close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Сферические функции на однополостном гиперболоиде комплексные оболочки и формула Планшереля.

код для вставкиСкачать
УДК 517.98
Сферические функции на однополостном
гиперболоиде, комплексные оболочки и формула
Планшереля 1
c
В. Ф. Молчанов
Ключевые слова: однополостный гиперболоид, комплексные оболочки, сферические
функции
Для однополостного гипербололида в трехмерном вещественном пространстве построены
4 комплексные оболочки, указаны сферические функции на гиперболоиде, которые
могут быть продолжены аналитически на эти оболочки (каждой оболочке отвечают
сферические функции какой-нибудь одной серии), найдены операторы проектирования
на подпространства, в которых действуют представления какой-нибудь одной из серий,
и написаны соответствующие ядра Коши-Сеге
Настоящая работа продолжает нашу работу [3] о сферических функциях
и комплексных оболочках на однополостном гиперболоиде X в трехмерном
вещественном пространстве R3 . В разложение квазирегулярного представления
псевдо-ортогональной группы G = SO0 (1, 2) на X входят неприводимые унитарные
представления непрерывной серии с кратностью два и голоморфной и антиголоморфной
дискретных серий с кратностью один. Само разложение эквивалентно разложению
дельта-функции на X по сферическим функциям этих серий.
Мы строим четыре комплексные оболочки гиперболоида X и указываем
сферические функции на гиперболоиде, которые могут быть продолжены аналитически
на эти оболочки; каждой оболочке отвечают сферические функции какой-нибудь
одной серии. Мы находим операторы проектирования на подпространства, в
которых действуют представления какой-нибудь одной из серий, и пишем соответствующие
ядра Коши-Сеге. В частности, это решает задачу характеризации серий с помощью
комплексных оболочек (программа ГельфандаГиндикина).
Аналитическое продолжение сферических функций дискретных серий было
получено в нашей работе [2].
џ 1. Однополостный гиперболоид и комплексные оболочки
1 Работа поддержана Госзаданием Минобрнауки 1.3445.2011, ФЦП "Научные и научнопедагогические кадры инновационной России" 14.740.11.0349
20
Введем в R3 билинейную фоpму
[x, y] = ?x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ,
(1.1)
где x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ). Пусть X однополостный гиперболоид
[x, x] = 1 в R3 . Пусть G = SO0 (1, 2) связная группа линейных преобразований
пространства R3 , сохраняющих форму [x, y]. Мы будем считать, что G действует
справа: x 7? xg , в соответствии с этим записываем вектор в виде строки. На
гиперболоиде X группа G действует транзитивно. Инвариантная мера есть
dx = |x3 |?1 dx1 dx2 . Скалярное произведение в пространстве L2 (X , dx) по этой
мере дается формулой
Z
hf1 , f2 iX =
f1 (x) f2 (x) dx.
X
Стационарная подгруппа H точки x = (0, 0, 1) ? X состоит из матриц
?
?
ch t sh t 0
h = ? sh t ch t 0 ? ,
0
0 1
0
она изоморфна SO0 (1, 1). Следовательно, X = G/H .
Приведем некоторый материал из [3] о комплексных оболочках гиперболоида
X.
Распространим билинейную форму [x, y] на пространство C3 формулой (1.1).
Уравнение [x, x] = 1 в C3 задает комплексный гиперболоид X C . Комплексные
оболочки ?± , Y ± гиперболоида X это следующие четыре комплексные подмногообразия
в X C:
?+ : ?1 < [x, x] < 1, Im x1 > 0,
?? : ?1 < [x, x] < 1, Im x1 < 0,
x3
Y + : [x, x] > 1, Im
< 0,
x2
x3
Y ? : [x, x] > 1, Im
> 0,
x2
Сопоставим каждой точке x многообразий ?± , Y ± ее третью координату
x3 . Тогда образом многообразия ?± служит вся комплексная плоскость C с
разрезами (??, ?1] и [1, +?), а образом многообразия Y ± вся плоскость C с
разрезом [?1, 1].
Пусть F (?) и G(y) аналитические функции на ?± и Y ± , зависящие только
от третьей координаты: F (?) = f (?3 ) и G(y) = g(y3 ). Пусть точки ? ? ?± и
y ? Y ± стремятся к точке x ? X . Тогда
lim F (?) = f (x3 ± i0 · x1 x3 ),
lim G(y) = g(x3 ? i0 · x2 ).
21
џ 2. Представления группы G = SO0 (1, 2)
Напомним некоторый материал о представлениях T? группы G, см., например,
[4]. Мы используем компактную картину. Для многообразия M через D(M )
обозначается пространство функций класса C ? со значениями в C на M с
компактным носителем и через D0 (M ) обозначается пространство обобщенных
функций на M антилинейных непрерывных функционалов на D(M ).
Пусть S сечение конуса [x, x] = 0 плоскостью x1 = 1, это окружность,
состоящая из точек s = (1, sin ?, cos ?), где ? ? R. Эвклидова мера на S есть
ds = d?. Представление T? , ? ? C, группы G действует в D(S) следующим
образом:
sg
(sg)?1 ,
(T? (g)f ) (s) = f
(sg)1
где g ? G, индекс 1 указывает первую координату. Если ? не целое, то
T? неприводимо и эквивалентно T???1 . Возьмем в D(S) базис, состоящий из
функций
?m (s) = eim? , m ? Z.
Если ? целое, то подпространства V?,+ и V?,? , порождаемые функциями ?m с
m > ?? и m 6 ? , соответственно, инвариантны.
Эрмитова форма
Z
h?, ?iS =
?(s) ?(s) ds
(2.1)
S
инвариантна относительно пары T? , T???1 , то есть
hT? (g)?, ?iS = h?, T???1 (g ?1 )?iS .
(2.2)
Имеется четыре серии неприводимых унитаризуемых представлений: непрерывная
серия, состоящая из T? , ? = ?1/2 + i?, ? ? R, со скалярным произведением
(2.1); дополнительная серия, состоящая из T? , ?1 < ? < 1; и две дискретные
серии голоморфная и антиголоморфная: Tn+ и Tn? , n ? N = {0, 1, 2, . . .},
соответственно; представление Tn± есть фактор-представление представления
±
Tn , действующее в D(S)/Vn,? , оно эквивалентно представлению T?n?1
, действующему
в подпространстве V?n?1,± .
Представление T? распространяется на пространство обобщенных функций
D (S) формулой (2.2), где h?, ?iS означает значение обобщенной функции ? на
основной функции ?.
0
џ 3. Сферические функции
22
Сначала укажем обобщенные функции ? в D0 (S), инвариантные относительно
H в представлениях T? и их подфакторах, см., например, [4]. Мы используем
стандартные обозначения для обобщенных функций на прямой: t?± , (t ± i0)? , а
также
t?,? = |t|? sgn? t = t?+ + (?1)? t?? ,
где ? ? C, ? ? Z, фактически эта функция зависит только от ? по модулю два,
так что можно брать ? = 0, 1.
Пространство H -инвариантов для T? имеет размерность 2 для ? 6= ?n ? 1 и
размерность 3 для ? = ?n ? 1 (здесь n ? N).
Для ? ?
/ Z возьмем базис
??,± (s) = (s3 ± i0)?
= ([x0 , s] ± i0)? .
(3.1)
Всякий неприводимый подфактор имеет H -инвариант, единственный с точностью
±
до множителя. В частности, для T?n?1
инвариантом является
±
??n?1
(s) = (s3 ? i0 · s2 )?n?1 .
(3.2)
Для ? ?
/ Z мы определяем 4 сферические функции ??,±,± (x), знаки берутся
в произвольных сочетаниях, а для ? = n ? N мы определяем 2 сферические
функции ?n,± (x). Эти функции оказываются локально интегрируемыми функциями
на X , инвариантными относительно H . А именно, мы полагаем
??,±,± (x) = h????1,± , T? (g ?1 ) ??,± iS ,
±
?n,± (x) = h??n?1
, Tn (g ?1 ) ?n,n+1 iS ,
где g такой элемент из G, что x0 g = x. Подставляя (3.1) и (3.2), получим
Z
??,±,± (x) =
(s3 ± i0)???1 ([x, s] ? i0)? ds,
ZS
(s3 ± i0 · s2 )?n?1 [x, s]n,n+1 ds.
?n,± (x) =
S
Эти функции выражаются через функции Лежандра P? (±x3 ) и Qn (x3 ). Функции
Лежандра P? (z) и Q? (z) определены в плоскости комплексного переменного z с
разрезами [?1, 1] и (??, ?1], [1, +?), соответственно, см. [1]. На разрезах мы
определяем эти функции как полусумму предельных значений сверху и снизу.
Введем следующие функции на X :
P? (x3 ), x3 > ?1,
A?,± (x) =
(3.3)
P? (x3 ) ? i sin ?? · sgn x1 · P? (?x3 ), x3 < ?1,
P? (?x3 ) ? i sin ?? · sgn x1 · P? (x3 ), x3 > 1,
B?,± (x) =
(3.4)
P? (?x3 ), x3 < 1,
Qn (x3 ), |x3 | > 1,
Cn,± (x) =
(3.5)
Qn (x3 ) ± (i?/2) · sgn x2 · Pn (x3 ), |x3 | < 1,
23
Эти функции являются предельными значениями на X аналитических функций
на ?± , Y ± , а именно,
A?,± (x) = lim P? (?3 ), ? ? ?± , ? ? x,
B?,± (x) = lim P? (??3 ), ? ? ?± , ? ? x,
Cn,± (x) = lim Qn (y3 ), y ? Y ± , y ? x.
Сферические функции выражаются через функции (3.3), (3.4), (3.5) следующим
образом:
??,?,± (x) = ± 2?i · A?,± (x),
??,±,± (x) = ? 2?i · e?i?? B?,± (x),
?n,± (x) = 4 Cn,± (x),
в этих формулах берутся либо верхние, либо нижние знаки "±".
Из (3.3), (3.4), (3.5) получаем, что функции Лежандра P? (±x3 ), Qn (x3 ) полусуммы функций A, B , C :
1X
A?,± (x),
2 ±
1X
P? (?x3 ) =
B?,± (x),
2 ±
1X
C?,± (x).
Qn (x3 ) =
2 ±
P? (x3 ) =
(3.6)
(3.7)
џ 4. Формула Планшереля
В разложение квазирегулярного представления на однополостном гиперболоиде
X входят представления непрерывной серии с кратностью два и обеих дискретных
серий (голоморфной и антиголоморфной) с кратностью один.
Обозначим через ?(x) дельта-функцию на X , сосредоточенную в точке x0 :
h?, f iX = f (x0 )
Формула Планшереля для X равносильна разложению этой дельта-функции по
сферическим функциям, см., [4]. Отметим, что в [4] мы использовали другой
базис для сферических функций непрерывной серии. Запишем формулу Планшереля
из [4], заменяя сферические функции их выражениями через функции Лежандра:
1
?(x) =
4?
Z
?
??
?
? sh ??
1 X
P? (?x3 ) d? + 2
(2n + 1) Qn (x3 ),
(ch ??)2
2? n=0
где ? = ?(1/2) + i?.
24
Заменим здесь функции Лежандра их выражениями через B?,± (x) и C?,± (x),
см., (3.6) и (3.7). Мы получим разложение дельта-функции в сумму четырех
обобщенных функций:
?(x) = Ec+ (x) + Ec? (x) + Ed+ (x) + Ed? (x),
(4.1)
где
Ec± (x)
1
=
8?
Ed± (x) =
Z
1
4? 2
?
??
?
X
? sh ??
P? (?x3 ) d?, ? = ?(1/2) + i?,
(ch ??)2
(2n + 1) Qn (x3 ).
n=0
Разложение (4.1) отвечает разложению пространства L2 (X , dx) на подпространства,
в которых действуют отдельные серии представлений:
L2 (X , dx) = Hc+ + Hc? + Hd+ + Hd? ,
(4.2)
непрерывная, непрерывная, голоморфная дискретная, антиголоморфная дискретная,
соответственно.
Удается вычислить явно обобщенные функции из (4.1), а именно,
1
1
i
??
(x3 ? 1)?1 ±
(Z + + Z ? ),
4
4?
4?
1
1
i
Ed± =
?+
(x3 ? 1)?1 ±
(Z + ? Z ? ),
4
4?
4?
где Z ± следующие обобщенные функции на X :
Z ?
dt
±
, f ? D(X ).
f (t, ±t, 1)
hZ , f iX =
t
??
Ec± =
(4.3)
(4.4)
Это интегралы по прямолинейным образующим на X , проходящим через x0 ,
по мере, инвариантной относительно подгруппы H .
Обобщенные функции из (4.1) являются предельными значениями функций
на комплексных оболочках:
1
Ec± (x) = lim 2 (1 ? ?3 )?1
(4.5)
4?
1
Ed± (x) = lim 2 (y3 ? 1)?1 ,
(4.6)
4?
пределы берутся при ? ? x, ? ? ?± , и при y ? x, y ? Y ± , соответственно.
Предельные соотношения (4.5), (4.6) понимаются в следующем смысле. Сначала
мы продолжаем на X с комплексных оболочек такие же функции с показателем
? вместо ?1, а затем полагаем ? = ?1:
1
±
?
Ec (x) = lim 2 (1 ? ?3 )
4?
?=?1
1
Ed± (x) = lim 2 (y3 ? 1)?
.
4?
?=?1
25
џ 5. Проекторы на серии, ядра КошиСеге
±
2
Обозначим через ?±
c , ?d операторы в L (X , dx), проектирующие на подпространства
Hc± , Hd± , соответственно. Их явные выражения получаются из (4.3), (4.4) с
помощью сдвига. А именно, для f ? D(X ) мы имеем
Z
1
1
±
f (x) ?
?c f (x) =
([x, u] ? 1)?1 f (u) du
4
4? X
i +
±
(W f )(x) + (W ? f )(x) ,
4?
Z
1
1
±
?d f (x) =
f (x) +
([x, u] ? 1)?1 f (u) du
4
4? X
i +
±
(W f )(x) ? (W ? f )(x) ,
4?
где W ± следующие операторы:
±
Z
?
f (x + t · e±
x)
W f (x) =
??
dt
,
t
векторы e±
x ? S получаются из векторов (1, ±1, 0) сдвигом на элемент g ? G
такой, что x = x0 g , а именно,
x1 x2 ? x3 x1 x3 ± x2
±
ex = 1,
,
.
x21 + 1
x21 + 1
Значение операторов W ± от функции f в точке x это интегралы от функции f
по прямолинейным образующим на X , проходящим через x, по мере, инвариантной
относительно стационарной подгруппы точки x.
+
?
?
Отметим любопытное обстоятельство: разности ?+
c ??c и ?d ??d операторов
проектирования выражаются только через операторы W ± :
i
W+ + W? ,
2?
i
W+ ? W? .
=
2?
?
?+
=
c ? ?c
?
?+
d ? ?d
Подпространства (4.2) являются собственными для этих разностей с собственными
значениями 1, ?1, 0, 0 и 0, 0, 1, ?1, соответственно.
Наконец, из (4.5) и (4.6) с помощью сдвига мы получаем ядра КошиСеге,
отвечающие подпространствам Hc± и Hd± :
1
(1 ? [?, x])?1 , ? ? ?± , x ? X ,
4? 2
1
Ed± (y, x) =
([y, x] ? 1)?1 , y ? Y ± , x ? X .
4? 2
Ec± (?, x) =
26
Литеpатуpа
1. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая
функция, функции Лежандра. М.: Наука, 1965.
2. В. Ф. Молчанов. Квантование на мнимой плоскости Лобачевского. Функц.
анализ и его прил., 1980, том 14, вып. 2. 7374.
3. В. Ф. Молчанов. Аналитическое продолжение сферических функций непрерывной
серии для однополостного гиперболоида. Вестник Тамбовского унив. Серия:
Естественные и технические науки, 2008, том 13, вып. 6, 586597.
4. V. F. Molchanov. Canonical and boundary representations on a hyperboloid
of one sheet. Acta Appl. Math., 2004, vol. 81, Nos. 13, 191204.
Поступила в редакцию 16 ноября 2012 года
V. F. Molchanov. Spherical functions on the hyperboloid of one sheet, complex hulls and
Plancherel fofmula
For the hyperboloid of one sheet in the three-dimensional real space, we construct 4 complex
hulls, determine spherical functions on the hyperboloid that can be continued analytically
on these hulls (there is a correspondence between hulls and series of spherical functions),
nd projectors on subspaces where representations of separate series act, and write corresponding CauchySzego kernels
Keywords: hyperboloid of one sheet, complex hulls, spherical functions
27
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
263 Кб
Теги
однополостном, сферическая, формула, комплексная, функции, оболочка, планшереля, гиперболоиде
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа