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Структурная группа на расслоении дважды ковариантных тензоров.

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PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO
PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA
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imeni V. G. BELINSKOGO
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PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES
? 18 (22) 2010
? 18 (22) 2010
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e-mail: monakh@penza.com.ru
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??. ?. ?. ??????????. 2010. ? 18 (22). ?. 64?66. ? ??????? ???????? ?????? ???????? ?????? ?? ?????????? ??????
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Monakhova O. A. ? The structure group on the bundle of the tensors of the type (0,2) // Izv. Penz. gos. pedagog.
univ. im.i V. G. Belinskogo. 2010. ? 18 (22). P. 64?66. ? The action of complete linear group on the bundle of the tensors
of the type (0,2) is described. Some identities which operators of the action group satisfy are proved.
Keywords: bundle of the tensors of the type (0,2), structure group.
1. ???????? ??????????? ? ?????.
?????????? ??????? ?????? ?? ???????????? Mn ? ?????????? ?02(Mn) ?????? ???????????? ???????? ???
???. ????????? ?????????? (xi) ?? ???? Mn ????????? ?????????? (xi,?xjk) i, j, k = 1, ?, n. ?? ??????????. ????? ? ?
???????????? ????? ???????????? Mn ? T???????????? ?????????? ???? T ???? (0,2) ? ???? ?????, T????(?02(Mn))?.
???? p? ? ????? ?? ?????????? ?02(Mn), p? = (p, Tp), ??
xi ( p? ) = xi ( p ) ? ?????????? ????? p,
x jk ( p? ) = t jk ? ?????????? ??????? Tp = t jk dx j ? dx k
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?i =
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?
, ? jk =
, i, j , k = 1,? , n.
?xi
?t jk
? [1] ???????? ???????????? ???? ????????? ????? ???? (0,2). ??? ?????????? ???? Q = Qij dx i ? dx j ?????
????????? ????????? ????????????? ?????
QV = Qij ? ij .
(1)
???? ?? ???? Mn ?????? ???????? ????????? ?, ?? ? ?? ??????? ????? ????????? ?????????????? ?????
????????? ????? ?? ?????????? ?02(Mn), ? ????? ????????? ?H, [2]
X H ? X k ? k ? X s ( ? sim xmj ? ? sjh xih )? ij ,
??? X = X i ? i ?????????? ????????????? ?????????? ???? ?, ? ijk ? ?????????? ????????? ? ? ??????????? (xi).
64
(2)
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2. ???????? ?????? ???????? ?????? ?? ?????????? ?????? ???????????? ????????.
????????? ???????? ?????? ???????? ?????? GL(n,?R) ?? ?????????? ?02(Mn) ? ??????? ????????????? RA
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RA(T?) = T? A,
(3)
A ? GL(n, R).
???????? ? ????????????? ???????? ?????? ? ??????????? (xi,?xjk). ????????? ?????????? ???????
Tp = t jk dx j ? dx k
(4)
? ????????? ??? ????? ?? ? = ?? ?, ??????? ?????????? ?? ? ? ????:
?? ? = (aikajhtkh)(dxi?dxj).
(5)
???????? ????????? (4) ? (5), ??????? ???????????? ????????????? ???????? (3) ?????? ???????? ?????? ??
?????????? ?????? ???????????? ????????:
~ = a ka ht .
tij
i j kh
(6)
??????????? 1. ???????? ?????? ???????? ?????? GL(n, R) ?? ?????????? ?02(Mn), ???????????? ?? ?????? (3), ???????? ??????.
??????????????. ?? ??????????? (3) ???????? ?????? ???????
(R? ∞ RA)(??) = R? (???) = ?? (??),
?????
R? ∞ RA = R(??),
??? ????????????? ??????? ????????.
??????????? 2. ???????? ?????? ???????? ?????? GL(n,R) ?? ?????????? ?02(Mn), ???????????? ?? ?????? (3), ????????????.
??????????????. ?????? ???????? ? ?????? ???????? ??????, ?????????????? ????????????? ???????????:
RA(??) = ??,
?? ? ???????????? ?????? ? ????? ? ? Mn. ?????????? ???????????? ????????????? (6) ???????? ??????:
tij = aikajhtkh,
???????
aikajh = ?ik?jh.
????? ???????, ???? ??????????????? ?????????? ???????
? = ??,
? = ± 1,
? ? ????????? ???????.
? ???? ??????????? ???????? ?????? GL(n, R) ?? ?????????? ?? ???????? ????????????, ???????? ???????? ???? (?02(Mn))? ??????????.
3. ????????? ???????? ??????.
???????? ????????? ???????? ??????
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X pq = ? pij
? ij ,
???
q
?
? pij
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?aqp
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?
? (aik a hj tkh )
?aqp
? ? iq t pj ? ? jq tip .
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? ‘изико-математические и технические науки ?
є 18 (22) 2010 г.
????? ???????, ? ????????? ??????????? (xi, tjk) ????????? Xpq ????? ???:
Xpq = t pa ? qa + tap ? aq .
(7)
??????? ???????????? ???????, ??? ?????????? ????? ?????????? ??????????? ?? ????? ??????????.
[Xpq, Xrs] = Xps?rq ? Xrq?ps.
(8)
??????????? 3. ??? ????????????? ????????? X , ?????????? ???? Q ???? (0,2), ?????????? ???? Y ?????q
p
?????? ????????? ?????????.
1)[QV, Xpq] = Qpa?qa + Qap?aq,
2)[YH, Xpq] = (Ys?bsa)[ Xab, Xqp],
3) ? HX q QV = 0 ,
p
4) ?
H
QV
X pq = [QV , X pq ] ,
5) ? HX q Y H = 0 ,
p
6) ?
H
YH
X pq = [Y H , X pq ] ,
??? ?ijk ? ?????????? ????????? ? ? ??????????? (?i).
??????????????. ????????? ????????? ????????????? (1) ? (7), ? ????? ???????? ???????????? ????????
????? [1], ???????
[QV, Xpq] = [Qab?ab, t pi ? qi + tip ? iq ] = Qpa?qa + Qap?aq.
?? (2) ? (7), ???????? ????????? (8), ???????
[YH, Xpq] = [ Y k ? k ? Y s ( ? sim xmj ? ? sjh xih )? ij , t pa ? qa + tap ? aq ] = (Ys?bsa)(Xbq?pa ? Xpa?bq) = (Ys?bsa)[Xab, Xqp].
?????????? ???????????? ????????? ?????????.
?????? ??????????
1.???????? ?. ?. ? ????????? ?????? ?? ????????? ?????????? ???? (0,2) // ????? ??????????????? ??????
????? ?. ?. ????????????. ?. 5. ?????????? ???????? ?????????? ? ????????. ??????: ????????, 2000. C. 153.
2.???????? ?. ?. ?????????????? ???? ???????? ????????? ?? ?????????? ?????? ???????????? ???????? // ???????????????? ????????? ???????????? ?????. ??????. ?????. ??. ????. ??. ???????????: ???-?? ??? ??. ?. ?????,
2005. ???. 36. ?. 88?92.
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ковариантная, тензоров, группы, дважды, структурная, расслоения
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