close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Теорема Борсука-Улама для многозначных отображений в бесконечномерных банаховых пространствах.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
Калинин Алексей Вячеславович, Нижегородский государственный университет им.
Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической физики, e-mail: avk@mm.unn.ru.
Сумин Михаил Иосифович, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, доктор физико-математических
наук, профессор, заведующий кафедрой теории функций, e-mail: msumin@sinn.ru.
УДК 517.986.6
ТЕОРЕМА БОРСУКАУЛАМА ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
c
Н.М. Жук
Ключевые слова
: cюръективный оператор; топологическая размерность; многозначное
отображение; дифференциальное включение.
Данная статья посвящена доказательству бесконечномерной версии теоремы Борсука
Улама в случае, когда нечетное отображение является многозначным вполне непрерывным отображением с выпуклыми образами. Рассматриваются некоторые следствия
доказанной теоремы.
Пусть E1, E2 банаховы пространства, a : E1 ? E2 замкнутый линейный сюръективный оператор. Пусть Sr (0) сфера радиуса r с центром в нуле пространства E1,
отображение f : Sr (0) ? E2 вполне непрерывное нечетное отображение.
Рассмотрим следующее уравнение:
a(x) = f (x).
Пусть N (a, f ) ? Sr (0) множество решений этого уравнения. В работе [1] была доказана следующая теорема.
Т е о р е м а 1. Если dim(Ker a) 1, то уравнение a(x) = f (x) на сфере Sr (0) имеет
решение и
dim(N (a, f )) dim(Ker a) ? 1.
Легко видеть, что эта теорема естественно обобщает теорему БорсукаУлама на случай
бесконечномерных пространств.
Настоящая работа посвящена доказательству бесконечномерной версии теоремы БорсукаУлама на случай, когда нечетное отображение f является многозначным. Необходимые
сведения из теории многозначных отображений содержатся в [2].
Пусть E банахово пространство, E0 = E Ч R1. Норму в E0 определим по правилу:
||x||2 + t2 . Пусть S0 единичная сфера в банаховом пространстве E0 , а
||(x, t)|| =
H : S0 ? Kv(E) многозначное вполне непрерывное нечетное отображение. Рассмотрим
включение
H(x, t) x.
Л е м м а 1. При сделанных предположениях включение имеет решение.
Рассмотрим теперь некоторые утверждения о топологической размерности множества
решений операторных включений. Основные свойства топологической размерности содержатся, например, в [3].
1076
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
Л е м м а 2. Пусть E банахово пространство, S ? E Ч Rn единичная сфера, где
n 1. Пусть H : S ? Kv(E) вполне непрерывное нечетное многозначное отображение. Тогда множество решений N (H, S) включения x ? H(x, l) имеет топологическую
размерность dim(N (H, S)) n ? 1.
Опираясь на эти леммы, докажем следующую теорему.
Пусть a : D(a) ? E1 ? E2 замкнутый линейный сюръективный оператор, S ? E1 единичная сфера в пространстве E1, F : S ? Kv(E2) a-вполне непрерывное нечетное
многозначное отображение. Рассмотрим следующее включение:
a(x) ? F (x).
Обозначим множество решений этого включения N (a, F ).
Т е о р е м а 2. Если dim(Ker a) n > 0, то множество
dim(N (a, F )) n ? 1.
З а м е ч а н и е. Нетрудно видеть что в этой теореме сферу
радиуса r с центром в нуле пространства E1.
Рассмотрим некоторые следствия из теоремы 2.
S
N (a, F ) = Ш
и
можно брать любого
1. Теорема БорсукаУлама для фредгольмовых отображений положительного индекса.
О п р е д е л е н и е. Замкнутый линейный оператор a : D(a) ? E1 ? E2 будем называть
фредгольмовым оператором положительного индекса, если выполнены следующие условия:
1) область значений Im(a) является замкнутым подпространством пространства E2 ;
2) dim(Coker(a)) < ?, где Coker(a) фактор-пространство пространства E2 по Im(a);
3) dim(Ker(a)) > dim(Coker(a)), где dim(Ker(a)) может быть бесконечность.
Индексом оператора a называется число ind(a) = dim(Ker(a)) ? dim(Coker(a)) > 0.
С л е д с т в и е 1. Пусть a : D(a) ? E1 ? E2 фредгольмов оператор положетельного
индекса. Пусть S ? E1 единичная сфера в пространстве E1, F : S ? Kv(E2) вполне непрерывное нечетное многозначное отображение. Тогда множество N (a, F ) = Ш
и dim(N (a, F )) n ? 1.
Теорема об антиподах в бесконечномерных банаховых пространствах.
Пусть E1, E2 банаховы пространства, a : E1 ? E2 замкнутый линейный сюръективный оператор. Пусть S единичная сфера в E1 и G : S ? Kv(E2) вполне
непрерывное многозначное отображение. Рассмотрим отображение ? : S(0) ? Kv(E2),
?(x) = a(x) ? G(x). Пусть
2.
N (?) = {x ? S(0) | ?(x0 ) ? ?(?x0 ) = 0}.
С л е д с т в и е 2. Если
dim(Ker(a)) n,
то множество
N (?) = Ш
и
dim(N (?)) n ? 1.
Имеют место и другие следствия из теоремы 2.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Гельман Б.Д.
Бесконечномерная версия теоремы БорсукаУлама // Функциональный анализ и его
приложения. 2004. Т. 38. ќ 4. C. 15.
2.
Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В.
Введение в теорию многозначных
отображений/ М: КомКнига (URSS), 2005.
3.
Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М: Наука, 1973.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
1077
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
Zhuk N.M. BorsukUlam theorem for multivalued mappings innite-dimensional Banach
spaces. This article is devoted to proving the innite-dimensional version BorsukUlam theorem
in the case of an odd map is a completely continuous multivalued map with convex images.
Consider some applications of this theorem.
Key words: surjective operator; topological dimension; a set-valued mapping; dierential
inclusion.
Жук Наталья Михаиловна, Воронежский государственный педагогический университет, Алексеевский колледж эконономики и информационных технологий, г. Алексеевка,
Белгородская обл., Российская Федерация, аспирант кафедры алгебры и геометрии, преподватель специальных и общепрофессиональных дисциплин, e-mail: chuk_n_m@mail.ru.
УДК 517.922, 517.929, 517.988.5
О КОРРЕКТНОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА
c Е.С. Жуковский, В.Ф. Осинин, Е.А. Плужникова
Ключевые слова
:
условно
накрывающее
отображение
метрических
пространств;
функционально-дифференциальное уравнение нейтрального типа; корректная разрешимость.
Доказаны утверждения о непрерывной зависимости решений задачи Коши функционально-дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной, от
параметров (порождаемой функции, запаздываний, начальных условий). Используется
аппарат накрывающих отображений.
Предложенное в [1] понятие условно накрывающего отображения и его уточнения в [2, 3]
оказались удобными для исследования интегральных, дифференциальных функциональнодифференциальных уравнений [15]. Здесь мы применяем полученные в [3] утверждения
об условно накрывающих отображениях к изучению непрерывной зависимости от параметров решений задачи Коши функционально-дифференциального уравнения нейтрального
типа. Это уравнение наряду со значением производной искомой функции в текущий момент времени t содержит еще и значения этой производной в ѕзапаздывающиеї моменты
времени g(t), где g(·) заданная функция, удовлетворяющая неравенству h(t) t. Уравнение нейтрального типа представляет большой теоретический и прикладной интерес [6].
Здесь исследуется практически не рассматривавшаяся в литературе ситуация уравнения
нейтрального типа, не разрешенного относительно значения производной искомой функции в текущий момент времени t .
Сформулируем данное в [3] определение условного накрывания.
Пусть (X, ?X ), (Y, ?Y ) метрические пространства. Будем обозначать BX (u, r) замкнутый шар пространства X с центром в точке u радиуса r > 0. Пусть заданы множества W ? Y, A ? X Ч R+ и число ? > 0.
О п р е д е л е н и е 1. Отображение F : X ? Y назовем ?-накрывающим множество
W на совокупности A, если для любых (u, r) ? A имеет место включение
BY (F (u), ?r)
1078
W ? F BX (u, r) .
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
263 Кб
Теги
многозначные, теорема, пространство, борсука, отображений, банаховых, бесконечномерных, улам
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа