close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Среднее Рисса функции делителей распространенной на значения тернарной кубической формы.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2009, том 52, №5
МАТЕМАТИКА
УДК 511
З.Н.Камарадинова
СРЕДНЕЕ РИССА ФУНКЦИИ ДЕЛИТЕЛЕЙ, РАСПРОСТРАНЕННОЙ НА
ЗНАЧЕНИЯ ТЕРНАРНОЙ КУБИЧЕСКОЙ ФОРМЫ
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 20.03.2009 г.)
В работе для “среднего Рисса” веса  ,   0 функции делителей, распространенной
на значения тернарной кубической формы  =  ( z1, z2 , z3 ) = z13  z23  z33  3z1z2 z3 , z1 , z2 , z3  Z ,
то есть для суммы



x
T ,k ( x) =   k ( ( z1 , z2 , z3 )) 1 
 ,
 ( z1 , z2 , z3 )  x
  ( z1 , z2 , z3 ) 
выводится асимптотическая формула.
Обозначение:  (s) – дзета-функция Римана, L( s,  ) – L - ряд Дирихле,  –
неглавный характер по модулю 3, B(s,  ) – бетта-функции Эйлера, a > 1 – некоторая
постоянная величина, для которой выполняется соотношение
2
 (  iT ) = t a (1 ) ln 3 t ,  > 0.9, t > 1.
Последние оценки для параметра
a
дают значение
a  15,21 , полученное
Е.Е.Баядиловым [1], и a  4,45 , полученное Фордом [2].
Теорема. Пусть   0 – произвольное вещественное число, тогда справедлива
асимптотическая формула вида
T ,k ( x)) = xQ2k 1 (ln x)  R ,k ( x),
где Q2 k 1 ( y ) – многочлен степени 2k  1 , определяемый равенством
xQk 1 (ln x) = Res 2k (s) Lk (s,  ) g k (s) x s B(s,   1),
s =1
кроме того, для остаточного члена R ,k ( x) справедлива оценка вида
R ,k ( x) = x
1 k , 
2/3
,  k ,
 2  3 
 , k1 = 79,95.
= 
 3a(3k  2k1 ) 
353
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2009, том 52, №5
Эта теорема является обобщением теоремы Е.Е.Баядилова [1] об асимптотической
формуле для среднего значения многомерной функции делителей от кубической формы
 ( z1 , z 2 , z 3 ) .
Схема
доказательства.
Обозначим
через
t 0 ( n)
количество
представлений
натурального n в виде n =  ( z1 , z 2 , z 3 ) , где z1 , z 2 , z 3 – некоторые целые числа. Положим
1
t ( n) = t 0 ( n) , функция t (n) , как показано в [3], является мультипликативной и для всякого
3
простого числа p и всякого натурального числа  имеют место равенства
 
t p

t ( p  )  2(  1),

 (  1)(   2)

,
2

  
 2   1,
 
если
p  3,   1;
если
p  1, (mod 3);
если
p  1, (mod 3).
(1)
Вместе с функцией t (n) мультипликативной является и функция t k (n) =  k (n)t (n) .
  k  1
 .
Как известно, при простом p и натуральном  имеет место формула  k ( p  ) = 
 k 1 
Согласно определению,
1
t k (n) =  k (n),
3
где  k (n)
равна числу решений системы
диофантовых уравнений вида
 x1  x k = n,
 3
3
3
 x  y  z  3xyz = n.
Для  k (n) имеет место равенство  k (n) =  k (n) (n) , где  k (n) равно числу решений
первого уравнения системы уравнений, а  (n) = 1 (n) – число решений второго уравнения.
Поэтому сумма T ,k ( x) принимает вид


 x
 x
T ,k ( x) =  k (n)1   = 3t k (n)1   .
 n
 n
n x
n x
(2)
Для ряда Дирихле функции t k (n) Е.Е.Баядилов [1] доказал, что следующие тождесва


t k ( n)
a k ( n)
2k
k
=

(
s
)
L
(
s
,

)
g
(
s
),
g
(
s
)
=
,

k
k
s
ns
n =1 n
n =1
f k ( s) = 
354
(3)
Математика
З.Н.Камарадинова
причем | ak (n) | n (  > 0 – произвольно) и ряд сходится абсолютно при всех s с условием
s > 1/2.
Воспользуемся для правой части (2) следующим аналогом формулы Перрона для
средних Рисса порядка  :
Лемма 1. Пусть функция h(s) комплексного переменного s =   it представляется
рядом Дирихле вида

an
,
s
n =1 n
h( s ) = 
который сходится абсолютно при s =  > 1. Далее, пусть A(n) монотонно возрастающая
функция от n и | a n | A(n) при всех n. Пусть также  > 0 и  > 0 и при   1 
выполняется асимптотическая оценка

|a
n
| n   (  1)  .
n =1
1
Тогда при всех b  1   , любом x вида x = N  , где N – натуральное число, и
2
T  2, справедливо равенство

b  iT

1
xb
 n
s

a
1

=
h
(
s
)
x
B
(
s
,


1)
ds

O


n
 T  1 (b  1) 
x
2i b iT

n x


 xA(2 x) ln x 
  O
. ,
 1
 T


которое доказала О.В.Колпакова [4].
Пользуясь соотношением (1) и известной оценкой  k (n)  n , можно считать, что
t k (n) =  k (n)t (n)  A(n) = c( )n
для любого  > 0 и некоторой постоянной c( ) > 0 . Кроме того, имея ввиду соотношения
(3), свойства функции L( s,  ) и g k (s ) при  > 0 , имеем


k
(n)t (n)n

=
n =1
Выберем b = 1 
2k
Lk (1   ,  ) g k (1   )
( ) L (1   ,  ) g k (1   ) ~
,   1  0.
(  1) 2 k
k
1
1
. Тогда при T  2 и x = N  , где N натуральное число,
ln x
2
получим
T ,k ( x) =
b iT
 x1 
3
2k
k
s
  1 ,

(
s
)
L
(
s
,

)
g
(
s
)
x
B
(
s
,


1)
ds

O
k
2i b iT
T 
355
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2009, том 52, №5
Подынтегральную  2k (s) Lk (s,  ) g k (s) x s B(s,  1) обозначим через F (s) . Далее
контур интегрирования, состоящий из отрезка E 0 = [b  it , b  it ] , переносим влево. Для этого
возьмем
некоторое
  (0,1)
число
и
заменим
на
E0
три
отрезка
вида
E1 = [  iT , b  iT ], E2 = [  iT ,   iT ] и E3 = [  iT , b  iT ] . Имеем
 F (s)ds =   F (s)ds   F (s)ds   F (s)ds  Res F (s) = I
E0
E1
E2
s =1
E3
1
 I 2  I 3  Res F ( s).
s =1
Последняя формула справедлива ввиду того, что функция
F ( s) =  2 k ( s) Lk ( s,  ) g k ( s) x s B( s,   1) x s
( s)(  1)
( s    1)
имеет единственный полюс порядка 2 k в точке s = 1 . Отсюда следует, в частности, что
Res F (s) = xQ2k 1 (ln x).
s =1
Здесь Q2 k 1 ( y ) представляет собой многочлен с вещественными коэффициентами от
переменной y = ln x . А так как порядок полюса в точке s = 1 равен 2 k , то степень
многочлена равна 2k  1 .
Подставляя найденное выражение для интеграла по отрезку E 0 = [b  it , b  it ] в (4),
найдем
 x1 
T ,k ( x) = xQ2 k 1 (ln x)  R ,k ( x), R ,k ( x) = I 1  I 2  I 3  O  1 .
T 
Важно отметить, что оценка остаточного члена R ,k ( x) этой асимптотики при каждом
фиксированном значении натурального параметра k = 1,2,  может быть проведена точно
таким же образом, как и оценка остатка  ,m ( x) в асимптотической формуле вида
b  iT
 ys m 
1
m
s
 ( s) x B( s,   1) ds = xPm1 (ln x)    ,m ( x), Pm1 ( y ) = Res   ( s),
s =1
2i b iT
 s

при m = 3k . Напомним, что проблема улучшения оценок остатка  ,m ( x) называется
средней Рисса в многомерной проблеме делителей Дирихле. Любая из существующих схем
получения оценок для  ,m ( x) переносится на случай нахождения оценок для R ,k ( x) ,
причем различия сводятся по существу только к обозначениям, которые, однако, будут более
громоздкими, а сами оценки отличаются только абсолютными постоянными. Поэтому для
оценки величины R ,k ( x) можно прямо воспользоваться имеющимися оценками величин
356
Математика
З.Н.Камарадинова
 ,m ( x) , которые были известны ранее. Мы здесь воспользуемся оценкой О.В.Колпаковой
[4], которая имеет вид
 ,m ( x) = x
1 m, 
2/3
,  m,
 2  3 
 , k1 = 79,95.
= 
 3a(m  2k1 ) 
Теорема доказана.
Институт математики
Поступило 20.03. 2009 г.
АН Республики Таджикистан
Л И Т Е РАТ У РА
1.
2.
3.
4.
Баядилов Е. Е. – Вестник МГУ, сер.1 матем.мех., 2001, №5, с.29-32.
Ford K. – Proceedings of the London Mathematical Society, 2002, v. 85, №3, p.565-633.
Нгуен Хак Тхань. – Вестник МГУ, сер.1 матем.мех., 1990, №3, с.7-10.
Колпакова О.В. – Вестник МГУ сер.1 матем.мех., 2007, №6, с.53-55.
З.Н.Ќамарадинова
МИЁНАИ РИССИ ФУНКСИЯИ ТАЌСИМКУНАНДАЊОЕ,
КИ ШАКЛИ ТЕРНАРИИ КУБИРО МЕКУНАНД
Дар маќола барои миёнаи Рисси вазнаш  ,   0 функсияи таќсимкунандањое, ки
шакли тернарии кубии  =  ( z1 , z 2 , z3 ) = z13  z 23  z33  3z1 z 2 z3 – ро ќабул мекунанд
z1 , z 2 , z 3  Z , формулаи асимптотикї исбот карда шудааст.
Z.N.Qamarаdinova
AVERAGE RIESZ FUNCTION COMMON DIVISOR FOR VALUES
OF THE TERNARY CUBIC FORM
In this paper, for the average Riesz weight  ,   0 function of divisors common values in
the ternary cubic form  =  ( z1 , z 2 , z3 ) = z13  z 23  z33  3z1 z 2 z3 ,
asymptotic formula.
357
z1 , z 2 , z 3  Z
derived an
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
275 Кб
Теги
кубических, средней, делителей, тернарного, функции, рисса, распространение, значение, формы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа