close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Структура страхового контракта при страховании одного риска в присутствие другого независимого риска.

код для вставкиСкачать
СТРУКТУРА СТРАХОВОГО КОНТРАКТА ПРИ СТРАХОВАНИИ
ОДНОГО РИСКА В ПРИСУТСТВИЕ ДРУГОГО НЕЗАВИСИМОГО
РИСКА
Мурадова Седа Григорьевна,
к.э.н., доцент кафедры «Финансы и налогообложение»,
Агаян Шушаник Ашотовна,
к.соц.н., доцент кафедры «Финансы и налогообложение»,
Крахмалев Дмитрий Петрович,
ст. преподаватель кафедры «Физической культуры»,
Северо-Кавказский федеральный университет;
in63@mail.ru
Аннотация: В работе выяснена структура оптимального страхового
контракта для одного риска в присутствие другого независимого риска.
Ключевые слова: страховой рынок, стратегии, выплаты, риск
Abstract. The paper analyses the structure of optimal insurance contracts
for one risk in the presence of another independent risk.
Keywords: insurance market, strategies, payments, risk
Выявление оптимальных стратегий страхователя (т.е. оптимальных соотношений между применением внутренних механизмов избегания рисков и
страхования) имеет большое значение для страховщиков и страхователей при
использовании определенных схем страхования [1-3]. В данной работе выяснена структура оптимального страхового контракта для одного риска в присутствие другого независимого риска. Показано, что при фиксированном
размере страховой премии страховые полисы раздельного типа обеспечивают
индивидууму меньшие страховые выплаты при высоких совокупных уровнях
нескольких источников убытков и большие страховые выплаты при незначительных убытках. Исследован спрос на страхование отдельными и совокупными страховыми контрактами в условиях, когда страховая премия является переменной по выбору потребителя. Заметим, что теория Эрроу - Равива, устанавливая форму оптимального контракта наличие страховой франшизы, не определяет значение этого оптимального уровня франшизы. Для
степенной функции полезности получено аналитическое решение для величины оптимальной страховой франшизы.
Рассмотрим индивидуума, обладающего начальным благосостоянием
W (неслучайным), которое подвергается двум источникам случайных убытков, имеющих величины Xi, i=1,2. Возможные значения двумерной случайной величины Х1, Х2 содержатся в многоугольнике
0, z1  0, z2 ;
z1  z 2  W .
В целях защиты от убытков потребитель может приобрести страховой договор, уплатив страховую премию Р. Страховщик выплачивает страхуемому
сумму возмещения ущерба I(x1,x2), если имеют место убытки x1 и x2. Функция I(x1,x2) считается известной. Ставится задача определить оптимальный
вид функции I(X1, X2) в условиях, когда стоимость посреднических услуг зависит только от актуарной стоимости страхового полиса. Задача для определения оптимальной функции I(X1, X2) ставится следующим образом:
max EU  EU (W  P  X 1  X 2  I ( X 1 , X 2 ))
(1)
при условии
P  k ( E[ I ( X 1 , X 2 )],
(2)
где E - оператор математического ожидания, а U(·) - дважды дифференцируемая, монотонно возрастающая и строго вогнутая функция полезности
Ньюмена - Моргенштерна конечного благосостояния потребителя. E[I(X1,
X2)] обозначает актуарную стоимость страхового полиса для функции страховых выплат I(X1, X2) . Функция k(EI) представляет собой полную ожидаемую стоимость страхового полиса для страховщика, включая посреднические
издержки. Поэтому имеют место неравенства:
k ( EI )  EI
и
k ( EI )  1
Заметим, что по смыслу страховые возмещения неотрицательны и не могут
превосходить величину суммарного убытка, т.е.
0  I ( x1 , x2 )  x1  x 2 .
(3)
Следующая теорема Эрроу-Равива показывает, что оптимальный страховой
договор предполагает прямую франшизу. Доказательство этого результата
основано на принципе стохастического доминирования [4].
Теорема Эрроу-Равива. Страховой договор, который максимизирует
функцию (1) при условиях (2) и (3), имеет форму 100% покрытия совокупного убытка сверх минимума, определяемого франшизой, т.е. существует d  0 ,
что оптимальная функция страховых выплат, I * ( x1 , x2 ) определяется соотношением:
I * ( x1 , x2 )  max(0, x1  x2  d ).
При условии, что потребитель является не принимающим риск, оптимальной
для него стратегией, согласно теореме Эрроу-Равива, будет приобретение
единственного страхового контракта для покрытия всех источников риска,
угрожающих индивидууму. Рис. 1 является геометрической интерпретацией
теоремы Эрроу-Равива. На Рис. 1 показана область определения для распределения двумерной случайной величины убытков. Реализация инцидентов,
соответствующая точке в верхнем левом углу выше прямой dd приведет к
нулевой страховой выплате, поскольку в этой области
x1  x 2  d .
Реализация инцидентов, соответствующих остальной области (на "юговосток" от прямой dd), приводит к получению страхового возмещения, равного величине убытка за вычетом размета франшизы. Фактически область
значений двумерной случайной величины ущербов после страховых выплат
может быть интерпретирована как
результирующие убытки потребителя
всюду вдоль прямых, параллельных прямой dd , например, в точках α, β и γ ,
Рис.1. Геометрическая иллюстрация теоремы Эрроу-Равива
обеспечивают выплату одинакового страхового возмещения, равного I = h-d.
Заметим, что теорема Эрроу, устанавливая форму оптимального страхового контракта, не позволяет определить величину франшизы, соответствующей условию оптимальности.
Представляет интерес определение оптимального уровня франшизы.
Для решения этой задачи рассмотрим следующую модель социально эффективного страхового контракта: определить максимум ожидаемого благосостояния
EU (W0  ~
x  I (~
x )  P)
при условиях
P  E[ I ( ~
x )  I ( ~
x )]  0
для всех ~
х
I (~
x)  0
Заменяя функцию страховых выплат ее значением, определяемым теоремой
~  max( 0, ~
x  d ) и используя его в условии первого порядка
Эрроу I ( x )
по d, получаем:
U (W0  d  P )  (1   ) EU (W0  min( ~
x , d )  P ),
где страховая премия Р определяется выражением
P  (1   ) E max(0, ~
x  d)
Для степенной функции полезности и бинарного распределения убытков
можно получить аналитическое решение для оптимальной франшизы из ус-
W 1
, где γ - коэффициловия первого порядка. Предполагаем, что U (W ) 
1 
~
ент относительного неприятия риска. Для относительного ущерба x / W0 , как
случайной величины примем два значения: 0 или l с вероятностями 1-р и р.
Тогда точное решение для d имеет вид:
d
(1  k )(1  (1   ) pl )

W0
1  (1  k )(1   ) p
где
 (1   )(1  p ) 
k

 1  (1   ) p 
1 / 
Однако, как уже отмечалось, реальные рынки страхования имеют, как
правило, практику страхования каждого объекта или субъекта, подверженного риску в отдельности ( и в пользу такой практики есть разумные аргументы). Часто даже различные виды рисков страхуются в отдельности, хотя они
могут быть включены в один и тот же страховой полис. Например, два автомобиля, принадлежащие одной семье, могут быть застрахованы одним полисом, но каждый автомобиль имеет свой собственный уровень франшизы на
случай аварии. Если оба автомобиля попадут в аварию, при выплате страхового возмещения убытков будут применяться эти различные франшизы; в результате потребитель получит меньшую сумму страховых выплат чем предсказываемая теоремой Эрроу. Поэтому, несмотря на большое теоретическое
значение теоремы Эрроу, на практике она имеет весьма ограниченное применение.
Для распространения теории на реальные схемы страхования рассмотрим две различные функции страховых выплат: I1(x1) и I2(x2), соответствующие двум различные возможным ущербам. Следует отметить, что мы не
сможем в точности воспроизвести так называемое оптимальное решение
первого порядка I*(x1,x2) (указываемое теоремой Эрроу), когда мы связаны
ограничением, что полная страховая выплата должна равняться
I 1 ( x1 )  I 2 ( x 2 )
Целью дальнейшего анализа является выяснить различие между оптимумами
первого и второго порядка. Следует заметить, что мы не будем затрагивать
вопрос о корреляции между инцидентами, которая, безусловно, должна
иметь серьезные последствия. Поэтому в дальнейшем анализе полагаем, что
случайные величины, соответствующие инцидентам двух видов, независимы
между собой и характеризуются кумулятивными функциями распределения
F1(x1) и F2(x2) ответственно. Задача для индивидуума с учетом того, что он
приобретает два отдельных страховых контракта, записывается следующим
образом: требуется определить максимум функции
EU (W  X 1  X 2  I ( X 1 )  I ( X 2 )  P1  P2 )
при условиях:
Pi  ki ( E I ( X i ) i  1,2;
(4)
0  I i ( x)  x для любого x, i  1,2.
Функции k1 и k2 представляют собой полную ожидаемую стоимость
страхового полиса
i для страховщика, включая посреднические издержки.
Следующее предложение показывает, что оптимальность отдельных страховых контрактов в условиях, когда убытки независимы, достигается при индивидуальных франшизах.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Если X1 и X2 - независимые случайные переменные, представляющие убытки, тогда для страховых премий Р1 и Р2, которые
зависят только от актуарных стоимостей страховых полисов, существуют
франшизы, принадлежащие области определения 0, z1  0, z 2  , такие, что
I is ( xi )  max( 0, xi  d i ), i  1,2;
s
где I i(xi) - оптимальное решение задачи (27).
Доказательство. При произвольном выборе страховой выплаты I1(x1)
положим: T ( x1 )  P1  x1  I 1 ( x1 ). Поэтому ожидаемая полезность будет
определяться выражением:
EU 
  U (W  T ( x )  P
1
2
 x 2  I 2 ( x 2 )) dF2 ( x 2 ) dF1 ( x1 ).
Теперь для каждой реализации X1 мы знаем из теоремы Эрроу, что существует франшиза d2 , которая оптимальна для X2 ,зависящая от реализации случайной величины X1 . Однако, поскольку страховая премия Р2 и, следовательно, математическое ожидание страховой выплаты E(I2) фиксированы,
оптимальная франшиза d2 будет одинаковой для всех значений случайной величины X1. Следовательно, страховой полис с франшизой d2 будет максимизировать ожидаемую полезность EU для данного выбора страховой выплаты
I1(x1) . Более того, поскольку страховая выплата I1(x1) предполагалась произвольной, франшиза оптимальна для любой схемы
страховых выплат по
убыткам при реализации случайной величины X1 .
Будем считать оптимальную совокупную страховую франшизу, соответствующую данной страховой премии, оптимумом первого порядка (определяемым теоремой Эрроу), а множество страховых франшиз, которые оптимальны для отдельных страховых полисов, оптимумом второго порядка.
В целях иллюстрации предположим, что отдельные франшизы, применяемые для отдельных источников убытков (d1 и d2) совокупной страховой
франшизе (d), т.е. d= d1 =d2. Безусловно,это приведет к изменению актуарной, стоимости, страхового полиса. Из рис. 1 нетрудно видеть, что в этом
случае реализация инцидентов β приведет к нулевой страховой выплате, поскольку значения случайной величины х1 и х2 каждое в отдельности меньше
d. Реализация инцидентов γ приведет к получению положительной страховой
выплаты только по убытку х1, что приводит к итоговой потере для потребителя, обозначенной точкой γ` на Рис. 1. Аналогично, реализация двух инцидентов, соответствующая точке α на плоскости (х1 , х2) , приводит к получению положительной страховой выплаты только по убытку, влекомому инцидентом х2, а результирующая потеря для страхуемого лица изображается
точкой α` . Для реализации инцидентов, в которых убытки х1 и х2 каждый в
отдельности превышают величину страховой франшизы d, например, изображаемых точкой η на плоскости (х1 , х2) , страховые выплаты по каждому
из инцидентов будут положительны, а итоговая потеря для потребителя со-
ставит 2d, что соответствует точке η` на плоскости. Отсюда можно сделать
вывод, что распределение результирующих убытков определяется отождествлением прямой
( x , x
1
2
) x1  d 
на плоскости (х1 , х2) с точкой (d,x2) и отождествлением прямой
( x , x ) x
1
2
2
 d
с точкой (x1 ,d). Заметим, что такое отождествление отображает инциденты, в
которых убытки х1 и х2 каждый в отдельности превосходит величину страховой франшизы d (например, точка η) с одной и той же точкой η`.
Имея такой инструментарий, мы можем сравнивать оптимумы первого порядка, обозначенные I*(x1,x2) , с оптимумами второго порядка, которые будем обозначать
I s ( x1 , x 2 )  I 1s ( x1 )  I 2s ( x 2 ).
Сформулируем следующее Предложение.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть Х1 и Х2 представляют независимые случайные убытки, Р=Р1+Р2 и оптимум первого порядка I* таков, что соответствующая ему франшиза заключена в пределах 0<d<Z1+Z2. Тогда существует i
(i = I или i = 2) и b  0; max Z 1 , Z 2 , такие, что:
I is  I * при x j  b, j  i;
I is  I * при
I is  I * при
x j  b, xi  d  b;
x j  b, j  i;
Доказательство. Пусть d1 и d2 - оптимальные франшизы (соответствующие реализации инцидентов, повлекших убытки х1 и х2 соответственно),
обеспечивающие оптимумы второго порядка согласно Предложению I. Для
фиксированной актуарной стоимости неравенства
d1  d и d 2  d
не могут выполнятся одновременно, поскольку в противном случае актуарная стоимость полиса будет ниже для Is , чем для I* .
Предложение 2 показывает, что для фиксированной страховой премии
индивидуум иногда получает большую страховую выплату при независимом
страховании отдельными контрактами, чем соответствующая оптимуму первого порядка, а иногда меньшую. Поэтому очевидно, что даже хотя вопрос о
выборе оптимальной страховой премии не затрагивался, Предложение 2 показывает, что полисы с отдельными страховыми франшизами, имеющие оптимумы второго порядка, принципиально отличаются от оптимума первого
порядка.
Литература
1. Гербер X. Математика страхования жизни: Пер. с англ. – М.: Мир, 1995.
2. Страховое дело: Учебник. Л.А. Орланюк – Малицкая. М.: ACADEMA.
2003.
3. Шахов В.В. Страхование. М.: Финансы и статистика, 2000.
4. Arrow, K.J. Essays in the Theory of Risk Bearing. Chicago: Markham
Publishing Co., 1971.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
292 Кб
Теги
риски, структура, другого, присутствие, страхование, одного, независимой, контракт, страховой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа