Теория связностей преобразования Коула-Хопфа и потенциалы дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка.

2007
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 9 (544)
УДК 514.764:517.925
А.К. РЫБНИКОВ
ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОУЛА{ХОПФА И
ПОТЕНЦИАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Данная статья посвящена построению геометрической теории преобразований Коула{Хопфа
для дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Эти преобразования представляют собой особый вид преобразований Бэклунда и непосредственным образом связаны с понятием о потенциалах. Преобразования Коула{Хопфа, как и преобразования
Бэклунда, являются одной из дифференциально-геометрических структур, порождаемых дифференциальными уравнениями. В данной работе теория преобразований Коула{Хопфа представлена как специальная глава теории связностей.
В статье выписаны в явном виде уравнения, задающие преобразования Коула{Хопфа. Найдены необходимые условия существования таких преобразований. Выведены условия существования преобразований Коула{Хопфа (и соответственно потенциалов) для некоторых видов дифференциальных уравнений.
1. Введение
1.1. Понятие преобразования Бэклунда в трактовке Бианки{Ли{Бэклунда и в трактовке
Пирани{Робинсона.
Впервые преобразования Бэклунда возникли как преобразования поверхностей постоянной
отрицательной кривизны в 3-мерном евклидовом пространстве R3 . В 1879 г. в работах Л. Бианки
[1] и С. Ли [2] было рассмотрено соответствие между двумя поверхностями S и S 0 в R3 , заданное
системой уравнений
(x1 ; x10 )2 + (x2 ; x20 )2 + (z ; y)2 = a2 ;
z1(x1 ; x10 ) + z2 (x2 ; x20 ) ; (z ; y) = 0;
(1)
y10 (x1 ; x10 ) + y20 (x2 ; x20 ) ; (z ; y) = 0;
z1 y10 + z2 y20 + 1 = 0;
связывающих координаты
x1, x2 , z точки M @y2 S и координаты x10 , x20 , y точки M 0 2 S 0 . Здесь
0
0
z = z(x1 ; x2), y = y(x1 ; x2 ), zi = @x@z , yi0 = @x 0 (i = 1; 2; i0 = 10 ; 20 ). При этом предполагается,
что поверхность S является поверхностью постоянной отрицательной кривизны ; a12 и, следовательно, функция z (x1 ; x2 ) является одним из решений уравнения Монжа{Ампера
2
2
z z ; (z )2 + (z1) + (z2 ) + 1 = 0:
(2)
i
11 22
i
12
a2
Система (1) определяет переменную y как функцию от x10 , x20 ,0 соответствующую
заранее
заданной функции z = z (x1 ; x2 ). Можно доказать, что функция y(x1 ; x20 ) также удовлетворяет
уравнению Монжа{Ампера
2
2
y 0 0 y 0 0 ; (y 0 0 )2 + (y10 ) + (y20 ) + 1 = 0
11 22
12
a2
50
и, следовательно, поверхность S 0 также является поверхностью постоянной отрицательной кривизны ; a12 . Систему (1) можно рассматривать как систему, определяющую соответствие между
двумя поверхностями с одной и той же постоянной отрицательной кривизной ; a12 . Одновременно система (1) определяет отображение каждого из решений уравнения Монжа{Ампера в
другое решение того же уравнения. Соответствие, заданное системой (1), получило название
преобразование Бианки{Ли [3], [4].
В 1880 г. А. Бэклунд [5] обнаружил, что преобразование Бианки{Ли можно рассматривать
как частный случай преобразований более общего типа, заданных системой вида
F (x1; x2 ; z; z1 ; z2 ; x10 ; x20 ; y; y10 ; y20 ) = 0 ( = 1; 2; 3; 4):
(3)
При этом предполагается, что систему (3) можно разрешить относительно x1 , x2 , y10 , y20 и получить, в частности, уравнения
y10 = 10 (x10 ; x20 ; y; z; z1 ; z2 );
y20 = 20 (x10 ; x20 ; y; z; z1 ; z2 ):
(4)
Предполагается также, что система (4) интегрируема относительно y в том и только том случае,
когда функция z (x1 ; x2 ) является решением дифференциального уравнения
U (x1 ; x2; z; z1 ; z2 ; z11 ; z12 ; z22 ) = 0:
(5)
В этом случае можно рассматривать соответствие между решениями z (x1 ; x2 ) уравнения (5) и
решениями системы (4) (при условии z = z (x1 ; x2 )). Если при этом любое решение системы (4)
является к тому же решением дифференциального уравнения
V (x10 ; x20 ; y; y10 ; y20 ; y1010 ; y10 20 ; y20 20 ) = 0;
(5bis)
то соответствие, определенное системой (4), называют преобразованием Бэклунда (точнее преобразованием Бианки{Ли{Бэклунда) дифференциального уравнения (5) в дифференциальное
уравнение (5bis).
Заметим, что А. Бэклунд трактовал эти преобразования как соответствия между парой поверхностей S и S 0 в R3 . Г. Дарбу [6] был первым, кто обратил внимание на то, что преобразования
Бэклунда можно рассматривать как соответствия между интегральными многообразиями пары
дифференциальных уравнений (или одного дифференциального уравнения), приведя в качестве
примера автопреобразование Бэклунда для уравнения синус-Гордона
z12 = sin z:
(6)
Такой подход к преобразованиям Бэклунда получил дальнейшее развитие в [7] и [8]. Подробная
библиография содержится в [4].
В 1977 г. Ф. Пирани и Д. Робинсон [9] предложили иную трактовку понятия преобразования
Бэклунда, в соответствии с которой преобразование Бэклунда является частным случаем более
общего понятия отображения Бэклунда.
Отображение Бэклунда для заданного дифференциального уравнения с частными производными Ф. Пирани и Д. Робинсон определили как отображение
J k (M; N1 ) N2 ;! J 1 (M; N2 );
удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям ([10] или [4]). Здесь J k (M; N ) | многообразие k-струй отображений из M в N ; M | многообразие независимых переменных x1 , x2 ;
N1 | одномерное многообразие с локальной координатой z (старая зависимая переменная); N2
| одномерное многообразие с локальной координатой y (новая зависимая переменная).
51
В локальных координатах отображение Бэклунда для дифференциального уравнения 2-го
порядка (5) записывается следующим образом
y1 = y1(xi ; z; zj ; : : : ; zj1 :::j ; y);
(7)
y2 = y2(xi ; z; zj ; : : : ; zj1 :::j ; y);
где i; j = 1; 2. При этом предполагается, что система (7) интегрируема в том и только в том
случае, когда функция z (x1 ; x2 ) является решением дифференциального уравнения (5). В дальнейшем мы будем называть систему (7), определяющую отображение Бэклунда, системой Бэклунда.
В 2001 г. мы предложили новую интерпретацию понятия отображения Бэклунда [11], [12].
Задание отображения Бэклунда трактуется как задание специальной связности, определяющей
представление нулевой кривизны для заданного дифференциального уравнения (см. п. 6). При
таком подходе понятие отображения Бэклунда становится более детерминированным, а система
Бэклунда всегда будет интегрируемой в случае, когда z (x1 ; x2 ) является решением уравнения
(5) (и только в этом случае). При этом выясняется, что система Бэклунда не произвольна,
но имеет весьма специальный вид. Появляется возможность последовательного, систематического изучения условий существования отображений Бэклунда. Отметим, что в данной работе
рассматриваются преобразования Бэклунда как специальная глава теории связностей (с точки
зрения практической теории дифференциальных уравнений преобразования Бэклунда | это
лишь специфический прием отыскания решений нелинейных дифференциальных уравнений).
Возможность такого подхода является с нашей точки зрения наиболее привлекательным обстоятельством, т. к. расширяет область применения теории связностей.
1.2. Понятие отображения Коула{Хопфа (CH-отображения). Содержание работы.
В данной работе изучаются отображения Бэклунда специального вида, для которых систему
Бэклунда (7) можно представить в виде
y1 = y1(xi ; z; zj ; : : : ; zj1 :::j );
y2 = y2(xi ; z; zj ; : : : ; zj1 :::j );
которые назовем отображениями Коула{Хопфа, т. к. первый пример подобного отображения
был построен Коулом и Хопфом (пример 4.1). Задание преобразований Коула{Хопфа равносильно заданию потенциалов дифференциальных уравнений. Потенциалы, таким образом, получают
геометрическую интерпретацию с точки зрения теории связностей. Геометрическая теория отображений Коула{Хопфа, хотя они и являются частным случаем отображений Бэклунда, имеет
свою специфику. Она весьма интересна, содержательна и отнюдь не элементарна.
Опишем кратко структуру статьи. Предварительно заметим, что изучая дифференциальные
уравнения с частными производными 2-го порядка общего вида (5), рассматриваем переменные
x1, x2 , z как адаптированные локальные координаты (2+1)-мерного расслоения H с 2-мерной базой (при этом x1 , x2 являются локальными координатами на базе). Допустимые преобразования
локальных координат имеют вид
xei = i (x1; x2 ) (i = 1; 2); ze = 2+1(x1 ; x2 ; z):
Обозначим через xi , z , pj адаптированные локальные координаты в расслоении 1-струй
1
J H . Локальные координаты в расслоении голономных 2-струй J 2 H обозначим xi , z, pj , pkl
(pkl = plk ). Для любого сечения H , заданного уравнением z = z (x1 ; x2 ), можно рассматривать поднятые сечения (поднятия) r J r H , заданные уравнениями z = z (x1 ; x2 );
pj1 :::j = zj1 :::j (k = 1; : : : ; r). Дифференциальное уравнение (5) можно записать в более общем виде U (x1 ; x2 ; z; p1 ; p2 ; p11 ; p12 ; p22 ) = 0. На поднятии 2 J 2 H произвольного сечения это
уравнение принимает вид (5). Решения z = z (x1 ; x2 ) уравнения (5) | это сечения H , на
поднятиях которых уравнение (5) удовлетворяется тождественно.
В п. 2 данной работы рассматриваются главные расслоения k rH , k R H и k < H (фактормногообразия многообразия реперов порядка k) при k = 1 и k = 2. Многообразие k;струй J k H
k
k
k
k
k
k
52
является общей базой для каждого из этих расслоений (при фиксированном k). Структурной
группой для k r H является 1-мерная группа G1 , для k R H | группа SL(2), для k < H | группа
GL(2).
В п. 3 рассматриваются специальные связности [13] в k r H . Далее наряду с главными расслоениями k r H , k R H , k < H рассматриваются ассоциированные с ними расслоения. Следуя
[14], используем следующие обозначения. Главное расслоение с базой B и структурной группой
G обозначим P (B; G). Ассоциированное с ним расслоение с типовым слоем = (= | пространство
представления структурной группы G) обозначим =(P (B; G)). Для нас представляют интерес
ассоциированные расслоения с одномерным типовым слоем.
В п. 4 рассматриваются связности в =(k r H ) (dim = = 1), порожденные специальными связностями в k r H , определяющими представления нулевой кривизны для заданного дифференциального уравнения (5), которые назовем связностями Коула{Хопфа класса k. Уравнение Пфаффа
CH e = 0;
(8)
где CH e | форма связности, соответствующая связности Коула{Хопфа, рассматриваемая над
сечением H , вполне интегрируемо в том и только том случае, когда сечение H является
решением уравнения (5). Это уравнение Пфаффа задает отображение, при котором любое решение H дифференциального уравнения (5) переходит в сечение =(k rH ) (dim = = 1),
являющееся решением уравнения Пфаффа (8) при заданном H :
H ! =(k rH ) (dim = = 1):
(9)
Отображение (9) назовем CH-отображением класса k, соответствующим дифференциальному
уравнению (5), а уравнение (8) | уравнением Пфаффа, задающим CH-отображение. Существование CH-отображений эквивалентно существованию потенциалов (замечание 4.1). Доказано
(теорема 3), что для существования CH-отображений (и, следовательно, потенциалов) дифференциального уравнения (5) необходимо, чтобы уравнение (5) было либо квазилинейным уравнением, либо уравнением типа Монжа{Ампера
z11 z22 ; (z12 )2 + Pz11 + Qz12 + Rz22 + S = 0;
(10)
где P , Q, R, S зависят от x1 , x2 , z , z1 , z2 .
В п. 5 выведены условия существования CH-отображений (и, следовательно, потенциалов)
классов 1 и 2 для некоторых типов дифференциальных уравнений 2-го порядка. Найдены, в
частности, необходимые и достаточные условия существования CH-отображений класса 1 для
уравнений вида z11 + z22 + f (x1 ; x2 ; z; z1 ; z2 ) = 0 и уравнений вида z22 ; f (x1; x2 ; z; z1 ; z2 )=0. Доказано существование CH-отображений класса 2 для уравнений вида z11 z22 ; (z12 )2 + g(z )f (z1 ; z2 )=0.
В п. 6 понятие связности Коула{Хопфа и понятие CH-отображения рассматриваются как
частные случаи понятий связности Бэклунда и отображения Бэклунда.
В данной работе систематически используется инвариантный аналитический метод Э. Картана{Г.Ф. Лаптева (см. [14] или работы самого Г.Ф. Лаптева [15]{[19]). Все рассмотрения носят
локальный характер.
2. Главные расслоения
k r H , k R H , k
<
!1, !2, !2+1
H
(k = 1; 2)
Рассмотрим главные дифференциальные формы
расслоенного многообразия H .
Они удовлетворяют структурным уравнениям
2+1 :
d!i = !j ^ !ji ; d!2+1 = !j ^ !j2+1 + !2+1 ^ !2+1
В процессе правильного продолжения (см. об этой процедуре в [17]) возникает последовательность структурных форм расслоений реперов порядков 1; 2; : : : (расслоений R1H; R2 H; : : : ). При
53
этом формы
2+1
!i ; !2+1 ; !j2+1; !ji ; !2+1
(11)
представляют собой систему структурных форм расслоения R1H . На следующем этапе продолжения возникают формы
2+1 :
!jk2+1; !jki ; !j;i 2+1; !2+1
(12)
;2+1
Формы (11) и (12) в совокупности представляют собой систему структурных форм расслоения
R1H . Заметим, что формы !i, !2+1 , !j2+1 одновременно являются главными формами в многообразии 1-струй J 1 H , а формы !i , !2+1 , !j2+1 , !kl2+1 | главными формами в многообразии 2-струй
J 2H . Можно выделить три фактор-многообразия многообразия R1H :
многообразие 1rH со структурными формами !i, !2+1, !j2+1, #, где # = !11 + !22;
многообразие 1RH со структурными формами !i , !2+1, !j2+1, !, !12, !21, где ! = !11 ; !22;
многообразие 1<H со структурными формами !i, !2+1, !j2+1, !ji .
Можно выделить также три фактор-многообразия многообразия R2 H :
многообразие 2rH со структурными формами !i, !2+1, !j2+1, !kl2+1, #;
многообразие 2RH со структурными формами !i, !2+1, !j2+1, !kl2+1 , !, !12, !21;
многообразие 2<H со структурными формами !i, !2+1, !j2+1, !kl2+1 , !ji .
Каждое из многообразий
k r H; k R H; k < H (k = 1; 2)
(13)
имеет структуру главного расслоения. Многообразие 1-струй J 1 H является общей базой расслоений 1 r H , 1 R H , 1 < H , а многообразие 2-струй J 2 H | общей базой расслоений 2 r H , 2 RH ,
2 < H . Структурными группами расслоений (13) (как при k = 1, так и при k = 2) являются
группы G1, SL(2), GL(2) соответственно. Совокупность слоевых форм в k r H состоит из одной
формы #; формы !, !12 , !21 | слоевые формы в k R H ; формы !ji | слоевые формы в k < H
(как при k = 1, так и при k = 2). При фиксации точки базы слоевые формы превращаются в
инвариантные структурные формы соответствующей группы.
В дальнейшем будем рассматривать связности в расслоениях (13), определяющие представления нулевой кривизны для заданного дифференциального уравнения 2-го порядка (5), т. е. связности, у которых формы кривизны обращаются в нуль на решениях уравнения (5) (и только на
решениях).
3. Специальные связности в
k r H (k = 1; 2)
В главных расслоениях k rH (k = 1; 2) можно задавать специальные связности, т. е. связности, у которых все коэффициенты связности, кроме коэффициентов при !1 , !2 , равны нулю
(класс специальных связностей выделяется инвариантным образом [13]). Если связность специальная, то как в случае k = 1, так и в случае k = 2, совокупность форм связности состоит
из одной формы #e, которая имеет вид #e = # + h1 !1 + h2 !2 . Компоненты объекта связности
(коэффициенты связности) h1 и h2 зависят от xi , z , pj , если k = 1, и от xi , z , pj , pkl , если k = 2.
Они удовлетворяют дифференциальным уравнениям
dh1 ; 21 h1 # ; 12 h1 ! ; h2!12 ; !111 ; !122 = 0;
(14)
1
1
1
1
2
dh2 ; 2 h2 # + 2 h2 ! ; h1!2 ; !12 ; !12 = 0:
Здесь равенство нулю имеет место по модулю главных форм.
Форма связности #e удовлетворяет структурному уравнению
d#e = ;
54
где = R!1 ^ !2 + | форма кривизны (здесь многоточием обозначена сумма слагаемых,
содержащая произведения главных форм, отличные от !1 ^ !2 ).
Выберем в качестве главных форм контактные формы
!i = dxi ; !2+1 = dz ; pi dxi ; !j2+1 = dpj ; pjk dxk ; !jk2+1 = dpjk ; pjkl dxl :
В этом случае !ji = 0 (и, следовательно, # = 0) и форма связности #e имеет вид
#e = h1 !1 + h2 !2:
Если при этом k = 1, то
(15)
@h
2 p + @h2 ; @h1 p ; @h1 p + @h2 p ; @h1 p + @h2 ; @h1
(16)
R = @p 11 @p @p 12 @p 22 @z 1 @z 2 @x1 @x2
1
2
1
2
(напомним, что в этом случае коэффициенты связности зависят от xi , z , pj ). Если k = 2, то
@h
@h
@h
@h
@h
@h1 p +
2
2
1
2
1
R = @p p111 + @p ; @p p112 + @p ; @p p122 ; @p
222
11
12
11
22
12
22
@h2 ; @h1 p ; @h1 p + @h2 p ; @h1 p + @h2 ; @h1 (17)
2
+ @h
p
+
@p 11 @p @p 12 @p 22 @z 1 @z 2 @x1 @x2
1
2
1
2
(напомним, что в этом случае коэффициенты связности зависят от xi , z , pj , pkl ).
Заметим, что поскольку главные формы контактные, то поднятия 3 J 3 H сечений H
(и только они) являются интегральными многообразиями уравнений Пфаффа
!2+1 = 0; !j2+1 = 0; !jk2+1 = 0:
Следовательно, на поднятии любого сечения H структурное уравнение имеет вид
d #e = R x1 ^ dx2 ;
где R | коэффициент R, рассматриваемый на поднятии сечения H . Уравнение
R = 0
(18)
является при k = 1 квазилинейным уравнением 2-го порядка. При k = 2 уравнение (18) является, вообще говоря, уравнением 3-го порядка, но в некоторых особых случаях (см. далее лемму)
может тоже оказаться уравнением 2-го порядка.
Если левая часть дифференциального уравнения 2-го порядка (5) отличается от R множителем, то рассматриваемая специальная связность определяет представление нулевой кривизны
для дифференциального уравнения (5).
Рассмотрим три примера связностей в 1 rH , определяющих представления нулевой кривизны для уравнения Бюргерса, обобщенного уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа
соответственно. Аналогичные примеры связностей в 2 r H будут приведены в конце п. 3.
1 Пример 3.1. Рассмотрим специальную связность в r H с коэффициентами связности
h1 = p2 ; z2 ; h2 = z:
2
Эта связность определяет представление нулевой кривизны для уравнения Бюргерса
z1 + zz2 ; z22 = 0:
Действительно, на любом сечении H форма связности
#e = z2 ; z2 dx1 + zdx2
2
55
(19)
удовлетворяет структурному уравнению
d #e = (z1 + zz2 ; z22 )dx1 ^ dx2:
Специальная связность в 1 r H с коэффициентами связности
h1 = p2; h2 = ln z
определяет представление нулевой кривизны для обобщенного уравнения теплопроводности
z1 ; zz22 = 0:
(20)
Действительно, на любом сечении H форма связности #e = z2 dx1 + ln z dx2 удовлетворяет
структурному уравнению
d #e = 12 (z1 ; zz22 )dx1 ^ dx2 :
Пример 3.2.
Специальная связность в 1 r H с коэффициентами связности
h1 = p2; h2 = ;z1
определяет представление нулевой кривизны для уравнения Лапласа
z11 + z22 = 0:
(21)
На любом сечении H форма связности #e = z2 dx1 ; z1 dx2 удовлетворяет структурному
уравнению d #e = ;(z11 + z22 )dx1 ^ dx2 .
Пример 3.3.
Если специальная связность в 2 r H определяет представление нулевой кривизны
для дифференциального уравнения с частными производными 2-го порядка, то коэффициенты
связности имеют следующий вид :
h1 = 'p11 + p12 + 1;
(22)
h2 = 'p12 + p22 + 2;
где ', , 1 , 2 | некоторые функции переменных x1 , x2 , z , p1 , p2 .
Доказательство. Заметим (см. (17)), что уравнение (18) является уравнением 2-го порядка
в том и только том случае, когда коэффициенты связности h1 и h2 удовлетворяют условиям
Лемма.
@h1
@p22 = 0;
@h2 = 0;
@p11
@h1 = @h2 ;
@p11 @p12
@h1 = @h2 :
@p
@p
12
22
Из (23) следует, что h1 не зависит от p22 . Очевидно,
Из (24) следует, что h2 не зависит от p11 . Очевидно,
Таким образом, принимая во внимание (25), имеем
@h1 @h2
@p11 = @p12 = ';
(23)
(24)
(25)
(26)
@h1
@p11 также не зависит от p22 .
@h2
@p12 также не зависит от p11 .
где ' не зависит ни от p11 , ни от p22 . Из (27) следует, в частности, что
h1 = p11' + 1;
56
(27)
(28)
где
1
(так же, как и ') не зависит ни от p11 , ни от p22 . Следовательно,
@h1 = p @' + @ 1 :
@p12 11 @p12 @p12
Как уже было отмечено выше, h2 и, следовательно,
(29) означает
@' = 0:
@p
(29)
@h2
@p22 , не зависит от p11 . Это
в силу (26) и
12
Видим, что
' = '(x1 ; x2 ; z; p1 ; p2):
(30)
Следовательно,
h1 = p11'(x1 ; x2 ; z; p1 ; p2) + 1 (x1; x2 ; z; p1 ; p2 ; p12):
(31)
Принимая во внимание (30), а также то, что @p@h122 = ' (см. (27)) и h2 не зависит от p11 , можно
заключить
h2 = p12'(x1 ; x2 ; z; p1 ; p2) + 2 (x1; x2 ; z; p1 ; p2 ; p22):
(32)
Согласно (31) и (32) заметим, что равенство (26) может иметь место только в том случае,
когда
@ 1 (x1 ; x2; z; p1 ; p2 ; p12) = @ 2 (x1; x2 ; z; p1 ; p2; p22 ) :
@p
@p
12
Последнее означает, что
22
1
2
= p12 + 1 ;
= p22 + 2 ;
(33)
где , 1 , 2 | некоторые функции переменных x1 , x2 , z , p1 , p2 .
Утверждение леммы следует из (31), (32) и (33).
Следствие. При k = 2 коэффициент R в силу (17) и (22) имеет вид
@ ; @' ;z z ; (z )2 + ; @' z ; @' + @2 z +
=
R
@z1 @z2 11 22 12
@z 2 @x2 @z1 11
@
@'
@
@
@'
2 @1
+ @z z1 ; @z z2 + @x1 ; @x2 + @z ; @z z12 +
2
1
@ ; @1 z + @2 z ; @1 z + @2 ; @1 : (34)
+ @@z z1 + @x
1
@z2 22 @z 1 @z 2 @x1 @x2
Ввиду (16) и (34) очевидна
Теорема 1. Если для дифференциального уравнения с частными производными 2-го порядка
(5) существует специальная связность в 1 r H , определяющая представление нулевой кривизны, то уравнение (5) квазилинейное.
Если для дифференциального уравнения (5) существует специальная связность в 2 r H ,
определяющая представление нулевой кривизны, и при этом коэффициенты ' и (см. (22))
@ , то уравнение (5) и в этом случае квазилинейное.
удовлетворяют соотношениям @p@'2 = @p
1
@' 6= @ , то уравнение (5) является уравнением типа Монжа{Ампера (10).
Если же @p
@p1
2
57
Приведем два примера специальных связностей, заданных в 2 r H , одна из которых определяет представление нулевой кривизны для классического уравнения Монжа{Ампера (2), а
другая для уравнения
z11z22 ; (z12 )2 ; (z1 z2) 43 = 0;
(35)
играющего важную роль в газовой динамике [20].
2 Пример 3.4. Специальная связность в r H с коэффициентами связности
h1 = a2 p11 ln (p1)2 + (p2)2 + 1 + z; h2 = a2 p12 ln (p1 )2 + (p2 )2 + 1
2
;
2
;
определяет представление нулевой кривизны для классического уравнения Монжа{Ампера (2).
Действительно, на каждом сечении H форма связности
2
2
;
;
#e = a2 z11 ln (z1 )2 + (z2 )2 + 1 + z dx1 + a2 z12 ln (z1 )2 + (z2 )2 + 1 dx2
удовлетворяет структурному уравнению
d # = ;a2 (z )2 +z(2z )2 + 1
1
2
e
z11 z22 ; (z12
)2 +
(z1 )2 + (z2 )2 + 1 dx1 ^ dx2 :
a2
Рассмотрим специальную связность в 2 r H , для которой
h1 = ; 32 (p1); 43 (p2) 23 p11 + z; h2 = ; 32 (p1 ); 43 (p2 ) 23 p12:
Эта связность определяет представление нулевой кривизны для уравнения (35). Действительно,
на каждом сечении H форма связности
3
4
2
;
e
3
3
# = ; 2 (z1 ) (z2 ) z11 + z dx1 ; 32 (z1 ); 34 (z2 ) 23 z12 dx2
удовлетворяет структурному уравнению
2 ; (z1 z2 ) 43
z
z
;
(
z
)
11
22
12
e
d # =
dx1 ^ dx2 :
(z1 ) 43 (z2 ) 13
Пример 3.5.
4. Связности Коула{Хопфа, CH-отображения и потенциалы. Необходимые
условия существования CH-отображений
Наряду со связностями в главных расслоениях 1 r H и 2 rH можно рассматривать порожденные ими связности в ассоциированных расслоениях. Для нас интерес представляют связности
в ассоциированных расслоениях с одномерным типовым слоем =(k r H ) (dim = = 1) при k = 1 и
k = 2.
Известно (напр., [14]), что для связности в ассоциированном расслоении =(P (B; G)) (dim = =
1), порожденной связностью в главном расслоении P (B; G), форма связности имеет вид
e = dY ; A(Y )!e A:
Здесь !e A | формы связности в P (B; G) (A; B; : : : = 1; : : : ; dim G), коэффициенты A (Y ) удовлетворяют тождествам Ли
A dY;
dB C ; dC B = ACBC
A | структурные константы группы Ли G.
где CBC
Форма e удовлетворяет структурному уравнению
A!
e A ; A A ;
de = e ^ ; d
dY
где A | формы кривизны, соответствующие связности, заданной в P (B; G).
58
(36)
Для связности в =(k r H ) (dim = = 1), порожденной связностью, заданной в k r H (k = 1; 2),
форма связности e имеет вид
e = dY ; (Y )#e ((Y ) 6= 0);
где (Y ) | некоторая функция от Y . Здесь #e | форма связности, соответствующая связности,
заданной в k rH .
e можно записать в виде e = (Y )(dy ; #
e), где y | некоторая перЗамечание 4.1. Форму 1
вообразная функции (Y ) .
Связность в =(k rH ) (dim = = 1) условимся называть связностью Коула{Хопфа (или CHсвязностью) класса k для дифференциального уравнения (5), если она порождена специальной
связностью в k r H , определяющей представление нулевой кривизны для уравнения (5).
Пусть CH e | форма связности, соответствующая CH-связности класса k для заданного дифференциального уравнения (5). Отметим, принимая во внимание (36), что в случае, когда сечение H является решением уравнения (5) (и только в этом случае) уравнение Пфаффа (8)
вполне интегрируемо. Оно определяет отображение (9), которое назовем отображением Коула{
Хопфа (или CH-отображением) класса k для дифференциального уравнения (5). Уравнение
Пфаффа (8) будем называть уравнением Пфаффа, задающим CH-отображение.
Заметим, что в случае, когда главные формы контактные, уравнение Пфаффа (8) в силу
замечания 4.1 имеет вид
dy ; h1 dx1 ; h2 dx2 = 0
и, следовательно, эквивалентно следующей системе уравнений с частными производными (которую назовем системой Коула{Хопфа)
y1 = h1 ; y2 = h2 :
(37)
Здесь h1 и h2 | коэффициенты связности, рассматриваемые на сечении H .
Если любое решение системы (37) (при заданном z = z (x1 ; x2 )) является в то же время решением дифференциального уравнения (5bis), то CH-отображение называется CH-преобразованием
дифференциального уравнения (5) в дифференциальное уравнение (5bis).
Очевидно, в силу (22) и (37), справедлива
Теорема 2. Если дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка допускает CH-отображение класса 2, то система Коула{Хопфа имеет вид
y1 = '(xi ; z; zj )z11 + (xi ; z; zj )z12 + 1(xi ; z; zj );
(38)
y2 = '(xi ; z; zj )z12 + (xi ; z; zj )z22 + 2(xi ; z; zj ):
Следствием теоремы 1 является
Теорема 3. Если дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка допускает CH-отображение класса 2, то оно является либо уравнением
типа Монжа{Ампера
(10), если @p@'2 6= @p@ 1 , либо квазилинейным уравнением, если @p@'2 = @p@ 1 .
Пример 4.1. Рассмотрим CH-отображение класса 1, для которого система Коула{Хопфа
имеет вид
y1 = z2 ; z2 ; y2 = z:
2
(39)
Соответствующая CH-связность порождена связностью в главном расслоении 1 rH , определяющей представление нулевой кривизны для уравнения Бюргерса (19) (см. пример 3.1).
59
Из второго уравнения системы (39) следует z2 = y22. Подставив z = y2 и z2 = y22 в первое
уравнение системы (39), получим уравнение
y1 = y22 ; 21 (y2)2:
(19bis)
Таким образом, рассматриваемое CH-отображение является CH-преобразованием уравнения
Бюргерса (19) в уравнение (19bis).
Заметим, что при замене y = ;2 ln Y уравнение (19bis) превращается в уравнение теплопроводности
Y1 = Y22
О преобразовании, определенном системой (39), имеется упоминание в [21] со ссылкой на
работы [22] и [23]. Это, по-видимому, самый первый получивший известность пример подобных
преобразований.
Пример 4.2. Рассмотрим CH-преобразование класса 1, для которого система Коула{Хопфа
имеет вид
y1 = z2 ; y2 = ln z:
(40)
Соответствующая CH-связность порождена связностью в 1 r H , определяющей представление
нулевой кривизны для обобщенного уравнения теплопроводности (20) (см. пример 3.2).
Здесь z = ey2 и, следовательно, z2 = ey2 y22 . Подставив это выражение в первое уравнение
системы (40), получим уравнение
y1 = ey2 y22;
(20bis)
в которое переходит уравнение (20) при рассматриваемом преобразовании.
Пример 4.3. Соотношения Коши{Римана
y1 = z2 ; y2 = ;z1
(41)
представляют собой систему Коула{Хопфа. Соответствующая CH-связность класса 1 порождена связностью в 1 r H , определяющей представление нулевой кривизны для уравнения Лапласа
(21) (см. пример 3.3).
Любое решение системы (41) (при заданном заранее z = z (x1 ; x2 )) является одновременно
решением уравнения Лапласа относительно y:
y11 + y22 = 0:
(21bis)
Следовательно, соотношения Коши{Римана описывают автопреобразование Коула{Хопфа уравнения Лапласа.
Заметим, что систему (41) можно рассматривать и как систему, определяющую CH-преобразование уравнения (21bis) в уравнение (21).
2 Пример 4.4. Связность в r H из примера 3.4 определяет представление нулевой кривизны
для классического уравнения Монжа{Ампера (2). Она порождает CH-связность класса 2. Система Коула{Хопфа, определяющая соответствующее CH-отображение для дифференциального
уравнения (2), имеет вид
y1 = a2 z11 ln (z1 )2 + (z2 )2 + 1 + z;
2
;
y = a z ln (z )2 + (z )2 + 1 :
2
2
2
;
12
1
2
60
(42)
Связность в 2 r H из примера 3.5 определяет представление нулевой кривизны для дифференциального уравнения (35). Она порождает CH-связность класса 2. Система
Коула{Хопфа, определяющая соответствующее CH-отображение для дифференциального уравнения (35), имеет вид
y1 = ; 32 (z1 ); 43 (z2 ) 23 z11 + z;
(43)
y2 = ; 32 (z1 ); 34 (z2 ) 23 z12 :
Замечание 4.2. Задание CH-связности для дифференциального уравнения (5) равносильно
заданию потенциала.
В справедливости этого утверждения можно убедиться следующим образом. Обычно (напр.,
[21]) потенциалы связывают с законами сохранения, т. е. с представлением дифференциального
уравнения (5) в виде
@F1 + @F2 = 0;
@x1 @x2
1
2
где F1 , F2 | функции от x , x , z , z1 , z2 . При этом потенциальной функцией называют функцию
w такую, что
dw = F2 dx1 ; F1 dx2
(44)
на решениях дифференциального уравнения (5) (и только на решениях). Очевидно, уравнение
Пфаффа (44), определяющее потенциальную функцию, и уравнение Пфаффа (8), задающее
CH-отображение, имеют различие лишь в обозначениях.
Пример 4.5.
5. Условия существования CH-отображений для некоторых типов
дифференциальных уравнений второго порядка
5.1. Необходимое и достаточное условие существования CH-отображений класса 1 для уравнений вида z22 ; f (x1 ; x2 ; z; z1 ; z2 ) = 0.
Теорема 4. Дифференциальное уравнение
z22 ; f (x1; x2 ; z; z1 ; z2 ) = 0
(45)
допускает CH-отображения (и, следовательно, потенциалы) класса 1 в том и только том
случае, когда оно имеет вид
(46)
z22 ; z 1 + fz1 (z ; z2 zz2 ; x2z2 ) ; z2 z + x1 ; x2 g = 0;
z2
1 z2 z2
где = (x1 ; x2 ; z; z2 ), = (x1 ; x2 ; z; z2 ) (z1 z2 z2 + z2 6= 0).
Система Коула{Хопфа для уравнения (46) имеет вид
y1 = z1 z2 (x1; x2 ; z; z2 ) + (x1; x2 ; z; z2 );
(47)
y2 = (x1 ; x2; z; z2 ):
Доказательство. CH-связность для дифференциального уравнения (45) порождается специальной связностью в 1 r H , определяющей представление нулевой кривизны. Если такая связность существует, то коэффициент R (см. (16)) и левая часть уравнения
p22 ; f (x1; x2 ; z; p1 ; p2) = 0
(45 )
отличаются друг от друга множителем. Следовательно, должны иметь место равенства
@h2 = 0; @h1 = @h2 ;
@p1
@p1 @p2
61
1 2
1 2
1
из которых следует h2 = (x1 ; x2 ; z; p2 ), @h
@p1 = p2 (x ; x ; z; p2 ), где (x ; x ; z; p2 ) | некоторая
функция. Это означает, что существует еще одна функция (x1 ; x2 ; z; p2 ) такая, что
h1 = p1p2 (x1 ; x2; z; p2 ) + (x1; x2 ; z; p2 );
(48)
h2 = (x1; x2 ; z; p2 );
и, следовательно, соотношения (47) имеют место.
Подставив (48) в (16), получим
1
;R
p1p2p2 + p2 = p22 ; p1p2p2 + p2 fp1(z ; p2zp2 ; x2p2 ) ; p2z + x1 ; x2 g:
Теперь очевидно, уравнение (45), допускающее CH-отображения класса 1, должно иметь вид
(46).
z2 . При
Замечание 5.1. Уравнение Бюргерса (19) | это уравнение (46), где = z , = z2 ;
2
таком выборе и система (47) превращается в систему (40) (пример 4.2).
5.2. Необходимое и достаточное условие существования CH-отображений класса 1 для уравнений вида z11 + z22 + f (x1 ; x2 ; z; z1 ; z2 ) = 0.
Теорема 5. Дифференциальное уравнение
z11 + z22 + f (x1; x2 ; z; z1 ; z2 ) = 0
(49)
допускает CH-отображения (и, следовательно, потенциалы) класса 1 в том и только том
случае, когда оно имеет вид
z11 + z22 + 1 fz1 (zz2 + 2z ) + z2(zz1 + 1z ) + x1z2 + x2z1 + 2x1 + 1x2 g = 0; (50)
z1 z2
1
2
где = (x ; x ; z; z1 ; z2 ) (z1 z2 6= 0), 1 = 1 (x1 ; x2 ; z; z1 ), 2 = 2 (x1 ; x2 ; z; z2 ) | функции, для
которых
z1 z1 + z2 z2 + 1 z1 + 2 z2 = 0:
(51)
Система Коула{Хопфа для уравнения (50) имеет вид
y1 = ;z1 (x1; x2 ; z; z1 ; z2 ) ; 1(x1 ; x2; z; z1 );
(52)
y2 = z2 (x1 ; x2; z; z1 ; z2 ) + 2 (x1; x2; z; z2 ):
Доказательство. CH-связность для дифференциального уравнения (49) порождается специальной связностью в 1 r H , определяющей представление нулевой кривизны. Если такая связность существует, то коэффициент R (см. (16)) и левая часть уравнения
p11 + p22 + f (x1; x2 ; z; p1 ; p2) = 0
(49 )
отличаются друг от друга множителем. Можно рассматривать этот множитель как смешанную
производную p1 p2 некоторой функции (x1 ; x2 ; z; p1 ; p2 ). Таким образом,
R = p1 p2 (p11 + p22 + f ):
(53)
Из (53) в силу (16) следует
@h2 = ; @h1 = ;
p1 p2
@p1
@p2
@h2 ; @h1 = 0:
@p @p
2
1
62
(54)
(55)
Соотношения (54) можно переписать следующим образом:
@ (h + ) = 0; @ (h ; ) = 0:
@p2 1 p1
@p1 2 p2
Это означает, что h1 = ;p1 ; 1 , h2 = p2 + 2 , где 1 = 1 (x1 ; x2 ; z; z1 ), 2 = 2 (x1 ; x2 ; z; z2 )
| некоторые функции.
Таким образом,
h1 = ;p1 ; 1; h2 = p2 + 2
(56)
и, следовательно, имеют место соотношения (52).
Подставив (56) в (16), получим
R = p + p + 1 fp ( + 2 ) + p ( + 1 ) + 1 + 2 + 2 1 + 1 2 g:
z
2 zp1
z
x p2
x p1
x
x
p1 p2 11 22 p1 p2 1 zp2
Следовательно, уравнение (49) должно иметь вид (50).
Заметим также, что, подставив (56) в (55), получим соотношение p1 p1 +p2 p2 +1 p1 +2p2 = 0,
которое на сечениях H превращается в (51).
Замечание 5.2. Уравнение Лапласа (21) | это уравнение вида (50), в котором = z1 z2 ,
1 = 2 = 0. В этом случае система (52) превращается в систему (41) (пример 4.3).
Следствием теоремы 5 является
Теорема 6. Дифференциальное уравнение вида
z11 + z22 = f (z)
(57)
допускает CH-отображения (следовательно, допускает потенциалы) класса 1, для которых
система Коула{Хопфа имеет вид
y1 = ;z1z2 ;
Z
(58)
y2 = 12 (z1)2 ; f (z)dz ; 12 (z2 )2:
Доказательство. Нетрудно проверить, что условия теоремы 5 будут выполнены, если взять
Z
= 12 (z1 )2 z2 ; z2 f (z )dz ; 21 (z2 )2 ; 1 = 0; 2 = z2 ; 12 (z2 )2 :
В этом случае дифференциальное уравнение (50) имеет вид (57) и система (52) имеет вид
(58).
5.3. Существование CH-отображений класса 2 для уравнений вида
z11 z22 ; (z12 )2 + g(z)f (z1 ; z2 ) = 0 (f (z1 ; z2 ) 6= 0):
Справедлива
Теорема 7. Дифференциальное уравнение
z11 z22 ; (z12 )2 + g(z)f (z1 ; z2 ) = 0 (f (z1; z2 ) 6= 0)
(59)
допускает CH-отображения (следовательно, допускает потенциалы) класса 2, для которых
система Коула{Хопфа имеет вид
y1 = (z1 ; z2 )z11 + G(z);
(60)
y2 = (z1 ; z2 )z12 ;
@ = z2 , а G(z ) | первообразная функгде (z1 ; z2 ) | функция, удовлетворяющая условию @z
f (z1 ;z2 )
2
ции g(z ).
63
Доказательство.
Рассмотрим специальную связность в 2 rH с коэффициентами
h1 = (p1; p2)p11 + G(z); h2 = (p1; p2 )p12:
На любом сечении H форма связности
d #e = ((z1 ; z2 )z11 + G(z))dx1 + (z1 ; z2 )z12 dx2
удовлетворяет структурному уравнению
d #e = ; f (zz2; z ) (z11 z22 ; (z12 )2 + g(z)f (z1 ; z2 ))dx1 ^ dx2 :
1 2
Эта связность определяет представление нулевой кривизны для дифференциального уравнения
(59). Следовательно, для уравнения (59) существует CH-отображение. При этом система Коула{
Хопфа имеет вид (60).
Замечание 5.3.
(59), в котором
Классическое уравнение Монжа{Ампера (2) является уравнением вида
2
2
f (z1; z2 ) = (z1 ) +a(2z2) + 1 ; g(z) = 1:
Функции (z1 ; z2 ) и G(z ) можно выбрать следующим образом:
(z1 ; z2 ) = a2 ln (z1 )2 + (z2 )2 + 1 ; G(z ) = z:
2
;
Система Коула{Хопфа (60) превращается в этом случае в систему (42) (пример 4.4).
Уравнение (35) также является уравнением вида (59). В этом случае
f (z1; z2 ) = ;(z1z2 ) 43 ; g(z) = 1:
Можно выбрать
(z1 ; z2 ) = ; 32 (z1 ); 43 (z2 ) 23 ; G(z ) = z:
Система Коула{Хопфа (60) превращается при этом в систему (43) (пример 4.5).
6. Связности Коула{Хопфа как частный случай связностей Бэклунда
6.1. Специальные связности в k R H (k = 1; 2). Наряду со специальными связностями в k r H
(см. п. 3) можно рассматривать специальные связности в k R H и в k < H , где k = 1 или k = 2.
Для специальных связностей в k R H формы связности имеют вид
!e = ! + 1 !1 + 2!2; !e12 = !12 + 112 !1 + 122 !2 ;
!e 21 = !21 + 211 !1 + 221 !2:
Коэффициенты связности
1; 112 ; 211 ; 2; 122 ; 221
64
(61)
в случае k = 1 зависят от xi , z , pj , а в случае k = 2 от xi , z , pj , pkl . Они удовлетворяют
дифференциальным уравнениям
d1 ; 12 1# ; 21 1 ! ; (2 + 2211 )!12 + 2112 !21 ; !111 + !122 = 0;
d2 ; 12 2# + 21 2 ! ; 2221 !12 ; (1 ; 2122 )!21 ; !121 + !222 = 0;
d112 ; 12 112 # ; 32 112 ! + (1 ; 122 )!12 ; !112 = 0;
(62)
1
1
2
2
2
2
2
1
2
d12 ; 2 12# ; 2 12 ! + 2!1 ; 11 !2 ; !12 = 0;
d211 ; 21 211 # + 12 211 ! ; 221 !12 ; 1 !21 ; !211 = 0;
d221 ; 21 221 # + 32 221 ! ; (2 + 211 )!21 ; !221 = 0:
Здесь равенство нулю имеет место по модулю главных форм.
k Замечание 6.1. Специальная связность в R H с коэффициентами связности (61) пороk
ждает специальную связность в r H с коэффициентами связности
h1 = 1 + 2122 ; h2 = ;2 + 2121 :
(63)
Действительно, нетрудно проверить, что дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты h1 и h2 , вычисленные по формулам (63), имеют вид (14).
Формы связности !e , !e 12 , !e 21 удовлетворяют структурным уравнениям
d!e = 2!e12 ^ !e21 + ; d!e12 = !e ^ !e12 + 21; d!e21 = !e21 ^ !e + 12;
(64)
2 ! 1 ^ ! 2 + , 1 = R1 ! 1 ^ ! 2 + | формы кривизны
где = R12 !1 ^ !2 + , 21 = R112
2
212
(здесь многоточием обозначены суммы слагаемых, содержащих произведения главных форм,
отличные от !1 ^ !2 ).
Если в качестве главных форм выбраны контактные формы, то !e = 1 dx1 + 2 dx2 , !e 12 =
2
11dx1 +122 dx2, !e21 = 211 dx1 +221 dx2 и на поднятии любого сечения H структурные уравнения
(64) принимают вид
d !e = 2 !e12 ^ !e21 + R dx1 ^ dx2;
2 dx1 ^ dx2 ;
d !e12 = !e ^ !e 12 + R112
1 dx1 ^ dx2 :
d !e21 = !e21 ^ !e + R212
(65)
Очевидно, в случае, когда каждое из уравнений
2 = 0; R 1 = 0
R12 = 0; R112
212
(66)
отличается от левой части заданного дифференциального уравнения (5) множителем, то рассматриваемая связность определяет представление нулевой кривизны для дифференциального
уравнения (5).
1 Пример 6.1. Специальная связность в R H с коэффициентами связности
1 = cos z2 ; 112 = ; 12 sin z2 ; 41 p1; 211 = ; 12 sin z2 + 41 p1;
2 = cos z2 ; 122 = 12 sin z2 + 14 p2; 221 = 12 sin 2z ; 14 p2
определяет представление нулевой кривизны для уравнения синус-Гордона (6).
65
Действительно, нетрудно убедиться в том, что
2 = 1 (z ; sin z ); R1 = ; 1 (z ; sin z )
R12 = 0; R112
212
2 12
2 12
на поднятии любого сечения H .
Пример 6.2.
Специальная связность в 1 R H с коэффициентами связности
1 = 12 p1;
211 = p1 e 2 ;
112 = 0;
z
2
1
1
2 = ; 2 p2; 122 = p e 2 ; 221 = 0
2
определяет представление нулевой кривизны для уравнения Лиувилля
z
z12 = ez :
(67)
Действительно, нетрудно проверить, что
2 = 0; R 1 = 0
R12 = ;(z12 ; ez ); R112
212
на поднятии любого сечения H .
Пример 6.3.
Специальная связность в 2 R H с коэффициентами связности
1 = 2p2 p11 ; 1; 112 = ;p2p11; 211 = p2p11 ; 1;
2 = 2p2 p12 ; 1; 122 = ;p2p12; 221 = p2p12 ; 1
определяет представление нулевой кривизны для уравнения
z11 z22 ; (z12)2 + z2 z11 ; z2 z12 = 0:
(68)
В самом деле, нетрудно проверить
R12 = ;2(z11 z22 ; (z12 )2 + z2z11 ; z2 z12);
2 = z z ; (z )2 + z z ; z z ;
R112
11 22
12
2 11
2 12
1 = ;(z z ; (z )2 + z z ; z z )
R212
11 22
12
2 11
2 12
на поднятии любого сечения H .
6.2. Специальные связности в k < H (k = 1; 2). Формы связности в этом случае имеют вид
= !ji + ;ijk !k . При этом будем предполагать, что ;ijk = ;ikj .
Коэффициенты связности в случае k = 1 зависят от xi , z , pj , а в случае k = 2 от xi , z , pj ,
pkl . Они удовлетворяют дифференциальным уравнениям
!ee ij
d;ijk + ;mjk !mi ; ;imk !jm ; ;ijm!km ; !jki = 0:
(69)
Здесь равенство нулю имеет место по модулю главных форм.
Замечание 6.2.
связности в
k R H .
Задание специальной связности в k < H равносильно заданию специальной
66
Действительно, специальная связность в k < H с коэффициентами ;ijk порождает связность
в
с коэффициентами
1 = ;111 ; ;212; 112 = ;211; 211 = ;112;
(70)
2 = ;112 ; ;222; 122 = ;212; 221 = ;122:
Нетрудно проверить, что дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты (61), вычисленные по формулам (70), имеют вид (62).
Верно и обратное утверждение. Специальная связность в k R H с коэффициентами (61) порождает специальную связность в k <H с коэффициентами
;111 = 1 + 122 ; ;112 = 211 ; ;122 = 221 ;
(71)
;211 = 112 ;
;212 = 122 ; ;222 = 211 ; 2 :
Нетрудно проверить, что дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты ;ijk , вычисленные по формулам (71), имеют вид (69).
6.3. Связности Бэклунда и отображения Бэклунда. CH-отображения как частный случай
отображений Бэклунда.
Исследуя связности в ассоциированных расслоениях =(k R H ) и =(k < H ), можно в силу
замечания 6.2 ограничиться изучением связностей в =(k R H ).
Форма связности в =(k RH ) (dim = = 1) имеет вид
e = dY ; (Y )!e ; 12 (Y )!e21 ; 21 (Y )!e12;
где !e , !e 12 , !e 21 | формы связности, заданной в k R H . Тождества Ли, которым удовлетворяют
коэффициенты (Y ), 12 (Y ), 21 (Y ), имеют в данном случае вид
d12 ; 12d = 12 dY;
d21 ; 21d = ;21dY;
(72)
12d21 ; 21d12 = 2dY:
Исследуя систему (72), можно установить [12]
21 6= 0; 1221 + ()2 = 0:
(73)
k R H
Форму связности e в ассоциированном расслоении =(k RH ) (dim = = 1)
можно в силу (73) представить в виде
Замечание 6.3.
e = ;21(Y )fdy + !e12 ; y!e ; y2!e21g;
где y = ; 21((YY)) ([12]).
(74)
Напомним, что k R H = P (J k H; SL(2)). Очевидно, наряду со связностями в расслоениях
(dim = = 1) и =(2 R H ) (dim = = 1) можно рассматривать связности в ассоциированных расслоениях =(P (J k H; G)) (dim = = 1), где G является подгруппой группы SL(2). Такими
связностями являются, в частности, CH-связности (в этом случае структурная группа | это
одномерная подгруппа группы SL(2)) и связности Бэклунда для эволюционных уравнений, изучавшиеся нами в [11].
Связность в ассоциированном расслоении =(P (J k H; G)) (dim = = 1), где G SL(2), называем связностью Бэклунда класса k для заданного дифференциального уравнения (5), если она
порождена специальной связностью в главном расслоении P (J k H; G) (G SL(2)), определяющей представление нулевой кривизны для уравнения (5).
В случае, когда G = SL(2), связность Бэклунда класса k для дифференциального уравнения
(5) | это связность в =(k R H ) (dim = = 1), порожденная специальной связностью в k R H ,
=(1RH )
67
определяющей представление нулевой кривизны для уравнения (5). Обозначим через B e форму
ее связности. Уравнение Пфаффа
B e = 0
(75)
вполне интегрируемо тогда и только тогда, когда H | решение уравнения (5). Оно определяет отображение
H ! =(k RH ) (dim = = 1);
(76)
которое называем отображением Бэклунда (общего вида) класса k, соответствующим дифференциальному уравнению (5). Уравнение (75) называем уравнением Пфаффа, задающим отображение Бэклунда.
В случае, когда главные формы контактные, уравнение Пфаффа (75) имеет вид
dy ; (; 112 +y 1 +y2 211 )dx1 ; (; 122 +y 2 +y2 221 )dx2 = 0
(75c)
и, следовательно, эквивалентно системе
y1 = ; 112 +y 1 +y2 211 ;
(77)
y2 = ; 122 +y 2 +y2 221 ;
которую называем системой Бэклунда.
Если любое решение системы (77) (где z = z (x1 ; x2 ) | заданное заранее решение дифференциального уравнения (5)) является в то же время решением дифференциального уравнения
(5bis), то отображение (76) называется преобразованием Бэклунда (общего вида) дифференциального уравнения (5) в дифференциальное уравнение (5bis).
y либо y = ey , можно представить уравнение
Замечание 6.4. Произведя замены y = tg
2
(75с) в виде
dy ; f211 ; 112 + 1 sin y ; (211 + 112 ) cos ygdx1 ; f221 ; 122 + 2 sin y ; (221 + 122 ) cos ygdx2 = 0
(75 c)
либо в виде
dy ; (; 112 e;y + 1 + 211 ey )dx1 ; (; 122 e;y + 2 + 221 ey )dx2 = 0:
(75 c)
Соответственно система Бэклунда примет либо вид
y1 = 211 ; 112 + 1 sin y ; (211 + 112 ) cos y;
1
2
2
22 ; 12 + 2 sin y ; (22 + 12 ) cos y
y = 1
2
либо вид
y1 = 1 + 211 ey ; 112 e;y ;
1
y
y2 = 2 + 22 e ; 122 e;y :
(77 )
(77 )
Пример 6.4. Рассмотрим отображение Бэклунда класса 1, для которого система Бэклунда
(записанная в виде (77 )) имеет вид
z
z
1
z
1
y1 = 2 z1 + sin y cos 2 + cos y sin 2 = 2 z1 + sin y + 2 ;
(78)
y2 = ; 12 z2 + sin y cos z2 ; cos y sin z2 = ; 21 z2 + sin y ; z2 :
68
Соответствующая связность Бэклунда порождена связностью в 1 R H , определяющей представление нулевой кривизны для уравнения синус-Гордона (6) (пример 6.1).
Заметим, что это отображение является автопреобразованием уравнения синус-Гордона.
Действительно, продифференцируем первое из уравнений (78) по x2 , а второе по x1 . После
сложения получим
(2y)12 = sin(2y):
Пример 6.5. Отображение Бэклунда класса 1, для которого система Бэклунда (записанная
в виде (77 )), имеет вид
y1 = 12 z1 + p1 e 2 +y ;
2
(79)
1
y2 = ; 2 z2 ; p1 e 2 ;y ;
2
является преобразованием Бэклунда уравнения Лиувилля (67) в волновое уравнение
y12 = 0:
(80)
Действительно, соответствующая связность Бэклунда порождена связностью в 1 R H , определяющей представление нулевой кривизны для уравнения Лиувилля (пример 6.2). Заметим
также, что
y12 = 12 z12 + p1 e 2 +y 21 z2 + y2 ;
2
1
y21 = ; 2 z21 ; p1 e 2 ;y 12 z1 ; y1 :
2
В результате сложения (принимая во внимание (79)) получим (80).
2 Пример 6.6. Рассмотренная в примере 6.3 специальная связность в R H определяет представление нулевой кривизны для уравнения типа Монжа{Ампера (68). Она порождает связность
Бэклунда класса 2 для уравнения (68). Для соответствующего отображения Бэклунда система
Бэклунда (записанная в форме (77)) имеет вид
y1 = z2 z11 + (2z2 z11 ; 1)y + (z2 z11 ; 1)y2 ;
y2 = z2 z12 + (2z2 z12 ; 1)y + (z2 z12 ; 1)y2 :
z
z
z
z
Литература
1. Bianchi L. Ricerche sulle supercie a curvatura constante e sulle elicoidi // Ann. Scuola Norm.
Sup. Pisa. { 1879. { V. 2. { P. 285.
2. Lie S. Zur Theorie der Flachen konstanter Krummung, III, IV. // Arch. Math. Naturvidensk. {
1880. { Bd. 5. { H. 3. { S. 282{306, 328{358.
3. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. { М.: Наука, 1983. {
280 с.
4. Rogers C., Shadwick W.F. Backlund transformations and their applications. { New York, London:
Academic Press, 1982.
5. Backlund A.V. Zur Theory der partiellen Dierentialgleichungen erster Ordnung // Math. Ann.
{ 1880. { Bd. 17. { S. 285{328.
6. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces. Part 3. { Paris: Gauthier-Villars, 1894.
7. Goursat E. Le Probleme de Backlund (Memorial des Sciences Mathematiques. Fasc. VI). { Paris:
Gauthier-Villars, 1925.
8. Clairin J. Sur les Transformations de Backlund // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 3-e ser., Supple
19. { 1902. { P. 1{63.
69
9. Pirani F.A.E., Robinson D.C. Sur la denition des transformations de Backlund // C. R. Acad.
Sc. Paris, Serie A. { 1977. { V. 285. { P. 581{583.
10. Pirani F.A.E., Robinson D.C., Shadwick W.F. Local jet-bundle formulation of Backlund
transformations. { Dordrecht (Holland): Reidal. { 1979.
11. Рыбников А.К., Семенов К.В. О геометрической интерпретации отображений Бэклунда { В сб. \Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии,
анализа и математической физики (Тр. участников международной конференции памяти
Г.Ф. Лаптева. Москва, 1999)", Ч. 2. { М.: Изд-во механико-матем. ф-та МГУ, 2001. { С. 172{
193.
12. Рыбников А.К. Теория связностей и преобразования Бэклунда для общих дифференциальных
уравнений с частными производными второго порядка // Докл. РАН. { 2005. { Т. 405. { Є 1.
{ С. 26{29.
13. Рыбников А.К. О специальных связностях, определяющих представление нулевой кривизны
для эволюционных уравнений второго порядка // Изв. вузов. Математика. { 1999. { Є 9. {
С. 32{41.
14. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально{
геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии.
{ М.: ВИНИТИ, 1979. { Т. 9. { С. 5{246.
15. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретикогрупповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Московск. матем.
о-ва. { 1953. { Є 2. { С. 275{382.
16. Лаптев Г.Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований
// Тр. 3-го Всесоюзн. матем. съезда. Москва, 1956. { Т. 3. { М.: АН СССР, 1958. { С. 409{418.
17. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геометрическ. семинара. { Т. 1. { М.: ВИНИТИ, 1966. { С. 139{189.
18. Лаптев Г.Ф. Структурные уравнения главного расслоенного многообразия // Тр. геометрическ. семинара. { Т. 2. { М.: ВИНИТИ, 1969. { С. 161{178.
19. Лаптев Г.Ф. К инвариантной теории дифференцируемых отображений // Тр. геометрическ. семинара. { Т. 6. { М.: ВИНИТИ, 1974. { С. 37{42.
20. Rogers C., Schief W.K. Backlund and Darboux transformations. Geometry and modern applications
in soliton theory. { Cambridge Univ. Press, 2000.
21. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. { М.: Мир, 1987. { 480 с.
22. Cole J.D. On a quasilinear parabolic equation occurring in aerodynamics // Quart. App. Math. {
1951. { V. 9. { P. 225{236.
23. Hopf E. The partial dierential equation ut + uux = uxx // Comm. Pure Appl. Math. { 1950. {
P. 201{230.
Московский государственный
университет
Поступила
27.03.2007
70
?ого, систематического изучения условий существования отображений Бэклунда. Отметим, что в данной работе
рассматриваются преобразования Бэклунда как специальная глава теории связностей (с точки
зрения практической теории дифференциальных уравнений преобразования Бэклунда | это
лишь специфический прием отыскания решений нелинейных дифференциальных уравнений).
Возможность такого подхода является с нашей точки зрения наиболее привлекательным обстоятельством, т. к. расширяет область применения теории связностей.
1.2. Понятие отображения Коула{Хопфа (CH-отображения). Содержание работы.
В данной работе изучаются отображения Бэклунда специального вида, для которых систему
Бэклунда (7) можно представить в виде
y1 = y1(xi ; z; zj ; : : : ; zj1 :::j );
y2 = y2(xi ; z; zj ; : : : ; zj1 :::j );
которые назовем отображениями Коула{Хопфа, т. к. первый пример подобного отображения
был построен Коулом и Хопфом (пример 4.1). Задание преобразований Коула{Хопфа равносильно заданию потенциалов дифференциальных уравнений. Потенциалы, таким образом, получают
геометрическую интерпретацию с точки зрения теории связностей. Геометрическая теория отображений Коула{Хопфа, хотя они и являются частным случаем отображений Бэклунда, имеет
свою специфику. Она весьма интересна, содержательна и отнюдь не элементарна.
Опишем кратко структуру статьи. Предварительно заметим, что изучая дифференциальные
уравнения с частными производными 2-го порядка общего вида (5), рассматриваем переменные
x1, x2 , z как адаптированные локальные координаты (2+1)-мерного расслоения H с 2-мерной базой (при этом x1 , x2 являются локальными координатами на базе). Допустимые преобразования
локальных координат имеют вид
xei = i (x1; x2 ) (i = 1; 2); ze = 2+1(x1 ; x2 ; z):
Обозначим через xi , z , pj адаптированные локальные координаты в расслоении 1-струй
1
J H . Локальные координаты в расслоении голономных 2-струй J 2 H обозначим xi , z, pj , pkl
(pkl = plk ). Для любого сечения H , заданного уравнением z = z (x1 ; x2 ), можно рассматривать поднятые сечения (поднятия) r J r H , заданные уравнениями z = z (x1 ; x2 );
pj1 :::j = zj1 :::j (k = 1; : : : ; r). Дифференциальное уравнение (5) можно записать в более общем виде U (x1 ; x2 ; z; p1 ; p2 ; p11 ; p12 ; p22 ) = 0. На поднятии 2 J 2 H произвольного сечения это
уравнение принимает вид (5). Решения z = z (x1 ; x2 ) уравнения (5) | это сечения H , на
поднятиях которых уравнение (5) удовлетворяется тождественно.
В п. 2 данной работы рассматриваются главные расслоения k rH , k R H и k < H (фактормногообразия многообразия реперов порядка k) при k = 1 и k = 2. Многообразие k;струй J k H
k
k
k
k
k
k
52
является общей базой для каждого из этих расслоений (при фиксированном k). Структурной
группой для k r H является 1-мерная группа G1 , для k R H | группа SL(2), для k < H | группа
GL(2).
В п. 3 рассматриваются специальные связности [13] в k r H . Далее наряду с главными расслоениями k r H , k R H , k < H рассматриваются ассоциированные с ними расслоения. Следуя
[14], используем следующие обозначения. Главное расслоение с базой B и структурной группой
G обозначим P (B; G). Ассоциированное с ним расслоение с типовым слоем = (= | пространство
представления структурной группы G) обозначим =(P (B; G)). Для нас представляют интерес
ассоциированные расслоения с одномерным типовым слоем.
В п. 4 рассматриваются связности в =(k r H ) (dim = = 1), порожденные специальными связностями в k r H , определяющими представления нулевой кривизны для заданного дифференциального уравнения (5), которые назовем связностями Коула{Хопфа класса k. Уравнение Пфаффа
CH e = 0;
(8)
где CH e | форма связности, соответствующая связности Коула{Хопфа, рассматриваемая над
сечением H , вполне интегрируемо в том и только том случае, когда сечение H является
решением уравнения (5). Это уравнение Пфаффа задает отображение, при котором любое решение H дифференциального уравнения (5) переходит в сечение =(k rH ) (dim = = 1),
являющееся решением уравнения Пфаффа (8) при заданном H :
H ! =(k rH ) (dim = = 1):
(9)
Отображение (9) назовем CH-отображением класса k, соответствующим дифференциальному
уравнению (5), а уравнение (8) | уравнением Пфаффа, задающим CH-отображение. Существование CH-отображений эквивалентно существованию потенциалов (замечание 4.1). Доказано
(теорема 3), что для существования CH-отображений (и, следовательно, потенциалов) дифференциального уравнения (5) необходимо, чтобы уравнение (5) было либо квазилинейным уравнением, либо уравнением типа Монжа{Ампера
z11 z22 ; (z12 )2 + Pz11 + Qz12 + Rz22 + S = 0;
(10)
где P , Q, R, S зависят от x1 , x2 , z , z1 , z2 .
В п. 5 выведены условия существования CH-отображений (и, следовательно, потенциалов)
классов 1 и 2 для некоторых типов дифференциальных уравнений 2-го порядка. Найдены, в
частности, необходимые и достаточные условия существования CH-отображений класса 1 для
уравнений вида z11 + z22 + f (x1 ; x2 ; z; z1 ; z2 ) = 0 и уравнений вида z22 ; f (x1; x2 ; z; z1 ; z2 )=0. Доказано существование CH-отображений класса 2 для уравнений вида z11 z22 ; (z12 )2 + g(z )f (z1 ; z2 )=0.
В п. 6 понятие связности Коула{Хопфа и понятие CH-отображения рассматриваются как
частные случаи понятий связности Бэклунда и отображения Бэклунда.
В данной работе систематически используется инвариантный аналитический метод Э. Картана{Г.Ф. Лаптева (см. [14] или работы самого Г.Ф. Лаптева [15]{[19]). Все рассмотрения носят
локальный характер.
2. Главные расслоения
k r H , k R H , k
<
!1, !2, !2+1
H
(k = 1; 2)
Рассмотрим главные дифференциальные формы
расслоенного многообразия H .
Они удовлетворяют структурным уравнениям
2+1 :
d!i = !j ^ !ji ; d!2+1 = !j ^ !j2+1 + !2+1 ^ !2+1
В процессе правильного продолжения (см. об этой процедуре в [17]) возникает последовательность структурных форм расслоений реперов порядков 1; 2; : : : (расслоений R1H; R2 H; : : : ). При
53
этом формы
2+1
!i ; !2+1 ; !j2+1; !ji ; !2+1
(11)
представляют собой систему структурных форм расслоения R1H . На следующем этапе продолжения возникают формы
2+1 :
!jk2+1; !jki ; !j;i 2+1; !2+1
(12)
;2+1
Формы (11) и (12) в совокупности представляют собой систему структурных форм расслоения
R1H . Заметим, что формы !i, !2+1 , !j2+1 одновременно являются главными формами в многообразии 1-струй J 1 H , а формы !i , !2+1 , !j2+1 , !kl2+1 | главными формами в многообразии 2-струй
J 2H . Можно выделить три фактор-многообразия многообразия R1H :
многообразие 1rH со структурными формами !i, !2+1, !j2+1, #, где # = !11 + !22;
многообразие 1RH со структурными формами !i , !2+1, !j2+1, !, !12, !21, где ! = !11 ; !22;
многообразие 1<H со структурными формами !i, !2+1, !j2+1, !ji .
Можно выделить также три фактор-многообразия многообразия R2 H :
многообразие 2rH со структурными формами !i, !2+1, !j2+1, !kl2+1, #;
многообразие 2RH со структурными формами !i, !2+1, !j2+1, !kl2+1 , !, !12, !21;
многообразие 2<H со структурными формами !i, !2+1, !j2+1, !kl2+1 , !ji .
Каждое из многообразий
k r H; k R H; k < H (k = 1; 2)
(13)
имеет структуру главного расслоения. Многообразие 1-струй J 1 H является общей базой расслоений 1 r H , 1 R H , 1 < H , а многообразие 2-струй J 2 H | общей базой расслоений 2 r H , 2 RH ,
2 < H . Структурными группами расслоений (13) (как при k = 1, так и при k = 2) являются
группы G1, SL(2), GL(2) соответственно. Совокупность слоевых форм в k r H состоит из одной
формы #; формы !, !12 , !21 | слоевые формы в k R H ; формы !ji | слоевые формы в k < H
(как при k = 1, так и при k = 2). При фиксации точки базы слоевые формы превращаются в
инвариантные структурные формы соответствующей группы.
В дальнейшем будем рассматривать связности в расслоениях (13), определяющие представления нулевой кривизны для заданного дифференциального уравнения 2-го порядка (5), т. е. связности, у которых формы кривизны обращаются в нуль на решениях уравнения (5) (и только на
решениях).
3. Специальные связности в
k r H (k = 1; 2)
В главных расслоениях k rH (k = 1; 2) можно задавать специальные связности, т. е. связности, у которых все коэффициенты связности, кроме коэффициентов при !1 , !2 , равны нулю
(класс специальных связностей выделяется инвариантным образом [13]). Если связность специальная, то как в случае k = 1, так и в случае k = 2, совокупность форм связности состоит
из одной формы #e, которая имеет вид #e = # + h1 !1 + h2 !2 . Компоненты объекта связности
(коэффициенты связности) h1 и h2 зависят от xi , z , pj , если k = 1, и от xi , z , pj , pkl , если k = 2.
Они удовлетворяют дифференциальным уравнениям
dh1 ; 21 h1 # ; 12 h1 ! ; h2!12 ; !111 ; !122 = 0;
(14)
1
1
1
1
2
dh2 ; 2 h2 # + 2 h2 ! ; h1!2 ; !12 ; !12 = 0:
Здесь равенство нулю имеет место по модулю главных форм.
Форма связности #e удовлетворяет структурному уравнению
d#e = ;
54
где = R!1 ^ !2 + | форма кривизны (здесь многоточием обозначена сумма слагаемых,
содержащая произведения главных форм, отличные от !1 ^ !2 ).
Выберем в качестве главных форм контактные формы
!i = dxi ; !2+1 = dz ; pi dxi ; !j2+1 = dpj ; pjk dxk ; !jk2+1 = dpjk ; pjkl dxl :
В этом случае !ji = 0 (и, следовательно, # = 0) и форма связности #e имеет вид
#e = h1 !1 + h2 !2:
Если при этом k = 1, то
(15)
@h
2 p + @h2 ; @h1 p ; @h1 p + @h2 p ; @h1 p + @h2 ; @h1
(16)
R = @p 11 @p @p 12 @p 22 @z 1 @z 2 @x1 @x2
1
2
1
2
(напомним, что в этом случае коэффициенты связности зависят от xi , z , pj ). Если k = 2, то
@h
@h
@h
@h
@h
@h1 p +
2
2
1
2
1
R = @p p111 + @p ; @p p112 + @p ; @p p122 ; @p
222
11
12
11
22
12
22
@h2 ; @h1 p ; @h1 p + @h2 p ; @h1 p + @h2 ; @h1 (17)
2
+ @h
p
+
@p 11 @p @p 12 @p 22 @z 1 @z 2 @x1 @x2
1
2
1
2
(напомним, что в этом случае коэффициенты связности зависят от xi , z , pj , pkl ).
Заметим, что поскольку главные формы контактные, то поднятия 3 J 3 H сечений H
(и только они) являются интегральными многообразиями уравнений Пфаффа
!2+1 = 0; !j2+1 = 0; !jk2+1 = 0:
Следовательно, на поднятии любого сечения H структурное уравнение имеет вид
d #e = R x1 ^ dx2 ;
где R | коэффициент R, рассматриваемый на поднятии сечения H . Уравнение
R = 0
(18)
является при k = 1 квазилинейным уравнением 2-го порядка. При k = 2 уравнение (18) является, вообще говоря, уравнением 3-го порядка, но в некоторых особых случаях (см. далее лемму)
может тоже оказаться уравнением 2-го порядка.
Если левая часть дифференциального уравнения 2-го порядка (5) отличается от R множителем, то рассматриваемая специальная связность определяет представление нулевой кривизны
для дифференциального уравнения (5).
Рассмотрим три примера связностей в 1 rH , определяющих представления нулевой кривизны для уравнения Бюргерса, обобщенного уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа
соответственно. Аналогичные примеры связностей в 2 r H будут приведены в конце п. 3.
1 Пример 3.1. Рассмотрим специальную связность в r H с коэффициентами связности
h1 = p2 ; z2 ; h2 = z:
2
Эта связность определяет представление нулевой кривизны для уравнения Бюргерса
z1 + zz2 ; z22 = 0:
Действительно, на любом сечении H форма связности
#e = z2 ; z2 dx1 + zdx2
2
55
(19)
удовлетворяет структурному уравнению
d #e = (z1 + zz2 ; z22 )dx1 ^ dx2:
Специальная связность в 1 r H с коэффициентами связности
h1 = p2; h2 = ln z
определяет представление нулевой кривизны для обобщенного уравнения теплопроводности
z1 ; zz22 = 0:
(20)
Действительно, на любом сечении H форма связности #e = z2 dx1 + ln z dx2 удовлетворяет
структурному уравнению
d #e = 12 (z1 ; zz22 )dx1 ^ dx2 :
Пример 3.2.
Специальная связность в 1 r H с коэффициентами связности
h1 = p2; h2 = ;z1
определяет представление нулевой кривизны для уравнения Лапласа
z11 + z22 = 0:
(21)
На любом сечении H форма связности #e = z2 dx1 ; z1 dx2 удовлетворяет структурному
уравнению d #e = ;(z11 + z22 )dx1 ^ dx2 .
Пример 3.3.
Если специальная связность в 2 r H определяет представление нулевой кривизны
для дифференциального уравнения с частными производными 2-го порядка, то коэффициенты
связности имеют следующий вид :
h1 = 'p11 + p12 + 1;
(22)
h2 = 'p12 + p22 + 2;
где ', , 1 , 2 | некоторые функции переменных x1 , x2 , z , p1 , p2 .
Доказательство. Заметим (см. (17)), что уравнение (18) является уравнением 2-го порядка
в том и только том случае, когда коэффициенты связности h1 и h2 удовлетворяют условиям
Лемма.
@h1
@p22 = 0;
@h2 = 0;
@p11
@h1 = @h2 ;
@p11 @p12
@h1 = @h2 :
@p
@p
12
22
Из (23) следует, что h1 не зависит от p22 . Очевидно,
Из (24) следует, что h2 не зависит от p11 . Очевидно,
Таким образом, принимая во внимание (25), имеем
@h1 @h2
@p11 = @p12 = ';
(23)
(24)
(25)
(26)
@h1
@p11 также не зависит от p22 .
@h2
@p12 также не зависит от p11 .
где ' не зависит ни от p11 , ни от p22 . Из (27) следует, в частности, что
h1 = p11' + 1;
56
(27)
(28)
где
1
(так же, как и ') не зависит ни от p11 , ни от p22 . Следовательно,
@h1 = p @' + @ 1 :
@p12 11 @p12 @p12
Как уже было отмечено выше, h2 и, следовательно,
(29) означает
@' = 0:
@p
(29)
@h2
@p22 , не зависит от p11 . Это
в силу (26) и
12
Видим, что
' = '(x1 ; x2 ; z; p1 ; p2):
(30)
Следовательно,
h1 = p11'(x1 ; x2 ; z; p1 ; p2) + 1 (x1; x2 ; z; p1 ; p2 ; p12):
(31)
Принимая во внимание (30), а также то, что @p@h122 = ' (см. (27)) и h2 не зависит от p11 , можно
заключить
h2 = p12'(x1 ; x2 ; z; p1 ; p2) + 2 (x1; x2 ; z; p1 ; p2 ; p22):
(32)
Согласно (31) и (32) заметим, что равенство (26) может иметь место только в том случае,
когда
@ 1 (x1 ; x2; z; p1 ; p2 ; p12) = @ 2 (x1; x2 ; z; p1 ; p2; p22 ) :
@p
@p
12
Последнее означает, что
22
1
2
= p12 + 1 ;
= p22 + 2 ;
(33)
где , 1 , 2 | некоторые функции переменных x1 , x2 , z , p1 , p2 .
Утверждение леммы следует из (31), (32) и (33).
Следствие. При k = 2 коэффициент R в силу (17) и (22) имеет вид
@ ; @' ;z z ; (z )2 + ; @' z ; @' + @2 z +
=
R
@z1 @z2 11 22 12
@z 2 @x2 @z1 11
@
@'
@
@
@'
2 @1
+ @z z1 ; @z z2 + @x1 ; @x2 + @z ; @z z12 +
2
1
@ ; @1 z + @2 z ; @1 z + @2 ; @1 : (34)
+ @@z z1 + @x
1
@z2 22 @z 1 @z 2 @x1 @x2
Ввиду (16) и (34) очевидна
Теорема 1. Если для дифференциального уравнения с частными производными 2-го порядка
(5) существует специальная связность в 1 r H , определяющая представление нулевой кривизны, то уравнение (5) квазилинейное.
Если для дифференциального уравнения (5) существует специальная связность в 2 r H ,
определяющая представление нулевой кривизны, и при этом коэффициенты ' и (см. (22))
@ , то уравнение (5) и в этом случае квазилинейное.
удовлетворяют соотношениям @p@'2 = @p
1
@' 6= @ , то уравнение (5) является уравнением типа Монжа{Ампера (10).
Если же @p
@p1
2
57
Приведем два примера специальных связностей, заданных в 2 r H , одна из которых определяет представление нулевой кривизны для классического уравнения Монжа{Ампера (2), а
другая для уравнения
z11z22 ; (z12 )2 ; (z1 z2) 43 = 0;
(35)
играющего важную роль в газовой динамике [20].
2 Пример 3.4. Специальная связность в r H с коэффициентами связности
h1 = a2 p11 ln (p1)2 + (p2)2 + 1 + z; h2 = a2 p12 ln (p1 )2 + (p2 )2 + 1
2
;
2
;
определяет представление нулевой кривизны для классического уравнения Монжа{Ампера (2).
Действительно, на каждом сечении H форма связности
2
2
;
;
#e = a2 z11 ln (z1 )2 + (z2 )2 + 1 + z dx1 + a2 z12 ln (z1 )2 + (z2 )2 + 1 dx2
удовлетворяет структурному уравнению
d # = ;a2 (z )2 +z(2z )2 + 1
1
2
e
z11 z22 ; (z12
)2 +
(z1 )2 + (z2 )2 + 1 dx1 ^ dx2 :
a2
Рассмотрим специальную связность в 2 r H , для которой
h1 = ; 32 (p1); 43 (p2) 23 p11 + z; h2 = ; 32 (p1 ); 43 (p2 ) 23 p12:
Эта связность определяет представление нулевой кривизны для уравнения (35). Действительно,
на каждом сечении H форма связности
3
4
2
;
e
3
3
# = ; 2 (z1 ) (z2 ) z11 + z dx1 ; 32 (z1 ); 34 (z2 ) 23 z12 dx2
удовлетворяет структурному уравнению
2 ; (z1 z2 ) 43
z
z
;
(
z
)
11
22
12
e
d # =
dx1 ^ dx2 :
(z1 ) 43 (z2 ) 13
Пример 3.5.
4. Связности Коула{Хопфа, CH-отображения и потенциалы. Необходимые
условия существования CH-отображений
Наряду со связностями в главных расслоениях 1 r H и 2 rH можно рассматривать порожденные ими связности в ассоциированных расслоениях. Для нас интерес представляют связности
в ассоциированных расслоениях с одномерным типовым слоем =(k r H ) (dim = = 1) при k = 1 и
k = 2.
Известно (напр., [14]), что для связности в ассоциированном расслоении =(P (B; G)) (dim = =
1), порожденной связностью в главном расслоении P (B; G), форма связности имеет вид
e = dY ; A(Y )!e A:
Здесь !e A | формы связности в P (B; G) (A; B; : : : = 1; : : : ; dim G), коэффициенты A (Y ) удовлетворяют тождествам Ли
A dY;
dB C ; dC B = ACBC
A | структурные константы группы Ли G.
где CBC
Форма e удовлетворяет структурному уравнению
A!
e A ; A A ;
de = e ^ ; d
dY
где A | формы кривизны, соответствующие связности, заданной в P (B; G).
58
(36)
Для связности в =(k r H ) (dim = = 1), порожденной связностью, заданной в k r H (k = 1; 2),
форма связности e имеет вид
e = dY ; (Y )#e ((Y ) 6= 0);
где (Y ) | некоторая функция от Y . Здесь #e | форма связности, соответствующая связности,
заданной в k rH .
e можно записать в виде e = (Y )(dy ; #
e), где y | некоторая перЗамечание 4.1. Форму 1
вообразная функции (Y ) .
Связность в =(k rH ) (dim = = 1) условимся называть связностью Коула{Хопфа (или CHсвязностью) класса k для дифференциального уравнения (5), если она порождена специальной
связностью в k r H , определяющей представление нулевой кривизны для уравнения (5).
Пусть CH e | форма связности, соответствующая CH-связности класса k для заданного дифференциального уравнения (5). Отметим, принимая во внимание (36), что в случае, когда сечение H является решением уравнения (5) (и только в этом случае) уравнение Пфаффа (8)
вполне интегрируемо. Оно определяет отображение (9), которое назовем отображением Коула{
Хопфа (или CH-отображением) класса k для дифференциального уравнения (5). Уравнение
Пфаффа (8) будем называть уравнением Пфаффа, задающим CH-отображение.
Заметим, что в случае, когда главные формы контактные, уравнение Пфаффа (8) в силу
замечания 4.1 имеет вид
dy ; h1 dx1 ; h2 dx2 = 0
и, следовательно, эквивалентно следующей системе уравнений с частными производными (которую назовем системой Коула{Хопфа)
y1 = h1 ; y2 = h2 :
(37)
Здесь h1 и h2 | коэффициенты связности, рассматриваемые на сечении H .
Если любое решение системы (37) (при заданном z = z (x1 ; x2 )) является в то же время решением дифференциального уравнения (5bis), то CH-отображение называется CH-преобразованием
дифференциального уравнения (5) в дифференциальное уравнение (5bis).
Очевидно, в силу (22) и (37), справедлива
Теорема 2. Если дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка допускает CH-отображение класса 2, то система Коула{Хопфа имеет вид
y1 = '(xi ; z; zj )z11 + (xi ; z; zj )z12 + 1(xi ; z; zj );
(38)
y2 = '(xi ; z; zj )z12 + (xi ; z; zj )z22 + 2(xi ; z; zj ):
Следствием теоремы 1 является
Теорема 3. Если дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка допускает CH-отображение класса 2, то оно является либо уравнением
типа Монжа{Ампера
(10), если @p@'2 6= @p@ 1 , либо квазилинейным уравнением, если @p@'2 = @p@ 1 .
Пример 4.1. Рассмотрим CH-отображение класса 1, для которого система Коула{Хопфа
имеет вид
y1 = z2 ; z2 ; y2 = z:
2
(39)
Соответствующая CH-связность порождена связностью в главном расслоении 1 rH , определяющей представление нулевой кривизны для уравнения Бюргерса (19) (см. пример 3.1).
59
Из второго уравнения системы (39) следует z2 = y22. Подставив z = y2 и z2 = y22 в первое
уравнение системы (39), получим уравнение
y1 = y22 ; 21 (y2)2:
(19bis)
Таким образом, рассматриваемое CH-отображение является CH-преобразованием уравнения
Бюргерса (19) в уравнение (19bis).
Заметим, что при замене y = ;2 ln Y уравнение (19bis) превращается в уравнение теплопроводности
Y1 = Y22
О преобразовании, определенном системой (39), имеется упоминание в [21] со ссылкой на
работы [22] и [23]. Это, по-видимому, самый первый получивший известность пример подобных
преобразований.
Пример 4.2. Рассмотрим CH-преобразование класса 1, для которого система Коула{Хопфа
имеет вид
y1 = z2 ; y2 = ln z:
(40)
Соответствующая CH-связность порождена связностью в 1 r H , определяющей представление
нулевой кривизны для обобщенного уравнения теплопроводности (20) (см. пример 3.2).
Здесь z = ey2 и, следовательно, z2 = ey2 y22 . Подставив это выражение в первое уравнение
системы (40), получим уравнение
y1 = ey2 y22;
(20bis)
в которое переходит уравнение (20) при рассматриваемом преобразовании.
Пример 4.3. Соотношения Коши{Римана
y1 = z2 ; y2 = ;z1
(41)
представляют собой систему Коула{Хопфа. Соответствующая CH-связность класса 1 порождена связностью в 1 r H , определяющей представление нулевой кривизны для уравнения Лапласа
(21) (см. пример 3.3).
Любое решение системы (41) (при заданном заранее z = z (x1 ; x2 )) является одновременно
решением уравнения Лапласа относительно y:
y11 + y22 = 0:
(21bis)
Следовательно, соотношения Коши{Римана описывают автопреобразование Коула{Хопфа уравнения Лапласа.
Заметим, что систему (41) можно рассматривать и как систему, определяющую CH-преобразование уравнения (21bis) в уравнение (21).
2 Пример 4.4. Связность в r H из примера 3.4 определяет представление нулевой кривизны
для классического уравнения Монжа{Ампера (2). Она порождает CH-связность класса 2. Система Коула{Хопфа, определяющая соответствующее CH-отображение для дифференциального
уравнения (2), имеет вид
y1 = a2 z11 ln (z1 )2 + (z2 )2 + 1 + z;
2
;
y = a z ln (z )2 + (z )2 + 1 :
2
2
2
;
12
1
2
60
(42)
Связность в 2 r H из примера 3.5 определяет представление нулевой кривизны для дифференциального уравнения (35). Она порождает CH-связность класса 2. Система
Коула{Хопфа, определяющая соответствующее CH-отображение для дифференциального уравнения (35), имеет вид
y1 = ; 32 (z1 ); 43 (z2 ) 23 z11 + z;
(43)
y2 = ; 32 (z1 ); 34 (z2 ) 23 z12 :
Замечание 4.2. Задание CH-связности для дифференциального уравнения (5) равносильно
заданию потенциала.
В справедливости этого утверждения можно убедиться следующим образом. Обычно (напр.,
[21]) потенциалы связывают с законами сохранения, т. е. с представлением дифференциального
уравнения (5) в виде
@F1 + @F2 = 0;
@x1 @x2
1
2
где F1 , F2 | функции от x , x , z , z1 , z2 . При этом потенциальной функцией называют функцию
w такую, что
dw = F2 dx1 ; F1 dx2
(44)
на решениях дифференциального уравнения (5) (и только на решениях). Очевидно, уравнение
Пфаффа (44), определяющее потенциальную функцию, и уравнение Пфаффа (8), задающее
CH-отображение, имеют различие лишь в обозначениях.
Пример 4.5.
5. Условия существования CH-отображений для некоторых типов
дифференциальных уравнений второго порядка
5.1. Необходимое и достаточное условие существования CH-отображений класса 1 для уравнений вида z22 ; f (x1 ; x2 ; z; z1 ; z2 ) = 0.
Теорема 4. Дифференциальное уравнение
z22 ; f (x1; x2 ; z; z1 ; z2 ) = 0
(45)
допускает CH-отображения (и, следовательно, потенциалы) класса 1 в том и только том
случае, когда оно имеет вид
(46)
z22 ; z 1 + fz1 (z ; z2 zz2 ; x2z2 ) ; z2 z + x1 ; x2 g = 0;
z2
1 z2 z2
где = (x1 ; x2 ; z; z2 ), = (x1 ; x2 ; z; z2 ) (z1 z2 z2 + z2 6= 0).
Система Коула{Хопфа для уравнения (46) имеет вид
y1 = z1 z2 (x1; x2 ; z; z2 ) + (x1; x2 ; z; z2 );
(47)
y2 = (x1 ; x2; z; z2 ):
Доказательство. CH-связность для дифференциального уравнения (45) порождается специальной связностью в 1 r H , определяющей представление нулевой кривизны. Если такая связность существует, то коэффициент R (см. (16)) и левая часть уравнения
p22 ; f (x1; x2 ; z; p1 ; p2) = 0
(45 )
отличаются друг от друга множителем. Следовательно, должны иметь место равенства
@h2 = 0; @h1 = @h2 ;
@p1
@p1 @p2
61
1 2
1 2
1
из которых следует h2 = (x1 ; x2 ; z; p2 ), @h
@p1 = p2 (x ; x ; z; p2 ), где (x ; x ; z; p2 ) | некоторая
функция. Это означает, что существует еще одна функция (x1 ; x2 ; z; p2 ) такая, что
h1 = p1p2 (x1 ; x2; z; p2 ) + (x1; x2 ; z; p2 );
(48)
h2 = (x1; x2 ; z; p2 );
и, следовательно, соотношения (47) имеют место.
Подставив (48) в (16), получим
1
;R
p1p2p2 + p2 = p22 ; p1p2p2 + p2 fp1(z ; p2zp2 ; x2p2 ) ; p2z + x1 ; x2 g:
Теперь очевидно, уравнение (45), допускающее CH-отображения класса 1, должно иметь вид
(46).
z2 . При
Замечание 5.1. Уравнение Бюргерса (19) | это уравнение (46), где = z , = z2 ;
2
таком выборе и система (47) превращается в систему (40) (пример 4.2).
5.2. Необходимое и достаточное условие существования CH-отображений класса 1 для уравнений вида z11 + z22 + f (x1 ; x2 ; z; z1 ; z2 ) = 0.
Теорема 5. Дифференциальное уравнение
z11 + z22 + f (x1; x2 ; z; z1 ; z2 ) = 0
(49)
допускает CH-отображения (и, следовательно, потенциалы) класса 1 в том и только том
случае, когда оно имеет вид
z11 + z22 + 1 fz1 (zz2 + 2z ) + z2(zz1 + 1z ) + x1z2 + x2z1 + 2x1 + 1x2 g = 0; (50)
z1 z2
1
2
где = (x ; x ; z; z1 ; z2 ) (z1 z2 6= 0), 1 = 1 (x1 ; x2 ; z; z1 ), 2 = 2 (x1 ; x2 ; z; z2 ) | функции, для
которых
z1 z1 + z2 z2 + 1 z1 + 2 z2 = 0:
(51)
Система Коула{Хопфа для уравнения (50) имеет вид
y1 = ;z1 (x1; x2 ; z; z1 ; z2 ) ; 1(x1 ; x2; z; z1 );
(52)
y2 = z2 (x1 ; x2; z; z1 ; z2 ) + 2 (x1; x2; z; z2 ):
Доказательство. CH-связность для дифференциального уравнения (49) порождается специальной связностью в 1 r H , определяющей представление нулевой кривизны. Если такая связность существует, то коэффициент R (см. (16)) и левая часть уравнения
p11 + p22 + f (x1; x2 ; z; p1 ; p2) = 0
(49 )
отличаются друг от друга множителем. Можно рассматривать этот множитель как смешанную
производную p1 p2 некоторой функции (x1 ; x2 ; z; p1 ; p2 ). Таким образом,
R = p1 p2 (p11 + p22 + f ):
(53)
Из (53) в силу (16) следует
@h2 = ; @h1 = ;
p1 p2
@p1
@p2
@h2 ; @h1 = 0:
@p @p
2
1
62
(54)
(55)
Соотношения (54) можно переписать следующим образом:
@ (h + ) = 0; @ (h ; ) = 0:
@p2 1 p1
@p1 2 p2
Это означает, что h1 = ;p1 ; 1 , h2 = p2 + 2 , где 1 = 1 (x1 ; x2 ; z; z1 ), 2 = 2 (x1 ; x2 ; z; z2 )
| некоторые функции.
Таким образом,
h1 = ;p1 ; 1; h2 = p2 + 2
(56)
и, следовательно, имеют место соотношения (52).
Подставив (56) в (16), получим
R = p + p + 1 fp ( + 2 ) + p ( + 1 ) + 1 + 2 + 2 1 + 1 2 g:
z
2 zp1
z
x p2
x p1
x
x
p1 p2 11 22 p1 p2 1 zp2
Следовательно, уравнение (49) должно иметь вид (50).
Заметим также, что, подставив (56) в (55), получим соотношение p1 p1 +p2 p2 +1 p1 +2p2 = 0,
которое на сечениях H превращается в (51).
Замечание 5.2. Уравнение Лапласа (21) | это уравнение вида (50), в котором = z1 z2 ,
1 = 2 = 0. В этом случае система (52) превращается в систему (41) (пример 4.3).
Следствием теоремы 5 является
Теорема 6. Дифференциальное уравнение вида
z11 + z22 = f (z)
(57)
допускает CH-отображения (следовательно, допускает потенциалы) класса 1, для которых
система Коула{Хопфа имеет вид
y1 = ;z1z2 ;
Z
(58)
y2 = 12 (z1)2 ; f (z)dz ; 12 (z2 )2:
Доказательство. Нетрудно проверить, что условия теоремы 5 будут выполнены, если взять
Z
= 12 (z1 )2 z2 ; z2 f (z )dz ; 21 (z2 )2 ; 1 = 0; 2 = z2 ; 12 (z2 )2 :
В этом случае дифференциальное уравнение (50) имеет вид (57) и система (52) имеет вид
(58).
5.3. Существование CH-отображений класса 2 для уравнений вида
z11 z22 ; (z12 )2 + g(z)f (z1 ; z2 ) = 0 (f (z1 ; z2 ) 6= 0):
Справедлива
Теорема 7. Дифференциальное уравнение
z11 z22 ; (z12 )2 + g(z)f (z1 ; z2 ) = 0 (f (z1; z2 ) 6= 0)
(59)
допускает CH-отображения (следовательно, допускает потенциалы) класса 2, для которых
система Коула{Хопфа имеет вид
y1 = (z1 ; z2 )z11 + G(z);
(60)
y2 = (z1 ; z2 )z12 ;
@ = z2 , а G(z ) | первообразная функгде (z1 ; z2 ) | функция, удовлетворяющая условию @z
f (z1 ;z2 )
2
ции g(z ).
63
Доказательство.
Рассмотрим специальную связность в 2 rH с коэффициентами
h1 = (p1; p2)p11 + G(z); h2 = (p1; p2 )p12:
На любом сечении H форма связности
d #e = ((z1 ; z2 )z11 + G(z))dx1 + (z1 ; z2 )z12 dx2
удовлетворяет структурному уравнению
d #e = ; f (zz2; z ) (z11 z22 ; (z12 )2 + g(z)f (z1 ; z2 ))dx1 ^ dx2 :
1 2
Эта связность определяет представление нулевой кривизны для дифференциального уравнения
(59). Следовательно, для уравнения (59) существует CH-отображение. При этом система Коула{
Хопфа имеет вид (60).
Замечание 5.3.
(59), в котором
Классическое уравнение Монжа{Ампера (2) является уравнением вида
2
2
f (z1; z2 ) = (z1 ) +a(2z2) + 1 ; g(z) = 1:
Функции (z1 ; z2 ) и G(z ) можно выбрать следующим образом:
(z1 ; z2 ) = a2 ln (z1 )2 + (z2 )2 + 1 ; G(z ) = z:
2
;
Система Коула{Хопфа (60) превращается в этом случае в систему (42) (пример 4.4).
Уравнение (35) также является уравнением вида (59). В этом случае
f (z1; z2 ) = ;(z1z2 ) 43 ; g(z) = 1:
Можно выбрать
(z1 ; z2 ) = ; 32 (z1 ); 43 (z2 ) 23 ; G(z ) = z:
Система Коула{Хопфа (60) превращается при этом в систему (43) (пример 4.5).
6. Связности Коула{Хопфа как частный случай связностей Бэклунда
6.1. Специальные связности в k R H (k = 1; 2). Наряду со специальными связностями в k r H
(см. п. 3) можно рассматривать специальные связности в k R H и в k < H , где k = 1 или k = 2.
Для специальных связностей в k R H формы связности имеют вид
!e = ! + 1 !1 + 2!2; !e12 = !12 + 112 !1 + 122 !2 ;
!e 21 = !21 + 211 !1 + 221 !2:
Коэффициенты связности
1; 112 ; 211 ; 2; 122 ; 221
64
(61)
в случае k = 1 зависят от xi , z , pj , а в случае k = 2 от xi , z , pj , pkl . Они удовлетворяют
дифференциальным уравнениям
d1 ; 12 1# ; 21 1 ! ; (2 + 2211 )!12 + 2112 !21 ; !111 + !122 = 0;
d2 ; 12 2# + 21 2 ! ; 2221 !12 ; (1 ; 2122 )!21 ; !121 + !222 = 0;
d112 ; 12 112 # ; 32 112 ! + (1 ; 122 )!12 ; !112 = 0;
(62)
1
1
2
2
2
2
2
1
2
d12 ; 2 12# ; 2 12 ! + 2!1 ; 11 !2 ; !12 = 0;
d211 ; 21 211 # + 12 211 ! ; 221 !12 ; 1 !21 ; !211 = 0;
d221 ; 21 221 # + 32 221 ! ; (2 + 211 )!21 ; !221 = 0:
Здесь равенство нулю имеет место по модулю главных форм.
k Замечание 6.1. Специальная связность в R H с коэффициентами связности (61) пороk
ждает специальную связность в r H с коэффициентами связности
h1 = 1 + 2122 ; h2 = ;2 + 2121 :
(63)
Действительно, нетрудно проверить, что дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты h1 и h2 , вычисленные по формулам (63), имеют вид (14).
Формы связности !e , !e 12 , !e 21 удовлетворяют структурным уравнениям
d!e = 2!e12 ^ !e21 + ; d!e12 = !e ^ !e12 + 21; d!e21 = !e21 ^ !e + 12;
(64)
2 ! 1 ^ ! 2 + , 1 = R1 ! 1 ^ ! 2 + | формы кривизны
где = R12 !1 ^ !2 + , 21 = R112
2
212
(здесь многоточием обозначены суммы слагаемых, содержащих произведения главных форм,
отличные от !1 ^ !2 ).
Если в качестве главных форм выбраны контактные формы, то !e = 1 dx1 + 2 dx2 , !e 12 =
2
11dx1 +122 dx2, !e21 = 211 dx1 +221 dx2 и на поднятии любого сечения H структурные уравнения
(64) принимают вид
d !e = 2 !e12 ^ !e21 + R dx1 ^ dx2;
2 dx1 ^ dx2 ;
d !e12 = !e ^ !e 12 + R112
1 dx1 ^ dx2 :
d !e21 = !e21 ^ !e + R212
(65)
Очевидно, в случае, когда каждое из уравнений
2 = 0; R 1 = 0
R12 = 0; R112
212
(66)
отличается от левой части заданного дифференциального уравнения (5) множителем, то рассматриваемая связность определяет представление нулевой кривизны для дифференциального
уравнения (5).
1 Пример 6.1. Специальная связность в R H с коэффициентами связности
1 = cos z2 ; 112 = ; 12 sin z2 ; 41 p1; 211 = ; 12 sin z2 + 41 p1;
2 = cos z2 ; 122 = 12 sin z2 + 14 p2; 221 = 12 sin 2z ; 14 p2
определяет представление нулевой кривизны для уравнения синус-Гордона (6).
65
Действительно, нетрудно убедиться в том, что
2 = 1 (z ; sin z ); R1 = ; 1 (z ; sin z )
R12 = 0; R112
212
2 12
2 12
на поднятии любого сечения H .
Пример 6.2.
Специальная связность в 1 R H с коэффициентами связности
1 = 12 p1;
211 = p1 e 2 ;
112 = 0;
z
2
1
1
2 = ; 2 p2; 122 = p e 2 ; 221 = 0
2
определяет представление нулевой кривизны для уравнения Лиувилля
z
z12 = ez :
(67)
Действительно, нетрудно проверить, что
2 = 0; R 1 = 0
R12 = ;(z12 ; ez ); R112
212
на поднятии любого сечения H .
Пример 6.3.
Специальная связность в 2 R H с коэффициентами связности
1 = 2p2 p11 ; 1; 112 = ;p2p11; 211 = p2p11 ; 1;
2 = 2p2 p12 ; 1; 122 = ;p2p12; 221 = p2p12 ; 1
определяет представление нулевой кривизны для уравнения
z11 z22 ; (z12)2 + z2 z11 ; z2 z12 = 0:
(68)
В самом деле, нетрудно проверить
R12 = ;2(z11 z22 ; (z12 )2 + z2z11 ; z2 z12);
2 = z z ; (z )2 + z z ; z z ;
R112
11 22
12
2 11
2 12
1 = ;(z z ; (z )2 + z z ; z z )
R212
11 22
12
2 11
2 12
на поднятии любого сечения H .
6.2. Специальные связности в k < H (k = 1; 2). Формы связности в этом случае имеют вид
= !ji + ;ijk !k . При этом будем предполагать, что ;ijk = ;ikj .
Коэффициенты связности в случае k = 1 зависят от xi , z , pj , а в случае k = 2 от xi , z , pj ,
pkl . Они удовлетворяют дифференциальным уравнениям
!ee ij
d;ijk + ;mjk !mi ; ;imk !jm ; ;ijm!km ; !jki = 0:
(69)
Здесь равенство нулю имеет место по модулю главных форм.
Замечание 6.2.
связности в
k R H .
Задание специальной связности в k < H равносильно заданию специальной
66
Действительно, специальная связность в k < H с коэффициентами ;ijk порождает связность
в
с коэффициентами
1 = ;111 ; ;212; 112 = ;211; 211 = ;112;
(70)
2 = ;112 ; ;222; 122 = ;212; 221 = ;122:
Нетрудно проверить, что дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты (61), вычисленные по формулам (70), имеют вид (62).
Верно и обратное утверждение. Специальная связность в k R H с коэффициентами (61) порождает специальную связность в k <H с коэффициентами
;111 = 1 + 122 ; ;112 = 211 ; ;122 = 221 ;
(71)
;211 = 112 ;
;212 = 122 ; ;222 = 211 ; 2 :
Нетрудно проверить, что дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты ;ijk , вычисленные по формулам (71), имеют вид (69).
6.3. Связности Бэклунда и отображения Бэклунда. CH-отображения как частный случай
отображений Бэклунда.
Исследуя связности в ассоциированных расслоениях =(k R H ) и =(k < H ), можно в силу
замечания 6.2 ограничиться изучением связностей в =(k R H ).
Форма связности в =(k RH ) (dim = = 1) имеет вид
e = dY ; (Y )!e ; 12 (Y )!e21 ; 21 (Y )!e12;
где !e , !e 12 , !e 21 | формы связности, заданной в k R H . Тождества Ли, которым удовлетворяют
коэффициенты (Y ), 12 (Y ), 21 (Y ), имеют в данном случае вид
d12 ; 12d = 12 dY;
d21 ; 21d = ;21dY;
(72)
12d21 ; 21d12 = 2dY:
Исследуя систему (72), можно установить [12]
21 6= 0; 1221 + ()2 = 0:
(73)
k R H
Форму связности e в ассоциированном расслоении =(k RH ) (dim = = 1)
можно в силу (73) представить в виде
Замечание 6.3.
e = ;21(Y )fdy + !e12 ; y!e ; y2!e21g;
где y = ; 21((YY)) ([12]).
(74)
Напомним, что k R H = P (J k H; SL(2)). Очевидно, наряду со связностями в расслоениях
(dim = = 1) и =(2 R H ) (dim = = 1) можно рассматривать связности в ассоциированных расслоениях =(P (J k H; G)) (dim = = 1), где G является подгруппой группы SL(2). Такими
связностями являются, в частности, CH-связности (в этом случае структурная группа | это
одномерная подгруппа группы SL(2)) и связности Бэклунда для эволюционных уравнений, изучавшиеся нами в [11].
Связность в ассоциированном расслоении =(P (J k H; G)) (dim = = 1), где G