close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Схемы метода конечных элементов высокого порядка точности для системы эллиптических уравнений с вырождающимися коэффициентами на интервале.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2009, № 7, c. 22–34
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@ksu.ru
А.Д. ЛЯШКО , Ш.И. ТАЮПОВ, М.Р. ТИМЕРБАЕВ
СХЕМЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
ТОЧНОСТИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С ВЫРОЖДАЮЩИМИСЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА ИНТЕРВАЛЕ
Аннотация. Работа посвящена построению схем метода конечных элементов высокого порядка точности для системы вырождающихся эллиптических уравнений, основанных на мультипликативном выделении особенности. На основе доказанных теорем о гладкости решения,
получены оценки погрешности предложенного метода.
Ключевые слова: метод конечных элементов, вырождающееся эллиптическое уравнение, пространства Соболева.
УДК: 519.632
Abstract. In this paper for the finite element method for systems of degenerate elliptic equations we
develop high-accuracy schemes based on multiplicative singularity detection. We prove theorems
about the smoothness of a solution. Based on these theorems we estimate the error of the proposed
method.
Keywords: finite element method, degenerate elliptical equation, Sobolev space.
1. Введение
Известно (например, [1]–[4]), что решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения с вырождающимися коэффициентами имеет неограниченные производные в окрестности точек вырождения. Поэтому применение стандартных проекционно-сеточных схем
для дискретизации таких задач приводит к потере сходимости приближенных решений к
точному в окрестности точек вырождения коэффициентов дифференциального оператора
задачи. Для численного решения рассматриваемого класса задач предлагались различные
подходы. Так, в работе [5] построение приближения основано на специальной замене переменных, при которой в новых координатах используется обычная разностная схема. В
работах [6]–[10] анализировался метод конечных элементов (МКЭ) со сгущающейся к особым точкам сеткой. Отметим, что построение сгущающейся сетки в областях со сложной
геометрией является нетривиальной задачей. Кроме того, для многомерных областей размер результирующей системы МКЭ с уменьшением характерного шага сетки растет существенно быстрее по сравнению с квазиравномерными сетками. Следствием этого является
медленная сходимость метода.
Поступила 12.04.2007
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 06-01-00633, 07-01-00674).
22
СХЕМЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ
23
Принципиально иной подход предложен в работе [11], в которой аппроксимация основывается на мультипликативном выделении особенности. Именно, решение задачи представляется в виде произведения двух функций, одна из которых имеет весьма простой
вид и отражает характерное поведение решения в окрестности точек вырождения коэффициентов дифференциального уравнения, а другая объявляется новой искомой функцией.
Как следует из априорных оценок [4], эта функция гладкая и для ее аппроксимации можно использовать обычные конечные элементы на квазиравномерной сетке. Таким образом,
данный метод фактически приводит к стандартному МКЭ с оптимальной сходимостью.
Во всех указанных выше работах рассматривались однородные граничные условия Дирихле. Целью данной работы является построение схем МКЭ высокого порядка точности для
системы вырождающихся эллиптических уравнений с неоднородными граничными условиями Дирихле. Чтобы можно было использовать преимущества метода с мультипликативным
выделением особенности, неоднородная граничная задача сводится к однородной с помощью так называемой функции продолжения (граничных значений в область), построение
которой описано в пункте 3.2. В работе доказано (теорема 9), что предложенный метод
имеет оптимальный порядок сходимости на правых частях заданного класса гладкости.
2. Обозначения и вспомогательные результаты
Введем весовые классы функций в интервале Ω = (0, 1). Для вещественного γ через
L2,γ (Ω) обозначим пространство измеримых вектор-функций u : Ω → Rn с нормой
1/2
−γ
−γ 2
|x u| dx
,
uL2,γ = x uL2 =
Ω
s
Hγ (Ω)
Через
будем обозначать пространство функгде |·| — евклидова норма вектора в
ций, для которых конечна полунорма D s uL2,γ , здесь и всюду далее s — целое неотрицательное число, D s u(x) = [Ds u1 (x) . . . Ds un (x)]T , Ds — обобщенная производная порядка s.
В качестве нормы этого пространства можно взять
Rn .
uHγs = (Ds u2L2,γ + uL2 (δ,1) )1/2 ,
где δ ∈ (0, 1) фиксировано. Иногда удобнее использовать другую, эквивалентную норму [12]
1/2
s−1
s
2
j
2
|D u(1)|
.
uHγs = D uL2,γ +
j=0
◦
Обозначим через H sγ (Ω) замыкание по норме пространства Hγs (Ω) множества C0∞ (Ω) финитных в Ω бесконечно дифференцируемых функций и положим Ḣγs (Ω) = {u ∈ Hγs (Ω) :
D j u(1) = 0, j = 0, 1, . . . , s − 1}. Можно показать ([14], c. 346; [12]), что для s = 1 при
◦
γ ≤ −1/2 эти подпространства совпадают: H 1γ (Ω) = Ḣγ1 (Ω), а при γ > −1/2 имеет место
◦
следующая характеризация “зануленного” класса: H 1γ (Ω) = {u ∈ Hγ1 (Ω) : u(0) = u(1) = 0}.
◦
Отметим также вложение H sγ (Ω) ⊂ L2,γ+s (Ω) и эквивалентность полунормы D s ·L2,γ норме
◦
пространства Hγs (Ω) на подпространствах H sγ (Ω) и Ḣγs (Ω).
Хорошо известны следующие теоремы вложения (например, [13], с. 378; [14], с. 319; [12]).
Теорема 1. (i) Пусть k < m. Для того чтобы пространство Hαm (Ω) было непрерывно
вложено в Hβk (Ω), необходимо и достаточно выполнения двух неравенств: β < 1/2 и m +
α − k − β ≥ 0; если последнее неравенство строгое, то указанное вложение компактно.
24
А.Д. ЛЯШКО, Ш.И. ТАЮПОВ, М.Р. ТИМЕРБАЕВ
◦
◦
(ii) Пространство H sγ (Ω) непрерывно вложено в H s−k
γ+k (Ω) для k = 1, s.
(iii) Для натурального s пространство Hγs (Ω) непрерывно (и компактно) вложено в
C(Ω) тогда и только тогда, когда s + γ − 1/2 > 0.
(Утверждение (iii) приводится в теореме с учетом одномерности области Ω.)
Для произвольного вещественного µ определим интегральный оператор Харди
x
µ−1
Kµ u(x) = x
y −µ u(y)dy.
0
Естественной областью определения dom Kµ оператора Kµ является множество всех измеримых на Ω функций u(y) таких, что функция y −µ u(y) интегрируема по Лебегу на интервале (0, x) для каждого x ∈ (0, 1).
Теорема 2 (формулы дифференцирования оператора Харди [4]). Пусть u ∈ dom Kµ . Тогда
xDKµ u(x) = u(x) + (µ − 1)Kµ u(x).
Если еще Du ∈ dom Kµ−1 , то
DKµ u = Kµ−1 Du.
Теорема 3. (i) Для того чтобы выполнялось включение L2,γ (Ω) ⊂ dom Kµ , необходимо и
достаточно, чтобы δ = 1/2 + γ − µ > 0. Если это выполнено, то Kµ непрерывен в L2,γ (Ω)
и
1
Kµ L2,γ →L2,γ = .
δ
(ii) Если µ < min(1, γ+s+1/2), то для любого целого неотрицательного k Kµ непрерывен
s+1
(Ω).
как оператор из Hγs (Ω) в Hγ−1
Доказательство. Утверждение (i) доказано в [4]. Докажем (ii). Для каждого j = 0, 1, . . . , s
выберем γj ∈ (µ − j − 1/2, 1/2) ∩ (µ − j − 1/2, s + γ − j] (такой выбор осуществим в силу
условия теоремы). По теореме 1 пространство Hγs (Ω) непрерывно вложено в Hγjj (Ω), поскольку γj < 1/2 и γj ≤ s + γ − j. Так как µ < γ0 + 1/2, то Hγs (Ω) ⊂ L2,γ0 (Ω) ⊂ dom Kµ . Из
включения Hγs (Ω) ⊂ Hγ11 (Ω) и неравенства µ − 1 < γ1 + 1/2 следует, что для любой функции
u ∈ Hγs (Ω) производная Du принадлежит dom Kµ−1 ; следовательно, справедлива вторая
формула дифференцирования: DKµ u = Kµ−1 Du. Рассуждая последовательно, убеждаемся
в корректности формул D j Kµ u = Kµ−j Dj u (j = 0, 1, . . . , s) для функций из пространства
Hγs (Ω) и в непрерывности оператора Kµ в этом пространстве.
Далее, используя первую формулу в теореме 2, получим
D s+1 Kµ u = DKµ−s Ds u =
1 s
1−µ
D u−
Kµ−s Ds u ∈ L2,γ−1 (Ω).
x
x
Дифференцируя это равенство нужное число раз с использованием первой формулы дифференцирования, убеждаемся, что для любой функции u ∈ Hγs (Ω) производная D s+k Kµ
принадлежит пространству L2,γ−k (Ω). Это означает, что интегральный оператор Kµ дейs+k
(Ω). Теперь из [15] следует непрерывность Kµ из пространства Hγs (Ω)
ствует из Hγs (Ω) в Hγ−k
s+k
(Ω).
в Hγ−k
СХЕМЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ
25
3. Постановка задачи и разрешимость
В интервале Ω = (0, 1) рассматривается неоднородная граничная задача с вырождением
в точке x = 0:
Au ≡ −D(xα a(x)Du(x)) + xα b(x)u(x) = f (x) в Ω,
u(0) = g, u(1) = 0.
(1)
Здесь a(x) и b(x) — симметричные матрицы размерности n × n, f (x) и u(x) — векторы
размерности n × 1, g — заданный вектор. Предполагается, что a(x) ≥ a0 > 0, b(x) ≥ 0
— достаточно гладкие функции (матричное неравенство A ≥ B означает, что Aξ · ξ ≥
Bξ · ξ для любого ξ ∈ Rn , ξ · η — скалярное произведение векторов в Rn ), α ∈ (−1, 1)
— степень вырождения коэффициентов дифференциального уравнения (регулярной задаче
соответствует значение α = 0). Рассмотрим сначала задачу с g = 0. Затем с помощью так
называемой функции продолжения общий случай g = 0 сведем к уже рассмотренному с
однородными граничными условиями.
◦
3.1. Однородное граничное условие g = 0. На пространстве V = H 1−α/2 (Ω) определим
соответственно билинейную форму и линейный функционал
α
α
a(u, v) =
x a(x)Du(x) · Dv(x) + x b(x)u(x) · v(x)dx, f(v) =
f (x) · v(x)dx.
Ω
Ω
Обобщенная постановка задачи (1) при g = 0 состоит в отыскании функции u ∈ V ,
удовлетворяющей вариационному уравнению
a(u, v) = f(v) ∀v ∈ V.
(2)
Из условий на коэффициенты a(x), b(x) и эквивалентности полунормы D·L2,−α/2 норме
1
(Ω) на подпространстве V следует, что энергетическая норма ua =
пространства H−α/2
1
(Ω) на V . По теореме Рисса–Фишера ваa(u, u)1/2 эквивалентна норме пространства H−α/2
риационное уравнение (2) разрешимо единственным образом для любого линейного непрерывного на V функционала f. Далее, из вложения V ⊂ L2,1−α/2 (Ω) (теорема 1) вытекает
вложение пространства L2,α/2−1 (Ω) в сопряженное V ∗ . По теореме 1 при γ + s ≥ α/2 − 1
имеет место включение Hγs ⊂ L2,α/2−1 (Ω). Таким образом, установлена
Теорема 4. Если γ ≥ α/2 − s − 1, то решение u(x) задачи (2) из пространства V существует и единственно для любой правой части f ∈ Hγs (Ω).
Обозначим σ(x) = x1−α . Символом σ будем обозначать также оператор умножения на
функцию σ: (σϕ)(x) = σ(x)ϕ(x).
Лемма 1 ([11]). Оператор умножения на σ является изоморфизмом пространства
1
(Ω) на V .
Ḣα/2−1
Из леммы следует, что задача (2) эквивалентна вариационной задаче на V = Ḣα/2−1 (Ω)
об отыскании функции u
∈ V такой, что
a(
u, v) = f(
v ) ∀
v ∈ V ,
(3)
где a(
u, v) = a(σ
u, σ
v ), f(
v ) = f(σ
v ). При этом решения задач (2) и (3) связаны между собой
простым соотношением u(x) = σ(x)
u(x).
Смысл перехода от решения исходной задачи (1) (с g = 0) к решению задачи
u(x) ≡ A(σ
A
u)(x) = f (x) в Ω,
σ(x)
u(x) = 0 при x = 0, 1
(4)
26
А.Д. ЛЯШКО, Ш.И. ТАЮПОВ, М.Р. ТИМЕРБАЕВ
состоит в том, что решение исходной задачи при α > 0 имеет бесконечную производную
в окрестности точки вырождения x = 0, в то время как u
(x) (это будет доказано ниже)
является гладкой функцией, и ее гладкость зависит только от гладкости правой части f (x),
коэффициентов a(x), b(x) и не зависит от степени вырождения α.
Лемма 2. (i) Для того чтобы ограниченное в Hγs (Ω) множество K было относительно
компактным в этом пространстве, необходимо и достаточно, чтобы множество производных порядка s {D s v : v ∈ K} было относительно компактным в L2,γ (Ω).
(ii) Для того чтобы линейный непрерывный оператор L, действующий из некоторого нормированного пространства U в Hγs (Ω) был компактен, необходимо и достаточно,
чтобы был компактен оператор D s L : U → L2,γ (Ω).
Доказательство. Ясно, что эти два утверждения эквивалентны, поэтому достаточно доказать одно из них, например, (i).
Необходимость. Поскольку оператор s-кратного дифференцирования D s является непрерывным оператором из Hγs (Ω) в L2,γ (Ω), то он переводит относительно компактное подмножество K ⊂ Hγs (Ω) в относительно компактное D s (K) ⊂ L2,γ (Ω).
Достаточность. Из ограниченности K в Hγs (Ω) следует ограниченность в H s (δ, 1) множества Kδ сужений на (δ, 1) функций из K. Так как H s (δ, 1) компактно вложено в L2 (δ, 1)
(здесь предполагаем, что s ≥ 1, поскольку при s = 0 ничего доказывать не нужно), то из
любой последовательности un ∈ K можно выделить такую подпоследовательность (unk ),
которая 1) сходится в L2 (δ, 1) и 2) последовательность производных (D s unk ) сходится в
L2,γ (Ω). Это означает, что подпоследовательность (unk ) сходится в Hγs (Ω).
в виде A
=A
0 + B, где
Представим оператор A
0 v(x) = −D(xα a(x)D(σ(x)v(x))),
A
Bv(x) = xb(x)v(x).
s (т. е. |D s (xb(x))| ≤ c = const почти всюду на Ω), то
Лемма 3. Если γ < 1/2 и xb ∈ W∞
оператор B компактен как оператор из пространства Hγs+1 (Ω) в Hγs (Ω).
Доказательство. Имеем
s
D Bv(x) =
s
Csj Ds−j (xb(x))Dj v(x).
j=0
Так как пространство Hγs+1−j (Ω)
j = 0, s оператор D j : H s+1 (Ω) →
компактно вложено в L2,γ (Ω) (теорема 1), то для каждого
L2,γ (Ω) компактен. Поскольку все производные D k (xb(x)),
k = 0, s, ограничены, то из равенства, приведенного выше, следует компактность оператора D s B : Hγs+1 (Ω) → L2,γ (Ω), откуда по лемме 2 вытекает компактность оператора B из
пространства Hγs+1 (Ω) в Hγs (Ω).
s будет выполнено, если |D s b(x)| ≤ c /x и
Замечание. Очевидно, условие леммы xb ∈ W∞
1
s−1
|D b(x)| ≤ c2 .
Следующая теорема является основной в этом пункте и для s = 0 доказана в [4] в случае
многомерной области Ω.
s+1 (Ω) и xb ∈ W s (Ω). Тогда оператор A
Теорема 5. Пусть α − s − 3/2 < γ < 1/2, a ∈ W∞
∞
в левой части дифференциального уравнения (4) является изоморфизмом пространства
s+2
(Ω) ∩ Ḣγ1 (Ω) на Hγs (Ω). При этом для решения задачи (4) выполняется граничное
Hγ−1
u(x)|x=0 = 0.
условие x2−α D
СХЕМЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ
27
Доказательство. Непосредственным дифференцированием легко проверяется, что опера=A
0 + B при сделанных предположениях относительно коэффициентов
0 , B и A
торы A
s+2
0 является изо(Ω) в Hγs (Ω). Покажем, что оператор A
a(x) и b(x) непрерывны из Hγ−1
s+2
1
s
морфизмом пространства Hγ−1 (Ω) ∩ Ḣγ (Ω) на Hγ (Ω). Тогда в силу компактности операs+2
(Ω) ⊂ Hγs+1 (Ω) → Hγs (Ω) (лемма 3) отсюда будет следовать, что оператор
тора B : Hγ−1
= A
0 + B фредгольмов, т. е. размерность его ядра и коразмерность области значений
A
конечны и равны между собой. Но поскольку по теореме 4 решение задачи (4) с нулевой
также
правой частью только тривиальное, то отсюда будет следовать, что и оператор A
s+2
1
s
является изоморфизмом пространства Hγ−1 (Ω) ∩ Ḣγ (Ω) на Hγ (Ω). Итак, нужно показать
0 является изоморфизмом пространства H s+2 (Ω) ∩ Ḣγ1 (Ω) на Hγs (Ω).
только, что оператор A
γ−1
Пусть f ∈ Hγs (Ω). Интегрируя уравнение (1) с b(x) ≡ 0 по интервалу (x, 1), получим
1
α
−1
f (y)dy ,
x Du(x) = f1 (x), где f1 (x) = a (x) c0 +
x
c0 = xα a(x)Du(x)|x=1 = a(1)Du(1).
s+1 (Ω) и a(x) ≥ a > 0 следует, что f ∈ H s+1 (Ω). Поделив на xα и
Из условия a ∈ W∞
0
1
γ
интегрируя по интервалу (0, x) с учетом условия u(0) = 0, будем иметь
x
x−α f1 (x)dx или u
(x) = xα−1 u(x) = Kα f1 (x).
u(x) =
0
Поскольку α < min(1, γ+s+1+1/2), то по теореме 3 оператор Харди Kα : Hγs+2 (Ω) → Hγs (Ω)
непрерывен, следовательно, uH s+2 ≤ c1 f1 Hγs+1 ≤ c2 (|c0 | + f Hγs ). Постоянный вектор c0
γ−1
в f1 (x) вычисляется из условия u(1) = 0
1
−1 −α −1
x a (x)dx
c0 = c0 (f ) = −
0
1
−α −1
x
0
a
1
(x)
f (y)dy dx,
x
uH s+2 ≤ c4 f Hγs . Из этой оценки и единоткуда |c0 (f )| ≤ c3 f Hγs . Окончательно имеем γ−1
0 есть изоморфизм пространства
ственности решения (теорема 4) следует, что оператор A
s+2
(Ω) ∩ Ḣγ1 (Ω) на Hγs (Ω).
Hγ−1
Наконец, из второй формулы дифференцирования оператора Харди получим
x
2−α
2−α
D
u(x) = x
Kα−1 Df1 (x) =
Df1 (y)dy → 0 при x → 0,
x
0
так как Df1 ∈
Hγs (Ω)
⊂ dom Kα−1 по теореме 3.
Следствие 1. Если коэффициенты a(x), b(x) и правая часть f (x) — функции класса
(x) является функцией из C ∞ (Ω).
C ∞ (Ω), то и решение задачи (4) u
3.2. Общий случай g = 0. Функция продолжения.
Определение. Вектор-функция ϕ(x) называется функцией продолжения для класса правых частей Hγs (Ω) задачи (1), если Aϕ(x) принадлежит пространству Hγs (Ω) и выполнены
граничные условия ϕ(0) = E, ϕ(1) = 0, здесь и далее E — вектор n × 1, у которого все
компоненты равны 1.
Приведем один из способов построения функции продолжения, предполагая, что производные порядка s + 1 коэффициентов a(x) и b(x) ограничены. Фиксируем δ ∈ (0, 1). На
28
А.Д. ЛЯШКО, Ш.И. ТАЮПОВ, М.Р. ТИМЕРБАЕВ
отрезке [0, δ] будем искать ϕ(x) как решение задачи Коши
2s+2
≡ −D(xα Ta (x)Dϕ(x)) + xα Tb (x)ϕ(x) =
Aϕ
ci xi+α ,
x ∈ (0, δ),
(5)
i=s+1
ϕ(0) = I,
xα Dϕ(x)|x=0 = 0.
(6)
Здесь
Ta (x) =
Tb (x) =
s
i
ai x =
s
Di a(0)
i!
i=0
i=0
s
s
Di b(0)
bi xi =
i=0
i!
i=0
xi ,
xi
— разложения Тейлора порядка s матричных функций a(x) и b(x). Производные D i a(x) и
D i b(x), как и в случае векторных функций, понимаются как покомпонентные производные
матриц a(x) и b(x). Векторные коэффициенты cj подберем таким образом, чтобы решение
s+2
ϕk xk . Подставим это представление в
задачи (5), (6) было представимо в виде суммы
k=0
уравнение (5) и соберем слагаемые при одинаковых степенях x
−
2s+1
j=1
i+k=j
(j + α)xj+α−1
(k + 1)ai ϕk+1 +
2s+2
xj+α
j=0
bi ϕk =
2s+2
ci xi+α .
i=s+1
i+k=j
Заменив в первой сумме j на j + 1, перепишем последнее равенство в виде
−
2s
(j + 1 + α)xj+α
j=0
(k + 1)ai ϕk+1 +
2s+2
xj+α
j=0
i+k=j+1
bi ϕk =
i+k=j
2s+2
ci xi+α .
i=s+1
Из этого равенства, учитывая начальные условия (6), получаем рекуррентные соотношения,
которым удовлетворяют ϕk и cj ,
ϕj+2 =
ϕ0 = I,
bi ϕk − (j + 1 + α) ×
i+k=j
a−1
0
cj = −(j + 1 + α)
ϕ1 = 0,
(k + 1)ai ϕk+1
i+k=j+1, i>0
(j + 1)(j + 1 + α)
(k + 1)ai ϕk+1 +
bi ϕk ,
i+k=j+1
cj =
, j = 0, 1, . . . , s;
j = s + 1, s + 2, . . . , 2s,
i+k=j
bi ϕk ,
j = 2s + 1, 2s + 2.
i+k=j
Итак, на отрезке [0, δ] ϕ(x) есть вектор-функция, каждая компонента которой — полином
степени s + 2, удовлетворяющая дифференциальному уравнению (5). На отрезок [δ, 1] для
заданного наперед натурального k ≥ s + 2 ϕ(x) можно продолжить произвольной функцией из C k [δ, 1] с соблюдением следующих условий: ϕ(1) = 0, D j ϕ(δ − 0) = D j ϕ(δ + 0) для
j = 0, 1, . . . , k. Например, в качестве ϕ(x) на [δ, 1] можно взять вектор-функцию, удовлетворяющую указанным условиям, каждая компонента которой является полиномом Эрмита
степени k + 1. Тогда кусочно-полиномиальная вектор-функция ϕ(x) будет принадлежать
пространству C k [0, 1].
СХЕМЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ
29
Покажем, что ϕ(x) является функцией продолжения для класса Hγs , установив предварительно простую лемму.
Лемма 4. Пусть некоторая вектор-функция p(x) имеет ограниченную производную порядка s + 1 и D j p(0) = 0, j = 0, 1, . . . , s. Тогда справедливы оценки
c
xs+1−j , j = 0, 1, . . . , s.
|Dj p(x)| ≤
(s + 1 − j)!
Доказательство. По условию |D s+1 p(x)| ≤ c. Проинтегрируем D s+1 p(x) по отрезку [0, x].
Так как D s p(0) = 0, то
x
|Ds+1 p(x)|dx ≤ cx.
|Ds p(x)| ≤
0
Повторяя рассуждения для D s p(x), получим |Ds−1 p(x)| ≤ 2c x2 , и т. д.
Теорема 6. Пусть a(x) и b(x) имеют ограниченные производные порядка s + 1 и
γ < 1/2. Тогда построенная выше вектор-функция ϕ(x) является функцией продолжения
для класса правых частей Hγs (Ω) задачи (1).
Доказательство. Так как на отрезке [δ, 1] коэффициенты дифференциального оператора A
являются регулярными (не имеют особенностей), а ϕ ∈ C s+2 [δ, 1], то достаточно убедиться,
что Aϕ ∈ Hγs (0, δ). Запишем
a(x) = Ta (x) + a(x),
b(x) = Tb (x) + b(x),
где Ta (x), Tb (x) — разложения Тейлора порядка s функций a(x) и b(x), a(x) и b(x) — остаточные члены. Оба они принадлежат C s (Ω), производные этих функций порядка s + 1
ограничены и D j a(0) = Dj b(0) = 0 для j = 0, 1, . . . , s. Тогда по лемме 4 для производных
порядка j = 0, 1, . . . , s справедливы оценки |Dj a(x)| ≤ cxs+1−j , |Dj b(x)| ≤ cxs+1−j , откуда
(с другими константами c)
|D j (xα a(x))| ≤ cxs+α+1−j , |Dj (xα b(x))| ≤ cxs+α+1−j , j = 0, 1, . . . , s.
(7)
Имеем Aϕ(x) = Aϕ(x)
+ Aϕ(x), где
Aϕ(x) = −D(xα a(x)Dϕ(x)) + xα b(x)ϕ(x).
∼ x1+α и, следовательно, D s Aϕ
∈ L2,γ (0, δ)
∈ Hγs (0, δ) по построению, так как |D s Aϕ|
Aϕ
при γ < 1/2 (напомним, что α ∈ (−1, 1)). Из оценок (7) следует |D s (xα b(x)ϕ(x))| ∼ x1+α
s+1
и Ds (xα b(x)ϕ(x)) ∈ L2,γ (0, δ). Наконец, учитывая, что ϕ1 = 0 и ψ(x) ≡ Dϕ(x) =
(k +
k=1
1)ϕk+1 xk , опять же из (7) аналогично получим D s+1 (xα a(x)ψ(x)) ∈ L2,γ (0, δ). Таким обра
зом, и функция Aϕ(x) принадлежит пространству Hγs (0, δ).
Теорема 7. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы и ϕ(x) — функция продолжения для класса правых частей Hγs (Ω) задачи (1). Тогда если α − s − 3/2 < γ < 1/2,
то для любой правой части f ∈ Hγs (Ω) решение задачи (1) существует, единственно и
представимо в виде
(x),
u(x) = Ψ(x)g + x1−α u
s+2
(Ω) ∩ Ḣγ1 (Ω) и uH s+2 ≤ c(f Hγs + |g|), Ψ(x) — матрица, диагональ которой
где u
∈ Hγ−1
γ−1
равна ϕ(x), а все остальные компоненты равны нулю.
30
А.Д. ЛЯШКО, Ш.И. ТАЮПОВ, М.Р. ТИМЕРБАЕВ
Доказательство. Положим f(x) = f (x)−A(Ψ(x)g) и обозначим через u
(x) решение краевой
задачи
A
u(x) = f(x) в Ω, u
(0) = 0, u
(1) = 0.
Так как f ∈ Hγs (Ω), то по теореме 5 решение этой задачи существует, единственно и предs+2
ставимо в виде u
(x) = σ(x)
u(x), где u
∈ Hγ−1
(Ω) ∩ Ḣγ1 (Ω) с априорной оценкой
uH s+2 ≤ c1 fHγs ≤ c1 (fHγs + |g| AϕHγs ).
γ−1
Осталось заметить, что u(x) = Ψ(x)g+
u(x) — решение граничной задачи (1) по построению.
4. Аппроксимация задачи конечными элементами
Пусть на [0, 1] задан набор точек x0 = 0 < x1 < · · · < xn = 1, образующих разбиение
Th = {ek }k=1,n отрезка [0, 1] на конечные элементы ek = [xk−1 , xk ]. Здесь h = max hk ,
k=1,n
hk = xk − xk−1 . Предполагается существование постоянной µ > 0, не зависящей от h и
такой, что
(8)
hk+1 ≤ µhk ∀k = 1, n − 1;
в частности, это выполнено для квазиравномерного разбиения. Из этого условия вытекает, что xk = xk−1 + hk ≤ xk−1 + µhk−1 ≤ (1 + µ)xk−1 для k = 2, n. Положим c(γ) =
max(1, (1 + µ)−γ ) для вещественного γ. Тогда
xγk ≤ c(−γ) min xγ ,
x∈ek
max xγ ≤ c(γ)xγk ∀k = 2, n.
x∈ek
(9)
Для натурального m обозначим через S m (Th ) ≡ Shm пространство конечных элементов,
состоящее из вектор-функций v = [v1 (x) . . . vn (x)]T ∈ C[0, 1] таких, что сужение vi (x) на
любой конечный элемент ek ∈ Th является полиномом степени m.
4.1. Оценки погрешности интерполяции в весовых нормах Соболева. На базисном конечном элементе e = [0, 1] зафиксируем два набора узлов, занумерованных по возрастанию:
2 = {t2i : i = 0, m} ⊂ [0, 1], причем t20 = 0, t1m = t2m = 1.
ω
1 = {t1i : i = 0, m} ⊂ (0, 1] и ω
p , p = 1, 2, т. е. это полиноПусть {ϕ
pi : i = 0, m} — базисные функции Лагранжа для узлов ω
мы степени m, удовлетворяющие условиям ϕ
pi (tpj ) = δij для всех i, j = 0, m. Для функций,
непрерывных в окрестности точек ω
p , определим оператор интерполяции в пространстве
e) формулой
векторных полиномов Pm (
(t) =
π
p u
m
u(tpi ),
φpi (t)
i=0
pi (t), а остальные элементы
где φpi (t) — матрица, на диагонали которой стоят функции ϕ
нулевые.
Хорошо известны оценки погрешности полиномиальной интерполяции в нормах проe):
странств Соболева для функций u
∈ H m+1 (
u−π
p u
)L2 (e) ≤ cDm+1 u
L2 (e) , s = 0, m + 1.
D s (
(10)
Постоянная c зависит здесь только от m, s и выбора сетки ω
p . Этот результат обобщается
на весовые нормы.
СХЕМЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ
31
Лемма 5. Пусть выполнены следующие условия: 1) s ≤ m + 1, 2) m + 1 + β − s − α ≥ 0,
3) α < 1/2. Тогда существует такая постоянная c > 0, что для любой функции u
∈
e) справедлива оценка
Hβm+1 (
u−π
1 u
)L2,α (e) ≤ cDm+1 u
L2,β (e) .
Ds (
e) ⊂ C(0, 1] и t10 > 0, то оператор интерполирования
Доказательство. Поскольку Hβm+1 (
m+1
e) → Pm (
e) непрерывен. Условия леммы по теореме 1 обеспечивают непреπ
1 : Hβ (
e) ⊂ H s (
e), т. е. непрерывность тождественного оператора I :
рывность вложения H m+1 (
β
α
e) → Hαs (
e). Наконец, из последнего условия леммы следует включение Pm (
e) ⊂
Hβm+1 (
m+1
e). Таким образом, линейный оператор L = I − π
1 : Hβ (
e) → Hαs (
e) непрерывен.
Hαs (
Учитывая, что Lψ = 0 для любого полинома ψ ∈ Pm (
e), получим
u−π
1 u
)L2,α (e) = Ds L(
u − ψ)L2,α (e) ≤ c1 u − ψH m+1 (e) ≤
D s (
β
≤ c2 (Dm+1 u
L2,β (e) +
m
|Dj u
(1) − Dj ψ(1)|) ∀ψ ∈ Pm (
e).
j=0
e) из условий D j ψ(1) = Dj u
(1) для j = 0, m, получим требуемую
Выбрав здесь ψ ∈ Pm (
оценку.
e) ⊂ C[0, 1] (что равносильно условию m + 1/2 + β > 0), то лемма
Замечание. Если Hβm+1 (
2 .
останется справедливой, если вместо π
1 взять π
Для каждого конечного элемента ek функция Φk (t) = hk t + xk−1 отображает базисный
ω1 ) = {x1i : i = 0, m} ⊂ (0, h1 ] и ωk =
конечный элемент e на ek . Положим ω1 = Φ1 (
ω2 ) = {xki : i = 0, m} ⊂ ek для k ≥ 2. Тогда функции ϕ1i (x) = ϕ
1i (Φ−1
Φk (
1 (x)), i = 0, m,
2i (Φ−1
образуют базис Лагранжа на элементе e1 , так же, как и функции ϕki (x) = ϕ
k (x)),
i = 0, m, образуют базис Лагранжа на элементе ek для k ≥ 2. Для функций, непрерывных на
полуинтервале (0, 1], можем определить локальные операторы интерполяции πk : C(0, 1] →
Pm (ek ), полагая
m
φki (x)u(xki ).
πk u(x) =
i=0
1 u
(t) = (π1 u)(Φ1 (t)) и π
2 u
(t) =
При этом для u
(t) = u(Φk (t)) справедливы тождества π
(πk u)(Φk (t)) (k ≥ 2). Так как в стыках конечных элементов xk (k = 1, n − 1) имеет место
равенство ϕkm (xk ) = ϕk+1,0 (xk ) = 1, то πk u(xk − 0) = πk+1 u(xk + 0) = u(xk ). Поэтому
формулой
Πh u|ek = πk u ∀k = 1, n
корректно определяется оператор кусочно-полиномиальной интерполяции Πh : C(0, 1] →
Shm во всех точках отрезка [0, 1].
Теорема 8. Если α < 1/2 и m + β − α > 0, то для для любой функции u ∈ Hβm+1 (Ω)
справедливы оценки
xβ−α
Dm+1 uL2,β (ek )
D s (u − πk u)L2,α (ek ) ≤ c1 hm+1−s
k
k
Ds (u − Πh u)L2,α ≤ c2 hθ Dm+1 uL2,β ,
где s = 0, 1 и θ = min(m + 1 − s, m + 1 + β − α − s).
(k = 1, 2, . . . , n),
(11)
32
А.Д. ЛЯШКО, Ш.И. ТАЮПОВ, М.Р. ТИМЕРБАЕВ
Доказательство. Используя замену переменных x = Φ1 (t), лемму 5 и затем обратную
замену, получим локальную оценку погрешности интерполяции на конечном элементе e1 :
1−2(s+α)
D s (u − π1 u)2L2,α (e1 ) = h1
Ds (
u−π
1 u
)2L2,α (e) ≤
1−2(s+α)
≤ c1 h1
2(m+1−s) 2(β−α)
x1
Dm+1 u2L2,β (e1 ) .
Dm+1 u
2L2,β (e) = c1 h1
Для k ≥ 2 также используем замену переменных x = Φk (t) и оценки (9), (10). Тогда
Ds (u − πk u)2L2 (ek ) ≤
D s (u − πk u)2L2,α (ek ) ≤ c(−2α)x−2α
k
2(m+1−s) −2α
xk Dm+1 u2L2 (ek )
≤ c2 hk
2(m+1−s) 2β−2α
xk
c(2β)Dm+1 u2L2,β (ek ) .
≤ c2 hk
xβ−α
≤ hθk ≤ hθ .
Пусть θ = min(m+1−s, m+1+β −α−s). Поскольку hk ≤ xk ≤ 1, то hm+1−s
k
k
Из полученных выше оценок следует
D s (u − Πh u)2L2,α (ek ) = Ds (u − πk u)2L2,α (ek ) ≤ c2 h2θ Dm+1 u2L2,β (ek ) .
Суммируя эти неравенства по k = 1, 2, . . . , n, получим глобальную оценку погрешности
(11).
4.2. Схемы метода конечных элементов с мультипликативным выделением особенноm (Ω). Поскольку 1/2 > γ >
сти. Пусть α/2 − m < γ < 1/2, f ∈ Hγm−1 (Ω), a, b ∈ W∞
α/2 − m > α − (m − 1) − 3/2, то по теореме 7 решение краевой задачи (1) можно записать
в виде u(x) = Ψ(x)g + σ(x)
u(x), где ϕ(x) — функция продолжения для класса Hγm−1 (Ω), а
функция u
(x) является решением вариационной задачи
σ(x)f (x)
v (x)dx − a(Ψ(x)g, σ
v ) ∀
v ∈ V
a(σ
u, σ
v) =
Ω
с оценкой uH m+1 ≤ c(f Hγm−1 + |g|). В качестве приближенного решения задачи (1) возьγ−1
uh (x), где u
h ∈ Vh = {Shm : v(1) = 0} есть решение
мем функцию uh (x) = Ψ(x)g + σ(x)
задачи
v) =
σ(x)f (x)
v (x)dx − a(Ψg, σ
v ) ∀
v ∈ Vh ,
(12)
a(σ
uh , σ
Ω
uh (x).
при этом uh (x) = σ(x)
m (Ω). Тогда для f ∈ H m−1 (Ω) справедливы
Теорема 9. Пусть α/2 − m < γ < 1/2, a, b ∈ W∞
γ
оценки погрешности
u − uh H 1
−α/2
∼ u − uh a = u−u
h a ∼ u−u
h H 1
α/2
≤ chθ (f Hγm−1 + |g|),
где θ = min(m, m + γ − α/2).
Доказательство. Требует обоснования только последнее неравенство. Из леммы Сьярле
([16], с. 109) и оценки (11) получим
u−u
h H 1
α/2
≤ c1 u − Πh u
H 1
α/2
≤ c2 hθ Dm+1 u
L2,γ−1 ≤ c3 hθ f Hγm−1 .
m (Ω) и f ∈ W m−1 (Ω), то для схем (12) имеют место оценки
Следствие 2. Если a, b ∈ W∞
∞
погрешности
u − uh H 1
−α/2
∼ u − uh a = u−u
h a ∼ u−u
h H 1
α/2
≤ chm (f W∞
m−1 + |g|).
Утверждение непосредственно вытекает из теоремы, поскольку при α < 1 справедливо
m−1 (Ω) ⊂ H m−1 (Ω).
вложение W∞
α/2
СХЕМЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ
33
Литература
[1] Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. – М.: Наука. 1966. –
292 с.
[2] Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства // ДАН СССР. – 1981. – Т. 257. – № 2. – С. 278–282.
[3] Кыдыралиев С.К. О повышении гладкости решений вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. – 1989. – Т. 25. – № 3. – C. 529–531.
[4] Тимербаев М.Р. Весовые оценки решения задачи Дирихле с анизотропным вырождением на части
границы // Изв. вузов. Математика. – 2003. – № 1. – С. 60–73.
[5] Гусман Ю.А., Оганесян Л.А. Оценки сходимости конечно-разностных схем для вырожденных эллиптических уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. – 1965. – Т. 5. – № 2. – С. 351– 357.
[6] Рукавишникова Е.И. О порядке сходимости метода конечных элементов для эллиптической краевой
задачи с вырождением // Владивосток: ДВО АН СССР. – 1987. – С. 26–52.
[7] Ляшко А.Д., Тимербаев М.Р. Оценки точности схем МКЭ для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. – 1993. – № 7. – С. 1210–1215.
[8] Тимербаев М.Р., Ляшко А.Д. Об оценках погрешности схем МКЭ для квазилинейных вырождающихся
уравнений 2-го порядка // Дифференц. уравнения. – 1994. – № 7. – С. 1239–1243.
[9] Тимербаев М.Р. Конечноэлементная аппроксимация вырождающегося эллиптического уравнения 2-го
порядка в области с криволинейной границей // Изв. вузов. Математика. – 1994. – № 9. – С. 78–86.
[10] Карчевский М.М., Ляшко А.Д., Тимербаев М.Р. Метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся уравнений 4-го порядка // Дифференц. уравнения. – 1999. – Т. 35. – № 2. – С. 232–237.
[11] Тимербаев М.Р. Мультипликативное выделение особенности в схемах МКЭ для эллиптических вырождающихся уравнений // Дифференц. уравнения. – 2000. – Т. 36. – № 7. – С. 1086–1093.
[12] Кудрявцев Л.Д. Об эквивалентных нормах в весовых пространствах // Тр. МИАН им. В.А. Стеклова.
– 1984. – Т. 170. – С. 161–190.
[13] Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1977.
– 456 c.
[14] Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. –
М.: Мир, 1980. – 664 с.
[15] Тимербаев М.Р. О непрерывности интегральных операторов в пространствах вектор-функций //
Исследов. по прикладной матем. и информатике: Изд-во Казанск. матем. о-ва. – 2001. – Вып. 23. –
С. 118–121.
[16] Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. – М.: Мир, 1980. – 512 с.
А.Д. Ляшко
профессор, кафедра вычислительной математики,
Казанский государственный университет,
420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 18
Ш.И. Таюпов
аспирант, кафедра вычислительной математики,
Казанский государственный университет,
420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 18,
e-mail: sham_tayupov@mail.ru
М.Р. Тимербаев
доцент, кафедра вычислительной математики,
Казанский государственный университет,
420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 18,
e-mail: marat.timerbaev@ksu.ru
34
А.Д. ЛЯШКО, Ш.И. ТАЮПОВ, М.Р. ТИМЕРБАЕВ
A.D. Lyashko
Professor, Chair of Computational Mathematics,
Kazan State University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia
Sh.I. Tayupov
Postgraduate, Chair of Computational Mathematics,
Kazan State University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia,
e-mail: sham_tayupov@mail.ru
M.R. Timerbaev
Associate Professor, Chair of Computational Mathematics,
Kazan State University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia,
e-mail: marat.timerbaev@ksu.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа