close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Точная асимптотика решений эллиптических уравнений вблизи гиперплоскости вырождения.

код для вставкиСкачать
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ17(214). Вып. 40
7
МАТЕМАТИКА
MSC 35J15
ТОЧНАЯ АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ ВБЛИЗИ ГИПЕРПЛОСКОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
В.П. Архипов
Старооскольский технологический институт НИТУ МИСиС, г. Старый Оскол, Россия
Ключевые слова: эллиптические уравнения, гиперплоскость вырождения, асимптотика,
граничные задачи.
В полосе ? = [0, 1] Ч Rn ? Rn+1 , x ? [0, 1], y = (y1 , y2 , ..., yn ) ? Rn рассматривается
модельное вырождающееся эллиптическое уравнение
(a(x)u?x (x, y))? + bu?x (x, y) + Lu(x, y) = f (x, y),
где a(x0 ) = 0, a(x) > 0 для x ?= x0 , Lu(x, y) = r
(1)
n
?
? 2 u(x, y)
, r > 0 и гиперплоскость
2
?y
i
i=1
x = x0 гиперплоскость вырождения уравнения (1). В зависимости от знака коэффициента b (см. [1]) постановка граничных задач изменяется, что обусловлено поведением
решений уравнения вблизи гиперплоскости вырождения x = x0 .
Настоящая работа посвящена выяснению точной асимптотики решений уравнения
(1) вблизи гиперплоскости x = x0 . Для этого проводится анализ (в образах Фурье)
решений обыкновенных вырождающихся дифференциальных уравнений с параметром
(a(x)vx? (x, ?))? + bvx? (x, ?) ? r? 2 v(x, ?) = g(x, ?),
где ? = (?1 , ?2 , ..., ?n ) ? R , ? =
n
2
n
?
(2)
?i2 , и устанавливаются их равномерные двусто-
i=1
ронние асимптотики при x ? x0 ± 0 и ? ? Rn . Исследования в значительной степени
основываются на результатах работы [2].
Определим решения v1,2 (x, ?) однородного уравнения (2), допускающие при некотором ? > 0 и x ? x0 + 0 при b < 0 асимптотические представления
v1 (x, ?) = w1 (x, ?)?(x, ?) = w1 (x, ?)
?
?
?k (x, ?),
k=0
? x +?
?
?0
b + ?(?, ?) ?
1
?
exp ?
d? , ?(?, ?) = b2 + 4a(? )r? 2 ,
w1 (x, ?) =
2
·
a(?
)
C1 (?) ?(x, ?)
x
(3)
8
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ17(214). Вып. 40
v2 (x, ?) = w2 (x, ?)?(x, ?) = w2 (x, ?)
?
?
?k (x, ?),
k=0
? x +?
?
?0
1
b ? ?(?, ?) ?
?
w2 (x, ?) =
exp ?
d? ,
2 · a(? )
C2 (?) ?(x, ?)
(4)
x
где последовательности ?k (x, ?), ?k (x, ?) задаются рекуррентными соотношениями
?k+1 (x, ?) = K1 ?k (x, ?), ?k+1 (x, ?) = K1 ?k (x, ?) с интегральными операторами
x?0 +?
K1 ?(x, ?) =
?x
K2+ (x, x1 , ?)?(x1 , ?) dx1 ,
K1 (x, x1 , ?)?(x1 , ?) dx1 , K2 ?(x, ?) =
x0
x0
?
?
?
?
?
x0 ? x1 ? x ? x0 + ?,
?
?x1
+
K1 (x, x1 , ?) =
?? ?(?, ?) d? ? , x ? x1 ? x0 + ?,
?
h(x
,
?)
exp
?
1
?
a(? )
?
h(x1 , ?),
?
?
x
K2+ (x, x1 , ?) = ?h(x1 , ?) + h(x1 , ?) exp ??
?x
?
?(?, ?) ?
d? , x0 ? x1 ? x ? x0 + ?,
a(? )
x1
2
h(x, ?) =
2
(a1 (x)? + a2 (x))r?
, a1 (x) = (5(a2 (x))? a? (x)?4a(x)(a2 (x))?? )r.a2 (x) = ?b2 (a2 (x))?? ,
2
2
5/2
2(b + 4a(x)r? )
Аналогичные формулы выписываются и слева от гиперплоскости.
Отметим один результат для неоднородного уравнения. При b < 0 и некотором ? > 0
установлено существование единственного решения v0 (x, ?) уравнения (2), удовлетворяющего условиям v0 (x0 ??, ?) = v0 (x0 +?, ?) = 0 и допускающего в частности равномерную
Mg
по x ? [0, 1] оценку |v0 (x, ?)|2 ?
.
1 + |?|2
Формальное применение обратного преобразования Фурье к формулам (3), (4) дает
асимптотическое представление решений однородного уравнения (1)
u1 (x, y) =
?
?
k=0
u1,k (x, y), u2 (x, y) =
?
?
(5)
k=0
?
u1,k (x, y) =
u2,k (x, y),
?
w1 (x, ?)?k (x, ?) exp(iy?) d?, u2,k (x, y) =
Rn
w2 (x, ?)?k (x, ?) exp(iy?) d?.
Rn
Главные (первые) члены асимптотик в (5) при этом имеют вид
?
?
u1,0 (x, y) = w1 (x, ?) exp(iy?) d?, u2,0 (x, y) = w2 (x, ?) exp(iy?) d?.
Rn
Rn
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ17(214). Вып. 40
9
Построенные представления решений позволяют получать асимптотические формулы решений неоднородного уравнения и соответствующих ему граничных задач.
Литература
1. Глушко В.П. Оценки в L2 и разрешимость общих граничных задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Труды Московского математического общества. 1970. 23. C.113-178.
2. Архипов В.П. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с вырождающимся коэффициентом при старшей производной // Дифференц. уравнения. 2011. 47, ќ
10. С.1383-1393.
EXACT ASYMPTOTIC OF ELLIPTIC EQUATIONS NEAR
DEGENERATION HYPERPLANE
V.P. Arkhipov
Starooskolsky Technology Institute NITU MISiS, Stary Oskol, Russia
Key words: elliptic equations, degeneration hyperplane, asymptotic, boundary problems.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
12
Размер файла
281 Кб
Теги
решение, уравнения, эллиптическая, вырождением, точная, гиперплоскостей, вблизи, асимптотики
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа