close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Тепловые колебания и волны в локально-неравновесной среде с нелинейным источником энергии.

код для вставкиСкачать
УДК 536.2.01
ТЕПЛОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
В ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНОЙ СРЕДЕ
С НЕЛИНЕЙНЫМ ИСТОЧНИКОМ ЭНЕРГИИ
О. Н. ШАБЛОВСКИЙ
Учреждение образования «Гомельский государственный
технический университет имени П. О. Сухого»,
Республика Беларусь
М. Г. САЛЬНИКОВА
Южно-Российский государственный технический
университет (НПИ), г. Новочеркасск, Российская Федерация
Введение
Математическая модель локально-неравновесного теплопереноса состоит из уравнения
энергии и закона Максвелла, учитывающего релаксацию теплового потока:
c
T
q
 divq  q  , q    gradT .
t
t
(1)
Здесь приняты обозначения: Т – температура; q (q1 , q2 ) – вектор удельного теплового
потока;  – коэффициент теплопроводности; с – объемная теплоемкость;  – время
релаксации теплового потока; q – мощность внутренних источников энергии;
t – время; х, у – прямоугольные декартовы координаты. Современные методы нелинейного
анализа уравнений (1) и их разнообразные физические приложения изложены в [1].
Предлагаемая работа посвящена дальнейшему развитию аналитических подходов к
решению двумерных уравнений локально-неравновесного теплопереноса в нелинейных
средах. Наша цель состоит в следующем: 1) построить новое точное решение, которое
характеризуется функциональной зависимостью между искомыми функциями (двойная
волна); 2) показать возможность существования релаксирующих тепловых процессов,
математическое описание которых аналогично квазичаплыгинским уравнениям
идеального политропного газа, обладающего термодинамически аномальной
сжимаемостью; 3) получить уравнения теплового маятника.
Двойная волна
Допустим, что теплофизические свойства среды описываются степенными функциями
температуры:
   0T n1 , c  c0T n2 ,   const , q  Q0T 1n2 ,
 0 , c0 , Q0  const.
Процесс происходит в плоской двумерной области (х, у). Температуру и тепловой
поток представим в виде:
T   H ( x, y, ),
  exp(  kt ),
kn  1,
q1  kn r ( x, y, ),
m2U  c0m2 ,
m2  1  n2  0,
q2  kn ( x, y, ),
R  a1U 1 ,
Q0   Hkc0 ,
  (n1  n2 ) / m2 ,
Hm2  1  n,
Hm2  2,

 m 
a0
a0  0  2  , a1 
,   1  0, m1  1  n1.
c0  c0 
 (  1)k 2
Тогда уравнения (1) можно записать в следующей форме:
U r 
  ,
 x y
r R

,
 x
 R
 .
 y
(2)
Данные формулы показывают, что параметр нелинейности среды  нужно брать по
обе стороны значения   1. Будем применять обозначения:
1/ 2
  1a2 ,
1


1 ( 1)


1

 ,

a 2  
  a1  (  1) 


1
   1a2 ,
 r  r1a2 ,
  R  1
 .
 R  R, U  

a
 1
Здесь берем знак «+» при   1  0, знак «» при   1 0. В обоих случаях система
уравнений (2) преобразуется в уравнения
R

1
R r 1 1


,
1 x y
r 1 R
 ,
1 x
1 R

,
1 y
(3)
которые содержат неизвестные функции r 1 , 1 , R аргументов x, y, 1. Построим точное
решение уравнений (3), взяв за основу алгоритм [2], который применялся в теории
околозвуковых течений идеального газа. В классе двойных волн переменные r1 , 1
являются независимыми на некоторой поверхности  : R  R (r1 , 1 ). Уравнения для
компонент вектора теплового потока становятся такими:
r1 R 1 R r1


,
1 1 x r1 x
1 R 1 R r1


.
1 1 y r1 y
Применяем эти формулы и дифференциальное следствие 1 / x  r1 / y.
Уравнение энергии записываем в виде:
1
   R  2  r1
   R  2  1
1 R R 
1
 2R
  R 1  1   1
 0.
 R  1   1
1
1

r

x

r



x




   
 y
Здесь 1   /(  1). Выполняем преобразование годографа ( x, y )  (r1 , 1 ), учитывая,
что
каждая
плоскость
физического
пространства
отображается
1  const
в пространстве годографа на одну и ту же поверхность . Следовательно,
r1 1 y r1
1 x 1
1 y 1 1 x

,

,

,

,
x J 1 y
J 1 x
J r1 y J r1
J
x y x y 1 r1 1 r1 1

,


,
r1 1 1 r1 J x y y x
   R  2  x
   R  2  y
1 R R y
1
R

1

2
R

  1
 1
 R 1  1   1 1  0.
1
1
1
 r r   r 
   
 r
 
На основе второго и третьего уравнений в (3) построим скалярный потенциал
  ( x, y, 1 ) :
d  r1dx  1dy  Rd1 ,

 R,
1
 1
r ,
x

 1.
y
Теперь введем в алгоритм функцию   R1  1 y  r1 x  . После простых вычислений
находим:
R 
R 


d   x  1 1 dr 1   y  1 1 d1 ,
r 
 



R
 x  1 1 ,
1
r
r

R
 y  1 1 .
1


(4)
Если эти формулы продифференцировать при 1  const, то получим:
2
x
 2
1  R


,
r1  (r1 ) 2
 (r1 ) 2
2
y
 2
1  R

 1 1,
r1 1r1
 r
2
y
 2
1  R



.
1  (1 ) 2
 (1 ) 2
Итогом преобразований является запись уравнения энергии в плоскости годографа:
1) уравнение для функции R (r 1 , 1 ) получается после группировки членов,
содержащих 1 :
2
   R  2   2 R
   R  2   2 R
1 R R  R
1
  R 1  1   1
 0;
 R  1   1 1 2  2 R
1
1
1
1
1 2



(
r
)



r



r




  r 
  ( )
2) уравнение для функции (r1 , 1 )
содержащих 1 в нулевой степени:
получается
после
группировки
(5)
членов,
2
   R  2   2
   R  2   2
1 R R  
1
  R 1  1   1
 0.
 R  1   1 1 2  2 R
1
1
1
1
1 2



(
r
)



r



r




  r 
  ( )
После решения этих уравнений переход к физической плоскости выполняется по
формулам (4). Если процесс автомодельный, то   0, x 1   R 1 , y 1   R 1 .
Укажем несколько важных примеров, когда уравнение двойной волны удается
преобразовать к обыкновенному дифференциальному уравнению.
Уравнение (5) имеет частное решение:
  r1 / 1 ,
R  (1 ) A f (),
A  2(  1) /(  2).
Задача сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению:

f


1

f

2
d2 f

df 
 Af     1 2  2 f
d 
 d


1

1

df  df d 
df 
 Af   
 Af    
d  d d 
d 

2

 df 

df 
d 
df 
   1 ( A  1) Af       Af     0.
d  d 
d  
 
 d 

Другая форма записи выглядит так:
d2 f
d 2
2
 2 2
  df  2
2 1  df 
2
1
 2 f      1    A(1  A) f 11 
A f

  d 
 d 

df 
  A(1  A) f  2( A  1)   0.
d 



Допустим, что

R  R(),   (1 ) 2  (r1 ) 2

1/ 2
.
Тогда из уравнения (5) выводим:
3

d 2R
 dR  dR
 R 1 
 0.
 
2
d
 d  d
(6)
Применяя логарифмический аргумент z  ln, получаем:
R   B(z ),   2(  1) /(  2),
3
dB  d 
dB 
dB 

 
 B 
   B 
  B 1  B 
  0.
dz  dz 
dz 
dz 


Это уравнение имеет простое частное решение B = B0 = const: B0     / 2 .
Понизив на единицу порядок уравнения, находим:
dB
 D (B ),
dz
D
d 2B
dD
D
;
2
dz
dB
  0,
  1  0;
dD
 B 1 (B  D )3   2 B  2D.
dB
Если пользоваться вместо R  R () обратной функцией   (R), то (6) принимает
вид:


dR
1
1 d 2R d  1  1

 ,

   3;
2
 


 d
d d / dR 
dR  

2
  
 R


1
.
Применяя здесь логарифмический аргумент y  ln R, получаем:
  R n B1 ( y ),
n  1/   (  2) /[ 2(  1)],
2



dB  d 
dB 
dB 
B1 (n  1) nB1  1    nB1  1   1   nB1  1  .
dy  dy 
dy 
dy 



Данные примеры позволяют рассматривать существенно двумерные тепловые
конфигурации для частных значений параметра нелинейности среды .
Теперь возвратимся к уравнению (5). Для него дифференциальное уравнение
характеристик такое:
   R  2  1 2
   R  2  1 2
1 R R
1
1
1
d dr   R 1  1   1 (d )  0.
 R  1   1 (dr )  2 R
1
1

r



r




   

Вдоль поверхности  имеем
dR 
R 1 R 1
dr  1 d ,
r1

поэтому характеристические кривые S  , S  на поверхности  определяются уравнением
R1 (dR) 2  (dr1 ) 2  (d1 ) 2 .
Решение этого уравнения получаем в параметрической форме:

 h
 R    ,

r 1   sin f (h)dh  const ,
1   cos f (h)dh  const ,
  2(  1) (  2) ,
где h  0 – параметр; f (h) – произвольная функция. На плоскости ( x, y ) основная
формула решения имеет вид:
x sin f (h)  y cos f (h)  (h  )1 1  F (h)  0,
(7)
где F (h) – произвольная функция. Вычисление частных производных выполняется
с помощью соотношений:
h
sin f

,
x
S
h
cos f

,
y
S
h
1 h 
   
1

S  
1
(  1)
S  F (h)  xf (h) cos f  yf (h) sin f 

r1 r1 h

,
1 1 h
 1
h
 

 
,
 2
;
R R h
и т. п.

x x h
Здесь   0 при   1 0 либо при   2  0. Если   (2,  1), то   0. При работе с
аргументом   exp(kt ) нужно учитывать, что k   (  2) , поэтому:
1) при   0 либо   2  0 будет k  0, т. е.   (0,1;
2) при   (2,0) будет k  0, т. е.   1, ).
Вместе с тем верна формула
1 Qm
k  0 2,

c0
поэтому вариант k  0 получается для стока энергии (Q0  0) достаточно большой
интенсивности; вариант k  0 – для источника энергии (Q0  0) либо для стока энергии с
не слишком большим Q0 .
Температура и компоненты вектора теплового потока определяются формулами:
1
T m2
2
m  1  1  h   2
 2      2  ;
c0  a1    



(8)

q1  kn  a2  sin f (h)dh  r 0 , q2  kn  a2  cos f (h)dh  0 .
(9)
Это решение содержит, учитывая (7), две произвольные функции f (h), F (h) и две
произвольные постоянные r 0 , 0 . Каждой изотерме T  const , h  h(T , ) соответствует пара
прямых линий (7), расположенных симметрично относительно оси ОY. Значит, можно
рассматривать симметричное тепловое поле в двух областях: x  0 и x  0.
На оси симметрии x  0 тепловое поле непрерывно.
Точное решение (7)–(9) дает возможность изучать некоторые нестационарные краевые
задачи в плоской двумерной области клиновидной формы.
Квазичаплыгинская среда
Работаем с уравнениями (3). Возьмем для определенности   (2,0), т. е. считаем, что
в среде присутствует сток энергии достаточно большой интенсивности: Q0  0, k  0,
 [1, ),   1. Запишем уравнение энергии в виде нелинейного волнового уравнения:
1
~
  U    R    R  ~
1

      , U /(  1)  R .
1  1  x  x  y  y 
Допустим, что функция R зависит только от двух аргументов , y, где   x  b1 ,
b  const – автомодельная переменная. Тогда имеем
   R 
   2~
(b U  R)   .

  
 y  y 
Строим скалярный потенциал V (, y ) :
dV 
V
V
d 
dy;

y
V R V P( R)
~

,

 0, P ( R )  R  b 2U  const  0.
 y y

(10)
Система квазилинейных уравнений (10) содержит две искомые функции R (, y ),
V (, y ) и является математическим аналогом уравнений одномерной газодинамики,
записанных в лагранжевых координатах. В терминах газодинамики получаем: y – время;
 – лагранжева координата; R – удельный объем; Р – давление; V – скорость. Аналогом
эйлеровых координат служат переменные y,, где d  Vdy  Rd. Зависимость P  P (R )
– политропная функция состояния изучаемой системы «среда – сток энергии».
«Сжимаемость» определяется производной
~
dP
N2
2 dU
 1 b
 1 2  1 M 2,
dR
dR
w
где N  dx / dt – скорость распространения  – линии; w  ( / c )1/ 2 – скорость
распространения тепловых возмущений; М – тепловое число Маха. Если dP / dR  0, то
тепловой процесс соответствует движению классического газа, для которого увеличение
давления приводит к уменьшению объема. В этом случае тепловой процесс
«сверхзвуковой», M 2  1; система (10) имеет гиперболический тип. Если dP / dR  0, то
имеем квазичаплыгинскую среду, обладающую аномальной сжимаемостью; тепловой
процесс – «дозвуковой», M 2  1; система (10) имеет эллиптический тип. Такие среды
являются неустойчивыми, им присущи стоячие нарастающие во времени возмущения.
Математические вопросы описания квазичаплыгинских сред даны в [3].
Тепловой маятник
Систему (1) нетрудно преобразовать к одному нелинейному уравнению для
температуры:
 T
 2T    T    T  q
c
  2              q .
t  x  x  y  y 
t
 t
(11)
Здесь c,   const. Далее считаем, что q  q0  kT ; q0 , k  const. Для коэффициента
теплопроводности рассмотрим монотонный и немонотонный варианты зависимости  (T ).
Монотонный вариант:    0  1T ;  0 , 1  const. Нетрудно видеть, что существует
точное локальное по координатам полиномиальное решение:
T ( x, y, t )  T0 (t )  xa1 (t )  x 2 a2 (t )  yb1 (t )  y 2b2 (t ).
Система определяющих уравнений для коэффициентов a2 (t ), b2 (t ) имеет вид:
c(a 2  a2 )  61a 22  21a 2 b2  k  (a 2  a 2 ),

c(b2  b2 )  61b22  21a 2 b2  k  (b2  b2 ). 
(12)
Точка над символом функции означает обыкновенное дифференцирование. Эта
динамическая система описывает колебание теплового маятника с двумя степенями
свободы.
Немонотонный вариант:    0  1T   2T 2 ,  0 , 1 ,  2  const. Уравнению (11)
удовлетворяет локальное по координатам точное решение:
T ( x, y, t )  T0 (t )  xa1 (t )  yb1 (t ).
Уравнения теплового маятника имеют вид:
c(a1  a1 )  2 2 a13  2 2 a1b12  k  (a1  a1 ),

c(b1  b1 )  2 2 a12 b1  2 2 b13  k  (b1  b1 ). 
(13)
Автономные динамические системы (12) и (13) дают возможность изучать двумерные
колебательно-релаксационные процессы в нелинейных средах. Вывод уравнений
трехмерного теплового маятника затруднений не представляет.
Изложенный подход естественным образом распространяется на двухфазную систему,
поведение которой определяется двумя
уравнениями вида (11) для неизвестных
температур T1 ,T2 . Источники энергии для первой и второй фаз, соответственно, равны
q( i )  q( 0i )  k( i )T1  l( i )T2 ; i  1, 2.
Заключение
В классе двойных волн получено новое точное решение, содержащее две
произвольные функции одного аргумента. Установлено, что в локально-неравновесной
системе «среда – сток энергии» могут возникать неустойчивые процессы, имеющие своим
математическим аналогом квазичаплыгинские уравнения газодинамики для среды с
аномальной сжимаемостью. Дан вывод уравнений теплового маятника с двумя и тремя
степенями свободы.
Литература
1. Шабловский, О. Н. Релаксационный теплоперенос в нелинейных средах / О. Н.
Шабловский. – Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2003. – 382 с.
2. Рыжов, О. С. Некоторые вырожденные околозвуковые течения / О. С. Рыжов
// Приклад. математика и механика. – 1958. – Т. 22, вып. 2. – С. 260–264.
3. Жданов, С. К. Квазигазовые неустойчивые среды / С. К. Жданов, Б. А. Трубников. – М. :
Наука, 1991. – 176 с.

Получено 06.10.2010 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
216 Кб
Теги
нелинейные, среды, неравновесные, энергия, локального, волна, тепловых, колебания, источников
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа