close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Таблица континуальных интегралов определённых на комплекснозначном стохастическом процессе Орнштейна-Уленбека.

код для вставкиСкачать
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 63
УДК 519 + 535 + 538
ТАБЛИЦА КОНТИНУАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛОВ,
ОПРЕДЕЛЁННЫХ НА КОМПЛЕКСНОЗНАЧНОМ
СТОХАСТИЧЕСКОМ ПРОЦЕССЕ ОРНШТЕЙНА-УЛЕНБЕКА
А.С. Мазманишвили
Сумской государственный университет,
ул. Римского-Корсакова, 2, Сумы, Украина, e-mail:mazmanishvili@gmail.com
Аннотация. Представлена таблица из более 140 континуальных интегралов, определенных на стохастическом комплекснозначном скалярном случайном процессе Орнштейна-Уленбека.
По своему содержанию все они являются интегралами от соответствующих гауссовых форм.
Это позволило в аналитической форме привести континуальные интегралы к виду, не содержащему усреднение по траекториям нормального марковского комплекснозначного процесса
Орнштейна-Уленбека. Значения рассмотренных континуальных интегралов, могут быть полезными при решении разнообразных прикладных статистических задач.
Ключевые слова: интегралы по траекториям, случайный процесс Орнштейна-Уленбека,
гауссовские формы.
В представленной таблице континуальных интегралов от гауссовых форм результат
интегрирования везде приведен к форме, не содержащей усреднения по траекториям
нормального марковского комплекснозначного процесса Орнштейна-Уленбека.
Последовательность континуальных интегралов даётся, начиная с достаточно простых и известных, и далее по возрастающей сложности.
Используются следующие обозначения:
z(τ ) – решение стохастического уравнения
dz(τ ) = −νz(τ ) dτ + du(τ ),
z(0) = z0 ;
z0 – значение процесса z(τ ) в начальный момент времени τ = 0;
zt – значение процесса z(τ ) в конечный момент времени τ = t;
ν – декремент случайного процесса z(τ ) Орнштейна-Уленбека;
u(τ ) – порождающий обобщённый случайный процесс "белого шума"с коррелятором
hu(τ1 )u(τ2 )i = σu δ(τ1 − τ2 );
λ – вещественный параметр;
σ = σu /ν – интенсивность случайного процесса z(τ );
√
r = ν 2 + 2λνσ;
r+ = r + ν;
r− = r − ν;
Q(λ) =
(r +
ν)2
4rν exp(νt)
;
exp(rt) − (r − ν)2 exp(−rt)
64 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
q = exp(−rt);
β1 (t) и β2 (t) – произвольные локально квадратично интегрируемые функции;
V (z(τ )) – произвольный функционал от процесса z(τ );
Мы обозначаем угловыми скобками интеграл по распределению вероятностей комплекснозначного процесса Орнштейна-Уленбека. В частности, hz0 |V (z(τ ))|zt i – условное
(относительно состояний z0 и zt ) математическое ожидание функционала V (z(τ )), после результатом его интегрирования по всем возможным значениям z0 и zt является
безусловное математическое ожидание по мере процесса Орнштейна-Уленбека.
Интегрирование по всей комплексной плоскости C осуществляется на основе интегрирования по вещественным переменных Re z, Im z, z ∈ C в бесконечных пределах.
При этом мера, по которой производится интегрирование, обозначается как d2 z.
1.
(
)
1
|zt − qzτ |2
hzτ |1|zt i ≡ w (zt , t; zτ , τ ) =
exp −
,
πσ (1 − q 2 )
σ (1 − q 2 )
где t > τ , q = exp[−ν(t − τ )].
2.
|zt |2
lim hzτ |1|zt i ≡ w(zt ) = exp −
.
τ →−∞
σ
3.
hz0 |z0 |zt i = z0 w (zt , t; z0 , 0).
4.
hz0 |zt |zt i = zt w (zt , t; z0 , 0).
5.
hz0 |z(τ )|zt i = (1 − q 2 )−1 [q1 (1 − q22 ) z0 + q2 (1 − q12 ) zt ] w (zt , t; z0 , 0),
где 0 ≤ τ ≤ t, q = exp(−νt),
q1 = exp(−ντ ),
q2 = exp(−νt + ντ ).
6.
1 − q2
hz0 |V (z(τ ))|zt i = w (zt , t; z0 , 0)
×
πσ (1 − q12 ) (1 − q22 )
(
)
2
R∞ 2
|zτ − q1 (1 − q22 ) z0 − q2 (1 − q12 ) zt |
×
d zτ V (zτ ) exp −
,
σ (1 − q 2 ) (1 − q12 ) (1 − q22 )
−∞
где 0 ≤ τ ≤ t, q1 = exp(−ντ ),
q2 = exp(−νt + ντ ).
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
7.
R∞
−∞
8.
R∞
−∞
9.
R∞
−∞
10.
R∞
−∞
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 65
d2 zt w(zt )hz0 |1|zt i = 1.
d2 zt w(z0 )hz0 |1|zt i = w(zt ).
d2 zt hz0 |z0 |zt i = z0 .
d2 zt hz0 |zt |zt i = z0 exp(−νt).
11.
R∞
d2 zt hz0 |z(τ )|zt i = z0 exp(−ντ ),
12.
R∞
d2 zt hz0 |β(z0 )|zt i = β(z0 ).
−∞
где 0 ≤ τ ≤ t.
−∞
13.
R∞
−∞
14.
R∞
−∞
d2 z0 w(z0 )hzt |z0 |zt i = zt exp(−νt)w(zt ).
d2 z0 w(z0 )hz0 |zt |zt i = zt w(zt ).
15.
R∞
d2 z0 w(z0 )hz0 |z(τ )|zt i = zt exp(−ντ )w(zt ),
16.
R∞
d2 z0 w(z0 )hz0 |β(zt )|zt i = β(zt )w(zt ).
−∞
где 0 ≤ τ ≤ t.
−∞
66 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
17.
R∞
d2 zt hz0 | V (z(τ )) |zt i =
18.
R∞
d2 z0 w(z0 )hz0 |β(z(τ ))|zt i =
−∞
d2 zτ V (zτ )w(zτ , τ ; z0 , 0),
−∞
где 0 ≤ τ ≤ t.
−∞
R∞
R∞
d2 zτ β (zτ ) w (zt , t; zτ , τ ),
−∞
где 0 ≤ τ ≤ t.
19.
hz0 |z0 z0∗ |zt i = |z0 |2 w (zt , t; z0 , 0).
20.
hz0 |zt zt∗ |zt i = |zt |2 w (zt , t; z0 , 0).
21.
hz0 |z(τ )z ∗ (τ )|zt i = [(1 − exp(−2νt)]−2 w (zt , t; z0 , 0) ×
"
#
× σ (1 − q12 ) (1 − q22 ) [1 − exp(−2νt)] + |q1 (1 − q22 ) z0 + q2 (1 − q12 ) zt |2 ,
где 0 ≤ τ ≤ t, q1 = exp(−ντ ),
22.
R∞
−∞
d2 zt hz0 |z0 z0∗ |zt i = |z0 |2 .
23.
R∞
−∞
24.
R∞
−∞
25.
R∞
−∞
q2 = exp(−νt + ντ ).
d2 z0 w(z0 )hz|z0 z0∗ |zt i =
"
#
σ(1 − e−2νt ) + |zt |2 e−2νt w(zt ).
d2 zt hz0 |zt zt∗ |zt i = σ (1 − e−2νt ) + |z0 |2 e−2νt .
d2 z0 w(z0 )hz0 |zt zt∗ |zτ i = |zt |2 w(zt ).
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
26.
R∞
−∞
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 67
d2 zt hz0 |z(τ )z ∗ (τ )|zt i = σ (1 − e−2ντ ) + |z0 |2 e−2ντ ,
где 0 ≤ τ ≤ t.
27.
R∞
−∞
"
d2 z0 w(z0 )hz0 |z(τ )z ∗ (τ )|zt i = w(zt ) σ 1 + e
где 0 ≤ τ ≤ t.
28.
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
29.
R∞
R∞
d2 zt hz0 |z0 |zt i = 0.
R∞
d2 zt hz0 |zt |zt i = 0.
R∞
d2 zt hz0 |z(τ )|zt i = 0,
R∞
d2 zt hz0 |z0 z0∗ |zt i = σ.
R∞
d2 zt hz0 |zt zt∗ |zt i = σ.
R∞
d2 zt hz0 |z(τ )z ∗ (τ )|zt i = σ,
−∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
−∞
30.
R∞
d2 z0 w(z0 )
31.
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
−∞
где 0 ≤ τ ≤ t.
−∞
32.
R∞
−∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
−∞
33.
R∞
d2 z0 w(z0 )
34.
R∞
d2 z0 w(z0 )hz0 |z02 z0∗ |zt i = 0 .
−∞
−∞
где 0 ≤ τ ≤ t.
−∞
−2ν(t−τ )
#
+ |zt |2 e−2ν(t−τ ) ,
68 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
35.
R∞
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
R∞
d2 zt hz0 |zt2 zt∗ |zt i = 0.
R∞
d2 zt hz0 |z 2 (τ )z ∗ (τ )|zt i = 0,
R∞
d2 zt hz0 |z02 (z0∗ )2 |zt i = 2σ 2 .
R∞
d2 zt hz0 |zt2 (z0∗ )2 |zt i = 2σ 2 .
R∞
d2 zt hz0 |z 2 (τ )(z ∗ (τ ))2 |zt i = 2σ 2 ,
R∞
d2 zt hz0 |z0m (z0∗ )n |zt i = δmn n! σ n .
R∞
d2 zt hz0 |ztm (zt∗ )n |zt i = δmn n! σ n .
R∞
d2 zt hz0 |z m (τ )(zt∗ (τ ))n |zt i = δmn n! σ n ,
−∞
−∞
d2 zN τ hz0 |
44.
R∞
R∞
R∞
2
N
N P
N
P
P
d2 zN τ hz0 |
z(nτ ) |zN τ i = σ
exp(−ν|n − m|).
d2 z0 w(z0 )
−∞
−∞
36.
R∞
d2 z0 w(z0 )
37.
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
−∞
где 0 ≤ τ ≤ t.
−∞
38.
R∞
−∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
−∞
39.
R∞
d2 z0 w(z0 )
40.
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
−∞
где 0 ≤ τ ≤ t.
−∞
−∞
41.
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
−∞
42.
R∞
d2 z0 w(z0 )
43.
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
−∞
где 0 ≤ τ ≤ t.
−∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
N
P
n=0
|z(nτ )|2 |zN τ i = (N + 1)σ.
n=0
n=0 m=0
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
45.
R∞
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
−∞
= (N + 1) σ +
d2 zN τ hz0 |
N
P
n=0
46.
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
=
−∞
N P
N
P
n=0 m=0
47.
R∞
R∞
R∞
d z0 w(z0 )
−∞
−∞
N
N P
P
n=0 m=n
48.
R∞
d z0 w(z0 )
−∞
−∞
N P
N
P
n=0 m=n
+ 2σ
|β(nτ )|2 .
2
N
P
d2 zN τ hz0 |
z(nτ ) + β(nτ ) |zN τ i =
n=0
N P
N
P
2
d zN τ hz0 |
N
P
n=0
|z(nτ )|
2
2
|zN τ i =
2
d zN τ hz0 |
N
P
n=0
|z(nτ ) + β(nτ )|
2
2
[1 + exp(−2ντ |m − n|)] + 2σ(N + 1)
∗
β(nτ )β (nτ ) +
n=0 m=0
49.
n=0
|z(nτ ) + β(nτ )|2 |zN τ i =
[1 + exp(−2ντ |m − n|)].
R∞
2
= σ2
N
P
[σ exp(−ν|n − m|) + β(nτ )β ∗ (mτ )].
2
= σ2
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 69
N
P
n=0
|β(nτ )|
2
2
|zN τ i =
N
P
n=0
|β(nτ )|2 +
.
hz0 |β(zτ )|zt i =
=
R∞
−∞
d2 zτ hz0 |β(zτ )|zτ ihzτ |1|zt i =
R∞
−∞
d2 zτ hz0 |1|zτ ihzτ |β(zτ )|zt i,
где 0 ≤ τ ≤ t, β(z) – произвольная локально интегрируемая функция.
50.
Rt
hz0 | z(τ ) dτ |zt i = ν −1 (z0 + zt )w (zt , t; z0 , 0).
0
70 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
51.
R∞
−∞
52.
R∞
−∞
53.
R∞
d2 z0 w(z0 )hz0 |
Rt
0
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
z(τ ) dτ |zt i = ν −1 zt w(zt ).
Rt
d2 zt hz0 | z(τ ) dτ |zt i = ν −1 z0 [1 − exp(−νt)].
0
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
−∞
54.
Rt
d2 zt hz0 | z(τ ) dτ |zt i = 0.
0
Rt
hz0 | β(τ )z(τ ) dτ |zt i =
0
−1
= (1 − e−2νt ) w (zt , t; z0 , 0) ×
Rt
−ντ
ν(2t−τ )
−ν(t−τ )
−ν(t+τ )
× β(τ ) z0 e
−e
+ zt e
−e
dτ .
0
55.
Rt
Rt
hz0 | β(τ )z(τ ) dτ |zt i = zt w (zt ) β(τ )e−ν(t−τ ) dτ .
0
0
56.
R∞
−∞
57.
R∞
Rt
Rt
d2 zt hz0 | β(τ )z(τ ) dτ |zt i = z0 β(τ )e−ντ dτ .
d2 z0 w(z0 )
−∞
58.
R∞
0
0
R∞
d2 zt hz0 |β(τ )z(τ )|zt i = 0.
R∞
d2 zt hz0 |zt∗
−∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
−∞
59.
Rt
0
β(τ )z(τ ) dτ |zt i = σ
Rt
β(τ )e−ν(t−τ ) dτ .
0
hz0 |β1 (z(τ ))β2 (z(τ ′ ))|zt i =
=
R∞
−∞
d2 z
R∞
d2 z ′ β1 (z)β2 (z ′ )w (z, τ ; z0 , 0) w (z ′ , τ ′ ; z0 , 0) w (zt , t; z ′ , τ ′ ),
−∞
где 0 ≤ τ ≤ τ ′ ≤ t, β1 (z) и β2 (z) – произвольные локально интегрируемые функции.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 71
60.
hz0 |z ∗ (τ )z(τ ′ )|zt i =
=
R∞
d2 z
−∞
R∞
d2 z ′ z ∗ z ′ w (z, τ ; z0 , 0) w (z ′ , τ ′ ; z, τ ) w (z, t; z ′ , τ ′ ),
−∞
где 0 ≤ τ ≤ τ ′ ≤ t.
61.
R∞
−∞
d2 zt hz0 |z(τ )z ∗ (τ ′ )|zt i =
′
′
2
= exp(−ντ + ντ ) σ exp(−2νt − 2τ ) + |z0 | exp(−2ντ ) ,
где 0 ≤ τ ≤ τ ′ ≤ t.
62.
R∞
−∞
d2 z0 w(z0 )hz0 |z(τ )z ∗ (τ ′ )|zt i = exp(−ντ ′ + ντ )w (zt ) ×
× σ [1 − exp(−2νt + 2ντ ′ )] + |zt |2 exp(−2νt + 2ντ ′ ) ,
где 0 ≤ τ ≤ τ ′ ≤ t.
63.
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
64.
R∞
d2 z0 w(z0 )
d2 z0 w(z0 )
Rt
Rt
d2 zt hz0 | z(τ ) dτ z ∗ (τ ′ ) dτ ′ |zt i = (2σ/ν 2 ) (νt − 1 + e−νt ).
R∞
Rt
Rt
d2 zt hz0 | β1 (τ )z(τ ) dτ β2 (τ ′ )z ∗ (τ ′ ) dτ ′ |zt i =
−∞
= σ
Rt Rt
0 0
−∞
R∞
−∞
−∞
66.
R∞
d2 zt hz0 |z(τ )z ∗ (τ ′ )|zt i = σ exp (−ν|τ ′ − τ |).
−∞
−∞
65.
R∞
R∞
0
0
0
0
β1 (τ )β2 (τ ′ ) exp (−ν|τ − τ ′ |) dτ dτ ′ .
d2 z0 w(z0 )
R∞
−∞
где 0 ≤ τ ≤ t.
d2 zt hz0 | exp { λz(τ )} | zt i = 1,
72 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
67.
R∞
2
d z0 w(z0 )
−∞
68.
R∞
−∞
2
d z0 w(z0 )
−∞
69.
R∞
2
d z0 w(z0 )
= exp
4
λ2 σ

1
4
2
R∞
−∞
λ2 σ
d z0 w(z0 )
2
d zt hz0 | exp
2
d zt hz0 | exp
2
d zt hz0 | exp
2
d zt hz0 | exp
Zt Zt
0
d z0 w(z0 )
= exp
−∞

1
R∞
−∞
2
−∞
d zt hz0 | exp
λ
Rt
z(τ ) dτ
|zt i = 1.
z(τ ) dτ
|zt i = 1.
0
λ
Rt
0
λ Re
λ Im
λ2 σ
−νt
νt − 1 + e
.
2ν 2
d z0 w(z0 )
= exp
R∞
−∞
2
−∞
73.
R∞
2
λ2 σ
−νt
νt − 1 + e
.
2ν 2
d z0 w(z0 )
= exp
72.
R∞
R∞
−∞
2
−∞
71.
R∞
R∞
−∞
−∞
70.
R∞
R∞
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
0
0
d zt hz0 | exp
R∞
−∞
0
2
λ Re
Rt
z(τ ) dτ
|zt i =
z(τ ) dτ
|zt i =
0
Rt
0
Rt
β(τ )z(τ ) dτ
0
|zt i =


β(τ )β ∗ (τ ′ ) exp(−ν|τ − τ ′ |) dτ dτ ′ .

2
Zt Zt
λ Im
Rt
β(τ )z(τ ) dτ
0
|zt i =


β(τ )β ∗ (τ ′ ) exp (−ν|τ − τ ′ |) dτ dτ ′ .

d zt hz0 | exp
Re µ0 z0 + µt zt + λ
Rt
0
z(τ ) dτ
|zt i =
λσ
σ
λ2 σ
2
2
−νt
−νt
= exp
µ0 + µt +
(µ0 + µt ) 1 − e
+
νt − 1 + e
,
4
2ν
2ν 2
где µ0 , µt – произвольные вещественные числа.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
74.
R∞
R∞
2
d z0 w(z0 )
−∞
−∞
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 73
2
d zt hz0 | exp
Rt
Im µ0 z0 + µt zt + λ z(τ ) dτ
|zt i =
0
λσ
σ
λ2 σ
2
2
−νt
−νt
= exp
µ0 + µt +
(µ0 + µt ) 1 − e
+
νt − 1 + e
,
4
2ν
2ν 2
где µ0 , µt – произвольные вещественные числа.
75.
R∞
R∞
2
d z0 w(z0 )
−∞
−∞
(
2
d zt hz0 | exp
λ2 σ
σ 2
µ0 + µ2t +
= exp
4
4
λσ
+
2
Zt
µ0 e−ντ + µt e
0
Rt
Re µ0 z0 + µt zt + λ β(τ )z(τ ) dτ
|zt i =
0
Zt Zt
0
−νt+ντ
0
exp (−ν|τ − τ ′ |) β(τ )β ∗ (τ ′ ) dτ dτ ′ +
)
Re[β(τ )] dτ ,
где µ0 , µt – произвольные вещественные числа..
76.
R∞
2
d z0 w(z0 )
−∞
R∞
−∞
(
2
d zt hz0 | exp
λ2 σ
σ 2
µ0 + µ2t +
= exp
4
4
λσ
+
2
Zt
µ0 e−ντ + µt e
0
Rt
Im µ0 z0 + µt zt + λ β(τ )z(τ ) dτ
|zt i =
0
Zt Zt
0
−νt+ντ
exp (−ν|τ − τ ′ |) β(τ )β ∗ (τ ′ ) dτ dτ ′ +
0
)
Re[β(τ )] dτ ,
где µ0 , µt – произвольные вещественные числа..
77.
hz0 |z(τ )z ∗ (τ )z(τ ′ )z ∗ (τ ′ )|zt i =
=
R∞
−∞
d2 z
R∞
−∞
d2 z ′ |zz ′ |2 w (z, τ ; z0 , 0) w (z ′ , τ ′ ; z, τ ) w (zt , t; z ′ , τ ′ ),
где 0 ≤ τ ≤ τ ′ ≤ t.
74 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
78.
R∞
−∞
d2 zt hz0 |z(τ )z ∗ (τ )z(τ ′ )z ∗ (τ ′ )|zt i =
= (1 −
+
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
2
q12
2 −1
q12
)
2
σ (1 −
2
q01
)
+
2
σ|z0 |2 q01
+
2
2
2 2
2
2 4
2σ (1 − q01 ) + 4σ|z0 | q01 (1 − q01 ) + |z0 | q01 ,
где 0 ≤ τ ≤ τ ′ ≤ t, q01 = exp(−ντ ),
79.
R∞
−∞
d2 z0 w(z0 )hz0 |z(τ )z ∗ (τ )z(τ ′ )z ∗ (τ ′ )|zt i =
= w(zt ) (1 −
+
2
q12
2
q12
)
2
2 2
σ q2t + σ|zt | q2t +
2 2
2
2
4 4
2σ q2t + 4σ|zt | q2t (1 − q12 ) + |zt | q2t ,
где 0 ≤ τ ≤ τ ′ ≤ t,
80.
R∞
q12 = exp(−ντ ′ + ντ ).
d2 z0 w(z0 )
R∞
−∞
−∞
q1t = exp[−ν (τ ′ − τ )],
q2t = exp[−ν (t − τ ′ )].
d2 zt hz0 |z(τ )z ∗ (τ )z(τ ′ )z ∗ (τ ′ )|zt i =
= σ [1 + exp (−ν|τ ′ − τ |)],
где 0 ≤ τ, τ ′ ≤ t.
81.
R∞
−∞
Rt
Rt
d2 zt hz0 | |z(τ )|2 dτ |z (τ ′ ) |2 dτ ′ |zt i =
= ν
−
0
0
−2
(
σ
2
1
ν t + νt − e−2νt
2
2 2
+ (σ|z0 |2 − σ 2 ) (1 − 2νt − e−2νt ) −
)
1 2
1
σ − σ|z0 |2 + |z0 |4 (1 − 2e−2νt + e−4νt ) .
2
4
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
82.
R∞
−∞
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 75
Rt
Rt
d2 z0 w(z0 )hz0 | |z(τ )|2 dτ |z(τ ′ )|2 dτ ′ |zt i =
0
= ν
−2
(
0
1 1 −2νt
2 2
w(zt ) σ ν t + νt − + e
+
2 2
2
+ (σ|zt |2 − σ 2 ) (1 + νt − e−2νt − 3νt e−2νt ) +
)
1
+ σ 2 − 2σ|zt |2 + |zt |4 (1 − e−2νt − 2νt e−2νt ) .
2
83.
R∞
−∞
=
−∞
Rt
dτ
0
84.
R∞
Rt
0
85.
R∞
Rt
Rt
d2 zt hz0 | β1 (τ )|z(τ )|2 dτ β2 (τ ′ )|z(τ ′ )|2 dτ ′ |zt i =
0
0
dτ ′ β1 (τ )β2 (τ ′ ) [1 + exp (−ν|τ − τ ′ |)].
d2 z0 w(z0 )
−∞
=
R∞
d2 z0 w(z0 )
R∞
Rt
Rt
d2 zt hz0 | |z(τ )|2 dτ |z(τ ′ )|2 dτ ′ |zt i =
R∞
d2 zt hz0 | exp {−λ0 |z0 |2 − λt |zt |2 } |zt i =
−∞
0
0
1
(σ/ν)2 2ν 2 t2 + 2νt − 1 + exp(−2νt) .
2
d2 z0 w(z0 )
−∞
−∞
= {(1 + λ0 σ)(1 + λt σ) − λ0 λt σ 2 e−2νt }−1 .
86.
Rt
2
|zt i =
2
′
|zt i =
r exp[(ν − r)(t − τ )]
×
πν{1 − exp[−r(t − τ )]}2
τ
r−ν
r
2
2
2
× exp
(|zt | − |zτ | ) −
|zt − zτ exp[−r(t − τ )]| .
2νσ
νσ
hzτ | exp −λ
87.
hz0 | exp −λ
=
R∞
−∞
Rt
τ
2
|z(τ )| dτ
′
|z(τ )| dτ
d zτ w (zτ , τ ; z0 , 0) hzτ | exp −λ
где 0 ≤ τ ≤ t.
Rt
τ
′
2
|z(τ )| dτ
′
}|zt i,
76 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
88.
hz0 | exp −λ
Rt
0
2
|z(τ )| dτ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
|zt i =
r−ν
r
rq
2
2
2 −1
2
=
exp νt +
|zt | − |z0 | −
1−q
|zt − qz0 | .
πνσ (1 − q 2 )
2νσ
νσ
89.
R∞
−∞
d2 z0 w(z0 )hz0 | exp −λ
Rt
0
|z(τ )|2 dτ
|zt i =
2
2
r+
− q 2 r−
2rq
2
=
exp νt −
|zt | .
πσ (r+ + q 2 r− )
2νσ (r+ + q 2 r− )
90.
R∞
−∞
2
d zt hz0 | exp −λ
Rt
0
2
|z(τ )| dτ
|zt i =
2rq
(r 2 − ν 2 ) (1 − q 2 )
2
=
exp νt −
|z0 | .
r+ + q 2 r−
2νσ (r+ + q 2 r− )
91.
R∞
2
d z0 w(z0 )
−∞
R∞
−∞
≡ Q(λ) =
2
d zt hz0 | exp −λ
Rt
0
2
|z(τ )| dτ
|zt i ≡
−1
= 4rν exp(νt) [(r + ν)2 exp(rt) − (r − ν)2 exp(−rt)] .
92.
R∞
−∞
2
d z0 w(z0 )hz0 |z0 exp −λ
Rt
0
2
|z(τ )| dτ
|zt i =
2
2
r+
− q 2 r−
4r 2 q exp(νt)
2
|zt | .
=
zt exp −
2νσ (r+ + q 2 r− )
πσ (r+ + q 2 r− )2
93.
R∞
−∞
Rt
2
d zt hz0 |zt exp −λ |z(τ )| dτ |zt i =
2
0
4r 2q exp(νt)
(r 2 − ν 2 ) (1 − q 2 )
2
=
z0 exp −
|z0 | .
(r+ + q 2 r− )2
2νσ (r+ + q 2 r− )
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
94.
R∞
−∞
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 77
t
R
d2 z0 w(z0 )hz0 |z0 z0∗ exp −λ |z(τ )|2 dτ |zt i =
0
4rνσq exp(νt)
2r 2 q 2
2
=
1+
|zt | ×
νσ (1 − q 2 ) (r+ + q 2 r− )
π (r+ + q 2 r− )2
(
)
2
2
r+
− q 2 r−
× exp −
|z0 |2 .
2νσ (r+ + q 2 r− )
95.
R∞
2
d z0 w(z0 )
−∞
=
96.
R∞
−∞
R∞
−∞
d
2
zt hz0 |z0 z0∗
8rν 2 σ 2 q exp(νt)
2
(r+ + q 2 r− ) (r+
−
2 2
q 2 r−
)
d2 zt hz0 |zt zt∗ exp −λ
Rt
0
exp −λ
1 − q2
|z(τ )|2 dτ
Rt
0
2
|z(τ )| dτ
|zt i =
2
2
r+
− q 2 r−
+ 4r 2 q 2 .
|zt i =
4rq exp(νt) νσ 1 − q 2 r+ + q 2 r− + 2r 2 q 2 |z0 |2 ×
3
(r+ + q 2 r− )
(r 2 − ν 2 ) (1 − q 2 )
2
× exp −
|z0 | .
2νσ (r+ + q 2 r− )
=
97.
R∞
2
d z0 w(z0 )
−∞
R∞
−∞
=
98.
R∞
−∞
d
2
zt hz0 |zt zt∗
exp −λ
8rν 2 σ exp(νt)
2
2
(r+ + q 2 r− ) (r+
− q 2 r−
)
d
2
z0 w(z0 )hz0 | (z0 zt∗
+
2
Rt
0
1 − q2
z0∗ zt ) exp
2
|z(τ )| dτ
−λ
|zt i =
2
2
r+
− q 2 r−
+ 4r 2 q 2 .
Rt
0
2
|z(τ )| dτ
|zt i =
2
2
r+
− q 2 r−
8r 2q 2 exp(νt)
2
2
=
|zt | exp −
|zt | .
2νσ (r+ + q 2 r− )
πσ (r+ + q 2 r− )2
78 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
99.
R∞
−∞
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
d2 zt hz0 | (z0 zt∗ + z0∗ zt ) exp −λ
Rt
0
|z(τ )|2 dτ
|zt i =
8r 2 q 2 exp(νt)
(r 2 − ν 2 ) (1 − q 2 )
2
2
=
|z0 | exp −
|z0 | .
2νσ (r+ + q 2 r− )
(r+ + q 2 r− )2
100.
R∞ 2
R∞ 2
Rt
∗
∗
2
d z0 w(z0 )
d zt hz0 | (z0 zt + z0 zt ) exp −λ |z(τ )| dτ |zt i =
−∞
−∞
0
−1
= 32r 2 ν 2 q 2 σeνt [(r + ν)2 − (r − ν)2 e−2νt ] .
101.
R∞ 2
R∞ 2
Rt
2
2
2
d z0 w(z0 )
d zt hz0 | exp −λ0t (|z0 | + |zt | ) − λ |z(τ )| dτ |zt i =
−∞
−∞
0
−1
2
2
2
2
= 4rνqeνt 4λ20t ν 2 σ 2 (1 − q 2 ) + 4λ0t νσ r+
+ q 2 r−
+ r+
− q 2 r−
.
102.
R∞ 2
R∞ 2
Rt
2
2
2
d z0 w(z0 )
d zt hz0 | exp −λ0 |z0 | − λt |zt | − λ |z(τ )| dτ |zt i =
−∞
−∞
0
2
2
2
2 −1
= 4rνqeνt 4λ0 λt ν 2 σ 2 (1 − q 2 ) + 2 (λ0 + λt ) νσ r+
+ q 2 r−
+ r+
− q 2 r−
.
103.
N
R∞ 2
R∞ 2
P
2
d z0 w(z0 )
d zN τ hz0 | exp −λ
|z(nτ )| |zN τ i =
−∞
−∞
n=0
h
i−1
2 2 N
2 2 N
= pR (a+ − qτ ) a+ − (a− − qτ ) a−
,
где
qτ = exp(−ντ ), p = 1 − qτ2 ,
q
R =
(1 + qτ2 + λσp)2 − 4qτ2 ,
a+ = (1 + qτ2 + λσp + R) /2,
a− = (1 + qτ2 + λσp − R) /2.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 79
104.
2 N R∞ 2
R∞ 2
P
z(nτ ) + z(nτ + ∆) |zN τ +∆ i =
d z0 w(z0 )
d zN τ +∆ hz0 | exp −λ
−∞
=
n=0
−∞
R∞
2
d z0 w(z0 )
−∞
R∞
−∞
2
d zN τ hz0 | exp −2λ 1 + e
−ν∆
N
P
n=0
где ∆ – вещественное число.
|z(nτ )|
2
|zN τ i,
105.
N
R∞ 2
R∞ 2
P
λ
z(nτ )z ∗ (nτ + ∆) +
d z0 w(z0 )
d zN τ +∆ hz0 | exp − 2
−∞
n=0
−∞
+ z ∗ (nτ )z(nτ + ∆)
=
R∞
2
d z0 w(z0 )
−∞
×
R∞
R∞
−∞
2
d z0 w(z0 )
−∞
R∞
−∞
|zN τ +∆ i =
2
d zN τ hz0 | exp
2
d zN τ hz0 | exp
− λ2
λ
2
−ν∆
1+e
N
P
n=0
1−e
−ν∆
N
P
n=0
|z(nτ )|
|z(nτ )|
2
2
|zN τ i ×
|zN τ i,
где ∆ – вещественное число.
106.
N
R∞ 2
R∞ 2
P
2
d z0 w(z0 )
d zN τ hz0 | exp −λ
|z(nτ ) + β(nτ )| |zN τ i =
−∞
n=0
−∞
h
i−1
2
2 2 N
= pR (a+ − qτ2 ) aN
−
(a
−
q
)
a
×
−
+
τ
−
(
× exp −λ
где
N
P
n=0
|β(nτ )|2 + λ2
N
P
n=0
2 )
N
P
(Dn Dn+1 )−1 β(mτ )qτm−n Dm+1 ,
qτ = exp(−ντ ), p = 1 − qτ2 ,
q
R =
(1 + qτ2 + λσp)2 − 4qτ2 ,
2
m=n
2
−n
−n
Dn = (a+ − qτ2 ) aN
− (a− − qτ2 ) aN
,
+
−
a+ = (1 + qτ2 + λσp + R) /2,
0 ≤ n ≤ (N + 1),
a− = (1 + qτ2 + λσp − R) /2.
80 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
107.
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
1
=
2π
R∞
−∞
Z2π
0
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24


 t
N
Z
Zt


1 
2
2
2

d zt hz0 |
|z(τ )| dτ
exp − |z(τ )| dτ |zt i =


N!
0
0
exp(−iNϕ)Q(1 − eiϕ ) dϕ,
где N – натуральное число.
108.
t
R∞ 2
R∞ 2
R
4νeνt (ρ1 A + ρ2 B)
,
d z0 w(z0 )
d zt hz0 | cos λ |z(τ )|2 dτ |zt i =
(A2 + B 2 )
−∞
−∞
0
где
ρ1 =
r
1 √ 4
ν + 4λ2 ν 2 σ 2 + ν 2 ,
2
ρ2 =
r
1 √ 4
ν + 4λ2 ν 2 σ 2 − ν 2 ,
2
A = (a1 C − b1 S) exp(ρ1 t) − (a2 C + b2 S) exp(−ρ1 t),
B = (b1 C + a1 S) exp(ρ1 t) − (b1 C − a1 S) exp(−ρ1 t),
a1 = (ρ1 + ν)2 − ρ21 ,
a2 = (ρ1 − ν)2 − ρ22 ,
b1 = 2ρ2 (ρ1 + ν),
C = cos(ρ2 t),
b2 = 2ρ2 (ρ1 − ν),
S = sin(ρ2 t).
109.
t
R∞ 2
R∞ 2
R
4νeνt (ρ1 A − ρ2 B)
2
d z0 w(z0 )
d zt hz0 | sin λ |z(τ )| dτ |zt i =
,
(A2 + B 2 )
−∞
−∞
0
где
ρ1 =
r
1 √ 4
ν + 4λ2 ν 2 σ 2 + ν 2 ,
2
ρ2 =
r
1 √ 4
ν + 4λ2 ν 2 σ 2 − ν 2 ,
2
A = (a1 C − b1 S) exp(ρ1 t) − (a2 C + b2 S) exp(−ρ1 t),
B = (b1 C + a1 S) exp(ρ1 t) − (b1 C − a1 S) exp(−ρ1 t),
a1 = (ρ1 + ν)2 − ρ21 ,
a2 = (ρ1 − ν)2 − ρ22 ,
b1 = 2ρ2 (ρ1 + ν),
C = cos(ρ2 t),
b2 = 2ρ2 (ρ1 − ν),
S = sin(ρ2 t).
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 81
110.
R∞
R∞
2
d z0 w(z0 )
−∞
2
−∞
= 4νeνt
R∞
0
111.
(r +
d zt hz0 |
ν)2
Rt
0
2
|z(τ )| dτ
−1
|zt i =
r
dλ.
exp(rt) − (r − ν)2 exp(−rt)
Пусть функция G(η) целая, для которой разложение G(η) =
всюду на C. Тогда
t
R∞ 2
R∞ 2
R
d z0 w(z0 )
d zt hz0 |G
|z(τ )|2 dτ |zt i =
−∞
−∞
= (2π)−1
∞
P
∞ a
P
n n
η сходится
n=0 n!
0
(−1)n an
n=0
R2π
Q(eiϕ ) exp(inϕ) dϕ.
0
112.
R∞ 2
R∞ 2
Rt
2
d z0 w(z0 )
d zt hz0 | exp −λ |z(τ )| dτ |zT i =
−∞
=
−∞
R∞
dzu w(zu )
−∞
u
R∞
−∞
dzt hzu | exp −λ
где 0 ≤ u ≤ t ≤ T .
Rt
u
2
|z(τ )| dτ
|zt i,
113.
t+τ
R∞ 2
R
R∞ 2
′ 2
′
|z(τ )| dτ |zt+τ i =
d zτ w(zτ )
d zt+τ hz0 |G (zτ , zt+τ ) exp −λ
−∞
−∞
τ
R∞ 2
R∞ 2
Rt
′ 2
′
=
d z0 w(z0 )
d zt hz0 | G (z0 , zt ) exp −λ |z (τ ) | dτ |zt i,
−∞
−∞
0
где G (z0 , zt ) – произвольная локально интегрируемая функция.
114.
Пусть случайная величина T является моментом времени достижения монотонно
Rt
возрастающей функцией Ω = |z(τ )|2 dτ фиксированного положительного уровня A.
0
Тогда плотность распределения вероятностей pT (t) следующая:
pT (t) =
R∞
−∞
d2 z0 w(z0 )
R∞
−∞
d2 zt hz0 | δ (t − Ω) |zT i =
82 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
1
= −
2πi
Z∞
dλ exp(iλA)
−∞
4
= ν 2 σeνt
π
Z∞
exp(iλA)
−∞
где ρ =
√
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
d
Q(iλ)
dλ
=
ρ [(ρ + ν) exp(ρt) + (ρ − ν) exp(−ρt)]
dλ,
[(ρ + ν)2 exp(ρt) − (ρ − ν)2 exp(−ρt)]2
ν 2 + 2iλνσ.
115.
R∞ 2
R∞ 2
Rt
2
d z0 w(z0 )
d zt hz0 | exp −λ |z(τ )| dτ ×
−∞
×G
−∞
Rt
0
0
[z(τ )β ∗ (τ ) + z ∗ (τ )β(τ )] dτ |zt i =
1
= Q(λ)
πS(t)
Z∞
G(η) exp(−η 2 /St ) dη,
−∞
где G(η) – произвольная локально интегрируемая функция,
2
Rt Rt
′
′
′
S(t) = σ β (τ ) D (τ ) dτ D −2 (τ ) dτ ,
0
D(τ ) =
τ
1 ντ
e [r+ exp (r+ t − r+ τ ) + r− exp (−r− t + r− τ )].
2r
116.
Rt
2
hz0 | exp −λ |z(τ ) + β(τ )| dτ |zt i =
0
(
Zt
Zt
r νt rt
νσ
−1
=
e e − e−rt
exp −λ |β(τ )|2 dτ +
|A(τ )|2 dτ +
πνσ
2
0
0
r−ν
|zt |2 − |z0 |2 −
2νσ
2 )
Zt
r
−2rt −1 −rt
2
−
(1 − e
) zt − z0 e + νσ |A(τ )| exp(rτ − rt) dτ ,
νσ
+ zt A∗ (t) + zt∗ A(t)
0
где
A(τ ) = −2λ
Rt
0
β (τ ′ ) exp (rτ − rτ ′ ) dτ ′ .
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
117.
hz0 | exp −λ
Rt
0
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 83
2
|z(τ ) + µ| dτ
|zt i =
(
r νt rt
r−ν
−1
=
e e − e−rt
exp −λ|µ|2 t +
(|zt |2 − |z0 |2 )+
πνσ
2νσ
1
2λ
1 − e−rt (zt µ∗ + zt∗ µ) + λ2 νσ|µ|2 r −2 1 + 2rt − 2ert + e2rt −
r
4
2 )
r
1
−1
zt − z0 q −1 + λνσµr −2 2 − ert − e−rt ,
−
1 − q −2
νσ
2
+
где µ – комплексное число.
118.
R∞ 2
Rt
d z0 w(z0 )hz0 | exp −λ |z(τ ) + β(τ )|2 dτ |zt i =
−∞
0
−1
2r
exp(νt) (r + ν)ert + (r − ν)e−rt
×
πσ
(
Zt
Rt
1
× exp −λ |β(τ )|2 dτ + zt A∗ (t) + zt∗ A(t) + νσ |A(τ )|2 dτ +
2
0
=
0
)
r−ν 2
r
(r + ν) exp(rt)
+
|zt | −
|B(t)|2 ,
2νσ
νσ (r + ν) exp(rt) + (r − ν) exp(−rt)
где
A(τ ) = −2λ
Rτ
0
β (τ ′ ) exp (rτ ′ − rτ ) dτ ′ ,
B(t) = zt + νσ
Rt
0
A(τ ′ ) exp(rτ ′ − rt) dτ ′ .
119.
R∞ 2
Rt
2
d zt hz0 | exp −λ |z(τ ) + β(τ )| dτ |zt i =
−∞
0
= 2reνt [(r + ν)ert + (r − νe−rt ]
−1
(
exp −λ
Rt
0
|β(τ )|2 dτ +
84 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
1
+ νσ
2
Zt
0
|A(τ )|2 dτ −
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
−1
r−ν
r
|z0 |2 −
1 − e−2rt
|B(τ )|2 +
2νσ
νσ
+ 2νσ (1 − e−2rt ) [(r + ν) + (r − ν)e
−2rt −1
]
где
A(τ ) = −2λ
Rτ
0
)
2
r
−1
1 − e−2rt
B(t) ,
A(t) −
νσ
β(τ ′ ) exp(rτ ′ − rτ ) dτ ′ ,
B(t) = −z0 exp(−rt) + νσ
Rt
0
A(τ ′ ) exp(rτ ′ − rt) dτ ′ .
120.
R∞ 2
R∞ 2
Rt
2
d z0 w(z0 )
d zt hz0 | exp −λ |z(τ ) + β(τ )| dτ |zt i =
−∞
−∞
(
= Q(λ) exp −λ
0
Rt
0
|β(τ )|2 +
λ2 νσ/r
×
(r + ν)2 exp(rt) − (r − ν)2 exp(−rt)
Rt Rt
× dτ dτ ′ [(r + ν)erτ + (r − ν)e−rτ ] ×
0
τ
)
′
′
× (r + ν)e−r(t−τ ) + (r − ν)e−r(t−τ ) [β(τ )β ∗ (τ ′ ) + β ∗ (τ )β(τ ′ )] .
121.
Пусть случайная величина T является временем достижения монотонно возрастаRt
ющей функцией Ω = |z(τ ) + β(τ )|2 dτ фиксированного заданного положительного
0
уровня A. Тогда плотность распределения вероятностей pT (t) имеет следующий вид
pT (t) =
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
R∞
−∞
d2 zt hz0 | δ (t − Ω) |zT i =



Z∞
Zt


4νρ exp(νt)
1
d
−λ |β(τ )|2 + J(t) ,
= −
dλ eiλA
exp

2πi
dλ  (ρ + ν)2 eρt + (ρ − ν)2 e−ρt
−∞
где
ρ =
√
J(t) =
ν 2 + 2iλνσ,
λ2 νσ
×
ρ [(ρ + ν)2 exp(ρt) − (ρ − ν)2 exp(−ρt)]
0
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 85
Rt Rt
× dτ dτ ′ [(ρ + ν)eρτ + (ρ − ν)e−ρτ ] ×
0
τ
′
× (ρ + ν)e−ρ(t−τ ) + (ρ − ν)e−ρ(t−τ
′)
[β(τ )β ∗ (τ ′ ) + β ∗ (τ )β(τ ′ )].
122.
R∞ 2
R∞ 2
Rt
d z0 w(z0 )
d zt hz0 | exp −λ |z(τ ) + µ|2 dτ |zt i =
−∞
−∞
0
(
= Q(λ) exp −λ|µ|2t +
2λ2 νσ/r 3
|µ|2 ×
(r + ν)2 exp(rt) − (r − ν)2 exp(−rt)
)
× [4ν 2 − 2ν(r + ν)erτ + 2ν(r − ν)e−rτ + rt(r + ν)2 ert − rt(r − ν)2 e−rt ] ,
где µ – комплексное число.
123.
R∞ 2
R∞ 2
Rt
2
d z0 w(z0 )
d zt hz0 | exp −λ |z(τ ) − µz0 | dτ |zt i =
−∞
=
где
−∞
0
2r exp(νt)
G−1
,
(r + ν) exp(rτ ) + (r − ν) exp(−rτ ) t
µ – вещественное число,
−1
Gt = rν −1 bt (1 − e−2rt )
− 1 + λµ2 σt +
r−ν
−
2ν
− (λ2 ν 2 σ 2 /r 3 ) (e2rt − 4ert + 3 + 2rt) +
h
−1 i2
2ν(1 − exp(2rt))
(2λµσ/r) ert − 1 + rbt ν −1 1 − e2rt
,
+
(r + ν) − (r − ν) exp(2rt)
bt = ert + (λµσ/r 2 ) (2 − ert − e−rt ).
124.
R∞ 2
R∞ 2
Rt
2
d z0 w(z0 )
d zt hz0 | exp −λ |z(τ ) − µzt | dτ |zt i =
−∞
=
−∞
0
2r exp(νt)
G−1
,
(r + ν) exp(rτ ) + (r − ν) exp(−rτ ) t
где µ – вещественное число,
86 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
Gt = λµ2 σ − (4λµσ/r 2) (ert − 1) −
r−ν
−
2ν
− (λ2 µ2 νσ 2 /r 3 ) (e2rt − 4ert + rt + 3) +
+
−1 r + ν rt re (r + ν)ert + (r − ν)e−rt
1 + (2λµνσ/r 2) ert − rt + 1 .
ν
125.
R∞ 2
R∞ 2
Rt
2
d z0 w(z0 )
d zt hz0 | exp −λ |z(τ ) − µτ z0 | dτ |zt i =
−∞
−∞
0
2
= 2rqG−1
t exp(νt) [(r + ν) + (r − ν)q ],
где µ – вещественное число,
Gt =
−
−1
r+ 1 3 3
+ λµ σt − λ2 µ2 νσJ1 r −5 + (r/ν) 1 − q 2
q − λµνσJ2 r −2 −
2ν 3
−1
2ν (1 − q 2 )
[2λµσr −2 + rν −1 1 − q 2
q − λµνσJ1 r −5 ],
2
(r + ν) + (r − ν)q
J1 = e2rt − 4rtert − 1 + 2rt + 2r 2 t2 +
2 33
r t,
3
J2 = ert − e−rt − 2rt.
126.
R∞ 2
R∞ 2
Rt
2
d z0 w(z0 )
d zt hz0 | exp −λ |z(τ ) − µτ zt | dτ |zt i =
−∞
=
−∞
0
rq exp(νt)
,
(1 − q 2 ) (AC − B 2 )
где µ – вещественное число,
−1 A = (2ν)−1 (1 − e−2rt )
(r + ν) + (r − ν)e−2rt) ,
B = (r/ν)e−rt (1 − e−2rt ) [1 + 2(λµνσ/r 3 )J1 e−rt ],
r−ν
1 2
λµ σ − 4 λµσ/r 2 ert − 1 − rt −
−
3
2ν
−1
r
− µ2 J2 /(4νr 5 ) +
1 − e−2rt
[1 + (2λµνσ/r 3)J1 e−rt ],
ν
1
J1 = ert − 1 − rt − r 2 t2 ,
2
2
J2 = e2rt − 2(1 + rt)ert + 1 + 2rt + r 2 t2 + r 3 t3 .
3
C =
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 87
127.
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
R∞
−∞
(
d2 zt hz0 | exp −λ
= Q(λ)[1 + µRλ ]−1 ,
Rt
0
t
2 )
R
|z(τ )|2 dτ − µ z(τ ) dτ |zt i =
0
где µ – вещественное число,
2 rt
2 −rt −1
Rλ = (2νσr −3 ) r+
e − r−
e
×
2
2 rt
2 −rt
× 4ν − 2νr+ ert − 2νr− e−rt + rt(r+
e − r−
e ) .
128.
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
=
R∞
−∞
(
d2 zt1 +t2 hz0 | exp −λ1
8νp1 p2 ρ1 ρ2 exp (νt1 + νt2 )
,
(ρ1 A1 B2 + ρ2 A2 B1 )
Rt1
0
|z(τ )|2 dτ − λ2
t1R+t2
t1
|z(τ )|2 dτ
где
ρ1 =
√
ν 2 + 2λ1 νσ,
p1 = exp (−ρ1 t1 ),
ρ2 =
√
ν 2 + 2λ2 νσ,
p2 = exp (−ρ2 t2 ),
A1 = (ν + ρ1 ) + (ν − ρ1 ) p21 ,
A2 = (ν + ρ2 ) + (ν − ρ2 ) p22 ,
B1 = (ρ1 + ν) + (ρ1 − ν) p21 ,
B2 = (ρ2 + ν) + (ρ2 − ν) p22 .
129.
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
−∞
− λ1
=
R∞
t1R+∆
t1
(
d2 zt1 +∆+t2 hz0 | exp −λ
|z(τ )|2 dτ + λ2
ρ1 (1 +
t1 +∆+t
R 2
t1 +∆
√
|z(τ )|2 dτ |zt1 +∆+t2 i =
8νp1 p2 ρρ1 ρ2 exp (νt1
2
p ) (ρ1 A1 B2 + ρ2 A2 B1 ) + (1
ν 2 + 2λνσ,
p = exp(−ρ∆),
ρ1 =
√
0
|z(τ )|2 dτ −
)
где
ρ =
Rt1
+ ν∆ + νt2 )
,
− p2 ) (ρ1 ρ2 A1 A2 − ρ2 B1 B2 )
ν 2 + 2λ1 νσ,
p1 = exp (−ρ1 t1 ),
ρ2 =
√
ν 2 + 2λ2 νσ,
p2 = exp (−ρ2 t2 ),
A1 = (ν + ρ1 ) + (ν − ρ1 ) p21 ,
A2 = (ν + ρ2 ) + (ν − ρ2 ) p22 ,
B1 = (ρ1 + ν) + (ρ1 − ν) p21 ,
B2 = (ρ2 + ν) + (ρ2 − ν) p22 .
)
|zt1 +t2 i =
88 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
130.
R∞
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
−∞
(
d2 zt hz0 | exp −λ
= Q(λ)(1 + Λ1 Λ2 J)−1 ,
Rt
Rt
dτ1 . . . d τN
0
0
n=N
2 )
P
|zt i =
ε
z(τ
)
n
n
n=1
где ε1 , . . . , εN – набор комплексных чисел,
Λ1 = λt
n=N
P
n=1
Λ2 = λ
|εn |2 ,
n=N
P m=N
P
n=1 m=1
√
ρ =
εn ε∗m − λ
ν 2 + 2Λ1 νσ,
n=N
P
n=1
|εn |2 ,
J = (4ν 2 σ/ρ3 ) [(ρ + ν)2 eρt − (ρ − ν)2 e−ρt ]
−1
×
× [2ν − (ρ + ν)eρt − (ρ − ν)e−ρt + 2ρ2 te−ρt ].
131.
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
R∞
−∞
(
d2 zt+∆ hz0 | exp −λ
t+∆
R
0
|z(τ ) + z(τ + ∆) exp(iωz ∆) +
+ β(τ ) exp(iωβ τ − iωz τ ) + β(τ + ∆)×
)
× exp(iωβ τ − iωz τ + iωz ∆)|2 dτ |zt+∆ i =
(
= exp −λ
(
Rt
0
|B(τ )|2 dτ
)
ρ2+
4ρν exp(νt)
×
exp(ρt) − ρ2− exp(−ρt)
λ2 νσ 2 R/ρ
× exp 2
ρ+ exp(ρt) − ρ2− exp(−ρt)
Zt
0
dτ
Zt
dτ ′ [B(τ )B ∗ (τ ′ ) + B ∗ (τ )B(τ ′ )] ×
0
× [ρ+ exp(ρτ ) + ρ− exp(−ρτ )] ρ2+ exp(ρt − ρτ ′ ) + ρ2− exp(−ρτ + ρτ ′ )
)
,
где ∆, ωz , ωβ – вещественные числа,
√
ρ = ν 2 + λνσR, ρ+ = ρ + ν, ρ− = ρ − ν, R = 1 + exp(−ν∆) cos(ωz ∆),
B(τ ) =
1
[β(τ ) + β(τ + ∆) exp (iωβ ∆)] exp (iωβ ∆ − iωz ∆).
2
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
132.
R∞
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
−∞
= Q(λJM ),
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 89
(
2 )
T P
M
R
d2 zT hz0 | exp −λ εm z(τ + ∆m ) dτ |zT i =
m=1
0
где ∆1 , . . . , ∆M – набор вещественных чисел,
ε1 , . . . , εM — набор комплексных чисел,
T = max{∆1 , ∆2 , . . . , ∆M },
JM =
M P
M
P
m=1 n=1
133.
R∞
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
εm εn exp (−ν|∆m − ∆n |).
−∞
= Q(λJ∆ ),
(
d2 zM ∆ hz0 | exp −λ
M
M
R∆ P
0
m=1
2 )
ρm eimω∆ z(τ + m∆) dτ |zM ∆ i =
где ρ, ω, ∆ – вещественные числа,
J∆ =
M
M P
P
m=1 n=1
134.
R∞
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
ρm+m ei(m−n)ω∆ exp(−ν∆|m − n|).
−∞
= Q(λJ∆ ),
2 )
∆
t R
R
d2 zt+∆ hz0 | exp −λ β(τ ′ )z(τ + τ ′ ) dτ ′ dτ |zt+∆ i =
(
0
0
где ∆ – вещественное число,
J∆ =
R∆
dτ
0
0
135.
R∞
R∆
d2 z0 w(z0 )
−∞
dτ ′ β(τ )β ∗ (τ + τ ′ ) exp(−ν|τ − τ ′ |).
R∞
−∞
= Q(λJ∆ ),
(
∆
2 )
t R
R
d2 zt+∆ hz0 | exp −λ β(τ ′ ) z(τ + τ ′ ) dτ ′ dτ |zt+∆ i =
0
0
где ∆ – вещественное число,
J∆ =
R∆
0
dτ
R∆
0
dτ ′ β(τ )β ∗ (τ ′ ) exp (−ν|τ − τ ′ |).
90 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
136.
t
R∞ 2
R∞ 2
R
∗
∗
d z0 w(z0 )
d zt hz0 | exp iλ Re z(τ )z (t − τ ) + z (t − τ )z(τ ) dτ |zt i =
−∞
=
−∞
0
ρ− exp(νt)
ρ+ exp(νt)
,
ρ+ cosh (ρ+ t) + ν sinh (ρ+ t) ρ− cosh (ρ− t) + ν sinh (ρ− t)
где
ρ+ =
√
ν 2 + 2iλνσ,
ρ− =
137.
R∞
d2 z0 w(z0 )
−∞
R∞
−∞
1
2
d2 zT +∆ hz0 | exp −λ
)
[1 + exp(−ν∆)] Q
1
2
2
d z0 w(z0 )
−∞
−∞
[z(τ )z ∗ (τ + ∆)+
0
[1 − exp(−ν∆)] .
138.
R∞
Rt
|zt+∆ i =
где ∆ – вещественное число.
R∞
ν 2 − 2iλνσ.
(
+ z ∗ (τ + ∆)z(τ )] dτ
= Q
√
(
2
d zT +∆ hz0 | exp −λ
)
Rt
0
Re (z(τ ) + β(τ ))×
×(z ∗ (τ + ∆) + β ∗ (τ + ∆)) dτ |zT +∆ i =
= Q+ (λ)Q− (λ)×
(
)
t
t
Rt
R
R
× exp −λ [β(τ )β ∗ (τ + ∆] − λ2 dτ dτ ′ [U+ (τ, τ ′ ) + U− (τ, τ ′ )] ,
0
0
0
где ∆ – вещественное число,
−1
Q+ (λ) = 4νρ+ exp(νt) (ρ+ + ν)2 exp(ρ+ t) − (ρ+ − ν)2 exp(−ρ+ t) ,
−1
Q− (λ) = 4νρ− exp(νt) (ρ− + ν)2 exp(ρ− t) − (ρ− − ν)2 exp(−ρ− t) ,
ρ+ =
ρ− =
p
p
ν 2 + 2λνσR+ ,
R+ =
1
[1 + exp(−ν∆)],
2
ν 2 + 2λνσR− ,
R− =
1
[1 − exp(−ν∆)],
2
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 91
1
1
[β(τ ) + β(τ + ∆)],
a− = [β(τ ) − β(τ + ∆)],
2
2
−1
U+ (τ, τ ′ ) = (2νσR+ /ρ+ ) (ρ+ + ν)2 exp (ρ+ t) − (ρ+ − ν)2 exp (−ρ+ t)
×
a+ =
× [(ρ+ + ν) exp (ρ+ t − ρ+ τ ′ ) + (ρ+ − ν) exp (−ρ+ t + ρ+ τ ′ )] ×
× [(ρ+ + ν) exp (ρ+ τ ) + (ρ+ − ν) exp (ρ+ τ )] a+ (τ )a∗+ (τ ′ ) + a∗+ (τ )a+ (τ ′ ) ,
−1
U− (τ, τ ′ ) = (2νσR− /ρ− ) (ρ− + ν)2 exp (ρ− t) − (ρ− − ν)2 exp (−ρ− t)
×
× [(ρ− + ν) exp (ρ− t − ρ− τ ′ ) + (ρ− − ν) exp (−ρ− t + ρ− τ ′ )] ×
× [(ρ− + ν) exp (ρ− τ ) + (ρ− − ν) exp (ρ− τ )] a− (τ )a∗− (τ ′ ) + a∗− (τ )a− (τ ′ ) .
139.
R∞ 2
R∞ 2
RT
d z0 w(z0 )
d zT hz0 | exp −λ ǫ(t) |z(t)|2 dt |zT i =
−∞
=
−∞
0
2ν (r0 + rT ) exp(νT )
,
(r0 + ν) (rT + ν) exp R0,T − (r0 − ν) (rT − ν) exp −R0,T
где ǫ(t) – произвольная неотрицательная функция,
r0 =
p
p
ν 2 + 2λσνǫ(0), rT = ν 2 + 2λσνǫ(T ),
R0,T =
RT p
ν 2 + 2λσνǫ(t) dt.
0
140.
R∞ 2
R∞ 2
RT
2
d z0 w(z0 )
d zT hz0 | exp −λ ǫ(t) |z(t) + β(t)| dt |zT i =
−∞
−∞
0
2ν (r0 + rT ) exp(νT )
×
(r0 + ν) (rT + ν) exp R0,T − (r0 − ν) (rT − ν) exp −R0,T
(
RT
× exp − ǫ(t) |β(t)|2 dt +
=
0
RT Rt
+ 2λ2 νσ dt dτ ǫ(t)ǫ(τ )r −1 (τ ) chRτ,t Re [β(t)β ∗ (τ )] +
0
2
0
2
+ 2λ νσ (νr0 + νrT ) chR0,T + (r0 rT + ν ) shR0,T
RT
RT
)
× dt dτ ǫ(t)ǫ(τ )r −1 (τ ) Re [β(t)β ∗ (τ )] ×
0
0
−1
×
92 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
)
× r0 chR0,t + ν shR0,t rτ chRτ,T + ν shRτ,T ,
где ǫ(t) – произвольная неотрицательная функция,
p
p
p
r0 = ν 2 + 2λσνǫ(0), rT = ν 2 + 2λσνǫ(T ), rt ≡ r(t) = ν 2 + 2λνσǫ(t),
Rτ,t =
Rt p
ν 2 + 2λσνǫ(t′ ) dt′ .
τ
141.
R∞ 2
Ru
Rt
d zu hz0 | exp −λ V (z(τ )) dτ |zu ihzu | exp −λ V (z(τ )) dτ |zt i =
−∞
0
u
Rt
= hz0 | exp −λ V (z(τ )) dτ |zi.
0
142.
R∞ 2
R∞ 2
Rt
d z0 w(z0 )
d zt+∆ hz0 | G −λ V (z(τ )) dτ |zt+∆ i =
−∞
−∞
u
R∞ 2
R∞ 2
Rt
=
d zu w(zu )
d zt hz0 | G −λ V (z(τ )) dτ |zt i,
−∞
−∞
u
где 0 ≤ u ≤ t ≤ (t + ∆), G(η) – произвольная локально интегрируемая функция.
143.
hzτ | exp −λ
Rt
′
V (z(τ )) dτ
τ
′
|zt i = Ψ (zt , t; zτ , τ ),
где функция Ψ = Ψ (zt , t; zτ , τ ) является решением уравнения
∂
∂
∂2
∂
Ψ = ν (zΨ) + ν ∗ (z ∗ Ψ) + 2νσ
Ψ − λV (z)Ψ
∂t
∂z
∂z
∂z∂z ∗
с начальным условием Ψ (zt , τ ; zτ , τ ) = δ (2) (zt − zτ ).
144.
Rt
hz0 | exp −λ V (z(τ )) dτ |zt i =
0
=
(
lim hz0 | exp −λ
M →∞
где ∆ = t/M.
m=M
R
P+1 (m+1)∆
m=0
m∆
V (z(τ )) dτ
)
|zt i,
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 93
Литература
1. Мазманишвили А.С. Некоторые континуальные интегралы от гауссовых форм /
Препринт ХФТИ. Харьков, 1985, № 85-18. – 45 с.
2. Мазманишвили А.С. Континуальное интегрирование как метод решения физических задач / А.С. Мазманишвили. – К.: Наукова думка, 1987. – 224 с.
3. Петров В.А. Интегралы по гауссовым мерам от специальных функционалов. Мера Винера. Условная мер Винера / Препринт АН БССР, Институт математики.
Минск, 1986, № 28. – 34 с.
4. Петров В.А. Интегралы по гауссовым от специальных функционалов. Меры с корреляционными функциями вида f1 (min(t, s)), f2 (max(t, s)) / Препринт АН БССР,
Институт математики. Минск, 1987, № 29. – 47 с.
5. Петров В.А. Интегралы по гауссовым от специальных функционалов. Квадратичный функционал общего вида в показателе экспоненты / Препринт АН БССР,
Институт математики. Минск, 1987, № 23. – 36 с.
6. Петров В.А. Интегралы по гауссовым с корреляционными функциями вида
p(min(t, s)), q(max(t, s)) от экспоненты с квадратичным функционалом общего вида в показателе. Производные Радона–Никодима / Препринт АН БССР, Институт
математики. Минск, 1987, № 22. – 24 с.
TABLE OF PATH INTEGRALS
DEFINED ON STOCHASTIC COMPLEX-VALUED
ORNSTEIN-UHLENBECK PROCESS
A.S. Mazmanishvili
Sumy State University,
Rimsky-Korsakov St., 2, Sumy, Ukraine, e-mail:mazmanishvili@gmail.com
Abstract. The work represents the table of more than 140 path integrals defined on the
stochastic complex-valued scalar Ornstein-Uhlenbeck process. They are integrals of corresponding
Gaussian forms. This fact permits to reduce them to analytical form of path integrals which are
contain the average on trajectories of the normal Markov complex-valued Ornshtein-Uhlenbeck
process. Formulas obtained may be useful in the solving of various applied statistical problems.
Key words: integrals on trajectories, random Ornshtein-Uhlenbeck process, gaussian forms.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа