close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Средняя длительность периода занятости в однолинейной системе массового обслуживания с дважды стохастическим синхронным входящим потоком.

код для вставкиСкачать
УДК 519.2
А.В. Лезарев, А.Ф. Терпугов
СРЕДНЯЯ ДЛИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРИОДА ЗАНЯТОСТИ
В ОДНОЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
С ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКИМ СИНХРОННЫМ ВХОДЯЩИМ ПОТОКОМ
В работе находятся условные средние длительности периода занятости однолинейной системы массового обслуживания
(СМО), финальные вероятности того, что период занятости начнется при заданном значении интенсивности, условные стационарные плотности вероятностей незавершенной работы, а также безусловная плотность вероятностей незавершенной работы при дважды стохастическом синхронном входящем потоке.
Дважды стохастические потоки событий вызывают в последнее время все больший интерес, так как они являются
хорошей математической моделью для многих реальных потоков событий. Однако сложность объекта делает его исследование очень трудным в аналитическом плане. В работе
рассматривается и решается одна частная задача теории массового обслуживания для дважды стохастического потока с
двумя состояниями интенсивности.
станет w + x − ∆t, а среднее время до опустошения системы станет m2(w + x − ∆t).
Так как прошло время ∆t, то имеем выражение
m1 ( w) = ∆t + (1 − λ1∆t )m1 ( w − ∆t ) +
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
+ λ1∆t (1 − α1 ) ∫ m1 ( w + x − ∆t ) p ( x)dx.
Рассмотрим дважды стохастический пуассоновский поток событий с двумя состояниями интенсивности λ1 и λ2. В
дальнейшем для определенности будем считать, что λ1 > λ2.
Переходы между этими состояниями возможны только в
момент наступления нового события. Если поток находится
в состоянии λ1, то вероятность перехода λ1 → λ2 равна α1, а
вероятности остаться в том же состоянии 1 − α1. Если поток
находится в состоянии λ2, то вероятность перехода λ1 → λ2
равна α2, а вероятности остаться в том же состоянии 1 − α2.
Будем считать, что этот поток поступает на однолинейную
СМО с бесконечным бункером. Под работой x, которую
несет заявка, будем понимать то время, которое требуется
для обслуживания заявки на обслуживающем приборе. Будем считать, что эта работа является случайной величиной с
плотностью вероятностей
1
⎛ x⎞
p( x) = exp⎜ − ⎟ ,
(1)
θ
⎝ θ⎠
Разложим m1(w − ∆t), сократим m1(w), разделим на
∆t и перейдем к пределу ∆t → 0. Получим
так что θ имеет смысл среднего времени обслуживания
одной заявки.
Под незавершенной работой w будем понимать
суммарное время обслуживания заявок, находящихся в
бункере, плюс остаточное время обслуживания заявки,
находящейся на приборе.
ВЫВОД
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Обозначим через w незавершенную работу в момент времени t. Через mi(w), i = 1, 2 обозначим среднее
время до опустошения системы, если в момент времени
t интенсивность входящего потока была равна λi.
Выведем уравнение для m1(w). Рассмотрим интервал времени [t, t + ∆t]. За это время может произойти:
1) с вероятностью 1 − λ1∆t + o(∆t) новая заявка не придет; тогда незавершенная работа уменьшится на ∆t, а
среднее время до опустошения системы станет m1(w − ∆t);
2) с вероятностью λ1∆t(1 − α1) + o(∆t) придет новая
заявка, требующая для своего обслуживания время x, а
состояние потока останется прежним. Тогда незавершенная работа станет w + x − ∆t, а среднее время до
опустошения системы станет m1(w + x − ∆t);
3) с вероятностью λ1∆tα1 + o(∆t) придет новая заявка, требующая для своего обслуживания время x и изменится состояние потока. Тогда незавершенная работа
∞
+ λ1∆tα1 ∫ m2 ( w + x − ∆t ) p ( x)dx +
0
∞
0
∞
m1′ ( w) = 1 − λ1m1 ( w) + λ1α1 ∫ m2 ( w + x) p ( x)dx +
0
∞
+ λ1 (1 − α1 ) ∫ m1 ( w + x) p( x)dx.
(2)
0
Аналогично получим
∞
m2′ ( w) = 1 − λ 2 m2 ( w) + λ 2 α 2 ∫ m1 ( w + x) p ( x)dx +
0
∞
+ λ 2 (1 − α 2 ) ∫ m2 ( w + x) p ( x)dx.
(3)
0
Систему уравнений (2), (3) надо решить при граничном условии m1(0) = m2(0) = 0.
ВИД РЕШЕНИЙ И ИХ НАХОЖДЕНИЕ
В (2) вместо p(x) подставим (1) и в интеграле сделаем замену w + x = z, умножим обе части уравнения на
e−w/θ и продифференцируем по w:
1
1
m1′′( w) − m1′ ( w)e − w θ = − e − w θ − λ1m1′ ( w)e − w θ +
θ
θ
1
λα
+ λ1m1 ( w)e − w θ − 1 1 m2 ( w)e − w θ +
θ
θ
λ1 (1 − α1 )
m1 ( w)e − w θ .
+
θ
Сократив множитель e−w/θ, получим уравнение
λα
m1′′( w) + m1′ ( w)(λ1 − 1 θ) + 1 1 m2 ( w) −
θ
λ1α1
m1 ( w) = − 1 θ .
−
θ
Аналогичное уравнение получится и из (3).
Заметим, что в правой части уравнений стоит константа,
а один из корней характеристического уравнения равен 0 .
Поэтому решение системы (2), (3) будем искать в виде
m1 ( w) = A1w + B1 (e − zw − 1) ,
m2 ( w) = A2 w + B2 (e − zw − 1) .
Слагаемые A1w и A2w соответствуют частному решению
неоднородного уравнения, а 1 получается потому, что корень характеристического уравнения равен нулю. Коэффициенты подобраны для выполнения условия m1(0) = m2(0) = 0.
149
Коэффициенты A1, A2, B1, B2 и z найдем, подставляя
эти решения в (2) и (3). Подстановка в (2) дает
A1 − B1e − zw z = −λ1 A1w − λ1 B1 (e − zw − 1) − λ1α1 B2 +
λα
+ λ1α1 A2 ( w + θ) + B2 1 1 e − zw − λ1 (1 − α1 ) B1 +
zθ + 1
λ (1 − α1 ) − zw
+ B1 1
e + λ1 (1 − α1 ) A1 ( w + θ) + 1,
zθ + 1
∞
∞
∞
1 − zx− x
1
где ∫ xp( x)dx = θ , ∫ e − zx p( x)dx = ∫ e θ dx =
.
θ
z
θ
+1
0
0
0
Приравнивая коэффициенты при слагаемых, содержащих w, получим λ1α1A1 − λ1α1A2 = 0, откуда следует,
что A1 = A2. Далее их будем обозначать как A.
Приравнивая свободные члены, получаем
A = 1 + Aλ1θ + λ1α1 ( B1 − B2 ) .
(4)
Из уравнения (3) получим
A = 1 + Aλ 2 θ + λ 2 α 2 ( B2 − B1 ) .
(5)
Умножая (4) на λ1α1, (5) на λ2α2 и суммируя, получим явное выражение для A:
λ1α1 + λ 2 α 2
A=
.
λ1α1 (1 − λ 2 θ) + λ 2 α 2 (1 − λ1θ)
Определим знак A. Интенсивности переходов λ1 → λ2
и λ2 → λ1 равны λ1α1 и λ2α2. Значит, в состоянии λ1
поток находится в среднем 1/λ1α1, за этот интервал в
среднем придет 1/α1 заявок и может быть обслужено в
среднем 1/λ1α1θ заявок. Аналогично для состояния λ2.
1
1
1
1
+
>
+
.
Это приводит к условию
λ1α1θ λ 2 α 2 θ α1 α 2
После преобразований получаем следующее условие работоспособности системы: λ1α1(1−λ2θ) + λ2α2(1−λ1θ)>0, откуда следует, что A > 0.
Приравнивая коэффициенты при e−zw, получим, что
λα
⎛ λ α + λ 1 zθ
⎞
B1 ⎜ 1 1
− z ⎟ − B2 1 1 = 0 .
(6)
z
θ
+
1
z
θ +1
⎝
⎠
Такая же операция над (3) даст, что
λ α
⎛ λ α + λ 2 zθ
⎞
− B1 2 2 + B2 ⎜ 2 2
− z⎟ = 0.
(7)
zθ + 1
zθ + 1
⎝
⎠
Относительно B1 и B2 получили систему однородных алгебраических уравнений. Для того чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо, чтобы ее
детерминант был равен нулю:
λ 1 α 1 + λ 1 zθ
λ α
−z
− 1 1
zθ + 1
zθ + 1
D=
=0 .
λ 2α 2
λ 2 α 2 + λ 2 zθ
−
−z
zθ + 1
zθ + 1
Это условие определит нам z. Сначала отметим, что при
λα
− λ1α1
z=0 D= 1 1
= 0 , т.е. z = 0 является корнем
− λ 2α 2 λ 2α 2
характеристического уравнения. Раскрывая детерминант и
сокращая z, получим характеристическое уравнение для z:
z 3θ 2 − z 2 θ(λ1θ + λ 2 θ − 2) + z (1 − λ1θ(α1 + 1) −
− λ 2 θ(α 2 + 1) + λ1λ 2 θ 2 ) −
−λ1α1 (1 − λ 2 θ) − λ 2 α 2 (1 − λ1θ) = 0.
Найдем B1 и B2. Из (6) имеем
λ 1α 1
λ θ ⎞
⎛
( B1 − B 2 ) = B1 z ⎜⎜1 − 1 ⎟⎟ ;
θ +1⎠
zθ + 1
z
⎝
150
с другой стороны имеем выражение (4), откуда получается A(1 − λ1θ) − 1 = B1z(zθ + 1 − λ1θ).
Подставляя выражение для A, получим
λ1α1θ(λ1 − λ 2 )
B1 =
.
(λ1α1 (λ 2 θ − 1) + λ 2 α 2 (λ1θ − 1)) z ( zθ − λ1θ + 1)
Аналогично находится выражение для B2:
λ 2 α 2 θ(λ 2 − λ1 )
B2 =
.
(λ1α1 (λ 2 θ − 1) + λ 2 α 2 (λ1θ − 1)) z ( zθ − λ1θ + 1)
Период занятости начинается с прихода заявки, которая
несет с собой работу, распределенную по (1). Поэтому
средняя длительность периода занятости при условии, что
в момент его начала интенсивность была λ1, равна
∞
1
m1 = ∫ m1 ( w) e − w θ dw .
θ
0
Подставляя сюда выражение для m1(w), получим
zθ
⎛ 1
⎞
m1 = Aθ + B1 ⎜
− 1⎟ = Aθ + B1
.
z
θ
+
z
1
θ
+1
⎝
⎠
Подставим значение A и B1:
⎡ ( zθ + 2 − λ 1θ)(λ 1 α 1 + λ 2 α 2 ) zθ ⎤
m1 = ⎢1 +
⎥×
λ 1 α 1 (1 − λ 2 θ) + λ 2 α 2 (1 − λ 1 θ ⎦
⎣
θ
.
×
( zθ + 1)( zθ + 1 − λ 2 θ)
Аналогично
⎡ ( zθ + 2 − λ 2 θ)(λ 1 α 1 + λ 2 α 2 ) zθ ⎤
m1 = ⎢1 +
⎥×
λ 1α 1 (1 − λ 2 θ) + λ 2 α 2 (1 − λ 1θ ⎦
⎣
θ
.
×
( zθ + 1)( zθ + 1 − λ 1 θ)
Найдем среднее время простоя системы mi, если в
начальный момент поток находился в состоянии λ1.
Пусть в момент времени t в системе нет заявок, тогда
может произойти только приход новой заявки, который
завершит период простоя. В среднем заявка придет
через время 1/λ1. Таким образом, mi = 1/λ1.
РАСЧЕТ БЕЗУСЛОВНОЙ СРЕДНЕЙ
ДЛИТЕЛЬНОСТИ ПЕРИОДА ЗАНЯТОСТИ
Для вычисления безусловного среднего значения периода занятости надо найти вероятности πi того, что в начале
периода занятости λ = λi, тогда m = π1 m1 + π 2 m 2 .
РАСЧЕТ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Обозначим через i количество заявок в системе. Пусть
i = 0, т.е. система пуста. Найдем вероятности Pj1(0) того, что
система перейдет в состояние λ = λ1, i = 1, не заходя в состояние λ = λ2, i = 1, если в начальный момент времени она
находится в состоянии λ = λj, i = 0. Тогда, рассматривая состояние системы спустя время ∆t, можно записать
P11 (0) = (1 − λ1∆t ) P11 (0) + λ1∆t (1 − α1 ) ⋅ 1 + o(∆t ) ,
P21 (0) = (1 − λ 2 ∆t ) P21 (0) + λ 2 ∆tα 2 ⋅ 1 + o(∆t ) .
Отсюда получаем P11(0) = 1 − α1, P21(0) = α1. Аналогично P12(0) =α1, P22(0) = α2.
РАСЧЕТ ОСНОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Найдем теперь основные для дальнейшего вероятности Pj1(i) и Pj2(i). Здесь Pj1(i) есть вероятность перехода из состояния λ = λi, i = i в состояние λ = λ1, i = 1 с
заходом в состояние i = 0, т,е. при условии, что будет
опустошение системы. Тогда, рассматривая состояние
системы спустя время ∆t при i > 1, можно записать
1
P11 (i ) = (1 − λ 1 ∆t − ∆t ) P11 (i ) + λ 1 ∆tα 1 P21 (i + 1) +
θ
1
+ λ 1 ∆t (1 − α 1 ) P11 (i + 1) + ∆tP11 (i − 1) + o(∆t ),
θ
1
P21 (i ) = (1 − λ 2 ∆t − ∆t ) P21 (i ) + λ 2 ∆tα 2 P11 (i + 1) +
θ
1
+ λ 2 ∆t (1 − α 2 ) P21 (i + 1) + ∆tP21 (i − 1) + o(∆t ).
θ
Это приводит к системе (обозначим li = λiθ, ai = aiθ)
l1 a1 P21 (i + 1) + l1 (θ − a1 ) P11 (i + 1) +
+ θP11 (i − 1) − (l1θ + θ) P11 (i ) = 0,
l 2 a 2 P11 (i + 1) + l 2 (θ − a 2 ) P21 (i + 1) +
+ θP21 (i − 1) − (l 2 θ + θ) P21 (i ) = 0.
Как это следует из общей теории, будем искать решение в виде P11 (i ) = C ⋅ κ i −1 ; P11 (i ) = (C ⋅ K ) ⋅ κ i −1 . Это
приводит к системе
l1a1 (CK )k 2 + C (l1 (θ − a1 )k 2 + θ − (l1θ + θ)k ) = 0 ; (8)
l2 a2Ck 2 + (CK )(l2 (θ − a2 )k 2 + θ − (l2θ + θ)k ) = 0. (9)
Чтобы система имела не нулевое решение относительно C и (C⋅K), надо, чтобы ее детерминант был равен 0 , т.е.
l1 (θ − a1 )k 2 + θ(1− (l1 +1))k
l1a1
=0.
l2 a2
l2 (θ − a2 )k 2 + θ(1− (l2 +1)k
Один корень этого уравнения очевиден – это κ = 1 ,
так как при этом определитель принимает вид
− l1a1 l1a1
=0.
l2 a2 − l2 a2
Заметим, что величина K, соответствующая этому
корню, равна 1 .
Для нахождения уравнения, определяющего остальные корни, раскроем детерминант и получившийся многочлен четвертой степени поделим на двучлен κ − 1 . Тогда получим относительно κ уравнение третьей степени:
k 3 l1l 2 (θ − a1 − a 2 ) + k 2 (l1 a1 + l 2 a 2 −
− θ(l1 + l 2 + l1l 2 )) + kθ(l1 + l 2 + 1) − θ = 0.
Это уравнение имеет три разных вещественных корня.
Из них только один корень, лежащий на отрезке (0, 1),
соответствует стационарному режиму. В дальнейшем
через κ обозначен именно этот корень.
Выведем еще выражение для константы K, соответствующее этому корню. Из уравнения (8) получаем
θ(1 − k )(1 − kl1 )
(10)
1− K =
,
l1a1k 2
а из (9)
K − 1 θ(1 − k )(1 − kl2 )
(11)
=
.
K
l 2 a2 k 2
Из (10) и (11) получаем выражение для K, соответ(1 − kl1 )l2 a2
ствующее корню κ : K = −
.
(1 − kl2 )l1a1
С учетом полученных результатов мы можем написать
P11 (i) = C + D ⋅ κ i−1 ,
(12)
P21 (i ) = C + D ⋅ Kκ i −1.
Для нахождения констант C и D надо выписать уравнения для P11(1) и P21(1) с учетом того, что мы обязательно должны пройти через состояние i = 0. Тогда имеем
1
P11 (1) = (1 − λ1∆t − ∆t ) P11 (1) + λ1∆tα1 P21 (2) +
θ
1
+ λ1∆t (1 − α1 ) P11 (2) + ∆tP11 (0) + o(∆t ),
θ
1
P21 (1) = (1 − λ 2 ∆t − ∆t ) P21 (1) + λ 2 ∆tα 2 P11 (2) +
θ
1
+ λ 2 ∆t (1 − α 2 ) P21 (2) + ∆tP21 (0) + o(∆t ),
θ
где P11(0) и P21(0) были найдены ранее. Отсюда обычным образом получаем систему
1
1
P11 (1)(λ1 + ) = λ1α1 P21 (2) + λ1 (1 − α1 ) P11 (2) + P11 (0) ,
θ
θ
1
1
P21 (1)(λ 2 + ) = λ 2 α 2 P11 ( 2) + λ 2 (1 − α 2 ) P21 (2) + P 21 (0) .
θ
θ
Подставим сюда (12) и получим
1
1
(C + D) + λ1 D(1 − k ) + λ1α1 Dk (1 − K ) = P11 (0) ,
θ
θ
1
1
(C + DK ) + λ 2 DK (1 − k ) + λ 2 α 2 Dk (1 − K ) = P21 (0) .
θ
θ
Отсюда находится C и D. Явное выражение не выписано из-за громоздкости.
Для дальнейшего нам нужна лишь вероятность
P21(1), которую мы будем обозначать как π21. Так как
всякий период занятости начинается из состояния 1, то,
по смыслу, P21(1) есть вероятность того, что следующий период занятости начнется при λ = λ1, если текущий период занятости начался при λ = λ2.
Аналогичными рассуждениями находится π12.
Пусть πi, i = 1, 2 есть финальные (стационарные)
вероятности того, что период занятости начнется из
состояния λ = λi. Поэтому для определения π1 и π2 мы
имеем обычную систему
π1 ⋅ π12 + π 2 π 22 = π 2 ,
π1 ⋅ π11 + π 2 π 21 = π1 ,
π1 + π 2 = 1,
откуда π1 =
π12
π 21
, π2 =
.
π12 + π 21
π12 + π 21
СТАЦИОНАРНАЯ ПЛОТНОСТЬ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
НЕЗАВЕРШЕННОЙ РАБОТЫ
Обозначим через πi(w), i = 1, 2 стационарную плотность вероятностей незавершенной работы при условии, что интенсивность потока λ = λ1. Выведем уравнение для π1(w).
Пусть в некоторый момент времени t величина незавершенной работы равна w. Рассмотрим момент времени t − ∆t.
Тогда попасть в состояние w можно различными путями.
1. С вероятностью 1 − λ1∆t + o(∆t) за время ∆t не наступило события потока. Тогда незавершенная работа
была w + ∆t.
2. С вероятностью λ1∆t(1 − α1) + o(∆t) за время ∆t
пришла новая заявка, но состояние потока не изменилось. Тогда незавершенная работа была π01µe−µw+
w
+ ∫ π1 ( x)µe −µ ( w− x ) dx, где π01 − вероятность того, что в
0
151
момент времени t − ∆t система была пуста, а µ = 1/θ −
интенсивность обслуживания.
3. С вероятностью λ2α2∆t пришла новая заявка и
изменилось состояние потока. Тогда незавершенная работа была π 02µe
−µw
w
+ ∫ π 2 ( x)µe
−µ ( w − x )
В итоге получим уравнение для π1 (w ) :
π1′ ( w) − λ1π1 ( w) + λ1 (1 − α1 )(π 01µe −µw +
w
+ ∫ π1 ( x)µe −µ ( w− x ) dx) + λ 2 α 2 (π 02µe −µw +
0
w
+ ∫ π 2 ( x)µe −µ ( w− x ) dx) = 0 .
(13)
0
Аналогично получим уравнение для π2(w):
π′2 ( w) − λ 2 π 2 ( w) + λ 2 (1 − α 2 )(π 02µe −µw +
w
+ ∫ π 2 ( x)µe −µ ( w− x ) dx) + λ1α1 (π 01µe −µw +
0
w
+ ∫ π1 ( x)µe −µ ( w− x ) dx) = 0 .
(14)
0
Для решения этой системы уравнений перейдем к пре∞
образованиям Лапласа ~
πi (s ) = ∫ πi (w) e − sw dw , i = 1, 2.
0
Тогда π′i (w ) ↔ s~
π i (s ) − π i (0 ) , µ e − µw ↔ µ (µ + s ) , и поэтому система (13), (14) принимает вид
~
π1 ( s )( s 2 + s (µ − λ1 ) − λ1α1µ) + ~
π 2 ( s )λ 2 α 2 µ =
= π1 (0) − µ(λ1 (1 − α1 )π 01 + λ 2 α 2 π 02 ) ,
~
π ( s )( s 2 + s (µ − λ ) − λ α µ) + ~
π ( s )λ α µ =
2
2
2
1
Поэтому
D1
.
(15)
s (s − z 0 )(s + z1 )(s + z 2 )
Заметим, что ~
π1 (s ) определена для всех s ≥ 0, а у формулы (15) имеется две особые точки – s = 0 и s = z0, когда
происходит деление на нуль. Чтобы не было особенностей,
надо чтобы при s = 0 и s = z0 обращался в нуль также и числитель. Это приводит к следующей системе уравнений:
точка s = 0: π1 (0 ) + π 2 (0 ) = λ1µπ 01 + λ 2µπ 02 ,
точка s = z0:
(π1 (0) − µ(λ1 (1 − α1 )π 01 + λ 2 α 2 π 02 )) ×
× ( z 02 + z 02 (µ − λ 2 ) − λ 2 α 2 µ) =
= λ 2 α 2 µ(π 2 (0) − µ(λ 2 (1 − α 2 )π 02 + λ1α1π 01 )),
что и дает систему уравнений, определяющую π1(0) и
π2(0) через π01 и π02.
Аналогично определяем ~
π 2 (s ) .
Будем считать, что π01 и π02 заданы и π1(0) и π2(0) выражены через них. Тогда выражения для ~
π1 (s ) можно
C
D
1
1
π1 (s ) =
−
, так что
разложить на простейшие ~
s + z1 s + z 2
~
π1 (s ) =
dx.
0
2
= (π1 (0) − µ(λ1 (1 − α1 )π 01 + λ 2 α 2 π 02 ))( s 2 + s (µ − λ 2 ) −
− λ 2 α 2 µ) − λ 2 α 2µ(π 2 (0) −
− µ(λ 2 (1 − α 2 )π 02 + λ1α1π 01 )) = D1 .
1
явный вид π1(w) следующий: π1 (w) = C1e − z1w + D1e − z2 w ;
явный вид С1 и D1 не выписан из-за громоздкости.
Аналогично, ~
π 2 (s ) можно представить в виде
C
D
~
π2 (s ) = 2 − 2 .
s + z1 s + z2
1
= π 2 (0) − µ(λ 2 (1 − α 2 )π 02 + λ1α1π 01 ) .
Рассмотрим детерминант этой системы:
s 2 + s (µ − λ1 ) − λ1α1µ
λ 2 α 2µ
D=
=
λ1α1µ
s 2 + s (µ − λ 2 ) − λ 2 α 2 µ
= s[ s 3 + s 2 (2µ − λ1 − λ 2 ) + s (µ 2 − λ1µ − λ 2µ + λ1λ 2 ) −
− λ1α1µ 2 + λ1α1λ 2µ − λ 2 α 2µ 2 + λ1α 2 λ 2µ] .
Нам нужны корни уравнения D = 0. Один из них очевиден – s = 0. Остальные три определяются из уравнения
s 3 + s 2 (2µ − λ1 − λ 2 ) + s (µ 2 − λ1µ − λ 2µ + λ1λ 2 ) −
− λ1α1µ 2 + λ1α1λ 2µ − λ 2 α 2µ 2 + λ1α 2 λ 2µ = 0 ,
которое имеет один положительный и два отрицательных
корня. Положительный корень мы обозначим через z0, а
отрицательные – как −z1 и −z2, так что z1 > 0, z2 > 0; z0, z1 и
z2 можно найти лишь численно. Тогда можно записать
D = s (s − z 0 )(s + z1 )(s + z 2 ) , и именно этим выражением
мы будем пользоваться в дальнейшем.
Найдем теперь вид ~
π1 ( s) и ~
π1 ( s) . Имеем
π1 (0) − µ(λ1 (1 − α1 )π 01 + λ 2 α 2 π 02 )
λ 2 α 2µ
2
π 2 (0) − µ(λ 2 (1 − α 2 )π 02 + λ1α1π 01 ) s + s (µ − λ 2 ) − λ 2 α 2µ
Явный вид π2(w) следующий: π 2 (w) = C2 e − z1w + D2 e − z2w .
Теперь можно найти и недостающие константы π01
и π02 из условия нормировки
∞
C
D
π 01 = 1 − ∫ π1 (w) dw = 1 − 1 + 1 ,
z
z2
1
0
∞
C
D
π 02 = 1 − ∫ π 2 (w) dw = 1 − 2 + 2 .
z
z2
1
0
Финальные вероятности значений интенсивности потока
α 2λ 2
,
P { λ (t ) = λ1} =
α1λ1 + α 2 λ 2
α1λ1
P { λ (t ) = λ 2 } =
α1λ1 + α 2 λ 2
для безусловной плотности вероятностей π(w) незавершенной работы w можно записать
α λ π (w) + α1λ1π 2 (w)
π ( w )= 2 2 1
.
α1λ1 + α 2 λ 2
Выведенные выше формулы могут быть реализованы программно, что позволит численно найти все по= лученные выше характеристики СМО.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гнеденко Б.В. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987. 336 с.
Статья представлена кафедрой прикладной информатики факультета информатики Томского государственного университета, поступила в
научную редакцию «Информатика» 25 мая 2004 г.
152
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа