close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Сравнение отклонений обобщенных средних В. А. Стеклова в пространстве L2

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10. 2009. Вып. 1
УДК 517.5
В. В. Жук, Г. Ю. Пуеров
СРАВНЕНИЕ ОТКЛОНЕНИЙ ОБОБЩЕННЫХ
СРЕДНИХ В. А. СТЕКЛОВА В ПРОСТРАНСТВЕ L2
§ 1. Введение
1. В дальнейшем C, R, Z, N – соответственно множества комплексных, вещественных, целых, натуральных чисел; Lp (при 1 p < ∞) – пространство 2π-периодических
измеримых функций f : R → C, суммируемых с p-й степенью на отрезке [−π, π] и
нормой
π
1/p
f p =
|f |p
,
−π
L∞ = C – пространство непрерывных 2π-периодических функций f : R → C с нормой
f ∞ = max |f (x)|.
x∈R
Функции, заданные на подмножествах R, имеющие в некоторой точке устранимый
0
разрыв, доопределяются в этой точке по непрерывности. В других случаях символ
0
понимается как 0.
Через δtr (f, x) обозначаем симметричную разность r-го порядка функции f с шагом t
в точке x
r
(−1)m Crm f (x + rt/2 − mt).
δtr (f, x) =
m=0
Для f ∈ Lp , r ∈ N полагаем
ωr (f, h)p = sup δtr (f )p .
|t|h
Величина ωr (f )p называется модулем непрерывности r-го порядка функции f в пространстве Lp .
Если f ∈ L1 , r − 1 ∈ N, h > 0, x ∈ R, то полагаем
Sh,1 (f, x) =
1
h
h/2
f (x + t) dt,
−h/2
Sh,r (f, x) = Sh,1 (Sh,r−1 (f ), x).
Функция Sh,r (f ) называется функцией В. А. Стеклова порядка r с шагом h функции f.
Жук Владимир Васильевич – доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей
математики факультета прикладной математики–процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 185. Научное направление: теория аппроксимации. E-mail: zhuk@math.spbu.ru, zhuk@unitel.spb.ru.
Пуеров Георгий Юрьевич – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник
ОАО «Концерн “Океанприбор”», доцент кафедры высшей математики Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий механики и оптики. Количество опубликованных
работ: 7. Научное направление: теория аппроксимации. E-mail: puerov@gp11429.spb.edu.
c В. В. Жук, Г. Ю. Пуеров, 2009
56
2. Известно (см., например, [1, с. 221–224], подробное изложение истории неравенств
(1) и (2), приведенных ниже, имеется в [2]), что при h > 0, 1 p ∞, f ∈ Lp
! r "$ # h $
1 !r"
1#
ω2 (f, h)p +
r−
ω2 f,
,
2 2
2
2
2 p
ω2 (f, h)p C(r)f − Sh,r (f )p .
f − Sh,r (f )p (1)
(2)
Пусть l ∈ N, E – тождественный оператор. Полагаем
Sh,r,l (f ) = (E − (E − Sh,r )l )(f ).
(3)
В [3] доказано, что
sup sup
h>0 f ∈L2
sup sup
h>0 f ∈L2
% &l
ω2l (f, ah)2
= 22l 6a2
f − Sh,1,l (f )2
% &l
ω2l (f, ah)2
= 22l 3a2
f − Sh,2,l (f )2
1
, l ∈ N),
2
'
#
$
2
a
, l∈N .
5
(a (4)
(5)
В связи с соотношениями (4) и (5) уместно отметить, что при 1 p ∞, l, r ∈ N, h > 0
для любой f ∈ Lp справедливо неравенство
f − Sh,r,l (f )p C(r, l) ω2l (f, h)p .
В данной работе мы продолжим изучение оператора Sh,r,l (f ) (отметим, что в работе
[3] при определении оператора Sh,r,l (f ) допущена опечатка: вместо приведенной выше формулы (3) написано Sh,r,l (f ) = (E − Sh,r )l (f )). А именно, докажем следующее
утверждение: пусть l, r, s ∈ N, r s, q 1, тогда
sup sup
h>0 f ∈L2
# s $l
f − Sqh,s,l (f )2
=
q 2l
f − Sh,r,l (f )2
r
и установим его аналог для случая приближения четных непрерывных 2π-периодических функций в пространстве C.
3. Если dk ∈ C, то по определению
k∈Z
dk = d0 +
∞
(dk + d−k ).
k=1
Пусть f ∈ L1 , x ∈ R, тогда
∞
a0 (f ) +
ak (f ) cos kx + bk (f ) sin kx =
ck (f )eikx
2
k=1
k∈Z
– тригонометрический ряд Фурье функции f, соответственно в вещественной и комплексной форме.
Через A обозначим множество четных вещественнозначных функций f ∈ C с неотsin x
рицательными коэффициентами Фурье. Положим α(x) =
.
x
57
§ 2. Вспомогательные результаты
1. Нам понадобятся следующие известные результаты.
Теорема A (равенство Парсеваля). Если f ∈ L2 , то
|ck (f )|2 .
f 22 = 2π
k∈Z
Теорема B (см., например, [4 с. 277]). Если f ∈ A, то
∞
f (x) =
a0 (f ) +
ak (f ) cos kx,
2
k=1
причем ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на R.
2. Установим ряд вспомогательных предложений.
Лемма 1. Пусть r, s ∈ N, r s, x 0. Тогда
s
r sin x
sin x
s
1−
.
1−
x
r
x
(6)
Д о к а з а т е л ь с т в о. При s = r неравенство (6) тривиально. Будем считать
s > r. Запишем (6) в виде
1
ts−1 dt α(x)
или
1
1
tr−1 dt,
α(x)
(tr−1 − ts−1 ) dt 0.
(7)
α(x)
Если x такое, что α(x) 0, то (7) выполнено, так как подынтегральная функция неотрицательна. Если r = 1, то подынтегральная функция в (7) неотрицательна при всех
x 0 и, следовательно, (7) в этом случае также выполнено. Пусть r − 1 ∈ N, α(x) 0.
1
Тогда x π, |α(x)| и
π
1
(tr−1 − ts−1 ) dt =
α(x)
1
0
(tr−1 − ts−1 ) dt +
0
(tr−1 − ts−1 ) dt = I1 + I2 .
α(x)
Покажем, что |I2 | < I1 . Имеем
1
1 1
− ,
r
s
r(r + 1)
1
1
2
|I2 | r + s < r .
rπ
sπ
rπ
I1 =
Остается заметить, что π r > 2 r + 2 при r − 1 ∈ N.
Лемма 2. Пусть r ∈ N, q 1, x 0. Тогда
r
r sin x
sin qx
2
q 1−
.
1−
qx
x
58
(8)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим
1−
gr (x, q) =
sin q x
qx
q2
r
и перепишем неравенство (8) в виде
gr (x, q) gr (x, 1),
Имеем
x 0, q 1.
(9)
(r + 2) sinr q x − r q x cos q x sinr−1 q x − 2 q r xr
∂gr (x, q)
=
.
∂q
q r+3 xr
∂g1 (x, q)
0 при x 0, q 1. Для этого
Пусть сначала r = 1. Установим, что
∂q
достаточно показать, что
2t + t cos t − 3 sin t 0
(10)
при t 0. Неравенство (10) при t 3 очевидно, так как
2t + t cos t − 3 sin t t − 3.
Пусть 0 t 3. Тогда, используя элементарные неравенства
cos t 1 −
t4
t6
t2
+ − ,
2! 4! 6!
находим, что
2t + t cos t − 3 sin t sin t t −
t5
t7
t5
−
=
60 720
60
t3
t5
+ ,
3! 5!
t2
1−
0.
12
Теперь докажем (9) (или, что то же самое, (8)) при r 2, q 1, x 2. Для этого
достаточно установить, что при указанных значениях x и q справедливо неравенство
∂gr (x, q)
0, а это, в свою очередь, сводится к проверке справедливости соотношения
∂q
r
2tr + t sin 2t sinr−2 t − (r + 2) sinr t 0
2
(11)
при t 2. Ясно, что (11) вытекает из неравенства
r
Pr (t) = 2 tr − t − r − 2 0,
2
t 2.
r
0 при t 1, а Pr (2) > 0.
2
3π
Осталось доказать (8) при 0 x 2, q 1. Известно, что при q 1, 0 x 4
Последнее соотношение очевидно, ибо Pr (t) = 2rtr−1 −
| sin qx| q sin x.
(12)
Используя неравенство (8) при r = 1 и соотношение (12), находим, что
)
r−1 k
( r−1 k
α
(qx)
1 − α(qx)
1 − αr (qx)
2
k=0
k=0 α (x)
=
q r−1
= q2 .
r−1 k
k
1 − αr (x)
1 − α(x)
k=0 α (x)
k=0 α (x)
59
Лемма 3. Пусть r, s ∈ N, r s, q 1, x 0. Тогда
s
r sin qx
sin x
s
q2 1 −
1−
.
qx
r
x
(13)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Неравенство (13) получается сопоставлением соотношений
(6) и (8).
3. Положим Z = Z \ {0},
(
)s
sin kqh
2
1−
kqh
(
γr,s (q, h, k) =
1−
2
sin kh
2
)r ,
κr,s (q, h) = sup γr,s (q, h, k).
k∈Z
kh
2
Лемма 4. Пусть r, s, l ∈ N, q > 0, h > 0, f ∈ L2 . Тогда
l
f − Sqh,s,l (f )2 κr,s
(q, h)f − Sh,r,l (f )2 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Нетрудно убедиться, что
f (x) − St,m,l (f, x) ∼
# kt $l
ck (f ) 1 − αm
eikx .
2
k∈Z
Отсюда, применяя равенство Парсеваля, находим, что
f − St,m,l (f )22 = 2π
# kt $2l
|ck (f )|2 1 − αm
.
2
k∈Z
(14)
Опираясь на соотношения (14), имеем
#
$$2l
#
# $$2l
1 − αs kqh
2
r kh
1
−
α
f − Sqh,s,l (f )22 = 2π
|ck (f )|2 #
# $$2l
2
k∈Z
1 − αr kh
2
#
2l
(q, h)f − Sh,r,l (f )22 .
κr,s
Лемма 5. Пусть r, s, l ∈ N, q > 0, h > 0, f ∈ A. Тогда
l
f − Sqh,s,l (f )∞ κr,s
(q, h)f − Sh,r,l (f )∞ .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Опираясь на теорему B, нетрудно убедиться, что для
f ∈A
# $l
m kt
f (x) − St,m,l (f, x) =
ak (f ) 1 − α
cos kx,
2
k=1
∞
# kt $l
f − St,m,l (f )∞ =
ak (f ) 1 − αm
.
2
∞
k=1
60
(15)
Теперь, учитывая (15) и определение величины κr,s (q, h), находим
f − Sqh,s,l (f )∞
#
#
$$l
#
# $$l
1 − αs kqh
2
r kh
=
ak (f ) #
# $$l 1 − α
2
k=1
1 − αr kh
2
∞
l
(q, h)f − Sh,r,l (f )∞ .
κr,s
Лемма 6. Пусть l, r, s ∈ N, r s, q 1. Тогда
f − Sqh,s,l (f )2 # s $l 2l
q ,
r
h>0 f ∈L2 f − Sh,r,l (f )2
# s $l
f − Sqh,s,l (f )∞
sup sup
q 2l .
r
h>0 f ∈A f − Sh,r,l (f )∞
sup sup
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для функции ϕ(x) = cos x имеем
ϕ − Sqh,r,l (ϕ)2 = γr,s (q, h, 1)ϕ − Sh,s,l (ϕ)2 ,
следовательно,
⎛
#
$ ⎞l
# s $l
ϕ − Sqh,r,l (ϕ)2
# $⎠ =
= sup γr,s (q, h, 1) lim ⎝
q 2l .
h→0+
r
h>0 ϕ − Sh,s,l (ϕ)2
h>0
1 − αr h2
sup
1 − αs
qh
2
Второе неравенство устанавливается аналогично.
§ 3. Основные результаты
Теорема 1. Пусть l, r, s ∈ N, r s, q 1. Тогда
sup sup
h>0 f ∈L2
f − Sqh,s,l (f )2 # s $l 2l
=
q .
f − Sh,r,l (f )2
r
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f ∈ L2 . Сопоставляя леммы 3 и 4, имеем
f − Sqh,s,l (f )2 Отсюда следует, что
sup sup
h>0 f ∈L2
# s $l
r
q 2l f − Sh,r,l (f )2 .
f − Sqh,s,l (f )2 # s $l 2l
q .
f − Sh,r,l (f )2
r
Осталось принять во внимание лемму 6.
Теорема 2. Пусть l, r, s ∈ N, r s, q 1. Тогда
# s $l
f − Sqh,s,l (f )∞
=
q 2l .
f
−
S
(f
)
r
h,r,l
∞
h>0 f ∈A
sup sup
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1, при этом вместо леммы 4 используется лемма 5.
61
Summary
Zhuk V. V., Puerov G. Yu. Comparison of errors of approximation by generalized Steklov means
in the space L2 .
Let Lp (1 p < ∞) be the space of 2π-periodic measurable functions f : R → C, integrable to
the pth power over [−π, π] with the norm
f p =
π
−π
|f |p
1/p
,
L∞ = C the space of continuous 2π-periodic functions f : R → C with the norm
f ∞ = max |f (x)|.
x∈R
By A let’s denote the set of even real-valued functions f ∈ C with nonnegative Fourier coefficients.
For f ∈ L1 , h > 0, r − 1 ∈ N, x ∈ R we set
Sh,1 (f, x) =
1
h
h/2
−h/2
f (x + t) dt,
Sh,r (f, x) = Sh,1 (Sh,r−1 (f ), x).
Function Sh,r (f ) is called the Steklov function of order r with step h for the function f. The following
statements are proved. Let l, r, s ∈ N, r s, q 1. Then
# s $l
(E − Sqh,s )l (f )2
=
q 2l ,
l
r
h>0 f ∈L2 (E − Sh,r ) (f )2
# s $l
(E − Sqh,s )l (f )∞
sup sup
=
q 2l .
l
r
h>0 f ∈A (E − Sh,r ) (f )∞
sup sup
.
Key words: approximation, Steklov functions, exact estimates.
Литература
1. Жук В. В., Кузютин В. Ф. Аппроксимация функций и численное интегрирование. СПб.:
Изд-во C.-Петерб. ун-та, 1995. 352 c.
2. Жук В. В. О функциях В. А. Стеклова // Дифференциальные уравнения с частными
производными. СПб.: Образование, 1992. С. 74–85.
3. Дронь В. О., Жук В. В. О приближении средними В. А. Стеклова периодических функций в пространстве L2 // Проблемы математического анализа. 2007. № 35. С. 79–90.
4. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. 936 c.
Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.
Статья принята к печати 7 октября 2008 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
287 Кб
Теги
отклонения, пространство, сравнение, обобщенные, стеклова, средние
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа