close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Суммы характеров с простыми числами.

код для вставкиСкачать
??????????? ???????
??? 15 ?????? 2 (2014)
??????????????????????
??? 511.524
????? ?????????? ? ???????? ???????
?. ?. ???????? (?. ???????)
?????????
???????? ????? ?????? ????? ???????? ???????????? ????????? ??????? ?? ?????? q ?? ?????????????????? ????????? ??????? ????? p ? l,
5
(l, q) = 1, p 6 x, ????????????? ??? x > q 6 +? . ??? ???????? ??????
??. ?. ???????????, K. ?????, ?. ?. ????????????, ????????????? ????
8
??? x > q 9 +? .
???????? ?????: ???????? ???????, ????????? ??????? ?????, ???????? ????? ??????????, ?????????????????? ????? ? ???????? ???????.
????????????: 20 ????????.
SUMS OF CHARACTERS OVER PRIME NUMBERS
Z. Kh. Rakhmonov (c. Dushanbe)
Abstract
The new estimate for the sum of the values of a primitive Dirichlet character
modulo an integer q has been obtained over the sequence of shifted primes
5
p ? l, (l, q) = 1, p 6 x. This estimate is nontrivial for x > q 6 +? and refines
the estimate obtained by J. B. Friedlander, K. Gong, I. E. Shparlinskii. Their
8
estimate holds provided that x > q 9 +? .
Keywords: Dirichlet character, shifted primes, short sums of characters,
exponential sums over primes.
Bibliography: 20 titles.
1. ????????
????? ?????? ?????????????????? ???? ? ???????? ??????? ?. ?. ??????????? ???????? ??? ?????? ??? ?????????????? ??????? ? ???????? ???????. ???? ?? ??? ???????? ????????????? ???????? ?????????? ????????? ??
??????????????????? ????????? ??????? ?????. ? 1938 ?. ?? [1, 2] ???????: ???? q ? ??????? ????????, (l, q) = 1, ?(a) ? ????????? ???????? ?? ?????? q,
?????
)
(?
?
1 q
? 16
1+?
+ +x
.
(1)
T (?) =
?(p ? l) ? x
q x
p6x
74
?. ?. ????????
??? x ? q 1+? ??? ?????? ???????????? ? ?? ??? ??????? ???????????????
??????? ??? ????? ???????????? ??????? (?????????) modq ???? p ? l, p 6 x.
????? ?. ?. ?????????? [3, 4, 5] ??????? ????????????? ?????? T (?) ???
x > q 0,75+? , q ? ???????. ???? ????????? ??? ???????????. ???? ? ???, ??? T (?)
????? ???????? ? ???? ?????, ?? ????? ??????????????? L ? ??????? ???????; ????? ? ????????????? ?????????????? ??????????? ???????? ??????
??? T (?) ????????? ????????????? ??????, ?? ?????? ??? x > q 1+? .
? 1968 ?. ?. ?. ???????? [6, 7] ????? ?????, ??????? ???????? ??? ????????
????????????? ?????? ???????? ???? ?????????? ? ???????? ????? ????????????? ???????. ? ?????? [8] ?? ? ??????? ???????? ????? ?????? ? ??????????
? ??????? ?. ?. ??????????? ???????: ???? q ? ???????, ?(a) ? ?????????
1
???????? ?? ?????? q, x > q 2 +? , ?????
T (?) ? xq ? 1024 ? .
1
2
????? ????? [9, 10, 11] ??????? ?????? (1) ?? ?????? ?????????? ?????? ?
???????: ????? D ? ?????????? ??????? ??????????? ?????, ? ? ?????????
???????? ?? ?????? D, ?q ? ??????????? ????????, ??????????? ?????????? ?, ?????
(?
)
?
1 q 2
5
? 16
T (?) 6 x ln x
+ ? (q1 ) + x ? (q1 ) ,
q1 =
p.
(2)
q x
p\D
p?\q
???? ???????? ? ????????? ?? ????? ??????????? ??????????? ??????????
?q , ?? ?????? (2) ????????? ???
(?
)
1 q
5
? 16
T (?q ) 6 x ln x
+ +x
q x
? ??? ???????????? ??? x > q(ln q)13 .
? 2010 ?. ??. ?. ??????????, ?. ????, ?. ?. ??????????? [14] ??? ?????????? q ????????, ??? ????????????? ?????? ????? T (?q ) ??????????, ?????
x ? ????? ????? ? ?? ??????? ?????? q. ??? ????????: ??? ????????????
8
????????? ?q ? ??????? ? > 0 ?????????? ? > 0, ??? ??? ???? x > q 9 +? ?????
????? ??????
T (?q ) ? xq ?? .
???????? ??????????? ???? ?????? ???????? ????????? ??????? ? ????????????? ?????? ??? ????? ???????? ???? T (?q ) ??? ????????? q, ??????? ?????
???? ???????????? ? [12] ? [13].
??????? 1. ????? q ? ?????????? ??????? ??????????? ?????, ?q ? ??????????? ???????? ?? ?????? q, (l, q) = 1, ? ? ????????????? ????? ??????
5
????? ?????????? ?????, L = ln q, x > q 6 +? . ????? ?????
( ? )
?
T (?q ) =
?q (p ? l) ? x exp ? L .
p6x
????? ?????????? ? ???????? ???????
75
?????????????? ??????? 1 ?????????? ??????? ?????? ????? ? ????????
??????? ?. ?. ??????????? ? ????????? ? ???????? ?????? ?. ?. ???????? [8]
?? ?????? ?????????? ????? T (?q ) ??? ???????? q, ???????? ?????? [10, 11, 15],
? ??????? ????????? ????????? ????? T (?) (? ? ????????? ???????? ?? ?????? D , D ? ????????? ) ? ??????? ???????? ??????? ???????? ?(x, ?) ?? ????
?????????? ???????. ? ?????????????? ?? ????? ?????????? ???????? ?????????? ????? ?. ?. ??????????? [17] ? ?. ?. ????????? [18]. ???????? ???????????, ??????????? ???????? ????? ?????? T (?q ), ?????????? ? ?????? 9, 10, 11,
12, 13, 14, 15.
???????????: d, l ? ??????????? ?????, ?k (n) ? ????? ??????? ?????????
x1 x2 . . . xk = n ? ??????????? ??????, ?(q) ? ??????? ??????, х(d) ? ???????
???????, ?(q) ? ????? ????????? ??????? ????????? ????? q, ? ? ????????????? ????? ?????? ????? ?????????? ?????.
2. ????????? ?????
????? 1. ????? r > 1, M > 1 ? ????? ?????, a? , b? > 0 ??? ? = 1, 2, . . . , M .
????? ????? ????? ????????? ???????????:
?) (??????????? ????????)
(M
?
)r
(
6
a? b?
?=1
M
?
)r?1
a?
M
?
?=1
a? br? ;
?=1
?) (??????????? ????)
(
M
?
)2
a? b?
6
?=1
M
?
a2?
?=1
M
?
a? b2? .
?=1
????? 2. [15]. ????? f (n) ? ???????????? ????????????????? ???????,
u1 6 x, r > 1,
?
r!
Crk =
, ?(n) =
х(n).
k!(r ? k)!
d\n, d6u1
????? ????? ????? ?????????:
r
?
?
?(n)f (n) =
(?1)k?1 Crk О
n6x
k=1
О
?
х(m1 ) и и и
m1 6u1
+ (?1)r
?
?
х(mk )
mk 6u1
m1 иииmk n1 иииnk 6x
n1 >u1
?(n1 ) и и и
?
?
иии
?
n1
?(nr )
nr >u1
m1 иииmk n1 иииnk 6x
ln n1 f (m1 n1 и и и mk mk )+
nk
?
m
?(m)f (n1 и и и nr m).
76
?. ?. ????????
????? 3. [17]. ????? F (x, z, q) ? ?????????? ????? 6 x, ??????? ???????
1
? q, q 6 x ? ??????? ?????? ??????? ???????? ?????? z, ln x 6 z 6 x e ,
? = ln z/ ln x; ?????
)
(
)
)
(
?(
1
2?
1
1
1
1
F (x, z, q) ? x
1?
exp ?
ln + ln ln
+ +
; |?| 6 1.
p
?
?
?
? ? ln ?1
p\q
????? 4. [19]. ????? ?q ? ??????????? ???????? ?? ?????? q. ?????
)
(
q
?
mn
,
? (??q )?q (n) =
??q (m)e
q
m=1
???
? (?q ) =
q
?
m=1
(
?q (m)e
m
q
)
,
|? (?q )| =
?
q.
????? 5. [18]. ????? r ? ???????????? ????????????? ??????????? ?????,
Z ? ??????????? ?????, q ? ?????, ????????? ?? ????????? ??? r = 2. ?????
??????????? ???????????
2r
q?1 Z
?
1
?
?q (? + z) ? Z r q + Z 2r q 2 +? ,
?=0 z=1
??? ?????????? ??? ?????? ? ??????? ?????? ?? r ? ?.
1
????? 6. [18]. ??? ????????????? ???????????? Z 6 q 6 ??????????? ???????????
q?1 (
)
Z
?
?
(? + z1 )(? + z2 )(? + z3 ) ?q
? Z 3 q 1+? .
(?
+
z
)(?
+
z
)(?
+
z
)
4
5
6
z ,...,z =1 ?=0
1
6
????? 7. [14]. ??? ????? ??????????? q ? U ????? ????? ??????????????? ???????
U
?
?(q) 1?
U 6 2?(n) .
u=1
q
(u,q)=1
????? 8. [20]. ??? x > 2 ?????
?
k
?rk (n) ? x (ln x)r ?1 ,
n6x
k = 1, 2.
????? ?????????? ? ???????? ???????
77
3. ?????? ???????? ???? ???????? ??????????
????? 9. ????? ? ? ????????????? ?????, 0, 1 6 ? < 0, 9, ?????
?
(
)
х2 (d)
? exp ?2??1 ? ln? D .
d
d\D
d>exp(ln D 2 )?
??????????????. ???????? ???????? ???????????? ?? ????????? ????
M < d 6 2M . ??????? ?? ????? ln D ???? S(M ) ????
?
S(M ) =
d\D
M <d62M
?
х2 (d)
? M ?1
1.
d
d\D
d62M
????? D = p?1 1 p?2 2 . . . p?t t ? ???????????? ?????????? ????? D ?? ??????? ??????????? ? qi i ? ??? ??????? ?????. ????????, ?????????? k ?????, ???
D1 = q1 q2 . . . qk 6 D < q1 q2 . . . qk qk+1 ,
k > t.
???????? ?????? ????????????? ??????? ?????
ln D1 =
?
ln qi =
?
ln p >
p6qk
i6k
qk
,
2
??? ???
qk < 2 ln D1 6 2 ln D.
????? D2 = q1?1 q2?2 . . . qt?t , ???????? D2 6 D ? qt 6 qk , ?????
S(M ) ? M ?1
?
1 6 M ?1
d\D
d62M
?
1.
d\D2
d62M
????? d, d\D2 ??????? ?? ??????? ????????? qj 6 qt . ??? ??? qt < 2 ln D, ??
????????? ????? ?? ??????????? ?????????? ????? 6 2M ? ??????? ??????
??????? ???????? ?????? 2 ln D, ?? ????
S(M ) ? M ?1
?
1 6 M ?1 F (2M, 2 ln D, 1).
d\D2
d62M
???????????????? ?????? 3 ???
x = 2M,
q = 1,
z = 2 ln D,
?=
ln z
ln ln D2
=
,
ln x
ln 2M
78
?. ?. ????????
?????
(
(
)
ln 2M
ln 2M
ln 2M
2
S(M ) ? exp ?
ln ln 2M ? ln ln ln D + ln ln
+
+
2
2
ln ln D
ln ln D
ln ln D2
)
(
)
2? ln 2M
ln 2M
= exp ?
(ln ln 2M ? B) ,
+
2
ln
ln
D
ln ln D2 ln lnlnln2M
2
D
)?1
(
ln 2M
ln 2M
2
B = ln ln ln D ? ln ln
+ 1 + 2? ln
.
ln ln D2
ln ln D2
1
?? ??????? 2M > exp(ln D2 )? ???????, ??? ln D2 < (ln 2M ) ? . ???????
(
)?1
1
ln
2M
ln
2M
B 6 ln ln (ln 2M ) ? ? ln ln
ln
=
1 + 1 + 2
1
ln (ln 2M ) ?
ln (ln 2M ) ?
= ln ln ln 2M ? ln ? ? ln (ln ln 2M + ln ? ? ln ln ln 2M ) + 1+
(
)
ln ? ?1 + ln ln ln 2M
?1
+ 2 (ln ln 2M + ln ? ? ln ln ln 2M ) = ? ln 1 ?
+
ln ln 2M
(
)?1
2
ln ? ?1 + ln ln ln 2M
?1
+ ln ? + 1 +
1?
=
ln ln 2M
ln ln 2M
)
(
ln ? ?1 + ln ln ln 2M
1
?1
< 2 + ln 10 6 5 < ln ln 2M.
= 1 + ln ? + O
ln ln 2M
3
?????????????,
(
)
(
)
ln 2M
2 ln 2M ln ln 2M
S(M ) ? exp ?
(ln ln 2M ? B) ? exp ?
ln ln D2
3 ln ln D2
. ?? ??????? 2M > exp(ln D2 )? ???????, ???
ln 2M > ln? D2 ,
???????
ln ln 2M > ? ln ln D2 .
)
(
(
)
2? ? 2
S(M ) ? exp ? ln D ? ln?1 D и exp ?2??1 ? ln? D .
3
????? 10. ????? K ? ????? ??????? ?????????:
(nd ? ?)y ? (n1 d ? ?)y1 (mod q),
M < n, n1 6 M + N, 1 6 y, y1 6 Y,
(y, q) = 1,
(y1 , q) = 1,
??? (?, q) = 1, d ? ???????? ????? q, 2N Y < q, d < Y , ?(qd?1 , Y ) ? ????? ????????? ? ????? qd?1 , ???????????????? ???????? qY ?1 6 ? < qd?1 ? (?, d) = 1.
????? ??????????? ???????????:
K 6 N Yq +
2(N Y )1+?
2Y 2 2Y 2
+
?(qd?1 , Y ) +
,
d
d
d
????? ?????????? ? ???????? ???????
79
??? ? ? ????? ?????? ????? ????????????? ?????.
??????????????. ??? y = y1 , ???????? ??? ????? ????????? ?? y,
(y, q) = 1, ???????
nd ? ? ? n1 d ? ? (mod q),
M < n, n1 6 M + N,
1 6 y 6 Y,
(y, q) = 1,
???
nd ? n1 d (mod q),
M < n, n1 6 M + N,
1 6 y 6 Y,
(y, q) = 1.
???????? ??? ????? ????????? ? ?????? ?? ????? d, ??????
n ? n1 ? 0 (mod qd?1 ),
M < n, n1 6 M + N,
1 6 y 6 Y,
(y, q) = 1.
?? ??????? |n ? n1 | < N ? 2N 6 qY ?1 < qd?1 ???????, ??? ????????? ?????????
???????????? ? ?????????
n ? n1 = 0,
M < n, n1 6 M + N,
1 6 y 6 Y,
(y, q) = 1,
?? ???? ???? y = y1 , ?? n = n1 . ?????? ????????
(3)
K = N Yq + 2?,
??? ? ? ????? ??????? ?????????
(nd ? ?)y ? (n1 d ? ?)y1 (mod q),
M < n, n1 6 M + N, 1 6 y < y1 6 Y,
(y, q) = 1,
(y1 , q) = 1
??? ?????????
(ny ? n1 y1 )d ? ?(y ? y1 ) (mod q),
M < n, n1 6 M + N, 1 6 y < y1 6 Y,
(4)
(y, q) = 1,
(y1 , q) = 1.
????? ????? ? ?????? ????????? (4) ??????? ?? ????? d. ?????????????, ???????
?? ????? d ? ??? ?????? ?????, ?? ???? ????? ?(y ?y1 ). ????? ? ???????? ???????
??????? ? ?????? d, ??????? ?? d ??????? ????? y?y1 , ?? ???? y?y1 ? 0 (mod d)
??? y1 = y + td. ????? ???????, ????????? (4) ????????? ???
(n1 (y + td) ? ny)d ? ?td (mod q),
M < n, n1 6 M + N, 1 6 y < y + td 6 Y,
(y, q) = 1,
(y + td, q) = 1.
???????? ??? ????? ????? ????????? ? ??? ?????? ?? ????? d, ???????
(n ? n1 )y ? (n1 d ? ?)t (mod qd?1 ),
M < n, n1 6 M + N, 1 6 y < y + td 6 Y,
(5)
(y, q) = 1,
(y + td, q) = 1.
???????? ????????? ??????? ????????? (5), ?????
? = ?1 + ?2 + ?3 ,
(6)
??? ?1 , ?2 ? ?3 ? ????? ??????? ????????? (5), ?????????? ??????????????
??????????:
80
?. ?. ????????
1. n1 d ? ? ? 0 (mod qd?1 );
2. (n1 d ? ?)t ? 0 (mod qd?1 ) ? n1 d ? ? ?? 0 (mod qd?1 );
3. (n1 d ? ?)t ?? 0 (mod qd?1 ).
?????? ?1 . ????????? n1 d ? ? ? 0 (mod qd?1 ) ?? ????? ??????? ???
(d, qd?1 ) > 1, ? ??? (d, qd?1 ) = 1 ????? ?? ????? ?????? ??????? n1 = n?1 ,
(n?1 , qd?1 ) = 1, ??? ??? 2N < qd?1 , ?? ???? N ? ????? ????????? ????????? n1
?????? ?????? ?????????. ????????? (5) ??? n1 = n?1 ????????? ???
(n ? n?1 )y ? 0 (mod qd?1 ),
M < n 6 M + N, 1 6 y < y + td 6 Y,
(y, q) = 1,
(y + td, q) = 1
? ??? ????????????? y ? t ????? ???? ??????? n = n?1 . ?????????????
(
)
Y
2Y 2
?1 6 Yq
+1 6
.
d
d
?????? ?2 . ???????????????? ????????? ??????, ????????? (5) ??????????
? ???? ??????? ?????????
(n1 ? n)y ? 0 (mod qd?1 ),
(n1 d ? ?)t ? 0 (mod qd?1 )
(7)
? ?????????
n1 d ? ? ?? 0 (mod qd?1 ),
M < n, n1 6 M + N, 1 6 y < y + td 6 Y,
(y, q) = (y + td, q) = 1.
?? ??????? (y, q) = 1, |n ? n1 | < N ? 2N 6 qd?1 ???????, ??? ?????? ????????? ??????? (7) ??????????? ????????? n1 = n, ??????? ?????????? ???????
??????? (7) ????? ?????????? ??????? ?????????
(nd ? ?)t ? 0 (mod qd?1 ), nd ? ? ?? 0 (mod qd?1 ),
M < n 6 M + N, 1 6 y < y + td 6 Y, (y, q) = 1, (y + td, q) = 1.
(8)
???????????? ????? nd ? ? ? t ??????? ?? qd?1 , ?? ???? ????? nd ? ? ?? ???????
?? qd?1 , ??????? ??? ??????? ??????? ????????? (8) ?????????? ???????? ?
????? qd?1 , ??? ? < qd?1 ?
nd ? ? ? 0 (mod ?),
t ? 0 (mod q(d?)?1 ).
?? ??????? (d, ?) = 1 ????????, ??? ????????? nd?? ? 0 (mod ?) ????? ???????
?????? ??? (?, d) = 1. ??? (?, d) = 1 ???????? ?2 (?) ????????? ????? ???????
??????? ?????????
n ? ?d??1 (mod ?),
M < n 6 M + N,
t ? 0 (mod q(d?)?1 ),
1 6 y < y + td 6 Y,
dd??1 ? 1 (mod ?)
(y, q) = 1,
(y + td, q) = 1,
????? ?????????? ? ???????? ???????
81
??? ????? ??????? ?????????
n ? ?d?1
(mod ?), M < n 6 M + N,
?
dd?1
? ? 1 (mod ?)
1 6 y < y + tq? ?1 6 Y,
(y, q) = 1,
(y + tq? ?1 , q) = 1.
??????? ????????? ?????????? y ? t ? ???? ????????? ?????????? ? ????
1 6 y < Y,
16t6
Y ?y
,
q? ?1
(y, q) = 1,
(y + tq? ?1 , q) = 1.
(9)
??? y > Y ?q? ?1 ??????? ??????? ????????? t ?????? ??????, ??????? ???????
(9) ????? ??????????? ? ????
1 6 y 6 Y ? q? ?1 ,
16t6
Y ?y
,
q? ?1
(y, q) = 1,
(y + tq? ?1 , q) = 1.
? ???? ???????, ???? ? 6 qY ?1 , ?? Y ? q? ?1 ? ??????? ??????? ?????????
y ?????? ?????? ???????. ????????????? ?2 (?) = 0 ??? ? 6 qY ?1 , ? ???
qY ?1 < ? < qd?1 ??? ?2 (?) ??????? ??????
(
)
] (
)
[
?
?
N
NY
Y ?y
Y?
?2 (?) 6
+1
6
+
1.
?1
?
q?
q
q
?1
?1
16y<Y ?q?
16y<Y ?q?
(y,q)=1
(y,q)=1
?????, ???????????????? ????????????? 2N Y < q, ? < qd?1 ? d < Y , ??????
(
)
?
?
Y
2Y
2Y 2
?2 (?) 6 1 +
16
1<
.
d 16y<Y ?q??1
d 16y<Y ?q??1
d
(y,q)=1
(y,q)=1
???????? ??? ??????????? ?? ???? ????????? ? ????? qd?1 , ???????????????
???????? qY ?1 6 ? < qd?1 ? (?, d) = 1 ? ????????? ?????????? ????? ?????????
???????? ?(qd?1 , Y ), ???????
?2 6
?
(?,d)=1, ?\qd?1
qY ?1 6?<qd?1
?2 (?) 6
2Y 2
?(qd?1 , Y ).
d
?????? ?3 . ????????, ??? ?3 ? ????? ??????? ?????????
(n1 ? n)y ? (n1 d ? ?)t (mod qd?1 )
? ?????????
(n1 d ? ?)t ?? 0 (mod qd?1 ), M < n, n1 6 M + N,
1 6 y < y + td 6 Y, (y, q) = 1, (y + td, q) = 1.
82
?. ?. ????????
??? ????????????? ???? (n?1 , t? ) ???????? ?3 (?) ????????? ????? ???????
?????????
(n ? n?1 )y ? ? (mod qd?1 ), M < n 6 M + N, 1 6 y < y + t? d 6 Y, (y, q) = 1,
(10)
??? ? ?= 0 ? ????????? ?????????? ????? ????? (n?1 d ? ?)t? ?? ?????? qd?1 .
???????????????? ????????? ????????? ?????????? n, n1 ? y, ? ????????
2N Y < q, ??????
q
0 < |(n ? n?1 )y| < N Y < .
2
?? ????? ??????????? ???????, ??? ????????? (10) ???????????? ? ?????????
(n ? n?1 )y = ?,
M < n 6 M + N,
1 6 y < y + t? d 6 Y,
(y, q) = 1,
(11)
??? ??? ????????? ? ??????????? ???????????
1 6 |?| < N Y.
????? ???????, ??? ????????????? ???? (n?1 , t? ), ?3 (?) ? ?????????? ???????
????????? (10) ????? ????? ??????? ????????? (11), ??? ???????? ???????????
???????????
?3 (?) 6 ? (|?|) 6 0, 5 (N Y )? .
?????????? ???? ????????? ??? (n?1 , t? ) ?? ??????????? N (Y d?1 + 1). ?????????????,
(
)
Y
(N Y )1+?
?3 6 N
+ 1 и 0, 5(N Y )? 6
.
d
d
?????????? ????????? ?????? ??? ?1 , ?2 ? ?3 ? (6), ? ????? ? (3), ??????
K =N Yq + 2(?1 + ?2 + ?3 ) 6 N Yq +
2Y 2 2Y 2
2(N Y )1+?
+
?(qd?1 , Y ) +
.
d
d
d
????? ????????.
????? 11. ????? (?, q) = 1, y < x, ?????
?
?
S=
?q (n ? ?) ? 2?(q) q ln q.
x?y<n6x
(n,q)=1
??????????????. ?? ??????????? ????????, ????? ???????, ??? y >
?
> 2?(q) q ln q. ????? ?????????:
1?
S=
e
q t=1
q
(
?t
q
(
) q
( )
tn ?
at
e ?
?q (a)e
.
q a=1
q
x?y<n6x
) ?
(n,q)=1
????? ?????????? ? ???????? ???????
83
????????? ????????, ??????? ????????????? ????? ????? ?????????? ??????????? ?????????? ? ?????????? ???? ??????(????? 4), ?????
(
( ) ?
)
q
? (?q ) ?
?t
tn
e ?
S=
??q (t)e
=
q t=1
q x?y<n6x
q
(n,q)=1
( )?
(
)
q
?
?t
? (?q ) ?
tnd
=
??q (t)e
х(d)
e ?
.
q t=1
q
q
x?y<nd6x
d\q
????????? ????? ?? n ??? d > y ? [x/d] = [(x ? y)/d] ??????, ? ??? d > y
? [x/d] = [(x ? y)/d] + 1 ??????? ?? ?????? ??????????. ??????? ??? d 6 y,
???????????????? ??? ????? n1 ? n2 ??????????
(
(
)
)
1 +1)
sin ?td(n2 ?n
tdn
td(n1 + n2 )
q
=
e ?
e ?
q
2q
sin ?td
q
n1 6n6n2
?
?
? ???????? ? ??????? ? ???? ????, ??? |? (?)| = q, ??????
?
?
?1
q
d?1
?
1 ? ?? 2 ?t 1 ? 2
?
х
(d)
|S| 6 ?
sin
+
1
=
х
(d)
?
? ?
q/d q t=1
q d\q
d\q
t =0
(t,q)=1
d6y
?(q)
1 ? 2
?(q)
+ ? 6?
dх (d)S(d) + ? ,
q
q d\q
q
1
d6y
q/d?1 q/d
?
?1
?t
2
sin
q/d t2 =1
(t1 q/d+t2 ,q)=1
?1
? ?t
sin
S(d) =
q/d .
t=1
d6y
???? qd?1 ? ???????? ?????, ?? ???????????????? ??????????????? ????????????? sin ?? > 2? ??? 0 6 ? 6 1/2 ? 1t 6 ln 2t+1
, ??????
2t?1
qd?1 ?1
2
qd?1 ?1
qd?1 ?1
?1
(
)?1
2
2
? ?
2t
1
q ?
sin ?t 6 2
S(d) = 2
=
6
qd?1 ?1
qd
d t=1 t
t=1
t=1
qd?1 ?1
2
6
q ?
q
q
(ln(2t + 1) ? ln(2t ? 1)) = ln qd?1 6 ln q.
d t=1
d
d
???? qd?1 ? ?????? ?????, ??
qd?1
qd?1
?1
?1 (
?1
)?1
2
2
? ?
?t q ?
2t
1
+1=
S(d) = 2
+16
sin qd?1 + 1 6 2
?1
qd
d t=1 t
t=1
t=1
qd?1
?1
2
qd?1
?1
2
6
q ?
q
q
(ln(2t + 1) ? ln(2t ? 1)) + 1 = ln(qd?1 ? 1) + 1 6 ln q.
d t=1
d
d
84
?. ?. ????????
?????????????,
?
1 ? 2
q
?(q)
?
?
|S| 6 ?
dх (d) и ln q + ? ? q ln q
х2 (d) = 2?(q) q ln q.
q d\q
d
q
d\q
d6y
????? ????????.
????? 12. ????? ? ? ???????????? ?????, M , N , d ? ? ? ????? ???7
1
??, ??????????????? ???????? (?, q) = 1, N < q 12 d? 2 , 0, 1 6 ? < 0, 9, d 6
exp(ln q 2 )? , ?????
S=
?
2
?
1
2
?q (nd ? ?) 6 N 3 q 9 + 2 d 3 .
(12)
M <n6M +N
??????????????. ?????? (12) ??? ????? S ??????? ??????? ????????1
?????? ???????? ?? N . ??? N 6 q 3 ??? ?????? ????? ?????? (12) ???????????
???????????
)1
?
2
2 1
?
2 1
2 (
2 1
N 3 q 9+2 d3 > N 3 q 9+2 > N 3 q 9 > N 3 N3 9 = N
?? ???? ? ???? ?????? ?????? (12) ???????? ??????????? ? ?? ??????? ? ????????
???? ????????.
1
????? ????? ???????, ??? N > q 3 . ????????? ? ????? S ????? ?????????
???????????? ?? h, 1 6 h 6 H < N , ???????
S=
?
?q ((n + h)d ? ?) +
M <n6M +N
?
M <n6M +h
?q (nd ? ?) ?
?
?q (nd ? ?).
M +N <n6M +N +h
???????? ??? ????????? ?????, ???????????????? ?????????????? ????????,
?????
?
?
2
2 1
S6
?q ((n + h)d ? ?) + 2H 3 q 9 + 2 d 3 .
M <n6M +N
??????? ? ???? ??????????? h = yz ? ???????? ??? ?? y ? z ? ????????
[
]
[
]
1
? 61
?1
6
1 6 y 6 Y, (y, q) = 1, 1 6 z 6 Z, (z, q) = 1, Y = 0, 5N q d , Z = 0, 5q d
,
???????? ? ???????????:
? ?
?
2 1
2
?
?q ((n + yz)d ? ?) + 2(Y Z) 3 q 9 + 2 d 3 ,
|S| 6 (Yq Zq )?1 16y6Y 16z6Z
(y,q)=1 (z,q)=1 M <n6M +N
????? ?????????? ? ???????? ???????
85
??? Yq ? Zq ? ?????????????? ?????????? ????? y ? [1, Y ] ? z ? [1, Z], ???????
??????? ? ?????? q. ????????? ????? y ?1 ?? ????????? yy ?1 ? 1 (mod q), ?????
?
?
?
?
2
2 1
|S| 6 (Yq Zq )?1 ?q (y)
?q ((nd ? ?)y ?1 + zd) + 2(Y Z) 3 q 9 + 2 d 3
16z6Z
M <n6M +N 16y6Y
(z,q)=1
?
? ?
1
2 1
?
2
?1
?1
6 (Yq Zq )
?q ((nd ? ?)y + zd) + 2? 3 N 3 q 9 + 2 d 3 .
M <n6M +N 16y6Y 16z6Z
(y,q)=1 (z,q)=1
????????? ? ???? ??????????? ???????? I(?) ? ????? ??????? ?????????
(nd ? ?)y ?1 ? ? (mod q),
M < n 6 M + N,
1 6 y 6 Y,
(y, q) = 1,
???????
?
?
1
2 1
?
2
?1
?3
+2 3
3
9
I(?) ?q (? + zd) . (13)
|S| 6 (Yq Zq ) W (d) + 2 N q
d , W (d) =
16z6Z
?=0
(z,q)=1
q?1
???????? ??? ????? ????? ????????? ? ??? ? ????????????? ???????????? ???????? (????? 1) ??????? ? ???
?
? = ?, a? = I(?), b? = ?q (? + zd) ,
16z6Z
(z,q)=1
? ???, ???
q
?
I(?) 6 N Yq ,
?=1
????? ?????:
3
q?1
?
?
W 3 (d) 6 (N Yq )2
I(?) ?q (? + zd) .
16z6Z
?=0
(z,q)=1
???????? ??? ????? ?????????? ??????????? ? ??????? ? ????????????? ???????????? ???? (????? 1). ????? ?????
6
q?1
q?1 ?
?
?
?q (? + zd) .
W 6 (d) 6 (N Yq )4 KV,
K=
I 2 (?),
V =
?=0
?=0 16z6Z
(z,q)=1
86
?. ?. ????????
????????? ?????? 6, ???????
V =
q?1
?
Z
?
?=0
z1 ,...,z6 =1
p(z1 ,q)=...=(z6 ,q)=1
(
?
(? + z1 d)(? + z2 d)(? + z3 d)
(? + z4 d)(? + z5 d)(? + z6 d)
)
6
q?1 (
)
?
(? + z1 d)(? + z2 d)(? + z3 d) 6
?
6
(? + z4 d)(? + z5 d)(? + z6 d) z1 ,...,z6 =1 ?=0
q?1 (
)
Zd
?
?
(?
+
z
)(?
+
z
)(?
+
z
)
1
2
3
?
6
6 Z 3 d3 q 1+? .
(?
+
z
)(?
+
z
)(?
+
z
)
4
5
6
z ,...,z =1
Z
?
1
6
?=0
?????????????,
W 6 (d) 6 (N Yq )4 Z 3 d3 q 1+? и K.
(14)
????? K ????? ????? ??????? ?????????
(nd ? ?)y ?1 ? (n1 d ? ?)y1?1 (mod q),
M < n, n1 6 M + N, 1 6 y, y1 6 Y,
(y, q) = 1,
(y1 , q) = 1,
(y, q) = 1,
(y1 , q) = 1.
??? ?????????
(nd ? ?)y ? (n1 d ? ?)y1 (mod q),
M < n, n1 6 M + N, 1 6 y, y1 6 Y,
??? ????? ????????? ??? ??????? ????? 10 ???????????:
[
]
( 7 1 )2 1
1
1
2N Y = 2N 0, 5N q ? 6 d 6 N 2 q ? 6 d < q 12 d? 2 q ? 6 d = q,
[
[
]
]
1
? 16
6
0, 5N q d
0, 5q d
1
Y
=
>
> 0, 3q 6 > 1.
d
d
d
???????? ???? ????? ?????
2Y 2 2Y 2
2(N Y )1+?
+
?(qd?1 , Y ) +
=
d ( d
d
)
(
)
Y
2(N Y )1+?
d
?1
+
?(qd , Y ) + 1 .
=
1+
d
2(N Y )? N (N Y )?
K 6 NY +
?????? ? ?????? ??????????? d 6 exp(ln q 2 )? 6 q 4 , ?(qd?1 , Y ) + 1 6 ? (q) 6 q ? ,
1
?
(N Y )? > (0, 1 N 2 q ? 6 d)? > 0, 1 q 2 , ???????
(
)
?
2(N Y )1+?
10 q ?
5q4
3(N Y )1+?
K6
.
1+ ? + 1 ? 6
d
d
q2
q 6+2
?
????? ?????????? ? ???????? ???????
87
?????????? ??? ?????? ? (14), ? ????? ?????? ????? ?????????? ??????? ?
(13), ??????????????? ???????
W 6 (d) 6 (N Yq )4 Z 3 d3 q 1+? и K 6 3qN 5 Y Yq4 Z 3 d2 (qN Y )? ,
|S| 6 (Yq Zq )?1 W (d) + 2? 3 N 3 q 9 + 2 d? 6 6
1
1
6
1
5
1
1
2
?
1
1
?
1
3 6 q 6 N 6 Y 6 Z 2 d 3 (qN Y ) 6
1
3
+ 2? 3 N 3 q 9 + 2 d 3 .
1
2
?
1
2
(15)
Yq Zq
????? ???????????????? ?????? 7 ? ?????????? ?????????????
?(q) 6
c? ln q
,
ln ln q
?(q)
c?
6
,
2q
ln ln q
??? c? ? c? ? ?????????? ??????????, ??????
] ?(q)
c? ln q
c? ln 2
?(q)
?(q) 1
?(q) [
?(q)
? 16
Yq ?
ln
ln
q
ln
ln
q
7
Y62
62
=q
<
q <
0, 5N q
=
Y,
q
2q
2q
2q
[
]
c ln q
c ln 2
Zq ? ?(q) Z 6 2?(q) 6 2 ln? ln q = q ln? ln q < ?(q) q 17 < ?(q) 0, 5q 16 = ?(q) Z,
q
2q
2q
2q
?? ????
?(q)
c? Y
?(q)
c? Z
Y >
,
Zq >
Z>
.
2q
ln ln q
2q
ln ln q
????????? ????? ????????????? ? (15), ????????? Yq ? Zq ??????? ?????????????? ????? Y ? Z. ?????
Yq >
1
|S| 6
1
36
и
4
3
5
?
1
4
q 6 N 6 d 3 (qN Y ) 6 ln 3 ln q
1
6
Y Z
c?
[
????? ???? ?????, ??? Y = 0, 5N q
1
2
? 61
+ 2? 3 N 3 q 9 + 2 d 3 .
1
2
1
?
2
]
[
]
1
7
?1
6
d , Z = 0, 5q d
? N < q 12 , ??????
(0, 5?2/3+?/6 = 22/3??/6 < 2)
|S| 6
2и3
1
6
4
3
и
( 1
) 6? 4
1
5 1
1
1
q 6 N 6 d 3 + 2 ? 6 q 1? 6 N 2 d ln 3 ln q
1
6
1
1
? 36
12
+ 2? 3 N 3 q 9 + 2 d 3 =
1
2
1
N q
1
( 5
) 6? 4
2 2
1
2 1
2
1
?
2 и 36
2
9 N 3 d3
6N d
q
ln 3 ln q + 2? 3 N 3 q 9 + 2 d 3 6
=
и
q
4
c?3
c?
1
6
2 и 36
(
4
3
c?
4
и N 3 q 9 d 3 q 3 ln 3 ln q + 2? 3 N 3 q 9 + 2 d 3 =
2
1
2
?
1
2
1
?
2
) 2 1 ? 2
4
1 ?4
1
2 1
2
?
?
= 2 и 3 6 c? 3 q ? 6 ln 3 ln q + 2? 3 N 3 q 9 + 2 d 3 6 N 3 q 9 + 2 d 3 .
????? ????????.
?
2
88
?. ?. ????????
1
8
????? 13. ????? (?, q) = 1, y > q 3 + 5 ? , 0, 1 6 ? < 0, 9, ?????
?
(
)
S=
?q (n ? ?) ? y exp ?2??1 ? ln? q .
x?y<n6x
(n,q)=1
7
??????????????. ?????????? ?????? q 12 < y 6 0, 5q. ????????????????
?????? 11 ? ????????? ????????????
?(q) 6
c? ln q
,
ln ln q
??? c? ? ?????????? ??????????, ????? ?????????:
?
S 6 2?(q) q ln q 6
(
)
?
ln 2 ln q
?
??1
q и exp c? ln
+
2
?
ln
q
+
ln
ln
q
(
)
ln q
6
и y exp ?2??1 ? ln? q 6
y
(
)
?
q и exp cln? lnlnqq
(
)
6
и y exp ?2??1 ? ln? q .
y
)
(
7
?
??????, ???? ? ????, ??? y > q 12 > q и exp cln? lnlnqq , ???????
(
)
S ? y exp ?2??1 ? ln? q
1
8
7
????? ?????? q 3 + 5 ? 6 y 6 q 12 . ????? ?????????:
?
?
?
х(d)S(d), S(d) =
х(d) =
S=
?q (n ? ?)
x?y<n6x
?q (nd ? ?).
x?y<nd6x
d\q
d\(n,q)
?
???????? ????? S ?? ??? ?????, ?????
?
S = S1 + S2 ,
S1 =
х(d)S(d),
?
S2 =
х(d)S(d).
d\q
exp(ln q 2 )? <d6x
d\q
d6exp(ln q 2 )?
??? ?????? ????? S2 ????????????? ??????????? ??????? ????? S(d) ? ??????
9. ?????
(y
)
?
?
х2 (d)
2
х (d)
S2 ?
+1 ?y
+ ? (q) ?
d
d
d\q
d\q
exp(ln q 2 )? <d6x
(
? y exp ?2
??1
)
exp(ln q 2 )? <d6x
(
)
? ln q + q ? y exp ?2??1 ? ln? q .
?
?
?????? ?????? S1 . ??? ????? ?????? S(d), ???????????????? ?????? 12 ???
]
[
[x] [x ? y ]
y
x?y
?
,
N=
? ,
M=
d
d
d
d
????? ?????????? ? ???????? ???????
?????
S(d) ?
?????????????,
?
S1 ?
d\q
d6exp(ln q 2 )?
( y ) 23
d
2
?
1
2
2
1
89
?
q 9+2 d3 = y 3 q 9+2 .
1
?
х2 (d)|S(d)| ? y 3 q 9 + 2
?
2
1
?
х2 (d) ? y 3 q 9 + 2 2?(q) 6
d\q
d6exp(ln q 2 )?
)
c? ln 2 ln q
exp
6y q
6
ln ln q
(
) ? 31
? 1 3?
c? ln 2 ln q
?
+2
??1
3
и
exp
+
3?2
ln
q
q
(
)
ln ln q
? <
6 y exp ?2??1 ? ln? q и ?
y
2
3
(
1
+ 2?
9
(
)
< y exp ?2??1 ? ln? q и
(
1
8
q 3+5?
y
) 13
(
)
6 y exp ?2??1 ? ln? q .
????? ???????? ? ?? ???? ????? ??? ? = 0, 6 ???????:
1
8
????????? 1. ????? (?, q) = 1, y < x ? y > q 3 + 5 ? , ?????
(
?
? )
?q (n ? ?) ? y exp ?1, 5 ln q .
x?y<n6x
(n,q)=1
4. ?????? ??????? ???? ???????? ??????????
????? 14. ????? M , M ? , N , N ? ? ? ? ????? ?????, ???????????????
1
???????? (?, q) = 1, M ? 6 2M , N ? 6 2N 6 q 6 , am ? bn ? ??????? ????????????
????????? ?????, ???
?
|am |? ? M L c? , ? = 1, 2;
|bn | ? B.
M <m6M ?
????? ??????????? ??????
?
?
W =
am
M <m6M ?
5
1
1
1
bn ?(mn ? l) ? BM 6 N 2 q 6 + 6 ? L
4c1 +c2 +1
6
.
N ? <n6min(xm?1 ,2N )
(mn,q)=1
??????????????. ?? ??????????? ????????, ????? ???????, ??? ?????? 1 (mod q) ?
?? ????????? mm?1
?????? ??????? M N < x. ????????? m?1
q
q
????? ???????? ? ???????, ???????
?
?
bn ?(n ? lm?1
|W | 6
|am | |S(m)| ,
S(m) =
q ).
M <m6M ?
(m,q)=1
N ? <n6min(xm?1 ,2N )
(n,q)=1
90
?. ?. ????????
????? S(m) ??????????? ? ?????? ???, ????? ???????? ???????????? ?????????? ????? ?? ??????? ?? m. ????? ?????????
q?1
1? ?
S(m) =
bn ?q (n ? lm?1
q )
q k=0 N ? <n62N
(n,q)=1
?
N ? <r6min(xm?1 ,2N )
(
e
k(n ? r)
q
)
.
????? ????????? N ?? = min([xm?1 ], 2N ), ??????? ????????? ? k = 0 ? ????????
????? ?? r, ????????:
S(m) =
N ?? ? N
q
?
N ? <n62N
(n,q)=1
?k(N ?? ?N )
1 ? sin
q
+
?k
q k=1
sin q
q?1
bn ?q (n ? lm?1
q )+
(
) ?
( )
k(N ?? + 1 + N )
kn
?1
e ?
.
bn ?q (n ? lmq )e
2q
q
N ? <n62N
(n,q)=1
???????? ? ????????????, ?????:
q?1 (
)
?1 ?
N ?
kn
?1
S(m) ? bn ?q (n ? lm?1
)
b
?
(n
?
lm
)e
+
?
n q
q
q
N ? <n62N
q N ? <n62N
k
q
(n,q)=1
k=1 (n,q)=1
( )
q?1
?
kn 1 ?
bn ?q (n ? lm?1
?
.
q )e
k + 1 N ? <n62N
q k=0
(n,q)=1
????? ???????,
?
q?1
|W | 6
k=0
1
W (k), W (k) =
k+1
?
M <m6M ?
(m,q)=1
)
(
?
kn
|am | bn ?q (n ? lm?1
)e
.
q
N ? <n62N
q (n,q)=1
?????? W (k). ??????? ??? ????? ????? ????????? ? ???, ???????????????? ???????????? ???????? (????? 1) ? ???????????? ????? c1 , ???????
3
(
)
?
?
?
kn
?
?
bn ?q (n ? lm?1
)e
W 3 (k) 6 ?
|am |?
|am | 6
q
q
?
?
?
N <n62N
M <m6M
M <m6M
(n,q)=1
(m,q)=1
(m,q)=1
3
(
)
?
?
kn
2
c1
?1
6 (M L )
bn ?q (n ? lmq )e
|am | .
N ? <n62N
q M <m6M ?
(n,q)=1
(m,q)=1
?
?2
????? ?????????? ? ???????? ???????
91
??????? ??? ????? ?????????? ??????????? ? ??????? ? ???????????????? ???????????? ???? (????? 1) ? ???????????? ????? c2 , ?????
6
(
)
?
?
?
kn ?1
2
6
c1 4
bn ?q (n ? lmq )e
|am |
W (k) 6 (M L )
?
q M <m6M ?
M <m6M ? N ? <n62N
(m,q)=1
(n,q)=1
(m,q)=1
6
)
(
? ?
kn
5
4c1 +c2
?1
?M L
bn ?q (n ? lmq )e
6
q M <m6M ? N ? <n62N
(n,q)=1
(m,q)=1
6
( )
q?1 ?
?
kn 6 M 5 L 4c1 +c2
bn ?q (n + ?)e
= M 5 L 4c1 +c2 О
N ? <n62N
q
?=0 (n,q)=1
(
)
) q?1 (
?
a(n1 + . . . ? n6 ?
(? + n1 )(? + n2 )(? + n3 )
О
b n1 . . . b n6 e
?
.
q
(?
+
n
)(?
+
n
)(?
+
n
)
4
5
6
?
N <n ,...n 62N
?=0
1
6
(n1 ...n6 ,q)=1
????? ???????????????? ???????????? |bn | ? B, ????? ?????? 6, ??????
W 6 (k) 6 M 5 L 4c1 +c2 B 6
?
q?1 (
)
?
(? + n1 )(? + n2 )(? + n3 ) ?
?
(? + n4 )(? + n5 )(? + n6 ) 16n1 ,...n6 62N ?=0
?M L
5
4c1 +c2
B 6 и N 3 q 1+? = B 6 M 5 N 3 q 1+? L 4c1 +c2 .
????? ????????.
????????? 2. ????? M , M ? , N , N ? ? ? ? ????? ?????, ???????????????
1
???????? (?, q) = 1, M ? 6 2M , N ? 6 2N , q ? < N 6 q 6 , am ? bn ? ???????
???????????? ????????? ?????, ??? |am | 6 ?5 (m), |bn | 6 1. ????? ??? x >
q 1?2?+1,1? ??????????? ??????
W =
?
am
M <m6M ?
?
(
? )
bn ?(mn ? l) ? x exp ?1, 5 ln q .
N ? <n6min(xm?1 ,2N )
(mn,q)=1
??????????????. ???????? ????? 8, ???? ? ????, ??? ln M ? L , ??????
?
M <m6M ?
?5 (m) ? M L 4 ,
?
?52 (m) ? M L 24 .
M <m6M ?
?? ????? 14 ??? c1 = 4, c2 = 24, ???????????????? ???????? M N 6 x, N > q ?
92
?. ?. ????????
? x > q 1?2?+1,1? , ??????
(
)1
N ?2 q 1+? L 41 6
W ? (M N ) N q
L 6x N q
L =x
6
x
(
( ? ))1
( 1?2?+? 41 ) 16
(
? )
q 1?2?+1,1? exp ?9 ln q 6
q
L
6x
<x
6 x exp ?1, 5 ln q .
x
x
? 13
5
6
1
+ 16 ?
6
41
6
5
6
? 13
1
+ 16 ?
6
41
6
????? 15. ????? M , M ? , N , N ? ? ? ? ????? ????? ??????????????? ???????? (?, q) = 1, M ? 6 2M , N ? 6 2N , am ? bn ??????? ???????????? ?????????
?????, ???
?
|am |? ? M L c? ,
? = 1, 2;
|bn | ? B.
M <m6M ?
????? ??????????? ??????
W =
?
am
M <m6M ?
?
) 2c1 +c2 +1 1
( 3 1 1
3
1
4
q 4 ?.
bn ?(mn ? l) ? B M 4 N 2 q 4 + M 4 N q 8 L
N ? <n6min(xm?1 ,2N )
(mn,q)=1
??????????????. ?? ??????????? ????????, ????? ???????, ??? ??????????? ??????? M N < x. ???????? ?????????? ?????????? ?????, ???????
?
q?1
|W | ?
k=0
1
W (k),
k+1
W (k) =
?
M <m6M ?
(m,q)=1
( )
?
kn |am | bn ?q (n ? lm?1
.
q )e
N ? <n62N
q (n,q)=1
?????? W (k). ???????? ??? ????? ????? ????????? ? ??????? ? ?????????????
???????????? ???????? (????? 1):
2
(
)
?
?
?
kn
?
?
?1
2
bn ?q (n ? lmq )e
|am | |am |?
W (k) 6 ?
6
N ? <n62N
q M <m6M ?
M <m6M ?
(n,q)=1
(m,q)=1
(m,q)=1
2
( )
?
?
kn bn ?q (n ? lm?1
6 M L c1
|am | .
q )e
q
?
?
<n62N
M <m6M
N(n,q)=1
(m,q)=1
?
?
???????? ??? ????? ?????????? ??????????? ? ??????? ? ????????????? ????-
????? ?????????? ? ???????? ???????
93
???????? ???? (????? 1):
4
(
)
?
? ?
kn 4
2
2c1
2
?1
W (k) 6 M L
|am |
bn ?q (n ? lmq )e
?
q M <m6M ?
M <m6M ? N ? <n62N
(m,q)=1
(m,q)=1
(n,q)=1
4
)
(
? ?
kn
? M 3 L 2c1 +c2
bn ?q (n ? lm?1
)e
6
q
q M <m6M ? N ? <n62N
(m,q)=1
(n,q)=1
4
( )
q?1 ?
?
kn bn ?q (n + ?)e
6 M 3 L 2c1 +c2
=
N ? <n62N
q
?=0 (n,q)=1
(
) q?1 (
)
?
k(n1 + . . . ? n4 ) ?
(? + n1 )(? + n2 )
3
2c1 +c2
=M L
b n1 . . . b n4 e
.
?
q
(?
+
n
)(?
+
n
)
3
4
?
N <n ,...n 62N
?=0
1
4
(n1 ...n4 ,q)=1
????? ???????????????? ???????????? |bn | ? B, ????? ?????? 5, ??????
q?1 (
)
?
?
(? + n1 )(? + n2 ) W 4 (k) ? M 3 L 2c1 +c2 B 4
?
?
(? + n3 )(? + n4 ) 16n1 ,...n4 62N ?=0
)
(
)
(
1
1
? M 3 L 2c1 +c2 B 4 N 2 q + N 4 q 2 +? ? B 4 M 3 N 2 q + M 3 N 4 q 2 q ? L 2c1 +c2 .
????? ????????.
????????? 3. ????? M , M ? , N , N ? ? ? ? ????? ?????, ???????????????
1
1
???????? (?, q) = 1, M ? 6 2M , N ? 6 2N , q 4 ?? 6 N 6 q 4 +? , am ? bn ? ???????
???????????? ????????? ?????, ??? |am | 6 ?5 (m), |bn | 6 1. ????? ??? x >
3
q 4 +?+1,1? ??????????? ??????
(
?
?
? )
W =
am
bn ?(mn ? l) ? x exp ?1, 5 ln q .
M <m6M ?
N ? <n6min(xm?1 ,2N )
(mn,q)=1
??????????????. ???????? ????? 8, ???? ? ????, ??? ln M ? L , ??????
?
?
?5 (m) ? M L 4 ,
?52 (m) ? M L 24 .
M <m6M ?
M <m6M ?
?? ????? 15 ??? c1 = 4, c2 = 24, ???????????????? ????????? M 6 xN ?1 ,
1
3
1
q 4 ?? 6 N 6 q 4 +? ? x > q 4 +?+1,1? , ??????
( 3 1 1
) 33 1
(
) 33 1
3
1
1 1
3
? 14 14
?
4
2
4
4
8
4
4
4
4
8
W ? M N q + M Nq L q 6 x N q + N q L 4 q 4? ?
(
) 14
( 3 ) 14
1
(
? )
33 1
33 1
qN ?1 N q 2
2q 4 +?
?
?
4
4
4
4
+
L q 6x
L q ? x exp ?1, 5 ln q .
?x
x
x
x
94
?. ?. ????????
5. ?????????????? ??????? 1
?????????? ?????
T (?q ) =
?
?(n)?q (n ? l).
n6x
? ????? T (?q ) ????? ????????? ? ???????? (n, q) > 1 ???????? ?????????,
?????? ??????? ?? ??????????? ? L 2 . ???????
?
( )
T (?q ) =
?(n)?q (n ? l) + O L 2 .
n6x
(n,q)=1
1
? ????? 2 ??????? r = 3, u1 = x 3 ?
{
?q (n ? l),
f (n) =
0,
?????
T (?q ) =
Tk (?q ) =
?
х(m1 ) и и и
?
??? (n, q) = 1;
? ????????? ??????.
3
?
(?1)k C3k Tk (?q ),
k=1
х(mk )
?
иии
mk 6u1
m1 6u1
n1
m1 иииmk n1 иииnk 6x, (m1 иииmk n1 иииnk ,q)=1
?
(16)
ln n1 ?q (m1 n1 и и и mk nk ? l),
nk
???????? ? Tk (?q ) ??????? ????????? ??????? m1 , и и и , mk , n1 , и и и , nk ?? ?? ?????
L ?????????? ???? Mj < mj 6 2Mj , Nj < nj 6 2Nj , j = 1, 2, и и и , k. ???????
L
?
2k
Tk (?q ) =
=
?
х(m1 ) и и и
?
(17)
T?k (?q , M, N ),
T?k (?q , M, N ) =
?
?
?q (m1 n1 и и и mk nk ? l) ln n1 =
х(mk )
иии
M1 <m1 62M1
Mk <mk 62Mk N1 <n1 62N1 Nk <nk 62Nk
m1 иииmk n1 иииnk 6x, (m1 иииmk n1 иииnk ,q)=1
=
?
х(m1 ) и и и
?
х(mk )
?
иии
?
?n1
?q (m1 n1 и и и mk nk ? l)
M1 <m1 62M1
Mk <mk 62Mk N1 <n1 62N1 Nk <nk 62Nk
m1 иииmk n1 иииnk 6x, (m1 иииmk n1 иииnk ,q)=1
?2N1 ?
?
х(mk )
=
х(m1 ) и и и
?
иии
dv
=
v
1
?
?q (m1 n1 и и и mk nk ?l)d ln u.
Mk <mk 62Mk max(u,N1 )<n1 62N1 Nk <nk 62Nk
1 M1 <m1 62M1
m1 иииmk n1 иииnk 6x, (m1 иииmk n1 иииnk ,q)=1
????? U1 = max(u, N1 ) ????????? ????? ????? u, ??? ??????? ?????? ??????????????? ??????? ????????? ???????????? ????????, ?????
|T?k (?q , M, N )| ? L |Tk (?q , M, N )| ,
(18)
????? ?????????? ? ???????? ???????
95
???
Tk (?q , M, N ) =
?
х(m1 ) и и и
?
х(mk )
?
иии
?
?q (m1 n1 и и и mk nk ? l),
M1 <m1 62M1
Mk <mk 62Mk U1 <n1 62N1 Uk <nk 62Nk
m1 иииmk n1 иииnk 6x, (m1 иииmk n1 иииnk ,q)=1
Nj 6 Uj < 2Nj ,
j = 1, 2, . . . , k.
?????????? (18) ? (17), ? ????? ?(16), ???????
T (?q ) ? L
6
3
?
max |Tk (?q , M, N )|,
(19)
k=1
?????? ????????? ???????????:
k
?
k
?
Mj Nj = Y,
j=1
Mj Uj = X,
Y < X 6 x,
1
Mj 6 x 3
j=1
? ????? ???????????? ?????, ???
(
? )
Y > x exp ?0, 7 ln q ,
(20)
??? ??? ? ????????? ??????, ???????? Tk (?q , M, N ) ??????????, ????? ?????
?
Tk (?q , M, N ) ?
?2k (n) ? 2k Y L 2k?1 ?
X<n62k Y
? x2 L
k
2k?1
(
(
? )
? )
exp ?0, 7 ln q ? x exp ?0, 6 ln q .
?????? Tk (?q , M, N ) ???????? ??? ??????? k = 1, 2, 3 ? ?? ???????????
????????, ????? ???????, ??? ??????????? ???????:
M1 > M2 > и и и > Mk ,
N1 > N2 > и и и > Nk .
(21)
?????? T3 (?q , M, N ). ?????????? ????????? ????????? ?????? ????????
????????? N1 :
1
8
1
1
8
1
1
1
1. N1 > q 3 + 5 ? ; 2. q 6 6 N1 < q 3 + 5 ? ;
3. q 12 6 N1 < q 6 ; 4. N1 < q 12 ;
??? ???????????? ??????? 1, 2 ? 3 ????? T3 (?q , M, N ) ????????? ???????????. ??? ????? ?????? ???????????:
?
?
?
?
?
х(m1 )
х(m2 )
х(m3 )
1, |?5? (h)| 6 ?5 (h).
?5? (h) =
M1 <m1 62M1 M2 <m2 62M2
M3 <m3 62M3
U2 <n2 62N2 U3 <n3 62N3
m1 m2 m3 n2 n3 =h
????? ????? T3 (?q , M, N ) ????????? ???:
?
?
T3 (?q , M, N ) =
?5? (h)
XU1?1 <h625 Y N1?1
U1 <n62N1
hn6x, (hn,q)=1
?q (hn ? l),
XU1?1 > Y N1?1 .
96
?. ?. ????????
? ????? T3 (?q , M, N ) ???????? ???????????? XU1?1 < h 6 25 Y N1?1 ????????
?? ????????? ???? H < h 6 H1 , ??? H1 6 2H. ??????? ?? ?? ????? ???? ????
????
?
?
T3 (?q , M, N, H) =
?5? (h)
?q (hn ? l).
(22)
U1 <n6min(xh?1 ,2N1 )
(hn,q)=1
H<h6H1
?1
?????? 1. N1 > q 3 + 5 ? . ????????? h?1
q ?? ????????? hhq ? 1 (mod q), ??????
1
8
?
T3 (?q , M, N, H) =
?
?5? (h)?q (h)
?q (n ? lh?1
q ).
U1 <n6min(xh?1 ,2N1 )
(n,q)=1
H<h6H1
???????? ? ??????, ???????
?
?
?1 |T3 (?q , M, N, H)| 6
?5 (h) ?q (n ? lhq ) .
H<h6H1
U1 <n6min(xh?1 ,2N1 )
(h,q)=1
(n,q)=1
?1
???????? ? ????? ?? n ????????? 1 ??? ? = lh?1
q , x = min(xh , 2N1 ), y =
?1
min(xh , 2N1 ) ? U1 6 2N1 , ?????
)
(
?
1?
T3 (?q , M, N ) ?
?5 (h)N1 exp ?2? 2 ln q ?
H<h6H1
(h,q)=1
)
(
1?
? H1 L 4 N1 exp ?2? 2 ln q ?
(
)
(
? )
1?
? N1 exp ?2? 2 ln q Y N1?1 L 4 ? x exp ?0, 7 ln q .
1
1
8
?????? 2. q 6 6 N1 < q 3 + 5 ? . ????????????? ?????????? 3 ????? 15 ???
M = H,
M ? = H1 ,
3
5
N ? = U1 ,
N = N1 ,
?=
1
8
+ ?.
12 5
27
????? ??? x > q 4 +?+1,1? = q 6 + 10 ? ?????
(
? )
T3 (?q , M, N, H) ? x exp ?0, 7 ln q .
1
1
?????? 3. q 12 6 N1 < q 6 . ??? ????? T3 (?q , M, N, H) ???? (22), ???
M = H,
M ? = H1 ,
??????????? ??????? ????????? 2.
N ? = U1 ,
N = N1 ,
?=
1
12
????? ?????????? ? ???????? ???????
97
5
???????? ????? ?????????, ??? x > q 1?2?+1,1? = q 6 +1,1? , ???????
(
? )
T3 (?q , M, N, H) ? x exp ?0, 7 ln q .
1
?????? 4. N1 < q 12 . ????? T3 (?q , M, N ) ???????????, ??? ????? ????? ???????????:
?
?
?
?
?
?5?? (h) =
х(m2 )
х(m3 )
1, |?5?? (h)| 6 ?5 (h),
M2 <m2 62M2 M3 <m3 62M3
U1 <n1 62N1 U2 <n2 62N2 U3 <n3 62N3
m2 m3 n1 n2 n3 =h
??????? ?? ? ????:
T3 (?q , M, N ) =
?
XM1?1 <h625 Y
?
?5?? (h)
M1?1
х(m1 )?q (hm ? l).
M1 <m62M1
hm6x, (hm,q)=1
???????? ???????? ???????????? XM1?1 < h 6 25 Y M1?1 ?? ????????? ????
H < h 6 H1 , ??? H1 6 2H. ??????? ?? ????? ???? ???? ????
?
?
T3 (?q , M, N, H) =
?5?? (h)
х(m)?q (hm ? l).
M1 <n6min(xh?1 ,2M1 )
(hm,q)=1
H<h6H1
???????????????? ????????????? (21), (20) ? ????????? ????????????????
??????, ?????
(
(
? )) 1
(
) 13
1
3
1
x exp ?0, 6 ln q 3
Y
Y
M1 > (M1 M2 M3 ) 3 =
>
>
>
N1 N2 N3
N1
N1
(
? )
5
9
q 18 + 10 ? exp ?0, 2 ln q
7
1
1
>
> q 36 ,
M1 6 x 3 < q 3 .
1
q 12
1
?????? ???????, ??? ??? M = H, M ? = H1 , N ? = M1 , N = M1 , ? = 12
??? ?????
T3 (?q , M, N, H) ??????????? ??????? ????????? 3. ???????? ????? ?????????,
3
5
??? x > q 4 +?+1,1? = q 6 +1,1? ???????
(
? )
T3 (?q , M, N, H) ? x exp ?0, 7 ln q .
?????? T2 (?q , M, N ). ????? ???????????:
?
?
х(m1 )
х(m2 )
?3? (h) =
M1 <m1 62M1
M2 <m2 62M2
m1 m2 n2 =h
????? T2 (?q , M, N ) ??????? ? ????
?
T2 (?q , M, N ) =
?3? (h)
XU1?1 <h625 Y N1?1
?
1,
|?3? (h)| 6 ?3 (h),
U2 <n2 62N2
?
U1 <n62N1
hn6x, (hn,q)=1
?q (hn ? l),
XU1?1 > Y N1?1 .
98
?. ?. ????????
???????? ? ????? T2 (?q , M, N ) ???????? ???????????? XU1?1 < h 6 25 Y N1?1
?? ????????? ???? H < h 6 H1 , ??? H1 6 2H. ??????? ?? ?? ????? ???? ????
????
?
?
T2 (?q , M, N, H) =
?3? (h)
?q (hn ? l).
H<h6H1
U1 <n6min(xh?1 ,2N1 )
(hn,q)=1
?1
?????? 1. N1 > q 3 + 5 ? . ????????? h?1
q ?? ????????? hhq ? 1 (mod q), ??????
?
?
T2 (?q , M, N, H) =
?3? (h)?q (h)
?q (n ? lh?1
q ).
1
8
H<h6H1
U1 <n6min(xh?1 ,2N1 )
(n,q)=1
???????? ? ?????? ? ???????? ? ????? ?? n ????????? 1 ??? x = min(xh?1 , 2N1 ),
y = min(xh?1 , 2N1 ) ? U1 6 2N1 , ? = lh?1
q , ?????
(
?
? )
? 21
T2 (?q , M, N, H) ?
?3 (h)N1 exp ?2
ln q ?
H<h6H1
(h,q)=1
(
)
1?
? H1 L 3 N1 exp ?2? 2 ln q ?
(
)
(
? )
1?
? Y N1?1 L 3 N1 exp ?2? 2 ln q ? x exp ?0, 7 ln q .
?????? 2. q 6 6 N1 < q 3 + 5 ? . ????????????? ?????????? 3 ??? M = H, M ? =
3
1
8
5
27
1
+ 58 ?, ????? ??? x > q 4 + 12 + 5 ?+1,1? = q 6 + 10 ? ?????
H1 , N ? = U1 , N = N1 , ? = 12
(
? )
T2 (?q , M, N, H) ? x exp ?0, 7 ln q .
1
1
8
1
?????? 3. N1 < q 6 . ???????????????? ????????????? (21), (20) ? ?????????
???????????????? ??????, ?????
(
(
? )) 1
(
) 21
1
2
1
x exp ?0, 6 ln q 2
Y
Y
N1 > (N1 N2 ) 2 =
>
=
>
1
M1 M2
M1
3
x
(
(
? )
? )
1
5
9
5
1
+ 20
?
6
36
= x exp ?0, 3 ln q > q
exp ?0, 3 ln q > q 36 > q 12 .
??? ????? T2 (?q , M, N, H) ??? M = H, M ? = H1 , N ? = U1 , N = N1 , ? =
1
, ??????????? ??????? ????????? 2 . ???????? ????? ????????? ??? x >
12
3
1
5
q 4 + 12 +1,1? = q 6 +1,1? , ???????
(
? )
T2 (?q , M, N, H) ? x exp ?0, 7 ln q .
?1
?????? T1 (?q , M, N ). ????????? m?1
q ?? ????????? mmq ? 1 (mod q), ??????
?
?
T1 (?q , M, N ) =
х(m1 )?q (m1 )
?q (n ? lm?1
q ).
M <m1 62M1
U1 <n6min(xm?1 ,2N1 )
(n,q)=1
????? ?????????? ? ???????? ???????
99
?? ??????????? (21), (20) ? ??????? ???????????????? ?????? ?????
(
? )
(
? )
x exp ?0, 6 ln q
5
1
8
Y
+ 95 ?
9
N1 >
>
>
q
exp
?0,
6
ln q > q 3 + 5 ? .
1
M1
x3
???????????????? ???? ????????????, ???????? ? ?????????? ????? ?? n ?????1
????? 1 ??? x = min(xm?1 , 2N1 ), y = min(xm?1
q , 2N1 ) ? U1 6 2N1 , ? = lmq .
?????
(
)
(
? )
1?
T1 (?q , M, N ) ? M1 N1 exp ?2? 2 ln q ? x exp ?0, 7 ln q .
?? ?????????? ?????? Tk (?q , M, N ), k = 1, 2, 3, ????? (19), ??????? ??????????? ???????.
?????? ???????????? ??????????
1. ?????????? ?. ?. ????????????? ???????????? ??????? ? ????????? ????
p + k ?? ???????? ?????? // ?????????????? ???????. 1938. ?. 3, ?45.
?. 311 ? 320.
2. ?????????? ?. ?. ????????? ?????? ?????? ???? ? ???????? ??????? //
???????? ?? ????. ???. ???. 1943. ?. 7. ?. 17 ? 34.
3. ?????????? ?. ?. ????? ?????? ? ?????? ????? ???????? ?(p + k) // ???????? ?? ????. ???. ???. 1952. ?. 16. ?. 197 ? 210.
4. ?????????? ?. ?. ????????? ?????? ??? ????? ???????? ?(p + k) // ???????? ?? ????. ???. ???. 1953. ?. 17. ?. 285 ? 290.
5. ?????????? ?. ?. ?????? ????? ?????, ???????????????? ?? ??????? ????? ?????????????? ?????????? // ???????? ?? ????. ???. ???. 1966. ?. 30.
?. 481 ? 496.
6. ???????? ?. ?. ????? ?????????? ? ????????????? ????? ? ???????? ????? // ??????? ?? ????. 1968. ?. 180. ?6. ?. 1287 ? 1289.
7. ???????? ?. ?. ?? ??????? ???? ?????????? // ???????? ?? ????. ???.
???. 1970. ?. 34. ?. 20 ? 30.
8. ???????? ?. ?. ????? ?????????? ? ???????? ??????? // ???????? ??
????. ???. ???. 1970. ?. 34. ?. 299 ? 321.
9. ???????? ?. ?. ? ????????????? ???????? ?????????? ??????? // ???.
1986. ?. 41, ?1. ?. 201 ? 202.
10. ???????? ?. ?. ?? ?????? ????? ?????????? ? ???????? ??????? // ???
?????????? ???. 1986. ?. 29, ?1. ?. 16 ? 20.
100
?. ?. ????????
11. ???????? ?. ?. ? ????????????? ???????? ?????????? ??????? ? ?? ?????????? // ????? ??????????????? ????????? ???. 1994. ?. 207. ?. 286 ? 296.
12. ???????? ?. ?. ? ????????????? ???????? ?????????? ??????? ? ?????????????????? ????????? ??????? ????? // ??????? ?? ?????????? ???????????. 2013. ?. 56, ?1. C. 5 ? 9.
13. ???????? ?. ?. ????????????? ???????? ?????????? ??????? ? ?????????????????? ????????? ??????? ????? // ???. ?????. ??-??. ???. ???. ???.
??????????. ????????. ??????????? 2013. ?. 13, ???. 4(2). ?. 113 ? 117.
14. ??. ?. ??????????, K. ????, ?. ?. ??????????? ????? ???????? ?????????? ?? ????????? ??????? ?????? // ???. ???????. 2010. ?. 88, ???. 4. ?.
605 ? 619.
15. ???????? ?. ?. ??????? ? ??????? ???????? ?(x, ?) ? ?? ?????????? //
???????? ???. ???. ???. 1993. ?. 57, ?4. ?. 55 ? 71.
16. ???????? ?. ?. ??????? ? ??????? ???????? ??????? ???????? // ???????? ???. ???. ???. 1994. ?. 58, ?3. ?. 127 ? 139.
17. ?????????? ?. ?. ? ?????? ? ?????? ???????? ?????????? // ??? ????.
1956. ?. 109, ?4. ?. 683 ? 686.
18. Burgess D. A., The character sum estimate with r = 3 // J. London Math. Soc.
33 (1986). 219 ? 226.
19. ???????? ?. ?. ?????? ????????????? ?????? ?????. ?.: ?????, 1983.
20. ????????????? ?. ?. ?????? ????? ?????????????? ????? // ???
????. 1939. ?. 22, ?7. 391 ? 393.
???????? ?????????? ???????? ???? ?????????? ???????????.
???????? 24.04.2014
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
303 Кб
Теги
суммы, характеру, простыми, числами
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа