i ) (? (1) , ? ( 2) ), i = 1, 2, будет выражать обоснованный
закон взаимодействия двух точек или, фактически, что
любая гладкая функция ?(? (1) , ? ( 2) ) может быть выбра* См. Каприц Дж. Сплошные среды с субструктурой. Часть I // Физ.
мезомех. ? 2000. ? Т. 3. ? № 4. ? С. 5?14.
© Каприц Дж., 2000
на в качестве потенциальной энергии. Действительно,
как может удостоверить любой внешний наблюдатель,
справедливо:
? (1) = ?( x (1) ? x ( 2) ) ? t (? (1) ),
? ( 2) = ?( x ( 2) ? x (1) ) ? t (? ( 2) ),
(21)
где ? — общий множитель; t(?) — единичный касательный вектор к кривой в точке ?. Вследствие этого, если,
случайно, t (? (1) ) = ±t (? ( 2) ), тогда ? (1) = m ? ( 2) . В противном случае, если ?(i ) — расстояние от x (i ) до точки,
где нормали к кривой в x (i ) пересекают друг друга,
условие (21) записывается как
? (1) ? ( 2) = ?( 2) ? (1) ,
(22)
(i )
т.е. неудачный выбор функций ? приводит к нарушению принципа равенства сил. В частности, потенциальная энергия рассмотренного выше типа может использоваться, только в том случае, когда кривая представляет
собой окружность.
Общий действенный способ подхода к решению
нашей частной задачи можно найти, используя замечания раздела 6. Задается множество скоростей виртуального жесткого тела, возможных в системе при ? (1)
и ? ( 2), определяется соответствующий бесконечно малый генератор и постулируется независимость виртуальной энергии от наложенной виртуальной скорости
жесткого тела. В нашем случае, бесконечно малые перемещения возможны, если и только если t (? (1) ) =
= ±t (? ( 2) ). В противном случае допустимы только бесконечно малые виртуальные повороты и согласно усло-
38
Каприц Дж. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 37–50
вию (22) они предполагают скорости в элементах x (1) ,
x ( 2) , пропорциональные соответственно ? (1) , ? ( 2 ) .
Таким образом, выбранный пример фактически оказывается тривиальным, если мы посмотрим на систему
“изнутри”, но в случае, когда наш кругозор определяется
диапазоном многообразия допустимых состояний, тогда
“внешняя” точка зрения и интуиция могут подвести.
Предмет обсуждения становится еще весомее в контексте сплошных сред.
Когда вид субструктуры нечеткий, в качестве переменных порядка могут использоваться средние величины и большие моменты, в качестве признаков беспорядка — функции дисперсии и распределения. Тогда
использование понятий аналитической механики представляется, по меньшей мере, недостаточным, если не
совершенно непригодным. Мы должны либо математически разбить на части материальный элемент, допуская, что он состоит из набора составляющих, описываемых дополнительными переменными (для детального описания, тем самым усложняя теорию), или, по
крайней мере, использовать предположения статистической механики (каким-либо образом наложить ограничения на нарушение поведения). В ином случае нам
пришлось бы отказаться от заботливо взлелеянных понятий локального действия, усилий типа Коши, “естественных” граничных условий и других с далеко идущими
последствиями.
11. Многообразие отображений.
Виртуальная мощность
Даже если рассматривать тела без субструктуры,
хотя и не очень простые, использование особой системы
уравнений баланса вызывает иногда полемику: отсюда
стремление использовать более компактные или более
элементарные аксиомы, принятые ранее. Действительно, для материалов второго порядка (случай, которому
обычно уделяется так много внимания) так или иначе
имеются предположения общепринятой теории псевдожесткого тела, таким образом, проблема может быть
не столь актуальной, как в случае более широкой задачи.
Тогда, вместо того, чтобы вновь пытаться отыскать
некоторые указания в динамической теории массовых
точек, мы можем обосновать использование в качестве
фундаментальной основы понятия виртуальной мощности при любых воздействиях на тело и следовать по
пути, вытекающем из этого, используя свойства формальной инвариантности.
Мы проложим этот путь здесь впервые для случая,
близкого к классическому, когда тело представляется
множеством B в ?. Тогда пусть P — многообразие
всех гладких вложений x ( x*), которые таковы, что приводят от области B* к области B ' . Выберем в качестве
естественной топологии топологию C1; свяжем с каждым x ? P все допустимые поля виртуальных скорос-
тей M , тем самым формируя тангенциальное пространство и расслоение TP . Теперь элементы сопряженного пространства T * P являются линейными функционалами ?B (M ) на пространстве дифференцируемых
полей, обладающих топологией C1. Мы интерпретируем их как “работу”, т.е. выражение от виртуальной
мощности. Основная теорема гласит, что работа может
быть представлена как интеграл с помощью вариационной меры Сегева µB , выражающей “нагрузку”, которую выдерживает тело:
?B (u ) =
?
B
u , dµB .
(23)
Здесь скобки , обозначают пару, которая от случая
к случаю требует уточнения и обычно содержит, по
крайней мере, первый градиент от u.
В классическом случае нагрузка включает в себя
объемную (массовую) силу и граничные усилия, но
можно предвидеть большое количество других случаев.
Фактически, соотношение (23) можно выразить более
определенно через векторную меру dmB и тензорную
меру dM B следующим образом:
?B (u ) = ? (u ? dmB + (grad u ) ? dM B ).
(24)
B
Однако второе слагаемое не требует обязательного дифференцирования по граничным силам сцепления. Очевидное подтверждение такого разногласия приведено
ниже.
Формально (23), (24) можно использовать для любого подходящего субтела b тела B , просто подставляя
b вместо B везде, где B появляется. Однако заметим,
что мера зависит от выбора b. В действительности, вид
такой зависимости является сложной проблемой; например, мы можем попытаться удовлетворить свойство
аддитивности, которое используется, если взаимодействия среди элементов тела строго локальны. Если
{bi ; i = 1, 2, ..., r} — любое конечное множество отдельных субтел B , объединение (или, скорее, соединение),
которых совпадает с B ; тогда свойство аддитивности
требует, чтобы
?B (u ) =
r
? ?b (u ).
i =1
i
(25)
Конечно, в классическом случае, когда меры абсолютно непрерывны относительно объема, т.е. существуют поля, скажем g и T, такие что
dmb = gd ( vol), dM b = Td ( vol),
(26)
и они независимы от выбора b, условие (25) автоматически удовлетворяется.
В классическом случае, в качестве альтернативы
(24), мы всегда можем записать
39
Каприц Дж. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 37–50
?
?
? B (u ) = ?u ? d ( vol) + u ? t b d (area),
(27)
?b
b
предусмотрев требование, чтобы усилие tb зависело от
формы b только через линейную зависимость от локальной единичной нормали n
?b tb = T n,
таким образом используется свойство аддитивности.
Тогда g = ?f + divT (заметим, что в первом слагаемом
в (27) множитель ? вводится для дальнейшего удобства).
Выбор (27) — настолько сложная проблема, что было
бы возмутительно предполагать, что этот вопрос исчерпан. То, что дело обстоит не так, как показывает возможное существование линейного сопротивления, вызванного граничным взаимодействием между телами, приводит к выбору ? b в виде суммы трех слагаемых: два
уже учтены в (27) плюс еще одно, которое включает
линейный интеграл по границам ? 2b от b:
?
?
? b (u ) = ?u ? fd ( vol) + u ? tb d (area) +
?b
b
+
?
u ? hb d (length).
(28)
? 2b
Однако будьте осторожны: этот последний случай находится вне рамок изложенного выше контекста и, скорее,
лежит в основе полей, обладающих C 2- топологией.
Другие функциональные параметры все еще остаются неисследованными. Некоторые из них очевидны,
например кусочное (хотя и связное) функциональное
пространство C1 (допускающее структурные деформации); даже кусочное функциональное пространство
C 0 (допускающее положения, порожденные совершенным модельным состоянием в течение процессов резания и сварки), а также пространства компактных функций, допускающих ограниченные процессы, как предусмотрено в разделе 3.
Однако здесь мы ищем путь, пригодный для сплошных сред с лагранжевой субструктурой. Тогда многообразие P всех законченных положений, введенное в
разделе 5, оказывается на переднем плане. Точные утверждения требуют специальных методов, основанных
на результатах Эллиасона и на точном разложении Сегева. Выполним это здесь, чтобы показать, что, пренебрегая некоторыми качественными параметрами многообразия M , мы можем следовать параллельно пути, схематично изложенному выше для стандартного случая.
Прежде всего, необходимо: 1) вести атлас карт многообразия M ; 2) выполнить разбиение единого тела B
так, чтобы в каждом субтеле субструктура имела образ
только на одной карте, 3) упростить его, как если бы
субтело принадлежало бы обычному пространству более высокой размерности, и, наконец, 4) сшить вместе
куски в единое целое. Однако заметим, что следует
осторожно оперировать методами функционального
анализа и дифференциальной геометрии. Заинтересованным читателям лучше обратиться к работам Сегева.
В результате, мы можем создать расслоение TP ,
включающее виртуальные скорости u и виртуальные
быстроты L* и убедиться в существовании двух мер,
выражающих “полную” нагрузку на тело B , так что
работа имеет вид:
?B (u , L ) =
? ( u, dµB
B
)
+ L , d µB .
(29)
И вновь функциональное пространство, где имеются u
и L , играет фундаментальную роль в более точном
представлении (29). Но здесь также накладываются особые требования на M и не только в качестве методической помощи. Предположим, что M обладает специфическими свойствами, которые допускают (физически
значимые) скалярные произведения и ковариантную
производную векторов касательных пространств, и вернемся вновь к обстоятельствам, в которых топология
C1 применима для полей виртуальных скоростей и
быстрот.
С учетом (26) или (27) можно переписать выражение
для ?B (u , L )
?
?b (u , L ) = ?(u ? g + L ? ?) d ( vol) +
b
?
+ (u ? T n + L ? T n) d (area ),
(30)
?b
Здесь ? — вектор котангенциального пространства;
T — линейный оператор от V в этом пространстве.
С точки зрения предостережений раздела 3 относительно свойств многообразия M , по-видимому, необходимо тщательное исследование менее удобных случаев, приводящих к требуемой систематике субструктур, но оно пока отсутствует. Кроме того, зависимость
меры от b может быть сложнее, чем представлялось,
например, в выражении (30), поскольку нелокальность
взаимодействия может быть значительна. В действительности, такое непредвиденное обстоятельство, вероятно, возникает достаточно часто, если субструктуры,
которые представляются как их размерный масштаб,
могут быть сравнимы или даже оказаться меньше, чем
область влияния взаимодействий. Мы настаиваем на
продолжении обсуждения в следующем разделе, несмотря на то, что не имеем сомнений относительно
законности выбранной процедуры. Если бы существовал хоть какой-нибудь намек на альтернативу, то он
был бы использован нами в разделе 13.
12. Законы равновесия
Работу можно отнести на счет части нагрузки или
полной нагрузки, приложенной к телу; однако сущест* В разделе 6 под быстротой условились понимать скорость субструктуры.
40
Каприц Дж. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 37–50
вует фундаментальное свойство общей работы внешних
сил, на которое наше исследование законов равновесия
не распространяется. Это свойство постулируется аксиомой, которую часто называют аксиомой Нолла и к
адаптации которой мы приступим в данных обстоятельствах. Кроме внешних нагрузок необходимо также
учесть нагрузки, вызванные силами инерции. Временно
мы полагаем их учтенными объемными членами f и ?
(см. (30)), хотя для кинетических тел их влияние может
быть очень слабо заметно. Ниже в этом разделе мы
обсудим одно явное уточнение. Идея выбора системы
отсчета требует дальнейшего расширения, поскольку,
как указывалось в конце раздела 6, наблюдатель имеет
в данном случае очень большие возможности для оказания влияния на результаты. Кроме того, он может выбирать копию многообразия M по своему усмотрению, а
также изменять метрику или связность M , если они
не обоснованы физическими обстоятельствами. Аксиома оговаривает все эти рамки свободы.
Аксиома 1. При любом выборе b в совокупности
субтел данного тела B общая работа ? b нагрузки на
субтело b, внешняя по отношению к b, не зависит от
выбора системы координат.
Чтобы прийти к динамическим законам равновесия,
мы должны подробно описать группы Ли и бесконечно
малые генераторы преобразований, возникающие при
смене наблюдателя. На интерференцию субструктуры,
в первую очередь, оказывает влияние относительность
движения, которое в каждый момент времени характеризуется скоростью поступательного движения c и
скоростью вращения M. Два наблюдателя не только
регистрируют другую общую скорость u + c + M Ч x
вместо u, но также другую быстроту L + QM вместо
L.
Если мы введем подобные изменения в выражение
для работы, используя произвольность c и M и свободу
выбора b среди субтел B , получим:
1) из (27): используя известную последовательность,
выражение для tb через тензор Коши T, уравнение равновесия Коши при условии, что T симметричен;
2) из (28) (используя условие (25) для получения
явной зависимости hb от единичной нормали к поверхности ?b и к границе в касательной плоскости) уравнение равновесия Тупина для сплошных сред второго
порядка;
3) из уравнения (29): интегральные условия
? dµ b = 0, ? ( x Ч dµ b + Q
b
T
d µb ) = 0,
(31)
b
приводящие к множеству локальных равновесий, которые зависят от особых мер, которые, в свою очередь, в
частности зависят от b;
4) из (30): вновь классическое уравнение Коши плюс
другое уравнение равновесия:
?QT ? = AT ? div(QT L ).
(32)
Последнее эквивалентно двум условиям, которые мы
предлагаем сейчас записать. Первое условие заключается в том, что div(QT L ) ? AT а также (gradQ T )L ?
T
? AT находятся в области Q , т.е. существует элемент
? в пространстве, котангенциальном к M в ?, такой
что
(33)
QT ? = AT ? (gradM QT )S .
Это соотношение выражает локальное равновесие момента количества движения. Очевидно, что когда влияние субструктуры отсутствует ((?, ?) стремится к нулю)
или когда на интерпретацию субструктуры не оказывает
влияние общее вращение (Q стремится к нулю), для (33)
требуется, чтобы T был симметричен.
Это позволяет нам утверждать, что
T
?? ? ? + div M S ? (нуль-пространству Q );
(34)
Заметим, что здесь и в (33) индекс M указывает на
ковариантный вариант операторов при работе с компонентами. Так как (интервал Q) = (нуль-пространству
QT ), если используется концепция ортогональности,
тогда правая часть уравнения (34) содержит только нулевой ковектор, если и только если интервал Q охватывает
все тангенциальное пространство. В этом случае (34)
приводит к более общему уравнению равновесия:
?? ? ? + div M S = 0.
(35)
Примерами, где используется выражение (35), являются стандартная теория нематиков и теория жестких
сред Коссера. Контрпримерами, где область значений
A не исчерпывается целым тангенциальным пространством, являются теория сплошных сред с тщательно
распределенными пустотами (когда A тождественно
равно нулю), теория нематиков с изменяющейся степенью ориентации (по крайней мере, для уравнения
эволюции параметров, управляющих этой степенью) и
теория аффинных сред Коссера.
Чтобы обеспечить выполнение условия более строгого, чем (34), мы должны напомнить, что временами
наблюдатели могут изменять способ выбора копии M ,
которую они используют как “систему отсчета”. В конце
раздела 6 мы пытались выбрать координаты на M ,
которые не зависели бы от локальной аффинной общей
деформации, однако если бы мы заменили A на L в
приведенных там выражениях, мы могли бы получить
необходимый нам результат касательно индифферентности к вращению. Если k вновь является характеристикой A , тогда система частных дифференциальных
уравнений с ??(? ):
?? ? ? в
???
Ai = 0 (36)
A = 0 или в компонентах
??
?? ?
Каприц Дж. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 37–50
оставляет произвольным выбор m – k функций
??? (? ? ), фиксируя последние k компонент так, чтобы
? ????
???? ??
, ? = l, 2, ..., m (т.е. строки
m векторов ?? 1 , ...,
?? m ??
? ??
якобиана ??? ), принадлежали нуль-пространству A T .
Если предположить, что мощность (30), записанная
через L ? (L ? — быстрота, полученная из решения (36)
при ?L с якобианом ?), причем L произвольна, можно
вплотную приблизиться к требованию
??T ? + divM (?T S ) = 0.
(37)
Более точно, если бы произвольность выбора была
бы расширена до локальных величин градиентов, пришлось бы потребовать, чтобы S стремилось к нулю.
Вклад инерции субструктуры в ?, не выявленный
точно до настоящего времени, обычно незначителен и
различим только в экспериментах, где ? осциллирует с
очень большими частотами. В любом случае, кажется
разумным потребовать, чтобы мощность сил инерции
субструктуры была противоположна производной по
времени от кинетической энергии субструктуры ? (см.
раздел 7). Это условие выполняется, если инерция на
единицу массы совпадает с вариационной производной
? ?? ?? ??
кинетической энергии ?, функция преоб? ? ?
? ??& ? ??
разования Лежандра которой имеет вид:
? ?? ??
(38)
? = ? ? ? ?& ? ?,
? ??& ?
при этом ? совпадает с ?, если она квадратична в ?& .
Однако, вообще говоря, ? и ? различны; в любом случае
предварительное условие для инерции оставляет члены,
свободные от мощности, возможно в данный момент
неопределенные. Детальное теоретическое обсуждение
материала имеет незначительный интерес, исключая
практическую точку зрения, в том случае, когда электромагнитные эффекты не учитываются.
13. Слабо нелокальные эффекты
Само существование нелокальных эффектов или, по
меньшей мере, выбор математических методов для
представления этих эффектов уже обоснованы выше.
Например, гибридное понятие контактного действия, которое зависит от объемных полей, по-видимому,
представляет пример оксиморона* для многих механиков, хотя, возможно, существует специфический интерес для специалистов.
Основы механики сплошных сред были заложены в
19 веке большей частью с использованием эффективных
* Оксиморон — сочетание противоположных по значению слов,
например “живой труп”.
41
математических моделей связей между молекулами,
составляющими тела. Причем связь осуществляется
либо через действие на расстоянии, либо через соударение молекул. В действительности, было очень важно
установить область действия связи, выраженную через
размер решетки или через длину свободного пробега.
Поскольку величина области действия на несколько
порядков меньше диаметра самой маленькой области,
рассматриваемой в механике, превалировали подходы
Коши и Навье, определяющие только градиенты первого порядка (смещений и скоростей соответственно).
В любом случае локальность предлагает возможность
раздельной оценки неопределенных уравнений равновесия, с одной стороны, и граничных условий, с другой.
Нелокальность, в буквальном смысле, где действие в
точке имеет невыраженный функционал полей по области, требует одновременного рассмотрения повсюду для
всех событий. Таким образом, исследования становятся
еще более сложными; этого пути лучше избежать, если
только позволяют обстоятельства.
С другой стороны, как это отмечалось в конце раздела 11, в настоящий момент мы часто имеем дело с
микроструктурами, которые создают поля, распространяющиеся на бoльшие расстояния. Рассмотрим случай пузырьковой жидкости, где единственной переменной субструктуры является объемное отношение пузырьков. Влияние диффузии пузырьков или пульсации
в значительной степени ощущается другими пузырьками. Подобным образом, например, поле, созданное
дислокацией, не разрушается полностью с увеличением
расстояния, что описывается как локальный эффект.
Чтобы попытаться избежать парадокса “силы сцепления”, которая, с одной стороны, косвенно воздействует только на непосредственно прилегающее вещество,
но, с другой стороны, находится под действием отдаленных явлений, мы предложили принять на первых порах
определение Эделена и Лауса остаточной силы или
действия на элемент как функционала полного поля
состояний (законченное положение, деформация и др.),
но, в то же время, считать доказанным “близорукий”
отклик материала и получить, в этом контексте, результаты уловки дистанцирования, как это было предложено
Колеманом и Ноллом, тем самым следуя ходу рассуждений Эрингена. Следовательно, мы приходим к выражению остаточной силы, которое, отчасти, копирует
локальное воздействие силы сцепления. Однако, поскольку копия является результатом процесса аппроксимации, каждый член не имеет отдельного физического смысла, такой смысл имеет только комбинация всех
членов. В частности, тензор, который можно истолковать как результат действия оператора дивергенции,
не должен обязательно подразумевать наличие тензора
сил сцепления.
Для простоты и краткости мы схематично изложим
ниже детали этого предположения в рамках динамики
42
Каприц Дж. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 37–50
обычного тела, которое занимает все пространство, с
учетом малости деформаций. Таким образом, мы предполагаем, что
1) когда используется уравнение Коши, нелокальные
эффекты
) могут учитываться в плотности остаточной
силы f ;
)
2) остаток f в x является функционалом особого
центрального смещения z ( x ) ( a ), т.е. функционалом разности между смещениями y(x + a) и y(x);
3) пространство {z ( x ) (a )} всех соответствующих
полей является банаховым пространством с нормой ,
которая “ослабевает с увеличением расстояния”, т. е.
существует заданная явная положительная функция
влияния g ( a ), которая достигает нуля, когда a возрастает до бесконечности, так что норма задается как
(
12
)
?
?
2
( )
= ? ? z x ( a ) g ( | a | ) d? ? ;
z
?
?
?L )
?
4) функционал f является гладким по отношению
к этой норме, допускающей дифференциалы Фреше
желаемого порядка, скажем 3;
5) когда вводится ?-удаление z ?x (a ) = z x (?a ),
? ? (0, 1], используется теорема дистанцирования Колемана–Нолла:
)
f = ?e1 (grad y ) + ? 2 [e11 (grad y , grad y ) +
( x)
]
+ e2 (grad 2 y ) + ? 3 [e111 (grad y , grad y , grad y ) + (39)
]
+ e12 (grad y , grad 2 y ) + e3 (grad 3 y ) + o(? 3 ),
где e j1 , ..., jk — ограниченные k-линейные формы k переменных;
)
6) при исследовании близких процессов f можно
заменить его аппроксимацией соответствующего порядка, скажем 3. Тогда мы считаем, что тело является “слабо
нелокальным” телом третьего порядка.
Ограничения, налагаемые совместимостью тензоров (e должны быть полилинейны относительно своих
переменных и, вместе с тем, должны быть векторами)
и их объективностью, значительно уменьшают свободу
выбора формулы (39). Действительно, мы обнаружили,
что e1 , e11 , e111 и e3 должны обращаться в нуль, e2 может зависеть, по большей части, от свернутых переменных grad (div y) и ?y = div (grad y); e12 может зависеть
от шести переменных (div y) ?y, E(?y), grad (div y ) 2 ,
2
E(grad div y), grad grad y , (grad 2 y ) E, где E =
= sym grad y. Мы пришли к тому, что вплоть до третьего
порядка ?
)
f = ? 2 (?1grad div y + ?1?y ) +
+ ? 3 {(?3 (div y ) I + ?4 E )?y +
+ (?5 (div y ) I + ?6 E )grad div y +
+ [grad(?7 grad y + ?8 E )]E},
где ?i (i = 1, ..., 8) — константы материала.
(40)
Если ?3 , ?4 , ?6 , ?7 равны нулю, тогда правая часть
(40) может дать вид дивергенции тензора второго порядка. В противном случае мы имеем некоторый вид саморавновесного члена, который нельзя вновь преобразовать, даже формально, в поверхностную силу сцепления. В любом случае, как бы мы не классифицировали
члены, иногда исключительно для простоты рассуждений, мы должны помнить, что если полное
) выражение
имеет смысл в качестве аппроксимации f , то, как правило, части не могут быть связаны с определенным
физическим смыслом.
Неотъемлемый и серьезный недостаток дифференцирования (40) имеет начало в допущении, которое
внешне может проявляться только технически, что B
покрывает все пространство. Действительно, такое
предположение позволяет считать решенными многие
важные спорные вопросы, касающиеся “отражений от”
или “прозрачности” реальной границы B , если B компактно, а также вопросы, связанные с концепциями,
которые сами “внутренние” и “внешние”, особенно в
тех случаях, когда результаты относятся к субтелам. В
любом случае требуется некоторое декларирование в
отношении граничных
) условий, которые должны соответствовать выбору) f . Например, если требуется, чтобы приближение f имело, скажем, третий порядок;
тогда можно ожидать, что граничные эффекты зависят
не только от внешней нормали, но также и от кривизны
границы. Предпосылкой для тщательного исследования
связанных между собой явлений является, вероятно,
исследование последствий слабо нелокального воздействия на субструктуру. Подобное исследование является ключевым, как это указано в вводных замечаниях
к этому разделу, но оно все еще не проведено.
Вопрос, по-видимому, тесно связан со спецификой
неизменности системы отсчета. Предположим, что превалируют условия, рассмотренные в конце раздела 12,
где k — характеристика A — равно нулю. Тогда координаты ? ? могут изменяться посредством произвольного
диффеоморфизма. Чтобы быть уверенным в том, что
формальное выражение для плотности мощности
? ? ?& ? + S ?i ?& ?ji остается неизменным в новых координатах независимо от выбранного диффеоморфизма,
правила преобразования для ? ? и S ?i таковы, что
? ? ? + S ?i;i оказывается ковариантным вектором, а отдельно ? ? — нет.
14. Скрытая субструктура
В разделах 11 и 12 заметную роль играет только работа внешних воздействий; однако, когда на карту поставлен энергетический баланс, роль мощности внешних воздействий (т.е. их работа в ходе реального, а не
виртуального процесса) еще более заметна и она оказывается решающей для характеристики истинных внутренних стеснений. Чтобы продолжить, из многих ре-
43
Каприц Дж. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 37–50
зультатов предположений, изложенных в разделе 12, мы
выбрали наиболее заметное предположение, в котором
динамические уравнения равновесия считаются уравнениями Коши и (32), (35) учитывают инерцию субструктуры, как показано в конце этого раздела:
?&x& = ?b + divT ,
жение ?& в (45), будем считать, что мощность, записанная
для напряжения реакции, стремится к нулю, тогда при
любом выборе F& и его градиента
)? r ? )?
?r
r
?T ij FJj?1 + ? ? ?? + S ?k ? ??
? ?F
?FiJ
?
? iJ
?
)
?
r
?? &
?1
+ S ?k
= 0.
FiJ , K FKk
?FiJ
(41)
T
T
eT = A ? + (gradM A )S ,
(42)
? ? ?? ?? ?? ?
~
? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? + div M S ,
? ? ??& ? ?? ?
?
?
(43)
В результате получим, что
)
)
r
? r
? ? r ?? ? ??
?? ?
F jJ ?? ? ? ? + S ?k ,k ?? ? ?? S ?k
F jJ ,
?FiJ
?FiJ ?? ,
?
? ?
k
r
? ??) ? ?1 ??) ? ?1 ?
S ?k ??
FKk +
FJk ?? = 0.
?FiK
? ?FiJ
?
~
?? — остаток ?? при вычитании инерции.
Если используется скалярное произведение, то
обычный способ оценки мощности приводит к теореме
о кинетической энергии
? ?1
??
? ?? x& + ? ?? d ( vol) ? = ?(b ? x& + ~
? ? ?& ) d ( vol) +
? ?2
?
?
?b
? b
?
?
?
+ (T ? grad x& + ? ? ?& + S ? grad ?& ) d ( vol) +
(44)
(45)
T ij можно выразить через активный вклад ? ? , S ?k в
?иS
r
r
? ??) ?
?
?? ? r
? ??
T ij , j = ?
F jJ ?? ? ? ? ? + ? ? ? S ?k ,k ? . (46)
?? ?
? ??&
?? ?FiJ
?? , j
?
+ (t ? x& + ?& S n) d (area ) ,
?b
и к интерпретации
как плотности мощности внутреннего воздействия. Используя (42), мы можем записать эту плотность в наиболее реальной форме:
?[T ? D + ? ? (?& ? A r ) + S ? grad(?& ? A r ) ?
? ( A T S ) ? grad x ].
Теперь, если имеются ограничения, считается, что
они “совершенны”, если напряжения T , ?, S можно
r
r
r
r
T ij =
Следствием последнего условия является то, что
дивергенция второго члена правой части первого условия стремится к нулю при условии, что дивергенцию
b
?(T ? grad x& + ? ? ?& + S ? grad ?& )
? ?
? ? F&iJ +
? ?
? ,k ?
разложить аддитивно по вкладу реакции T , ?, S , благодаря ограничениям, которые также не зависят от мощности, но во всем остаются произвольны. Тогда возникает проблема вывода “простых” уравнений равновесия, где используются только “активные” компоненты
напряжения.
Нет необходимости приводить здесь многие из увлекательных случаев, которые были рассмотрены, за исключением экстремального случая “скрытой” субструктуры, поскольку он тесно связан с общим движением.
Тогда в тех случаях, где нарушаются некоторые общепринятые свойства, создается необычный “мутант”
обычного тела.
Предположим, что налагается следующее совершенное ограничение:
)
? ? = ? ? (F ),
)
где ? — функция, проявляющаяся, когда общее движение приводит к появлению субструктуры. Введем выра-
r
a
a
Чтобы быть уверенным, что ? ? при любых обстоятельствах исходно появляется в функции, заключенной
в квадратные скобки, ее необходимо выразить через F
)
как функцию ? (F ). Следовательно, строгое уравнение
Коши, где дивергенция реактивного вклада в напряжение Коши может быть получена из (46), содержит
производные по меньшей мере четвертого порядка.
Одна такая смешанная производная появляется в инерционном члене, который можно было бы считать членом
Рейнольдса, так как он появляется от потока количества
движения субструктуры. Отсюда возникает связь с понятиями, присущими кинетическим телам, которые будут
рассмотрены в следующем разделе.
В общем, мы можем видеть, что разность ?(? ? ?& ? ?& )
равна div(S T ?& ), причем вектор S T ?& может рассматриваться как “поток работы внедрения”, используя терминологию Данна и Зеррина. Следовательно, вектор
LT ?& (через его дивергенцию), само собой разумеется,
представлен в энергетическом балансе, где он сравним
с вектором потока тепла и является его дополнением.
Итак, если субструктура явная, ее наличие безусловно
существенно, но если субструктура скрытая, ее наличие
до некоторой степени сбивает с толку, тем более что, в
конечном счете, общая энергия потока, использующаяся
в энергетическом балансе, отличается от возникающей
за счет тепла энергии, которая используется в балансе
энтропии.
44
Каприц Дж. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 37–50
15. Кинетические тела
Уже во введении имелась возможность предупредить
читателя о недоразумениях, которые могут возникнуть
при следовании по проторенному пути эвристического
усреднения совокупности больших молекул или более
сложных объектов, таких как дислокации или еще
бoльшие артефакты, например пузыри в жидкости. Нас
не должен вводить в заблуждение успех, достигнутый
нашими предшественниками, которые использовали
весьма упорядоченное расположение одинаковых атомов. Мы могли бы, в свою очередь, соблазниться примером кинетической теории газов, которая приводит от
динамики массовых точек к динамике сплошной среды
и была использована, в частности, в расширенном варианте градиентной теории, чтобы связать движение
больших скоплений достаточно больших объектов —
от песчинок до камней в планетарных кольцах. Тогда
“субструктуры” и соответствующие дополнительные
поля соответствуют кинетическим. Однако нам следует
быть осторожными при необычном переходе к термической концепции.
Мы должны принять во внимание тот факт, что в
характерных гранулированных потоках не требуется,
чтобы скорость перемешивания была на несколько порядков величины больше средней скорости или скорости любого наблюдателя, как это принято в теории газов.
Единственным способом избежать гарантированных
трудностей может быть вычисление значимых переменных в некоторой внутренней локальной системе
координат. Традиционный способ механики сплошной
среды состоит в использовании общего положения и
градиентов скорости; это путь, которому невозможно
следовать в нашем контексте. Заметим, что сходные
проблемы возникают при анализе колебаний больших
и очень гибких пространственных структур (или, что
нагляднее, движения мыльного пузыря в воздушном
потоке): не требуется, чтобы центр тяжести совпадал с
местом, занимаемым некоторым элементом структуры.
Даже если, по воле случая, имеет место такая ситуация,
то движение в окрестности центра может быть очень
незначительным, чтобы оказывать влияние на общее
движение структуры; отсюда необходимость альтернативного понятия общего поворота. Решение легко найти: система уравнений равновесия количества движения, момента инерции, момента количества движения
может использоваться как инструмент, который позволит нам понять предпосылки, которые дадут возможность получить объективную меру остаточной энергии
перемешивания, при последовательном логичном представлении “термической” концепции.
Предположим вновь, что некоторые следствия элементарной механики влияют на соответствующие законы равновесия, и мы увидим, что стоит пересмотреть
имеющиеся незначительные успехи. Для системы мас-
совых точек потребуются уравнения Эйлера, хотя и с
необычной целью, а именно для того чтобы решить,
какое фиксированное распределение скорости могло бы
мгновенно заменять действительное распределение при
наименьшей разнице с общей кинетической энергией.
Простым решением этой задачи является фиксированное распределение скорости, при котором средняя массовая скорость u относится к центру тяжести, а мгновенная скорость вращения равна J ?1k при общей массе
µ, мгновенном моменте инерции µJ и мгновенном общем моменте количества движения µk. Величины µu&
и µk& в уравнениях Эйлера уравновешиваются соответственно равнодействующей f и равнодействующим
моментом m внешних сил.
Действительно, поскольку J не обязательно константа, она становится более удобной для достижения нашей
цели и требуется соответствующее аффинное распределение скорости с тем же самым минимальным свойством. Несложные алгебраические вычисления показывают, что кинетический тензор B (равный G& G ?1 в смысле, например, (9)) должен выбираться равным K T Y ?1 ,
где µK — мгновенный тензор момента количества движения и µY — тензор инерции Эйлера. Уравнение эволюции для Y включает только B; вместо уравнения эволюции для K используется новый тензор H, вид тензора
Рейнольдса или тензора кинетической энергии, выведенного с учетом “тасования”, т.е. с отличиями между
скоростями реального и смежного аффинного движения. Ниже приведена система уравнений, заменяющая
эйлерову систему:
µ&x& = f ,
µk& = m,
Y& = 2sym(YBT ),
(47)
µ sym( K& ? BK ) = symM + µGHG T ,
µ( H& + 4symG ?1G& H ) = S ,
где M — тензор момента внешних сил и S — подобный
тензор, но учитывающий “тасование”, а не радиус-векторы.
Строго, первые два уравнения имеют отношение к
рассматриваемому вопросу, в то время как последние
три уравнения приводят к общему указанию на перемешивание; но, вообще говоря, эти две системы сильно
связаны.
Условия можно было бы считать кинетическими,
если система не имеет физически значимого модельного
окружения, ее поведение регулируется резким откликом
на текущие условия, и, как следствие, в нашей модели
f, M и S должны зависеть по большей части от u = x&, B
и H. Кроме того, в уравнениях B можно оценить по
отношению к данному окружению и считать совпа& G в данный момент равен I. Тогда наша
дающим с G,
Каприц Дж. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 37–50
дифференциальная система становится системой первого порядка:
µu& = f ,
µY ( B& + B 2 ) ? µH = M T ,
(48)
Y& = 2sym(YBT ),
µ H& + 4symBH = S .
(
)
Эта система заслуживает тщательного исследования
сама по себе, возможно при соответствующем особом
выборе f, M и S.
Менее явным представляется случай, когда f, M и S
зависят также от ? + ?, где ? — потенциальная энергия
внутренних сил при условии, что все они консервативны, или, скорее, если они зависят от способа, которым
массовые точки S можно классифицировать по семействам возрастающей общей энергии. Мы вернемся к этому вопросу в следующем разделе.
Система (48) уже записана в том виде, как это сделано для уравнений эволюции сплошной среды. Теперь
заменим массу плотностью массы ?. Плотность массы
?, а также текущее положение x, текущая локальная
форма G, текущий тензор момента инерции Y и кинетический тензор H являются полями на B.
Закон сохранения массы представляет собой обычный закон, и его двойником для тензора момента инерции является третье уравнение из (48). Формально можно преобразовать первое, второе и четвертое уравнения
из (48) в уравнения эволюции для x, G и H:
)
?&x& = f ,
)
(49)
?( K& ? BK ? H ) = M при K = YB T ,
)
µ H& + BH + HB T = S .
) ) )
Источники f , M , S , отнесенные к единице объема, все еще требуют определения. Их выбор не является
безотлагательным, поскольку не требуется, чтобы эти
источники имели локальный характер и, по меньшей
мере, следует ожидать слабо нелокальных эффектов.
Следовательно, открывается обширное поле исследований, возможно учитывающее термическую концепцию, которая будет принята в расчет в следующем разделе. Здесь мы предлагаем вернуться к особо перспективным альтернативам в некотором важном смысле. И
теория гипоупругости, и градиентная теория для 13
моментов, и расширенная термодинамика предполагают, что локальная форма и ориентация инвариантны:
B = 0, Y = const. Это предположение подразумевает
ненужность
второго уравнения
)
) (49) (полагая также, что
M = ??H ). Кроме
того,
для
постулируется обычная
f
)
форма Коши: f = ?b + divT .
В итоге для T используется особое определяющее
уравнение T = ?H. Что же касается последнего уравнения, отметим, что левая часть является конвективной
(
)
45
)
производной от H. В отношении S следует сказать, что
во всех трех теориях подход к решению задачи типа Коши
связывается с “объемным перемешиванием” и с “потоком тасования”, последнее выражено через гипернапряжение. В трех теориях перемешивание и гипернапряжение выбираются различным образом. По-прежнему,
общий подход невозможен. В несколько менее общем
подходе “перемешивание” имеет, по крайней мере, слабо нелокальный характер, здесь нам могли бы пригодиться результаты, приведенные в разделе 13. Кроме того,
следовало бы учесть в уравнениях состояния зернистую
температуру и другие связанные величины, которые
будут упомянуты в следующем разделе.
16. Нагрев и температура в зернистых средах
Выбор понятий, рассмотренных в этом разделе,
объясняется следующей цепочкой рассуждений. В (48)
и (49) тасование массовых точек вокруг x определяется
полностью тензором H. След тензора H представляет
собой кинетическую энергию, отнесенную к единице
массы в течение тасования, своего рода “зернистого
нагрева”, а поэтому последнее уравнение (49) может
использоваться в качестве тензорного расширения стандартной формулировки энергетического баланса. Рассматривая эту ситуацию, было бы удивительно, если бы
ощущалось влияние других понятий термодинамики.
В этом разделе физики температура играет фундаментальную роль; следовательно, возникает вопрос, как
расширить эту концепцию для использования здесь.
Конечно, мы должны отказаться от расплывчатых, неясных связей с ощущениями горячего или холодного, мы
также не можем ссылаться на эксперименты, где используются термометры, или на эксперименты с совершенными газами. Скорее мы должны следовать и расширять
основные построения статистической механики.
Вернемся, на минуту, к дискретной системе массовых точек, рассмотренной в предыдущем разделе, и
напомним, в удобной здесь форме, привычные фундаментальные понятия. Будем считать, что число точек,
принадлежащих S , очень велико. Следовательно,
“средние” x, k, Y и другие приобретают особое значение.
В то же время, часто случается, что результирующее
действие на S , выраженное через f, M, S, зависит не
только от кинематических переменных, таких как u, B,
H, но также от способа, которым массовые точки можно
разделить на семейства. Каждое семейство содержит
точки с энергией перемешивания 1 2 µ (i ) ( s& (i ) ) 2 ,
уменьшающейся в ограниченном интервале, скажем
[( j ? 1)µ??, jµ??], j = 1, 2, ... . Здесь ? = 1 2 tr ( H ) —
“зернистый нагрев” и ? — безразмерная длина интервала. Доля N j N массовых точек, принадлежащих
j-ому семейству, определена через единицы ? при положительной константе ? j . Тогда можно построить гисто-
46
Каприц Дж. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 37–50
грамму как график кусочно-постоянной функции ? (?),
имеющей величину ? j для ? в интервале [(j – 1) ?, j?).
Функция ? (?) удовлетворяет условию нормировки:
?
?
? (?)d? = ?
?
j
0
?j =
1
N
?
j
j?
0
( j ?1) ?
1
? ??(?)d? = ?j ? j ? ?d? = ?j j? ? j ? 2 ?,
2
с другой стороны,
1 ? ?2
? j? j ? 1 + ?.
j
?
?
?
? ?? (?)d? ? 1 + .
2 0
2
?
Наше исследование будет еще более красноречивым,
если мы попытаемся более детально специфицировать
гистограмму, выбрав меньший интервал ?. Тогда при
сглаживании процесса мы получим график непрерывной функции ? (?) со следующими свойствами:
1) ? (?)d? определяет долю массовых точек с энергией перемешивания в интервале (µ??, µ?(? + d?));
2) используются следующие условия нормировки:
?
?
?
? (?)d? = 1,
0
? ??(?)d? = 1.
0
Существует легкий способ проверить, что последующий выбор ? удовлетворяет всем упомянутым выше
требованиям. Использование специальных безразмерных переменных ? и ? может дать впечатление успешного преобразования формул; в действительности, выбор констант обязателен.
1. Канонический вариант: ? = e ?? для всех ?.
2. Степенной закон: ? = 24(2 + ?) ?4 для всех ?; заметим, что можно было бы рассмотреть и другие отрицательные степени меньше, чем –2, но тогда численный
множитель, очевидно, был бы другим.
3. Кусочно-постоянная:
Для любой константы ? ? [0, 1) примем ?(?) = 0 при
0 ? ? < ? или ? > 2 – ? и
1
(50)
при ? < ? < 2 ? ?;
2(1 ? ?)
предел при ? ? 1 является мерой с атомом в ? = 1.
4. Кусочно-экспоненциальная:
Выберем константы: ? — положительна; ?1 — неотрицательна; ? 2 больше, чем ?1 , и ?.
Возьмем
?(?) =
(51)
?
e
? e ? ?? 2
и ? является решением уравнения
?=
? ??1
(1 + ?? 2 )e ? ??2 ? (1 + ??1 )e ???1
.
e ??? 2 ? e ???1
Для простоты выкладок ниже мы будем использовать ?1 = 0, при условии, что
?
? ( ?) =
e ? ?? для ? ? [0, ? 2 ),
1 ? e ? ?? 2
? (?) = 0 для ? > ? 2
и ? удовлетворяет уравнению
В итоге имеем
1?
где
? (?) = ? e ??? для ? ? [?1 , ? 2 ),
?=
N j = 1.
Второе важное соотношение вывести очень легко.
Заметим, что
?
? (?) = 0 для 0 ? ? < ?1 и ? ? ? 2
? ?1 =
?? 2
.
(52)
1 ? e ? ?? 2
Изучение (52), требующее исключительно точной
оценки порядков величин, показало, что
а) Существует одна и только одна величина ?, удовлетворяющая (52) при любой величине ? 2 > 1. Не существует величин ?, удовлетворяющих уравнению (52)
при ? 2 < 1.
б) Функция ? (? 2 ), соответствующим образом определенная, является строго возрастающей от –? до 1;
она стремится к нулю при ? 2 = 2. В окрестности 2 ее
можно было бы аппроксимировать как
3
? ? (? 2 ? 2).
2
в) Если ? 2 стремится к 1 и ? стремится к –?, тогда
распределение (51) стремится к ?-функции с атомом в
? 2 = 1.
г) Если ? 2 стремится к 2 и ? стремится к 0, распределение (51) становится кусочно-постоянным:
? (?) = 1 2 для 0 < ? < 2 и нулю в противном случае.
д) Если ? 2 стремится к ? и ? стремится к 1, тогда
распределение стремится к каноническому виду.
Если замечания в конце раздела 15 справедливы, знание вида распределения ? становится существенным.
Отсюда возникает необходимость использования другого уравнения (некоторый тип уравнения Больцмана) при
описании эволюции ? (см. следующий раздел). В действительности, часто случается, что либо класс возможных распределений ограничивается на физическом основании и каждое распределение в этом случае определяется несколькими параметрами, или, по крайней
мере, только несколько переменных, связанных с распределением, существенны и необходимы. Такой переменной является зернистая температура, определяемая
ниже.
Рассмотрим производную
47
Каприц Дж. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 37–50
d?
d?
= ?? ,
(53)
d (log ? )
d?
которая является постоянным параметром в случаях а и
д. Будем считать, что для размерного множителя ?
параметр нагретости пропорционален так называемой
“зернистой” температуре. Если случай в рассматривать
как предельный для случая д при ? ? 0, соответствующая нагретость бесконечна. В случае д, при условии
?1 = 0, ? совпадает с ? ?1 , отсюда на графике зависимости нагретости от ? 2 видно, что ? уменьшается
от 0 до –?, если ? 2 изменяется от 1 до 2, и затем уменьшается от +? до 1, если ? 2 стремится к +?. Следует
отметить, что нулевая нагретость может достигаться
только через отрицательные величины. Переход от положительной нагретости к отрицательной, как известно
из экспериментов, может происходить только через бесконечность.
При распределении, отличном от экспоненциального, таком как в случае б, производная (53) не является
постоянной величиной. Мы можем декларировать, что
в таких случаях температура не имеет смысла или приходится использовать среднюю величину производной
?? для ее обоснования.
Более строго было бы считать, как этого требует
обратимость, что ?(?) строго монотонна и положительна
только в интервале (?1 , ? 2 ) ? (?1 , + ? ). Тогда для более слабого определения ? w параметра нагретости мы
получаем:
?=?
? w = ( ? (?1 ) ? ? (? 2 )) ?1
? (?2 )
?
? ( ?1
= ( ? (?1 ) ? ? (? 2 )) ?1
?2
?
?1
d?
d? =
?)
d
(log
)
1
?d? =
.
? (?1 ) ? ? (? 2 )
(54)
Подводя итог, исключим нагретость для приведенных выше специальных распределений и получим:
(а) ? = 1; (б) ?? =
1 ?2
3
.
; (в) ? = ?; (г) ? =
6 ??2
2
В случае д, при условии ?1 = 0, имеем ? = ? ?1 , следовательно ? изменяется при выборе ? 2 , как это было
показано выше.
Параметр нагретости, даже если он определен на
всей реальной оси, все еще остается недостаточным для
замыкания системы (48) или (49) для довольно широкого класса тел. В таком случае мы можем рассмотреть
более общие варианты и постепенно прийти к идее, в
которой используется тензор нагретости, связанный с
распределением перетасовок (т.е. тензоров Рейнольдса). Более точным было бы использование линейного
пространства Sym симметричных тензоров и, в пределах этого, многообразия F определенных неотрицательных тензоров B с характеристикой 1.
Теперь рассмотрим выражение
? ( B)( H ?1d measF ),
которое представляет собой численную долю массовых
точек, имеющих тензор Рейнольдса (µ ( i ) µ) s& (i ) ? s& (i ) в
непосредственной окрестности B на F . Представим,
что гистограмма ? сглажена, так что ?(B) непрерывна,
дифференцируема и интегрируема на F , также как и
ее произведение с B, причем
? ? ( B) H
F
?1
? d ( measF ) = 1,
?
H ?1 B? ( B) H ?1 ? d ( measF ) = 1.
F
Тогда, через несущее множество ? на F , log ? также
становится значимым и можно записать следующее
выражение для тензора нагретости
?
?
?1
Z = ??? d (log ? ) ?? .
? dB ?
(55)
Можно было бы мечтать, используя искусственные
аналогии со стандартными случаями, о ситуации, в
которой H и S являлись бы функциями от Z на физической основе. Тогда последнее уравнение (48) становится уравнением эволюции для Z. Естественно, такие
мечты требуют обоснования с использованием некоторых конкретных случаев, где фантазии приносят плоды. На мгновение мы оставим содержание этого раздела
и обратим внимание на возможный путь, который гораздо шире, чем тот, что доступен при использовании всего
лишь скалярного параметра нагретости, и поэтому, возможно, более пригоден для исследования сыпучих материалов.
Как уже упоминалось, второй важной переменной,
связанной с каждым распределением, является калориметрический параметр ?, который считается пропорциональным энтропии в сыпучей среде. Обоснование
его выражения через ? хорошо известно, здесь достаточно лишь вспомнить его:
?
? = ? (?) log ? (?) d?,
?
(56)
где ? — несущее множество ?.
В некоторых примерах, приведенных выше, ? принимало значения:
а) В каноническом случае ? = 1.
в) В случае кусочно-постоянной величины ? =
= log2(1 – ?); заметим, что 2(1 – ?) является размером
несущего множества ? и обратной величиной к ?. Тот
факт, что ? должно быть больше чем 1 2 (и длина несущего множества должна быть не меньше 1), чтобы обеспечить неотрицательность ?, является слабым отражением (и уплаченной ценой) нашего беспечного сглаживания исходной гистограммы. Это условие имеет
48
Каприц Дж. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 37–50
также слабый отголосок аргумента в пользу существования минимального кванта энергии.
д) В случае кусочно-экспоненциальной величины
?? 2 e ? ??2
?
при ?1 = 0. И здесь ми? = 1 ? log
+
1 ? e ??? 2 1 ? e ??? 2
нимальный размер несущего множества равен 1. На
зависимости ? от ? 2 видно, что ? увеличивается от 0
максимум до 2 + log2 при ? 2 = 2 и затем уменьшается
до 1, в то время как ? 2 ? +?. Если ? выразить через
обратную к нагретости величину ?, тогда с увеличением
? значение ? растет от –? до максимума 2 + log2 при
? = 0, а затем уменьшается до 1 при ? ? 1.
Было бы уместно в конце этого раздела показать
несостоятельность возможного упрека в том, что использование приведенного выше неканонического распределения излишне. В пользу этого случая, говорит
то обстоятельство, что множество гранул в системе, хотя
и велико, но может не быть столь значительным, и влияние общего движения на тасование может оказаться
таким сильным, что распределение может часто, более
того, возможно обычно, оказаться неканоническим. По
меньшей мере, даже если распределение следует экспоненциальному закону, несущее множество может быть
компактным, как в квантовых системах.
17. Волокнистые сплошные среды
Во введении уже был упомянут тот факт, что молекулярные цепочки, которые временами представляют собой сплошную среду, могут быть очень длинными, как
это имеет место, например, в некоторых полимерных
расплавах. Тогда общее движение может влиять на форму цепочек внутри элемента; например, в зависимости
от формы цепочки могут зацепляться одна за другую
или нет.
Также в разделе 16 мы пришли к выводу, что в динамике сыпучих сред удобно переходить к термической
концепции, в этом случае детальные локальные аспекты
определенного распределения играют важную роль.
В обоих случаях субструктура локально характеризуется отнюдь не значением переменной ?, а скорее
функцией ?(?) действительного параметра ?: скажем,
? — длина дуги вдоль цепочки, если ?(?) определяет
форму цепочки, или, в качестве альтернативы, ? —
некоторая мера энергии, если ?(?) связана с молекулами,
обладающими этой энергией. В обоих случаях для определения ?(?) столь же необходимо точно знать локально
предпочтительную систему отсчета. Для этой цели окажутся полезными приведенные в разделе 15 предположения; в качестве альтернативы, пригодной для первого случая и многих подобных, мы можем обратиться
к выбору “формы модели” (например прямой сегмент).
Далее, в соответствии с некоторым выбранным на физической основе критерием мы продолжим определение
для каждого элемента такого размещения формы моде-
ли, которое наилучшим образом соответствует фактическому распределению. Такой процесс обычно приводит к единственному выбору размещения и к некоторому более глубоко обоснованному выбору системы
отсчета. Теперь выбор системы отсчета соотносится с
тем, что разрушение приписывается физическому явлению “плавления” субструктуры или “изменению фазы”.
Предположим, что локальный базис отсчета какимлибо образом выбран, тогда должны быть поставлены
вопросы о том, каковы правила эволюции ?(?) во времени или выбора равновесного состояния при некоторых
условиях.
С этой точки зрения, самый простой подход приводит к добавлению параметра ? к пространственно независимым переменным и появлению предлога для использования аналога уравнения Коши в расширенном
наборе переменных. Мы вернемся к этому подходу в
следующем разделе.
Во втором подходе из других разделов физики привлекается некоторое уравнение эволюции в частных
производных от ? по времени и по ? или интегродифференциальное уравнение (такое как уравнение Больцмана) или оно решается для специфических условий. Оба
подхода предполагают, что на ? влияют только внутренние по отношению к элементу условия, и “забывают” о
потенциальном воздействии соседних элементов.
Причина этого кроется в том, что мы движемся здесь
по terra incognita, чьи земли недостаточно изучены.
Вероятно, было бы неразумно расширять аналогии со
стандартными случаями и выдумывать математические
объекты, которые сводили бы градиенты функций к
градиентам функционалов. Скорее, следовало бы определить корреляции между картой ?(?) в x и картами в
соседних элементах. Тогда взаимодействия можно было
бы связать с подобными корреляциями через определяющие соотношения нового типа. Можно было бы
использовать некоторые идеи теории турбулентности.
Здесь видится вариант, который кажется жизнеспособным и уменьшает трудности без отказа от существенных особенностей: необходимо связать интенсивности взаимодействий с мерами различия между парами размещений форм модели в соседних элементах и в
это же время разрешить, чтобы распределение внутри
каждого элемента следовало бы своим собственным
законам. По-видимому, до настоящего момента, никто
еще не использовал этот путь.
18. Методы многих переменных
Как уже упоминалось в предыдущем разделе, в методах со многими переменными в качестве дополнительных независимых переменных выбираются компоненты
? ? из ?, а не переменная положения x (и время, если
это требуется). Здесь вводится функция распределения
?(?, x), такая что ?(?, x)d? измеряет долю фрагментов
49
Каприц Дж. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 37–50
элемента в положении x, показатель субструктуры которых уменьшается в интервале (?, ? + d?). В этих методах
допускается также, что ? эволюционирует согласно некоторому дифференциальному правилу, возможно выступавшему в роли уравнения массообмена. В итоге, и
это самый сложный для осуществления момент, предполагалось, что существует вклад в общий поток импульса, выраженный через дивергенцию переменных
? ? в уравнении баланса количества движения.
Теория такого типа предлагается в качестве расширения стандартной теории жидких кристаллов-нематиков и используется, с некоторыми изменениями, в
различных обстоятельствах, например при исследовании эволюции семейств ориентаций в поликристаллических телах.
В некоторых современных работах допускается, что
эволюция ? полностью определяется внутренним состоянием каждого элемента и связана с градиентами
переменной ? в некотором слабо нелокальном (на M )
состоянии. В пределах элемента геометрические расстояния не принимаются во внимание. В то же время,
легко видеть, что два фрагмента со слабо отличающимися величинами ? оказывают большее взаимное
влияние, чем два фрагмента, чьи величины ?, в некоторой мере, далеки, независимо от точного расположения этих фрагментов в элементе.
С другой стороны, предположение об исключительно “внутренней” зависимости может оказаться ограничивающим фактором. Это неверно для поликристаллических тел, где эффекты, вызванные пространственными градиентами, почти отсутствуют. В экспериментах с нематиками, напротив, мы легко ощущаем степень
влияния определенных ограничивающих граничных
условий.
Один способ закрыть амбразуру, правда, для других
условий, был уже вскользь упомянут в предыдущем
разделе: необходимо найти каким-либо образом среднюю величину ? для каждого элемента и вообразить,
что такое среднее испытывает влияние средних в соседних элементах таким же образом, как это происходит в
менее сложных теориях, где все фрагменты в элементе
имеют одинаковую величину субструктурной переменной. Извлечем некоторые исходные данные из среднего
(возможно даже из моментов) и опишем внутренние
распределения ? и их внутреннюю эволюцию по сравнению с исходными данными.
Исследования в этих направлениях, по-видимому,
еще впереди. С другой стороны, необходимо сделать
разумные шаги, чтобы получить точное и достоверное
определение среднего. Предварительное вложение многообразия M в линейное пространство S более высокой размерности возможно всегда (для размерности
2m + 1, согласно теореме Уитни). Тогда вычисление
среднего не вызывает затруднений, однако необходимо
заметить, что среднее может выйти за пределы образа
M в S . В некоторых случаях оказывается, что описание субструктуры в S (т.е. при новых затратах работы
в пространстве умеренно высокой размерности, но в
терминах полей, а не переменных) гораздо более интересно, чем в M . Фактически, в S могут быть описаны некоторые важные фазовые преобразования. В конечном счете, для многих целей этот первый шаг, и
связанные с ним ремарки, оказался достаточным, если
не исчерпывающим.
Мы закончим этот раздел упоминанием одного случая из теории жидких кристаллов-нематиков. В этой
теории M — многообразие направлений размерностью
2. Вложение Уитни можно реализовать в линейном
пространстве размерностью 5. Вначале задается взаимно-однозначное соответствие между каждым направлением и тензором n ? n ? (1 3) I , где n — один из двух
единичных векторов, имеющий требуемое направление;
I — единичный. Все эти тензоры принадлежат линейному пространству (размерностью 5) симметричных
тензоров с нулевым следом. Один из них, скажем N,
будет средним, если элемент содержит молекулы с различной степенью ориентации. Главные оси N образуют
систему отсчета, в которой детально определено распределение ориентаций. Кроме того, собственные величины N, назовем их ? i , определяют два параметра,
которые описывают существенные особенности распределения: степень вытянутости s (которую также, по
Эриксену, называют степенью ориентации) в интервале
[? 1 2 ; 1]:
13
?1 3
?
s = 3? ? ? i ?
?2
?
? i =1 ?
и степень трехосности в интервале [0, 1]
12 13
?=3 2
3
? (?i ? ?i +1 )
13
.
i =1
Совершенное упорядочение соответствует величинам s = 1, ? = 0; “плавление” жидких кристаллов происходит, когда обе величины стремятся к нулю. С использованием N в качестве субструктурной переменной было решено множество задач. Оказалось даже возможным расширить в некотором контексте определенные
теоремы топологической теории дефектов.
19. Заключение
По-видимому, среды с субструктурой порождают
своего рода гидру: когда мы представляем себе, что
окончательно нашли надлежащее общее теоретическое
описание, которое решало бы все проблемы, как из
отсеченной головы возникают, по меньшей мере, две
новых проблемы. Большие способности и глубокие
специальные знания позволили исследователям математически правильно описать многие особенные классы
материалов и решить неотложные конкретные задачи.
50
Каприц Дж. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 37–50
Однако обретение полной единой точки зрения все еще
остается открытой проблемой, и оказалось для меня вне
досягаемости, как показала эта статья. Тем не менее,
собрав вместе нерешенные проблемы, мы, возможно,
подтолкнем более проницательного читателя к поиску
пылающего меча, способного прижечь кровавую рану,
до того как появятся новые головы и новые проблемы.
По крайней мере, такая подборка может умерить споры
вокруг недоразумений, возникающих при произвольном
толковании некоторых слов.
Благодарности
Мои исследования были поддержаны Italian
M.U.R.S.T., проект “Математические модели в материаловедении”. Эта работа никогда не была бы написана
без постоянного ободрения редколлегии журнала. Я
хотел бы выразить признательность моему другу Алану
Харрису, который исправлял опечатки в моем английском тексте, возникавшие даже в том случае, когда я
сверялся с Оксфордским словарем.
?астает до бесконечности, так что норма задается как
(
12
)
?
?
2
( )
= ? ? z x ( a ) g ( | a | ) d? ? ;
z
?
?
?L )
?
4) функционал f является гладким по отношению
к этой норме, допускающей дифференциалы Фреше
желаемого порядка, скажем 3;
5) когда вводится ?-удаление z ?x (a ) = z x (?a ),
? ? (0, 1], используется теорема дистанцирования Колемана–Нолла:
)
f = ?e1 (grad y ) + ? 2 [e11 (grad y , grad y ) +
( x)
]
+ e2 (grad 2 y ) + ? 3 [e111 (grad y , grad y , grad y ) + (39)
]
+ e12 (grad y , grad 2 y ) + e3 (grad 3 y ) + o(? 3 ),
где e j1 , ..., jk — ограниченные k-линейные формы k переменных;
)
6) при исследовании близких процессов f можно
заменить его аппроксимацией соответствующего порядка, скажем 3. Тогда мы считаем, что тело является “слабо
нелокальным” телом третьего порядка.
Ограничения, налагаемые совместимостью тензоров (e должны быть полилинейны относительно своих
переменных и, вместе с тем, должны быть векторами)
и их объективностью, значительно уменьшают свободу
выбора формулы (39). Действительно, мы обнаружили,
что e1 , e11 , e111 и e3 должны обращаться в нуль, e2 может зависеть, по большей части, от свернутых переменных grad (div y) и ?y = div (grad y); e12 может зависеть
от шести переменных (div y) ?y, E(?y), grad (div y ) 2 ,
2
E(grad div y), grad grad y , (grad 2 y ) E, где E =
= sym grad y. Мы пришли к тому, что вплоть до третьего
порядка ?
)
f = ? 2 (?1grad div y + ?1?y ) +
+ ? 3 {(?3 (div y ) I + ?4 E )?y +
+ (?5 (div y ) I + ?6 E )grad div y +
+ [grad(?7 grad y + ?8 E )]E},
где ?i (i = 1, ..., 8) — константы материала.
(40)
Если ?3 , ?4 , ?6 , ?7 равны нулю, тогда правая часть
(40) может дать вид дивергенции тензора второго порядка. В противном случае мы имеем некоторый вид саморавновесного члена, который нельзя вновь преобразовать, даже формально, в поверхностную силу сцепления. В любом случае, как бы мы не классифицировали
члены, иногда исключительно для простоты рассуждений, мы должны помнить, что если полное
) выражение
имеет смысл в качестве аппроксимации f , то, как правило, части не могут быть связаны с определенным
физическим смыслом.
Неотъемлемый и серьезный недостаток дифференцирования (40) имеет начало в допущении, которое
внешне может проявляться только технически, что B
покрывает все пространство. Действительно, такое
предположение позволяет считать решенными многие
важные спорные вопросы, касающиеся “отражений от”
или “прозрачности” реальной границы B , если B компактно, а также вопросы, связанные с концепциями,
которые сами “внутренние” и “внешние”, особенно в
тех случаях, когда результаты относятся к субтелам. В
любом случае требуется некоторое декларирование в
отношении граничных
) условий, которые должны соответствовать выбору) f . Например, если требуется, чтобы приближение f имело, скажем, третий порядок;
тогда можно ожидать, что граничные эффекты зависят
не только от внешней нормали, но также и от кривизны
границы. Предпосылкой для тщательного исследования
связанных между собой явлений является, вероятно,
исследование последствий слабо нелокального воздействия на субструктуру. Подобное исследование является ключевым, как это указано в вводных замечаниях
к этому разделу, но оно все еще не проведено.
Вопрос, по-видимому, тесно связан со спецификой
неизменности системы отсчета. Предположим, что превалируют условия, рассмотренные в конце раздела 12,
где k — характеристика A — равно нулю. Тогда координаты ? ? могут изменяться посредством произвольного
диффеоморфизма. Чтобы быть уверенным в том, что
формальное выражение для плотности мощности
? ? ?& ? + S ?i ?& ?ji остается неизменным в новых координатах независимо от выбранного диффеоморфизма,
правила преобразования для ? ? и S ?i таковы, что
? ? ? + S ?i;i оказывается ковариантным вектором, а отдельно ? ? — нет.
14. Скрытая субструктура
В разделах 11 и 12 заметную роль играет только работа внешних воздействий; однако, когда на карту поставлен энергетический баланс, роль мощности внешних воздействий (т.е. их работа в ходе реального, а не
виртуального процесса) еще более заметна и она оказывается решающей для характеристики истинных внутренних стеснений. Чтобы продолжить, из многих ре-
43
Каприц Дж. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 37–50
зультатов предположений, изложенных в разделе 12, мы
выбрали наиболее заметное предположение, в котором
динамические уравнения равновесия считаются уравнениями Коши и (32), (35) учитывают инерцию субструктуры, как показано в конце этого раздела:
?&x& = ?b + divT ,
жение ?& в (45), будем считать, что мощность, записанная
для напряжения реакции, стремится к нулю, тогда при
любом выборе F& и его градиента
)? r ? )?
?r
r
?T ij FJj?1 + ? ? ?? + S ?k ? ??
? ?F
?FiJ
?
? iJ
?
)
?
r
?? &
?1
+ S ?k
= 0.
FiJ , K FKk
?FiJ
(41)
T
T
eT = A ? + (gradM A )S ,
(42)
? ? ?? ?? ?? ?
~
? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? + div M S ,
? ? ??& ? ?? ?
?
?
(43)
В результате получим, что
)
)
r
? r
? ? r ?? ? ??
?? ?
F jJ ?? ? ? ? + S ?k ,k ?? ? ?? S ?k
F jJ ,
?FiJ
?FiJ ?? ,
?
? ?
k
r
? ??) ? ?1 ??) ? ?1 ?
S ?k ??
FKk +
FJk ?? = 0.
?FiK
? ?FiJ
?
~
?? — остаток ?? при вычитании инерции.
Если используется скалярное произведение, то
обычный способ оценки мощности приводит к теореме
о кинетической энергии
? ?1
??
? ?? x& + ? ?? d ( vol) ? = ?(b ? x& + ~
? ? ?& ) d ( vol) +
? ?2
?
?
?b
? b
?
?
?
+ (T ? grad x& + ? ? ?& + S ? grad ?& ) d ( vol) +
(44)
(45)
T ij можно выразить через активный вклад ? ? , S ?k в
?иS
r
r
? ??) ?
?
?? ? r
? ??
T ij , j = ?
F jJ ?? ? ? ? ? + ? ? ? S ?k ,k ? . (46)
?? ?
? ??&
?? ?FiJ
?? , j
?
+ (t ? x& + ?& S n) d (area ) ,
?b
и к интерпретации
как плотности мощности внутреннего воздействия. Используя (42), мы можем записать эту плотность в наиболее реальной форме:
?[T ? D + ? ? (?& ? A r ) + S ? grad(?& ? A r ) ?
? ( A T S ) ? grad x ].
Теперь, если имеются ограничения, считается, что
они “совершенны”, если напряжения T , ?, S можно
r
r
r
r
T ij =
Следствием последнего условия является то, что
дивергенция второго члена правой части первого условия стремится к нулю при условии, что дивергенцию
b
?(T ? grad x& + ? ? ?& + S ? grad ?& )
? ?
? ? F&iJ +
? ?
? ,k ?
разложить аддитивно по вкладу реакции T , ?, S , благодаря ограничениям, которые также не зависят от мощности, но во всем остаются произвольны. Тогда возникает проблема вывода “простых” уравнений равновесия, где используются только “активные” компоненты
напряжения.
Нет необходимости приводить здесь многие из увлекательных случаев, которые были рассмотрены, за исключением экстремального случая “скрытой” субструктуры, поскольку он тесно связан с общим движением.
Тогда в тех случаях, где нарушаются некоторые общепринятые свойства, создается необычный “мутант”
обычного тела.
Предположим, что налагается следующее совершенное ограничение:
)
? ? = ? ? (F ),
)
где ? — функция, проявляющаяся, когда общее движение приводит к появлению субструктуры. Введем выра-
r
a
a
Чтобы быть уверенным, что ? ? при любых обстоятельствах исходно появляется в функции, заключенной
в квадратные скобки, ее необходимо выразить через F
)
как функцию ? (F ). Следовательно, строгое уравнение
Коши, где дивергенция реактивного вклада в напряжение Коши может быть получена из (46), содержит
производные по меньшей мере четвертого порядка.
Одна такая смешанная производная появляется в инерционном члене, который можно было бы считать членом
Рейнольдса, так как он появляется от потока количества
движения субструктуры. Отсюда возникает связь с понятиями, присущими кинетическим телам, которые будут
рассмотрены в следующем разделе.
В общем, мы можем видеть, что разность ?(? ? ?& ? ?& )
равна div(S T ?& ), причем вектор S T ?& может рассматриваться как “поток работы внедрения”, используя терминологию Данна и Зеррина. Следовательно, вектор
LT ?& (через его дивергенцию), само собой разумеется,
представлен в энергетическом балансе, где он сравним
с вектором потока тепла и является его дополнением.
Итак, если субструктура явная, ее наличие безусловно
существенно, но если субструктура скрытая, ее наличие
до некоторой степени сбивает с толку, тем более что, в
конечном счете, общая энергия потока, использующаяся
в энергетическом балансе, отличается от возникающей
за счет тепла энергии, которая используется в балансе
энтропии.
44
Каприц Дж. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 37–50
15. Кинетические тела
Уже во введении имелась возможность предупредить
читателя о недоразумениях, которые могут возникнуть
при следовании по проторенному пути эвристического
усреднения совокупности больших молекул или более
сложных объектов, таких как дислокации или еще
бoльшие артефакты, например пузыри в жидкости. Нас
не должен вводить в заблуждение успех, достигнутый
нашими предшественниками, которые использовали
весьма упорядоченное расположение одинаковых атомов. Мы могли бы, в свою очередь, соблазниться примером кинетической теории газов, которая приводит от
динамики массовых точек к динамике сплошной среды
и была использована, в частности, в расширенном варианте градиентной теории, чтобы связать движение
больших скоплений достаточно больших объектов —
от песчинок до камней в планетарных кольцах. Тогда
“субструктуры” и соответствующие дополнительные
поля соответствуют кинетическим. Однако нам следует
быть осторожными при необычном переходе к термической концепции.
Мы должны принять во внимание тот факт, что в
характерных гранулированных потоках не требуется,
чтобы скорость перемешивания была на несколько порядков величины больше средней скорости или скорости любого наблюдателя, как это принято в теории газов.
Единственным способом избежать гарантированных
трудностей может быть вычисление значимых переменных в некоторой внутренней локальной системе
координат. Традиционный способ механики сплошной
среды состоит в использовании общего положения и
градиентов скорости; это путь, которому невозможно
следовать в нашем контексте. Заметим, что сходные
проблемы возникают при анализе колебаний больших
и очень гибких пространственных структур (или, что
нагляднее, движения мыльного пузыря в воздушном
потоке): не требуется, чтобы центр тяжести совпадал с
местом, занимаемым некоторым элементом структуры.
Даже если, по воле случая, имеет место такая ситуация,
то движение в окрестности центра может быть очень
незначительным, чтобы оказывать влияние на общее
движение структуры; отсюда необходимость альтернативного понятия общего поворота. Решение легко найти: система уравнений равновесия количества движения, момента инерции, момента количества движения
может использоваться как инструмент, который позволит нам понять предпосылки, которые дадут возможность получить объективную меру остаточной энергии
перемешивания, при последовательном логичном представлении “термической” концепции.
Предположим вновь, что некоторые следствия элементарной механики влияют на соответствующие законы равновесия, и мы увидим, что стоит пересмотреть
имеющиеся незначительные успехи. Для системы мас-
совых точек потребуются уравнения Эйлера, хотя и с
необычной целью, а именно для того чтобы решить,
какое фиксированное распределение скорости могло бы
мгновенно заменять действительное распределение при
наименьшей разнице с общей кинетической энергией.
Простым решением этой задачи является фиксированное распределение скорости, при котором средняя массовая скорость u относится к центру тяжести, а мгновенная скорость вращения равна J ?1k при общей массе
µ, мгновенном моменте инерции µJ и мгновенном общем моменте количества движения µk. Величины µu&
и µk& в уравнениях Эйлера уравновешиваются соответственно равнодействующей f и равнодействующим
моментом m внешних сил.
Действительно, поскольку J не обязательно константа, она становится более удобной для достижения нашей
цели и требуется соответствующее аффинное распределение скорости с тем же самым минимальным свойством. Несложные алгебраические вычисления показывают, что кинетический тензор B (равный G& G ?1 в смысле, например, (9)) должен выбираться равным K T Y ?1 ,
где µK — мгновенный тензор момента количества движения и µY — тензор инерции Эйлера. Уравнение эволюции для Y включает только B; вместо уравнения эволюции для K используется новый тензор H, вид тензора
Рейнольдса или тензора кинетической энергии, выведенного с учетом “тасования”, т.е. с отличиями между
скоростями реального и смежного аффинного движения. Ниже приведена система уравнений, заменяющая
эйлерову систему:
µ&x& = f ,
µk& = m,
Y& = 2sym(YBT ),
(47)
µ sym( K& ? BK ) = symM + µGHG T ,
µ( H& + 4symG ?1G& H ) = S ,
где M — тензор момента внешних сил и S — подобный
тензор, но учитывающий “тасование”, а не радиус-векторы.
Строго, первые два уравнения имеют отношение к
рассматриваемому вопросу, в то время как последние
три уравнения приводят к общему указанию на перемешивание; но, вообще говоря, эти две системы сильно
связаны.
Условия можно было бы считать кинетическими,
если система не имеет физически значимого модельного
окружения, ее поведение регулируется резким откликом
на текущие условия, и, как следствие, в нашей модели
f, M и S должны зависеть по большей части от u = x&, B
и H. Кроме того, в уравнениях B можно оценить по
отношению к данному окружению и считать совпа& G в данный момент равен I. Тогда наша
дающим с G,
Каприц Дж. / Физическая мезомеханика 3 6 (2000) 37–50
дифференциальная система становится системой первого порядка:
µu& = f ,
µY ( B& + B 2 ) ? µH = M T ,
(48)
Y& = 2sym(YBT ),
µ H& + 4symBH = S .
(
)
Эта система заслуживает тщательного исследования
сама по себе, возможно при соответствующем особом
выборе f, M и S.
Менее явным представляется случай, когда f, M и S
зависят также от ? + ?, где ? — потенциальная энергия
внутренних сил при условии, что все они консервативны, или, скорее, если они зависят от способа, которым
массовые точки S можно классифицировать по семействам возрастающей общей энергии. Мы вернемся к этому вопросу в следующем разделе.
Система (48) уже записана в том виде, как это сделано для уравнений эволюции сплошной с
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
214 Кб
Теги
среды, субструктуры, часть, сплошных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа