close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Статистические алгоритмы решения задачи Коши для параболических уравнений второго порядка. . Сопряженная. Схема

код для вставкиСкачать
УДК 519.71
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 1
СТАТИСТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
«СОПРЯЖЕННАЯ» СХЕМА∗
А. С. Сипин
Вологодский государственный педагогический университет,
канд. физ.-мат. наук, доцент, cac1909@mail.ru
1. Введение. В работе предложены алгоритмы статистического моделирования
для вычисления значений функционалов от решения задачи Коши для параболического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.
(T )
Пусть в области Dn+1 = En × (0, T ) задан невырождающийся параболический
оператор
n
n
X
X
∂ ∂
∂
∂2
∂
L = L x, t,
ai (x, t)
ai,j (x, t)
=
+
+ a0 (x, t), (1.1)
,
−
∂x ∂t
∂t i,j=1
∂xi ∂xj
∂x
i
i=1
(T )
коэффициенты которого принадлежат классу H α,α/2 (Dn+1 ), α < 1. Матрица коэффициентов при старших производных предполагается симметричной, а ее собственные
числа лежат в фиксированном отрезке [ν, µ] и ν > 0.
Рассмотрим задачу Коши
∂ ∂
u = f, u|t=0 = ϕ(x).
(1.2)
,
L x, t,
∂x ∂t
Показано [1], что уравнение (1.2) имеет фундаментальное решение Z(x, y, t, τ ).
Пусть функция f удовлетворяет условию Гёльдера по всем своим аргументам, ϕ
2
непрерывна, а f и ϕ растут при |x| → ∞ не быстрее ea|x| . Тогда решение задачи
(1.2) может быть записано в виде суммы потенциалов:
Z
Z t Z
Z(x, y, t, 0)ϕ(y)dy.
(1.3)
Z(x, y, t, τ )f (y, τ )dy +
u(x, t) =
dτ
0
En
En
Константа a зависит от T и коэффициентов уравнения.
(T )
Пусть h(x, t) — интегрируемая на Dn+1 по мере Лебега функция. Для оценки
функционала
Z T Z
h(x, t)u(x, t)dx
(1.4)
Φ(h) =
dt
0
En
обычно выбирают плотность распределения начальной точки π(x, t) и какую-либо
несмещенную оценку ξ(x, t) решения u(x, t). Тогда величина
h(x0 , t0 )ξ(x0 , t0 )
π(x0 , t0 )
∗ Работа
c
выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00769).
А. С. Сипин, 2012
57
будет несмещенной оценкой Φ(h), если (x0 , t0 ) имеет плотность распределения π, согласованную с функцией h. Дисперсия оценки функционала заведомо будет конечной,
если функция
h2 (x, t)
π(x, t)
(T )
интегрируема на Dn+1 по мере Лебега, а в качестве ξ(x0 , t0 ) выбрана оценка для
u(x, t) с конечной дисперсией [2]. Такие оценки функционалов рассмотрены в работе
[3]. Там же имеется подробный обзор статистических методов решения задачи Коши.
Для случая дифференцируемых коэффициентов уравнения можно получить, используя формулы Грина, интегральное уравнение для u(x, t) и решить его методом
Монте-Карло. Такие алгоритмы рассмотрены в работах [4] и [5] для уравнений, главной частью которых является оператор Лапласа. На уравнение с переменной матрицей старших коэффициентов они непосредственно не переносятся.
Фундаментальное решение, в свою очередь, является функционалом от решения
Q некоторого интегрального уравнения Вольтерра [1], к которому применима схема
Неймана—Улама [2]. Таким образом, речь идет о построении несмещенных оценок
функционалов от Q. В работе [3] для этого использована «прямая» схема построения несмещенных оценок от решений интегральных уравнений, а в данной работе —
«сопряженная» схема.
Отметим, что дополнительных условий гладкости от коэффициентов уравнения
не требуется. В отличие от «прямой», в «сопряженной» схеме не используются в явном
виде границы спектра ν, µ матрицы коэффициентов при старших производных.
2. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. В этом разделе представлены некоторые результаты из [1], связанные с построением фундаментального решения Z(x, y, t, τ ) для уравнения теплопроводности.
Фиксируем точку (y, τ ). Пусть A(y, τ ) — матрица, составленная из старших
коэффициентов aij (y, τ ) оператора L, A(i,j) (y, τ ) — элементы обратной матрицы
A−1 (y, τ ). Рассмотрим функцию Z0 , которая при t > τ определяется равенством
Z0 (x − y, y, t, τ ) =
1
×
1/2
(det A(y, τ ))


n
X
1
× exp −
A(i,j) (y, τ )(xi − yi )(xj − yj ) . (2.1)
4(t − τ ) i,j=1
[4π(t − τ )]
n/2
При t < τ функция Z0 (x − y, y, t, τ ) = 0. Функция Z0 удовлетворяет неравенству
Z0 (x − y, y, t, τ ) ≤
где
Z1 (x − y, t − τ ) =
µ n/2
ν
Z1 (x − y, t − τ ),
1
[4πµ(t − τ )]
n/2
|x − y|2
exp −
.
4µ(t − τ )
Фундаментальное решение Z можно представить в виде
Z t Z
Z0 (x − z, z, t, λ)Q(z, y, λ, τ )dz,
dλ
Z(x, y, t, τ ) = Z0 (x − y, y, t, τ ) +
τ
58
En
(2.2)
(2.3)
где функция Q является решением уравнения Вольтерра
Z t Z
K(x, z, t, λ)Q(z, y, λ, τ )dz + K(x, y, t, τ ) = 0,
dλ
Q(x, y, t, τ ) +
(2.4)
En
τ
а функция K определена равенством
K(x, z, t, λ) =
n
X
i,j=1
[ai,j (z, λ) − ai,j (x, t)]
+
n
X
ai (x, t)
i=1
∂ 2 Z0 (x − z, z, t, λ)
+
∂xi ∂xj
∂Z0 (x − z, z, t, λ)
+ a0 (x, t)Z0 (x − z, z, t, λ). (2.5)
∂xi
Существуют положительные постоянные C и c, такие что при 0 ≤ τ < t
|x − y|2
−(n+2−α)/2
|K(x, y, t, τ )| ≤ c(t − τ )
exp −C
.
t−τ
(2.6)
Пусть K1 (x, y, t, τ ) = K(x, y, t, τ ). Для повторных ядер
Km (x, y, t, τ ) =
Z
t
dλ
τ
Z
K(x, z, t, λ)Km−1 (z, y, λ, τ )dz, m = 2, 3, . . .
(2.7)
En
при 0 ≤ τ < t по индукции доказывается оценка
n(m−1)/2 Γm α |x − y|2
(−n−2+mα)/2
m π
2
(t
−
τ
)
exp
−C
, (2.8)
|Km (x, y, t, τ )| ≤ c
C
t−τ
Γ mα
2
где Γ(α) обозначает гамма-функцию.
Из оценки (2.8) следует, что ряд Неймана для уравнения (2.4) сходится равномерно при t − τ > 0,
Q(x, y, t, τ ) =
∞
X
(−1)m Km (x, y, t, τ ),
(2.9)
m=1
и справедливо неравенство
−(n+2−α)/2
|Q(x, y, t, τ )| ≤ c1 (t − τ )
|x − y|2
.
exp −C
t−τ
(2.10)
3. Оценка функционалов. Для вычисления функционала Φ(h) (1.4) будем использовать «сопряженную» схему Неймана—Улама, которая позволяет включить в
плотность вероятности перехода ядро Z0 , что может привести к уменьшению дисперсии. Для этого, используя (1.4), (1.3) и (2.3), запишем функционал в виде
Φ(h) = Φ1 (h) + Φ2 (h) + Φ3 (h) + Φ4 (h) =
Z t Z
Z T Z
dτ
dxh(x, t)
dt
=
0
En
0
En
Z0 (x − y, y, t, τ )f (y, τ )dy+
59
+
+
Z
T
0
+
dt
Z
Z
Z
dxh(x, t)
dτ
dλ
T
dt
En
0
Z
dxh(x, t)
En
T
dt
Z
Z
t
0
Z
dxh(x, t)
En
0
Z
En
En
Z
Z
t
τ
t
dλ
Z
Z
Z
En
Z0 (x − z, z, t, λ)Q(z, y, λ, τ )dz f (y, τ )dy+
Z0 (x − z, z, t, λ)Q(z, y, λ, 0)dz ϕ(y)dy.
En
0
Z0 (x − y, y, t, 0)ϕ(y)dy+
En
(3.1)
Заметим, что функция Z0 (x − y, y, t, τ ) по переменной x является плотностью
распределения нормального случайного вектора X, у которого матрица ковариаций
2(t − τ )A(y, τ ), а среднее равно y. Такой вектор моделируется по формуле
X =y+
p
p
2(t − τ ) A(y, τ )Ξ,
√
где A — треугольная матрица квадратного корня из матрицы A, Ξ — нормальный
случайный вектор с единичной матрицей ковариаций и нулевым средним.
Предполагая ϕ(y) интегрируемой в En по мере Лебега, а h(x, t) ограниченной,
получаем несмещенную оценку для Φ2 (h):
φ2 = T
√
p
ϕ(Y ) h Y + 2T θ A(Y, T θ)Ξ, T θ ,
π2 (Y )
(3.2)
где случайная величина θ распределена равномерно на отрезке [0, 1], а случайный
вектор Y имеет плотность распределения π2 (y), согласованную с функцией ϕ(y).
(T )
Предполагая f (y, τ ) интегрируемой на Dn+1 по мере Лебега, меняя порядок интегрирования по переменным t и τ , аналогично получаем несмещенную оценку для
Φ1 (h):
φ1 = (T − Θ)
p
p
f (Y, Θ) h Y + 2(T − Θ)θ A(Y, (T − Θ)θ)Ξ, Θ + (T − Θ)θ ,
π1 (Y, Θ)
(3.3)
где случайный вектор (Y, Θ) имеет плотность распределения π1 (y, τ ), согласованную
с функцией f (y, τ ).
Для оценивания Φ3 (h) сделаем замену переменной и представим его в виде
Φ3 (h) =
Z
0
T
dτ
Z
dyf (y, τ )
Z
τ
En
T
dλ
Z
dz
En
×
Z
En
Z
T
dt×
λ
Z0 (x − z, z, t, λ)Q(z, y, λ, τ )h(x, t)dx.
(3.4)
Используя (2.9), получаем следующие несмещенные оценки для Q(z, y, λ, τ ):
ψ=−
m−1
N X
1
Km (z, y, λ, τ ),
−
1−q
m=1
N −1
1
KN (z, y, λ, τ )
ψ′ = − −
.
1−q
q
60
(3.5)
(3.6)
Здесь 0 < q < 1, а N имеет геометрическое распределение, то есть при m = 1, 2, . . .
P (N = m) = q(1 − q)m−1 . Подставляя оценки (3.5) и (3.6) в (3.4), получаем несмещенные оценки для Φ3 (h), которые подлежат дальнейшей рандомизации. Для этого
нужно выполнить несмещенное оценивание функционалов
Ψm (h) =
Z
T
dτ
0
Z
dyf (y, τ )
En
Z
T
τ
Z T
Z
dz
dt×
dλ
λ
E
Z n
Z0 (x − z, z, t, λ)Km (z, y, λ, τ )h(x, t)dx.
×
(3.7)
En
Воспользуемся процедурой оценивания, предложенной в [6] для решения начально(T )
краевой задачи. Пусть v(z, λ) — ограниченная функция в Dn+1 . Рассмотрим интеграл
V (y, τ ) =
Z
T
dλ
v(z, λ)K(z, y, λ, τ )dz.
(3.8)
En
τ
Пусть
Z
S10 (y, τ ) = ω ∈ En |ω T A−1 (y, τ )ω = 1
— эллипсоид с центром в нуле,
σn =
2π n/2
Γ( n2 )
— площадь поверхности сферы радиуса 1 в En . Случайный вектор Ω распределен на
S10 (y, τ ) с плотностью
p(y, τ, ω) =
1
p
.
σn A(y, τ )|A−1 (y, τ )ω|
(3.9)
Его можно моделировать по формуле
Ω=
p
A(y, τ )Ω1 ,
(3.10)
где Ω1 — изотропный единичный вектор в пространстве [7]. Тогда
V (y, τ ) = −
Z
τ
T
dλ
Z
∞
dr×
0
!
n − T r A(y + rΩ, λ)A−1 (y, τ )
r2
n−1
exp −
r
v(y + rΩ, λ) −
×E
n
4(λ − τ )
(λ − τ )Γ( n2 )(4(λ − τ )) 2
Z T
Z ∞
2r2 ΩT A−1 (y, τ )A(y + rΩ, λ)A−1 (y, τ )Ω − 1
×
−
dλ
drE
n
4(λ − τ )2 Γ( n2 )(4(λ − τ )) 2
τ
0
r2
× exp −
rn−1 v(y + rΩ, λ)−
4(λ − τ )
′
Z T
Z ∞
ra (y + rΩ, λ)A−1 (y, τ )Ω
r2
n−1
r
v(y
+
rΩ,
λ)
+
−
dλ
drE
exp
−
n
4(λ − τ )
(λ − τ )Γ( n2 )(4(λ − τ )) 2
τ
0
Z ∞
Z T
2rn−1
r2
drEa0 (y + rΩ, λ)v(y + rΩ, λ) n
dλ
+
−
, (3.11)
n exp
4(λ − τ )
Γ( 2 )(4(λ − τ )) 2
0
τ
61
где знак E означает математическое ожидание (по Ω). Из условия принадлежности
коэффициентов уравнения классам Гёльдера вытекает следующее представление для
выражений в первых двух интегралах:
n − T r A(y + rΩ, λ)A−1 (y, τ ) = T r [A(y, τ ) − A(y + rΩ, τ )] A−1 (y, τ ) +
+ T r [A(y + rΩ, τ ) − A(y + rΩ, λ)] A−1 (y, τ ) =
= g1 (y + rΩ, y, τ )rα + g2 (y + rΩ, y, λ, τ )(λ − τ )α/2 , (3.12)
T −1
Ω A (y, τ )A(y + rΩ, λ)A−1 (y, τ )Ω − 1 =
= ΩT A−1 (y, τ ) [A(y + rΩ, τ ) − A(y, τ )] A−1 (y, τ )Ω+
+ ΩT A−1 (y, τ ) [A(y + rΩ, λ) − A(y + rΩ, τ )] A−1 (y, τ )Ω =
= h1 (y + rΩ, y, τ )rα + h2 (y + rΩ, y, λ, τ )(λ − τ )α/2 , (3.13)
где g1 , g2 , h1 , h2 суть ограниченные функции. Подставляя эти выражения в (3.11) и
выполняя замену переменной
r2
s=
,
4(λ − τ )
получаем для V (y, τ ) представление
62
Z
Z ∞
n+α
α
2α
2 −1 exp(−s)×
dλ(λ − τ ) 2 −1
ds
n s
2Γ( 2 )
τ
0
p
p
× E g1 (y + 2 s(λ − τ )Ω, y, τ )v(y + 2 s(λ − τ )Ω, λ) −
Z T
Z ∞
α
n
1
2 −1 exp(−s)×
−
dλ(λ − τ ) 2 −1
ds
n s
2Γ( 2 )
τ
0
p
p
× E g2 (y + 2 s(λ − τ )Ω, y, λ, τ )v(y + 2 s(λ − τ )Ω, λ) −
Z T
Z ∞
α
2α n+2+α
−
dλ(λ − τ ) 2 −1
ds n s 2 −1 exp(−s)×
Γ( 2 )
τ
0
p
p
× E h1 (y + 2 s(λ − τ )Ω, y, τ )v(y + 2 s(λ − τ )Ω, λ) −
Z T
Z ∞
n+2
α
1
−
dλ(λ − τ ) 2 −1
ds n s 2 −1 exp(−s)×
Γ( 2 )
τ
0
p
p
× E h2 (y + 2 s(λ − τ )Ω, y, λ, τ )v(y + 2 s(λ − τ )Ω, λ) −
Z T
Z ∞
n+1
1
1
−
dλ(λ − τ )− 2
ds n s 2 −1 exp(−s)×
Γ( 2 )
τ
0
p
p
× E a′ (y + 2 s(λ − τ )Ω, λ)A−1 (y, τ )Ωv(y + 2 s(λ − τ )Ω, λ) +
Z T
Z ∞
n
1
+
dλ
ds n s 2 −1 exp(−s)×
Γ( 2 )
τ
0
p
p
× E a0 (y + 2 s(λ − τ )Ω, λ)v(y + 2 s(λ − τ )Ω, λ) . (3.14)
V (y, τ ) = −
T
Пусть γ(m) — случайная величина, имеющая гамма распределение с параметром
m. Тогда представление (3.14) можно записать в виде
s !
2α Γ( n+α
n+α
2 )
Eg1 y + 2 γ
V (y, τ ) = −
(λ − τ )Ω, y, τ ×
dλ(λ − τ )
2Γ( n2 )
2
τ
s !
n+α
×v y+2 γ
(λ − τ )Ω, λ) −
2
r Z T
n
1
α
−1
−
dλ(λ − τ ) 2
Eg2 y + 2 γ
(λ − τ )Ω, y, λ, τ ×
2
2
τ
r n
(λ − τ )Ω, λ) −
×v y+2 γ
2
s !
Z T
2α Γ( n+2+α
)
α
n
+
2
+
α
−1
2
−
dλ(λ − τ ) 2
Eh1 y + 2 γ
(λ − τ )Ω, y, τ ×
Γ( n2 )
2
τ
s !
n+2+α
(λ − τ )Ω, λ) −
×v y+2 γ
2
s !
Z T
α
n+2
n
−1
(λ − τ )Ω, y, λ, τ ×
Eh2 y + 2 γ
dλ(λ − τ ) 2
−
2
2
τ
s !
n+2
×v y+2 γ
(λ − τ )Ω, λ −
2
s !
Z T
n+1
)
1 Γ(
n
+
1
2
Ea′ y + 2 γ
(λ − τ )Ω, λ A−1 (y, τ )Ω×
−
dλ(λ − τ )− 2
Γ( n2 )
2
τ
s !
n+1
(λ − τ )Ω, λ +
×v y+2 γ
2
r r Z T
n
n
dλEa0 y + 2 γ
+
(λ − τ )Ω, λ v y + 2 γ
(λ − τ )Ω, λ . (3.15)
2
2
τ
Z
T
α
2 −1
Оценивая интегралы по переменной λ, получаем несмещенную оценку η(y, τ ) для
V (y, τ ):
s !
2α Γ( n+α
n+α
2 )
g1 y + 2 γ
(T − τ )ϑΩ, y, τ ×
η(y, τ ) = −(T − τ )
αΓ( n2 )
2
s !
n+α
(T − τ )ϑΩ, τ + (T − τ )ϑ) −
×v y+2 γ
2
r α 1
n
2
− (T − τ )
(T − τ )ϑΩ, y, τ + (T − τ )ϑ, τ ×
g2 y + 2 γ
α
2
r
n
×v y+2 γ
(T − τ )ϑΩ, τ + (T − τ )ϑ)) −
2
α
2
63
s !
)
2α+1 Γ( n+2+α
n+2+α
2
(T − τ )ϑΩ, y, τ ×
− (T − τ )
h1 y + 2 γ
αΓ( n2 )
2
s !
n+2+α
×v y+2 γ
(T − τ )ϑΩ, τ + (T − τ )ϑ) −
2
s !
n+2
α n
(T − τ )ϑΩ, y, τ + (T − τ )ϑ, τ
− (T − τ ) 2 × h2 y + 2 γ
α
2
s !
n+2
(T − τ )ϑΩ, τ + (T − τ )ϑ −
×v y+2 γ
2
s !
n+1
)
1 2Γ(
n
+
1
2
− (T − τ ) 2
a′ y + 2 γ
(T − τ )δΩ, τ + (T − τ )δ A−1 (y, τ )Ω×
Γ( n2 )
2
s !
n+1
(T − τ )δΩ, τ + (T − τ )δ +
×v y+2 γ
2
r n
+ (T − τ )a0 y + 2 γ
(T − τ )θΩ, τ + (T − τ )θ ×
2
r n
(T − τ )θΩ, τ + (T − τ )θ , (3.16)
×v y+2 γ
2
α
2
где случайные величины ϑ,√
δ, θ распределены на отрезке [0, 1]. Величины ϑ, δ имеют
плотности α/2sα/2−1 и 1/(2 s) соответственно, а θ распределена равномерно. Выбирая с вероятностью 1/6 одно из слагаемых в (3.16) и умножая его на 6, получаем
окончательную несмещенную оценку ζ(y, τ ) для V (y, τ ).
Оценки ψm для функционалов Ψm (h) из (3.7) будем строить на траекториях
неоднородной цепи Маркова {(yk , τk )}∞
k=0 . Начальное состояние цепи выбирается в
(T )
Dn+1 с некоторой плотностью π(y, τ ), согласованной с функцией f (y, τ ). В оценку
ψm при этом записывается дробь
f (y0 , τ0 )
.
π(y0 , τ0 )
Далее, последовательно выполняются m переходов, на каждом из которых реализуется оценка ζ(yk , τk ) по независимым в совокупности последовательностям случайных
∞
∞
∞
элементов {ϑk }∞
k=0 , {δk }k=0 , {θk }k=0 , {Ωk }k=0 . При этом ψm умножается на весовой
множитель в оценке ζ(yk , τk ), а аргументы функции v определяют следующее состояние цепи. Например, если на шаге k = 1, 2, . . . , m в оценке (3.16) было выбрано первое
слагаемое, то ψm нужно умножить на
s
!
n+α
α
)
2
Γ(
n
+
α
2
(T − τk−1 )ϑk−1 Ωk−1 , yk−1 , τk−1
−6(T −τk−1 )α/2
g1 yk−1 + 2 γk−1
αΓ( n2 )
2
и перейти в точку (yk , τk ) с координатами
s
n+α
yk = yk−1 + 2 γk−1
(T − τk−1 )ϑk−1 Ωk−1 ,
2
64
τk = τk−1 + (T − τk−1 )ϑk−1 .
На заключительном этапе, в соответствии с (3.7), выбираются время tm , распределенное равномерно на отрезке [τm , T ], и координата xm , распределенная нормально
с плотностью Z0 (x − ym , ym , tm , τm ), а оценка ψm умножается на (T − tm )h(xm , tm ).
Применяя формулы (3.4)–(3.7), получаем оценки функционала Φ3 (h):
m−1
N X
1
φ3 = −
−
ψm ,
1−q
m=1
N −1
1
ψN
φ′3 = − −
.
1−q
q
(3.17)
(3.18)
Функционал Φ4 (h) оценивается также по формулам (3.17)–(3.18), в которых величины ψm строятся на траекториях марковской цепи, стартующей из точки (y0 , 0).
Первоначальное значение оценки ψm равно
ϕ(y0 )
,
π(y0 )
где y0 распределено в En с плотностью π(y), согласованной с функцией ϕ(y).
Ограниченность дисперсий построенных оценок вытекает из ограниченности весового множителя в оценке ζ(y, τ ) и доказывается так же, как аналогичное утверждение в «прямой» схеме для первой краевой задачи [6].
Теорема 1. Пусть функция h(x, t) ограничена, а функция f 2 (y, τ )/π(y, τ ) — ин(T )
тегрируема в Dn+1 = En × (0, T ). Тогда дисперсии оценок φ3 и φ′3 конечны.
Доказательство. Оценим второй момент для φ′3 :
E(φ′3 )2
=
∞
X
2
Eψm
.
q(1 − q)m−1
m=1
(3.19)
Заметим, что
2
Eψm
=E
f 2 (y0 , τ0 ) m−1 e2
Π
ζ (yk , τk )(T − tm )2 h2 (xm , tm ),
π(y0 , τ0 ) k=0
e k , τk ) — весовой множитель в оценке ζ(yk , τk ). Рассмотрим интегральный операгде ζ(y
тор, определенный представлением (3.14), в котором все
p интегралы берутся со знаком
«+», а функции g1 , g2 , h1 , h2 , a0 и выражение a′ (y + 2 s(λ − τ )Ω, λ)A−1 (y, τ )Ω заменяются на их модули. Пусть K(x, y, t, τ ) — ядро этого оператора, а K m (x, y, t, τ ) — его
повторное ядро. Для ядра K(x, y, t, τ ) справедлива оценка (2.6) с некоторыми новыми
постоянными c1 и C1 , поэтому ряд из повторных ядер
∞
X
B m K m (x, y, t, τ )
(3.20)
m=1
e k , τk ) в оценравномерно сходится для любой постоянной B. Весовой множитель ζ(y
ке ζ(yk , τk ) ограничен
в
силу
ограниченности
функций
g
,
g
,
h
,
h
1
2
1
2 , a0 и выражеp
ния a′ (y + 2 s(λ − τ )Ω, λ)A−1 (y, τ )Ω. Поэтому, существует постоянная B, такая что
e k , τk )| ≤ (1 − q)B. Тогда,
|ζ(y
65
2
Eψm
≤
Z
T
0
Z T
Z
Z
f 2 (y, τ ) T
dz
dt×
dλ
dy
dτ
π(y, τ ) τ
λ
En
En
Z
Z0 (x − z, z, t, λ)(1 − q)m B m K m (z, y, λ, τ )h2 (x, t)dx.
×
Z
(3.21)
En
Теперь, из равенства (3.19) следует неравенство
E(φ′3 )2 ≤
Z
T
dτ
0
Z T
Z
Z
f 2 (y, τ ) T
dz
dt×
dλ
π(y, τ ) τ
λ
En
En
Z
1−q
× 2
Z0 (x − z, z, t, λ)Q(z, y, λ, τ )T h2 (x, t)dx < ∞, (3.22)
q
En
Z
dy
где Q — сумма ряда (3.20).
Для второго момента случайной величины φ3
E(φ3 )2 ≤
∞
X
∞
∞
2
X
X
Eψm
|ψm |
+
2
E
|ψl |.
(1 − q)m−1
(1 − q)m−1
m=1
m=1
(3.23)
l=m+1
Уже доказано, что первое слагаемое в (3.23) конечно. Пусть Fm — σ-алгебра, порожденная цепью до момента времени m, а функция h1 (y, τ ) определена равенством
h1 (y, τ ) =
Z
T
dλ
τ
Z
T
λ
dt
Z
тогда
E
∞
X
l=m+1
|ψl ||Fm
dz
En
!
=
Z
En
Z0 (x − z, z, t, λ)Q(z, y, λ, τ )|h(x, t)|dx;
|f (y0 , τ0 )| m−1 e
Π
|ζ(yk , τk )|h1 (ym , τm ).
π(y0 , τ0 ) k=0
Теперь, аналогично (3.21) и (3.22), получаем неравенство
Z
Z
Z T
Z
Z
∞
∞
X
T
f 2 (y, τ ) T
(−1)m ψm X
l dy
dτ
E
dz
dt×
dλ
(−1) ψl ≤
(1 − q)m−1
π(y, τ ) τ
0
En
λ
En
m=1
l=m+1
Z
Z0 (x − z, z, t, λ)Q(z, y, λ, τ )|h(x, t)|dx < ∞
× h1 (z, λ)(1 − q)
En
Отметим, что реализация «сопряженной» схемы не требует вычисления констант
c и C.
Автор благодарен проф. С. М. Ермакову за полезные обсуждения проблемы и
постоянное внимание к работе.
Литература
1. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные
уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
2. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.
66
3. Сипин А. С. Статистические алгоритмы решения задачи Коши для параболических
уравнений второго порядка // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2011. Вып. 3. С. 65–74.
4. Сабельфельд К. К. Методы Монте-Карло в краевых задачах. Новосибирск: Наука,
1989.
5. Симонов Н. А. Стохастические итерационные методы решения уравнений параболического типа // Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, № 5. С. 1146–1162.
6. Сипин А. С. Блуждание по цилиндрам для параболических уравнений // Математические модели. Теория и приложения. Сборник научных статей / под ред. проф. М. К. Чиркова. Вып. 11. СПб.: Издательство ВВМ, 2010. С. 83–103.
7. Ермаков С. М., Некруткин В. В., Сипин А. С. Случайные процессы для решения
классических уравнений математической физики. М.: Наука, 1984.
Статья поступила в редакцию 26 октября 2011 г.
67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
252 Кб
Теги
решение, уравнения, алгоритм, кошик, статистический, сопряженное, задачи, схема, порядке, параболические, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа