close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Точечно-слабое свойство отслеживания в динамических системах.

код для вставкиСкачать
УДК 517.917
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 1
ТОЧЕЧНО-СЛАБОЕ СВОЙСТВО ОТСЛЕЖИВАНИЯ
В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
А. А. Родионова
С.-Петербургский государственный университет,
ассистент, a.a.rodionova@gmail.com
Введение. Предельные множества индивидуальных траекторий динамических
систем относятся к наиболее изученным объектам классической теории динамических систем. Для исследования глобальной динамики динамических систем большое
значение имеют предельные множества областей фазового пространства и особенно
вопрос об устойчивости таких множеств.
Задача В. И. Арнольда об устойчивости предельных множеств областей в типичных динамических системах была изучена в работах [1–4]. В данной статье мы
выделяем свойство отслеживания псевдотраекторий динамических систем (точечнослабое свойство отслеживания) и описываем связь этого свойства с задачей о типичности устойчивости по Ляпунову предельных множеств областей.
Основной Результат. Рассмотрим гладкое замкнутое n-мерное многообразие
M . Можно считать, что M вложено в евклидово пространство N , где N достаточно
велико. Пусть d — риманова метрика на M , индуцированная стандартной евклидовой нормой | · | пространства N . Для двух гомеоморфизмов f0 , g0 : M → M введем
величину ρ0 (f0 , g0 ) = max |f0 (x) − g0 (x)|.
x∈M
Будем обозначать через H(M ) пространство гомеоморфизмов многообразия M
с C 0 -топологией, индуцированной метрикой ρ0 . Обозначим через Tx M касательное
пространство к M в точке x, а через Df (x) — дифференциал диффеоморфизма f в
точке x. Отождествляя Tx M с линейным подпространством N , определим для двух
диффеоморфизмов f, g : M → M и точки x ∈ M величину
||Df (x) − Dg(x)|| =
max
v∈Tx M, |v|=1
|Df (x)v − Dg(x)v| .
Определим C 1 -расстояние между двумя диффеоморфизмами f, g : M → M равенством
ρ1 (f, g) = max (|f (x) − g(x)| + ||Df (x) − Dg(x)||) .
x∈M
Метрика ρ1 порождает стандартную C 1 -топологию пространства диффеоморфизмов Diff1 (M ) класса C 1 многообразия M . Как обычно, будем отождествлять диффеоморфизм и порождаемую им динамическую систему.
Для множества G ⊂ M его ω-предельное множество в системе f определяется
равенством
ω(G) = {y = lim f mk (xk ) : xk ∈ G, mk → ∞ при k → ∞}.
k→∞
Это множество является компактным и f -инвариантным. Из определения следует,
что ω(G) = ω(G), где G — замыкание множества G.
В 1987 г. В. И. Арнольд высказал следующую гипотезу: существование сколь
угодно малых окрестностей U области G, для которых ω-предельные множества ω(U )
и ω(G) относительно системы f существенно различны, «физически нереализуемо».
c
96
А. А. Родионова, 2013
Докажем следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть множество ω(G) устойчиво по Ляпунову и V — окрестность
множества ω(G). Тогда существует такая окрестность U0 множества G, что
если U ⊂ U0 — окрестность G, то
ω(G) ⊂ ω(U ) ⊂ V .
Доказательство. Так как множество ω(G) устойчиво по Ляпунову, по заданной
окрестности V можно найти такую его окрестность V0 , что для любой точки y ∈ V0
верно f k (y) ∈ V , k 0.
Зафиксируем точку x ∈ G и рассмотрим последовательность {f m (x) : m 0}.
Каждая предельная точка этой последовательности принадлежит множеству
ω(G) = ω(G). Поэтому существует такой индекс m(x) > 0, что f m(x) (x) ∈ V0 .
Выберем такую окрестность W (x) точки x, что f m(x) (W (x)) ⊂ V0 . Ясно, что если
z ∈ W (x) и m m(x), то
(1)
f m (z) ∈ V.
Множество G — компакт, поэтому из открытого покрытия {W (x), x ∈ G} множества G можно выбрать конечное подпокрытие W (x1 ), . . . , W (xp ).
Положим
p
"
U0 =
W (xi ) и μ = max m(xi ).
(2)
i=1
i=1,...,p
Пусть x0 ∈ U0 . Тогда найдется такой индекс i ∈ {1, . . . , p}, что x0 ∈ W (xi ). Значит,
если k μ, то из формул (1) и (2) следует, что f k (x0 ) ∈ V.
Таким образом, из включений G ⊂ U ⊂ U0 следуют включения ω(G) ⊂ ω(U ) ⊂ V .
Лемма 1 доказана.
Из леммы 1 вытекает, что если U — малая окрестность множества G, то
ω-предельное множество ω(U ) может существенно отличаться от ω(G) лишь в том
случае, когда множество ω(G) не является устойчивым по Ляпунову. Таким образом, возникает естественная задача: для каких динамических систем f и областей G
ω-предельные множества ω(G) в системах f устойчивы по Ляпунову?
Пусть X — некоторое пространство динамических систем на многообразии M .
Будем предполагать, что из сходимости в пространстве X следует сходимость в
C 0 -топологии.
Будем называть некоторое свойство динамических систем из X типичным, если
существует такое счетное семейство Am открытых и плотных
подмножеств пространства X, что любая система, принадлежащая пересечению
Am , обладает указанным
m
свойством.
Через N (a, A) будем обозначать a-окрестность множества A ⊂ M .
Рассмотрим зависящее от вещественного параметра r ∈ (a; b) семейство множеств
{Gr ⊂ M }. Будем говорить, что семейство Gr является существенно расширяющимся,
если для любых двух значений параметра r1 и r2 , связанных неравенством r1 < r2 ,
найдется такое c > 0, что N (c, Gr1 ) ⊂ Gr2 . Простейшим примером такого семейства
может служить множество концентрических шаров радиусов r.
Основные результаты С. Ю. Пилюгина [1–4], относящиеся к гипотезе Арнольда,
сформулированы в теореме 1.
97
Теорема 1. Пусть f — типичная динамическая система в одном из пространств H(M ) или Diff1 (M ), и пусть {Gr } — существенно расширяющееся семейство подмножеств M. Тогда множество значений параметра r, при которых
ω-предельное множество ω(Gr ) в системе f неустойчиво по Ляпунову, не более
чем счетно.
Важную роль при доказательстве теоремы 1 в случае пространства Diff1 (M ) играют множества
Q(p, f ) = {q = lim f mk (pk ) : mk 0, pk → p при k → ∞}
k→∞
и
P (p, f ) = {q = lim fkmk (p) : mk 0, fk → f при k → ∞},
k→∞
где символ fk → f означает сходимость в C 1 -топологии.
Множества Q(p, f ) и P (p, f ) называются пролонгациями точки p в системе f по
начальным данным и по системе соответственно.
Дадим следующее определение: множества
Q∗ (p, f ) = {q = lim f mk (pk ) : mk → ∞, pk → p при k → ∞}
k→∞
и
P ∗ (p, f ) = {q = lim fkmk (p) : mk → ∞, f → f при k → ∞}
k→∞
называются предельными пролонгациями точки p в системе f по начальным данным
и по системе соответственно.
Теорема 1 для случая пространства Diff1 (M ) выводится в [4] из сформулированного ниже утверждения.
Теорема 2. Пусть диффеоморфизм f обладает следующими свойствами:
1) Q(p, f ) = P (p, f ) для любой точки p ∈ M ;
2) любая периодическая точка f гиперболическая.
Тогда f обладает свойством, сформулированным в заключении теоремы 1.
Также в [4] доказано следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 2. Если диффеоморфизм f удовлетворяет условию 1 теоремы 2, то для
любой точки p ∈ M Q∗ (p, f ) = P ∗ (p, f ).
Последовательность ξ = {xk , k ∈ } ⊂ M называется δ-псевдотраекторией диффеоморфизма f , если при всех k ∈ верны неравенства d(f (xk ); xk+1 ) < δ.
Будем говорить, что динамическая система f обладает в X точечно-слабым свойством отслеживания, если верно следующее утверждение.
Пусть p и q — точки фазового пространства, для которых существует такая последовательность dm -псевдотраекторий ξm = {xk,m : k ∈ }, m 0, что
dm → 0,
x0,m → p
и
xlm ,m → q
для некоторой последовательности lm → ∞. Тогда существует такая последовательνm
(p) → q для некоторой
ность динамических систем gm ∈ X, что gm → f в X и gm
последовательности индексов νm → ∞.
По аналогии с определениями пролонгаций P (p, f ) и P ∗ (p, f ), в которых используется сходимость fk → f в C 1 -топологии, можно ввести множества
P (X, p, f ) = {q = lim fkmk (p) : mk > 0, fk → f в X}
k→∞
98
и
P ∗ (X, p, f ) = {q = lim fkmk (p) : mk → ∞, fk → f в X}.
k→∞
Лемма 3. Если для любой точки p ∈ M верно равенство
Q(p, f ) = P (X, p, f ),
(3)
то
Q∗ (r, f ) = P ∗ (X, r, f )
для любой точки r ∈ M .
Доказательство леммы 3 аналогично доказательству леммы 2.2 в [2].
Основным утверждением статьи является следующая теорема.
Теорема 3. Пусть
1) {Gr } — существенно расширяющееся семейство подмножеств M ;
2) динамическая система f на M обладает в X точечно-слабым свойством отслеживания;
3) для любой точки p ∈ M выполнено равенство (3).
Тогда множество значений параметра r, при которых ω(Gr ) неустойчиво по Ляпунову, не более чем счетно.
В доказательстве теоремы 3 важную роль играют следующие определения.
Обозначим через M ∗ множество компактных подмножеств многообразия M .
Отображение Φ : (a, b) → M ∗ называется возрастающим, если из неравенства
r < r следует включение Φ(r) ⊂ Φ(r ).
Ясно, что если {Gr } — расширяющееся семейство, то отображение Φ, задаваемое
равенством Φ(r) = ω(Gr ), является возрастающим.
В [6] доказано следующее утверждение.
Лемма 4. Если Φ : (a, b) → M ∗ — возрастающее отображение, то множество
его точек разрыва (относительно метрики Хаусдорфа) не более чем счетно.
Докажем теорему 3.
Предположим, что при некотором значении ρ ∈ (a, b) множество ω(Gρ ) неустойчиво по Ляпунову, и докажем, что ρ — точка разрыва отображения Φ(r) = ω(Gr ).
Неустойчивость по Ляпунову множества ω(Gρ ) означает, что существуют такие
последовательность точек ηm → ω(Gρ ), m → ∞, последовательность натуральных
чисел ϑm → ∞, m → ∞, и число C > 0, что при любом натуральном m верно неравенство
d f ϑm (ηm ), ω(Gρ ) C.
Переходя при необходимости к подпоследовательности, можно считать, что существуют пределы
lim ηm = η и
lim f ϑm (ηm ) = η .
m→∞
m→∞
Из компактности множества ω(Gρ ) следует, что η ∈ ω(Gρ ).
Из определения множества ω(Gρ ) вытекает, что существуют такие последовательности точек {ym , m ∈ } ⊂ Gρ и чисел {τm , m ∈ ; τm → ∞, m → ∞}, что
f τm (ym ) → η.
(4)
99
Последовательность {ym } можно, не умаляя общности, считать сходящейся. Пусть
lim ym = y.
m→∞
(5)
Из определения этой последовательности следует, что y ∈ Gρ .
Фиксируем m и задаем последовательность {xk,m : k ∈ } равенствами
⎧ k
k 0;
⎨ f (y),
f k (ym ),
0 < k τm ;
xk,m =
⎩ k
f (ηm ),
k > τm .
Так как выполнены соотношения (4) и (5), последовательность ξm является
dm -псевдотраекторией системы f с dm → 0, m → ∞. При этом x0,m = y и xlm ,m → η ,
где lm = τm + ϑm → ∞ и, следовательно, lm → ∞, m → ∞.
Из второго условия теоремы 3 следует, что существуют такие последовательность
динамических систем {gm } ⊂ X и последовательность чисел {νm → ∞, m → ∞}, что
gm → f
νm
в X и gm
(y) → η .
Это означает, что η ∈ P ∗ (X, y, f ). Теперь из условия теоремы и леммы 3 вытекает,
что
(6)
η ∈ Q∗ (y, f ).
Рассмотрим произвольное число r > ρ. Из соотношения (5) следует, что ym ∈ Gr
при достаточно больших m. Поэтому из формулы (6) получаем, что η ∈ ω(Gr ) = Φ(r).
Так как d(η , ω(Gρ )) C (переходим к пределу в неравенстве (6)), для любого
r > ρ расстояние по Хаусдорфу между множествами Φ(r) и Φ(ρ) можно оценить
снизу: dH (Φ(r), Φ(ρ)) C.
Это и означает, что ρ — точка разрыва отображения Φ. Согласно лемме 4 множество точек разрыва Φ не более чем счетно. Теорема доказана.
Заключение. В статье рассмотрена задача об устойчивости ω-предельных множеств областей. Введено новое свойство псевдотраекторий динамических систем:
точечно-слабое свойство отслеживания. Описана связь этого свойства с задачей о
типичности устойчивости по Ляпунову предельных множеств областей.
Литература
1. Пилюгин С. Ю. Предельные множества областей в динамических системах // Функц. анализ
и приложения. 1989. Т. 23. С. 82–83.
2. Пилюгин С. Ю. Предельные множества областей в потоках // Труды Ленингр. матем. об-ва.
1991. Т. 1. С. 211–228.
3. Pilyugin S. Yu. The Space of Dynamical Systems with the C 0 -Topology // Lect. Notes Math.:
Springer-Verlag, 1994. Vol. 1571. 188 p.
4. Пилюгин С. Ю. C 1 -вариант гипотезы Арнольда о предельных множествах областей // Труды
С.-Петерб. матем. об-ва. 2004. Т. 10. С. 173–183.
5. Добрынский В. А. Типичность динамических систем с устойчивой пролонгацией // Динамические системы и вопросы устойчивости. Киев, 1973. С. 43–53.
6. Щербина Н. В. О непрерывности однопараметрических семейств множеств // Докл. АН
СССР. 1977. Т. 234, № 2. С. 327–329.
Статья поступила в редакцию 20 сентября 2012 г.
100
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
254 Кб
Теги
система, слабое, отслеживания, свойства, динамическое, точечной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа