close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Точная оценка скорости убывания решения параболического уравнения второго порядка при t k -.

код для вставкиСкачать
2007
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (539)
УДК 517.946
Н.А. КУЛЬСАРИНА, В.Ф. ГИЛИМШИНА
ТОЧНАЯ ОЦЕНКА СКОРОСТИ УБЫВАНИЯ РЕШЕНИЯ
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ t
!1
Введение
Пусть | произвольная неограниченная область полупространства Rn+ , n 2, x =
(x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 Rn , x1 > 0. Рассмотрим в цилиндрической области D = ft > 0g линейное параболическое уравнение второго порядка
ut =
n
X
i;j =1
(aij (t; x)uxi )xj :
(1)
Коэффициенты уравнения aij (t; x) | измеримые функции, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности c постоянными , ;.
В работе изучается скорость убывания при t ! 1 решения первой смешанной задачи для
уравнения (1) c начально-краевыми условиями
u(t; x)jx2@ = 0;
(2)
u(0; x) = '(x); '(x) 2 L2 (
):
(3)
Исследования зависимости скорости убывания решений смешанных задач для параболического уравнения от геометрических характеристик неограниченной области начались в работах
[1]{[3]. В них при определенных условиях изопериметрического характера на область получена
точная оценка для решения второй смешанной задачи
p
sup ju(t; x)j C k'kL1 (
) =v( t); v(r) = mes fx 2 jxj < rg:
x2
Эти исследования были продолжены в работах [4], [5] для второй смешанной задачи и в [6], [7]
| для первой смешанной задачи. Известны также результаты для параболических уравнений
высокого порядка [8], [9].
В работах [6], [7] о скорости убывания решения первой смешанной задачи (1){(2) накладывается ряд технических требований как при получении оценки сверху, так и при доказательстве
точности этой оценки. В частности, в работе [7] для трубчатых областей вида
(f ) = fx 2 Rn; x = (x1 ; x0 ) jx0 j < f (x1 )g
эти условия таковы
Z r
1
ds
(4)
rlim
!1 f (r) = 1; rlim
!1 r=f (r) = 1; rlim
!1 ln r 1 f (s) = 1:
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
конкурс \Агидель", грант Є 05-01-97912.
35
Предполагается также существование постоянной A > 0 такой, что для всех достаточно удаленных точек (z; 0) оси Ox1 выполнены неравенства
A
z+r=2
Z
z;r=2
ds 1; r(z ) = dist (@ ; (z; 0)); z R :
0
f (s )
(5)
При этих условиях установлены оценки решения с неотрицательной начальной функцией ' 6 0
m1 exp ; K1
(t)
Z
1
ds=f (s) sup u(t; x) M1 exp ; k1
x
R
(t)
Z
1
ds=f (s) :
(6)
Здесь функция (t) определена равенством 2m () fds(s) = t, где m (z ) | радиус наибольшего
1
шара, помещающегося в \ fx1 < z g. Постоянные m1 , M1 , K1 , k положительны.
В данной работе накладывается лишь одно условие на область, обеспечивающее точные
оценки сверху и снизу скорости убывания решения при возрастании времени. Класс областей,
удовлетворяющих этому условию, шире, чем классы областей из работ [6], [7], для которых
доказаны точные оценки.
Введем обозначения
ba = fx 2 j a < x1 < bg; Sz = fx 2 j x1 = z g;
причем параметры a = 0 и b = 1 могут быть опущены.
Толщиной d(S; l) множества S Rn;1 вдоль прямой l Rn;1 назовем диаметр ортогональной проекции множества на эту прямую. В частности, d(Rn;1 ; l) = 1. Минимальной толщиной
множества S назовем величину d(S ) = infl d(S; l), где нижняя грань берется по всем прямым.
Определим функцию h(z ) = d(Sz ), принимающую значения из интервала (0; 1].
На область накладывается лишь одно
Условие B: существует > 0 такое, что для любого z > y0 выполняется неравенство
inf h(t) r(z ); s = r(z )=2:
[z;s;z+s]
Легко видеть, что условие (5) достаточно для выполнения этого неравенства.
Пусть yi , i = 0; 1, | последовательность чисел, определяемая равенствами yi+1 = yi +
r( yi +2yi+1 ). Положим y(N ) = maxfy0; y1 ; y0 ; : : : ; yN ; yN ;1g и пусть N (t) = maxfN j Ny2 (N ) tg.
Будем предполагать, что начальная функция '(x) имеет ограниченный носитель. Иначе, как
показано в ([10], с. 67), нельзя получить оценку решения более сильную, чем оценка Нэша [11]
для задачи Коши
ju(t; x)j Ct; n4 kukL2 (
)
(7)
с постоянной C , зависящей только от n, ; и .
Сдвигая, если нужно, нумерацию yN = yN +k , считаем, что supp '(x) y0 .
Основным результатом данной работы является
Теорема 1. Пусть область удовлетворяет условию B. Тогда найдутся положительные
числа k и M , зависящие только от , ;, , n и такие, что решение задачи (1) {(3) с начальной
y
2
функцией '(x) (supp '(x) 0 ) при всех t 2y (2), x 2 , удовлетворяет оценке
ju(t; x)j Mt; n4 exp(;kN (t))kukL2 (
):
(8)
Если начальная функция неотрицательна и ' 6 0, то найдутся положительные числа K , M1
tm такая, что
sup u(tm ; x) M1 exp(;KN (tm )); m = 1; 1:
и возрастающая к бесконечности последовательность
x2
36
(9)
Выведем из теоремы 1 для области, удовлетворяющей условию (5), неравенства (6). Тем
самым покажем, что излишними являются условия (4).
Пользуясь (5), установим неравенства
p Z yN
3
ds N A Z yN ds :
(10)
2 y0 f (s)
y0 f (s)
Очевидно, 1 A
скольку
yRi+1
ds . Складывая по i, устанавливаем
yi f (s)
r(z) = yi+1 ; yi = dist (@ ; (z; 0)), z = (yi + yi+1 )=2,
Z yi+1
yi
правое неравенство (10). Далее, пото [ymin
f (s) ;y ]
ds
yi+1 ; yi p2 ;
f (s) [ymin
f (s)
3
i ;yi+1 ]
i i+1
p3
откуда следует левая часть (10).
При y(N ) > y0 легко установить неравенства
y(N ) (y ) 2y(N ):
m N
2
Следствием (10) и (11) является соотношение
"
(t)
Z
y0
2
r(z ). Поэтому
(11)
ds N (t) ";1 Z (t) ds :
f (s)
y0 f (s)
(12)
Как уже отмечалось, условие (5) влечет условие B, и для такой трубчатой области справедливы оценки теоремы 1, из которых при помощи (12) выводим (6).
Нетрудно привести примеры областей, для которых условие (5) не выполнено, а условие
B выполнено. Можно, например, положить f (i) = i , 2 (0; 1), и f (s) = 1 при s 6= i, i =
1; 1. Тогда верхняя оценка (6) становится тривиальной, а нижняя оценка (6) не справедлива.
Теорема 1 дает точную оценку для этой области.
1. Вспомогательные утверждения
Введем обозначения Dab = (a; b) , DT = D0T . Через kukDT будем обозначать норму в
L2 (DT ). Гильбертово пространство W 12;1(DT ) определим как пополнение множества всех гладких
в DT функций с ограниченным носителем, равных нулю в окрестности боковой поверхности
(0; T ) @ , по норме
kuk2W 1;1(DT ) = kuk2DT + kruk2DT + kutk2DT ;
2
гильбертово пространство
Определение.
W 0;1 (DT ) | как пополнение того
2
kuk2W 0;1 (DT )
2
же множества функций по норме
+ kruk2DT :
(1){(3) в области DT будем называть функинтегральному тождеству
Обобщенным решением задачи
цию u(t; x) 2 W 0;1 (DT ), удовлетворяющую
2
= kuk2DT
Z
DT
; uvt +
n
X
i;j =1
aij (t; x)uxi vxj dx dt =
Z
'(x)v(0; x)dx
(13)
для любой функции v(t; x) 2 W 12;1 (DT ) такой, что v(T; x) = 0.
Функция u(t; x) | решение задачи (1){(3) в D, если при всех T > 0 она является решением
задачи (1){(3) в DT .
37
Решение задачи (1){(3) существует и единственно. Существование доказывается методом
Галеркина.
Вариант неравенства Стеклова{Фридрихса устанавливает
Лемма 1.
Пусть
u(x) 2 C01(
) и при некотором > 0 выполнено условие
min
h(t) (z ; y); z > y:
[y;z]
Тогда справедлива оценка
Z
u2dx (3 + 42 )(z ; y)2
z
Z
zy
y
Доказательство.
g(0)
= 0,
jruj2dx:
(14)
Известно неравенство Стеклова{Фридрихса для функции
Z
0
l
g
l
Z
x)dx l2 (g0 (x))2 dx:
g2 (
2 C 1[0; l],
(15)
0
Для g 2 C 1 [;l; l] справедливо неравенство
Z
l
0
g2 (x)dx 2
Z
0
;l
g2 (x)dx + 4l2
Действительно, из равенства
g(
x) = g(y) +
вытекает
Z
x) 2g2 (y) + 2
g2 (
y
x
g0 (
2
t)dt 2g2 (y) + 2
x
Z
y
x
Z
y
Z
l
;l
(g0 (x))2 dx:
(16)
g0 (
12 dt
t)dt
x
Z
y
(g0 (t))2 dt 2g2 (y) + 4l
Z
l
;l
(g0 (t))2 dt:
Отсюда интегрированием по x и y выводим (16).
Обозначим через r точку, в которой h(r ) = x min
h(x1 ). Пусть ось Ox2 выбрана в направле1 2[y;z]
нии, в котором сечение Sr = \ fx1 = r g имеет минимальную толщину. Рассмотрим области
Q1 = fx 2 Rn j r < x1 < z; jx2 j > h(r )g;
Q2 = fx 2 Rn j y < x1 < r; jx2 j > h(r)g;
Q+3 = fx 2 Rn j y < x1 < z; 0 < x2 < h(r)g;
Q;3 = fx 2 Rn j y < x1 < z; ;h(r) < x2 < 0g:
Множество S = fx 2 Rn : x1 = r, jx2 j > h(r )g расположено вне , и на нем u = 0. Поэтому,
используя неравенство (15), получим
Z
Q1
u2 dx =
Z
1
;1
dxn : : : dx3
Z
dx2
Z
z
u2 dx1 jx2 j>h(r)
r
Z 1
Z
Z z
Z
jz ; rj2 dxn : : : dx3
dx2 jruj2 dx1 jz ; yj2 jruj2 dx:
;1
jx2 j>h(r)
r
Q1
Для области Q2 и для Q1 [ Q2 справедливы аналогичные оценки.
38
Через Q+ , Q; будем обозначать части области Q, расположенные в полупространствах
fx2 >0g и fx2 < 0g соответственно. Обозначая h(r ) = l и применяя неравенство (16), имеем
Z
u2dx =
;
Q3
+ 4l2
Z
1
;1
Z 1
dxn : : : dx3
;1
dxn : : : dx3
z
Z
y
Z
z
y
dx1
dx1
Z
0
;l
Z
u2 dx2 2
0
;2l
1
Z
;1
jruj2 dx2 2
dxn : : : dx3
Z
z
Z
y
dx1
Z
;l
;2l
u2 dx2 +
Z
jruj2 dx (Q1 [Q2 )
(
zy );
Z
Z
2 dx + 4l2
2jz ; yj2
jr
u
j
jruj2dx:
;
z
;
(Q1 [Q2 )
(
y )
u2 dx + 4l2
;
R
R
Для области Q+3 оценка аналогична полученной. Отсюда z u2 dx =
u2 dx 3jz ; yj2 y
Q1 [Q2 [Q3
R
jruj2 dx + 4i2 Rz jruj2dx. Из последнего непосредственно вытекает (14).
Q1 [Q2
y
Утверждение 1.
Для обобщенного решения
u(t; x) задачи (1){(3) при всех t 0 справедливо
равенство
Z
u2 (t; x)dx =
Z
'2 (x)dx ; 2
tZ
Z
0
ru(; x)A(; x)ru(; x)dx d:
(17)
Доказательство утверждения 1 для общего линейного уравнения приведено в ([12], с. 509) в
случае ограниченной области. Для неограниченной области оно проводится без существенных
изменений.
0 00 и неотрицательные начальные функции '1 (x),
'2 (x) удовлетворяют неравенству '1 (x) '2 (x) для почти всех x 2 . Тогда решения u1 (t; x)
0
и u2 (t; x) соответствующих задач (1){(3) удовлетворяют для всех t > 0 и x 2 неравенству
u1 (t; x) u2 (t; x).
([12]).
Утверждение 2
Пусть
Из неравенства (15) сразу следует
Z
Лемма 2.
Пусть
неравенство
Z
v 2 C01 (
):
v2 dx y02 y jrvj2 dx;
y0
0
(18)
| постоянная из условия B. Для любой функции v 2 C01(
) справедливо
Z
yN
Z
v2 (x)dx C ()y2(N )
yN
jrvj2 (x)dx; N = 0; 1:
Благодаря условию B, при каждом i = 0; 1 для области yyii+1 применима
лемма 1. Имеем оценку
Доказательство.
Z
yyii+1
v2 (x)dx C ()(y
2
i+1 ; yi )
Z
yyii+1
jrvj2 (x)dx:
(19)
Суммируя неравенства (18), (19) и пользуясь тем, что (yi+1 ; yi ) y(N ), получим утверждение
леммы 2.
39
2. Оценка сверху
Сначала докажем утверждение о поведении решения при большом x.
Утверждение 3. Для обобщенного решения u(t; x) задачи (1){(2) в области , удовлетворяющей условию B, при всех t 0, N 2 справедлива оценка
Z
yN
u2 (t)dx ke; Nk k'k2 ;
k > 0 зависит только от ; ;; .
Доказательство. Выберем число k > 1 так, чтобы выполнялось неравенство
p
; C ()e k1 :
k
где постоянная
(20)
Рассмотрим неотрицательную непрерывную неубывающую функцию, равную нулю при x1 y0
и единице при x1 > yN , а в остальном определенную формулой
8
<ax + b;
если y < x y ;
(x1 ) = :exp1 i;N +x1;yi ; если y0 < x 1 y 1 ; i = 1; N ; 1:
i
1
i+1
k(yi+1 ;yi )
Нетрудно установить следующие соотношения:
x1 = k(y ; y ) ; x1 2 [yi ; yi+1 ]; i = 1; N ; 1;
i+1
i
1;N
k
e
x1 = y ; y ; x1 2 [y0 ; y1 ];
1
0
(yi+1 ) = e k1 ; i = 1; N ; 1; (y ) = e 1;kN :
1
(y )
(21)
i
Осреднением Стеклова функции v(t; x) является
Z t+h
1
v (t; x) =
v(; x)d:
h
h t
В интегральном тождестве (13) положим v = !;h, h , где !(; x) 2 W 02;1 (Dt ) и продолжена
нулем вне интервала (0; t) (0; T ; ). В результате несложных преобразований получим
равенство
Z
Dt
(uh ) ! +
Подставим в него ! = uh (; x) (x1 )
X
n
i;j =1
aij uxi !xj dx d = 0:
h
=t
n
1 Z u2 dx + Z X
aij uxi (uh )xj dx d = 0:
2 h =0
Dt
h
i;j =1
Из принадлежности функции u пространству W 02;1 (DT ) по лемме из ([12], с. 101) следует, что
ее осреднение Стеклова сходится к самой функции в DT ; по норме пространства W 02;1 (DT ; ).
Перейдя в последнем равенстве к пределу при h ! 0, получим
n
1 Z u2 =t dx + Z X
a
u
(
u
)
ij xi
xj dx d = 0:
2 =0
Dt
i;j =1
40
Используя условие равномерной эллиптичности, устанавливаем
1 Z u2 =t dx + Z jruj2 dx d ; Z juj jrujjr jdx d:
2 =0
Dt
Dt
Рассмотрим правую часть последнего неравенства
;
Z
D
juj jrujx1 dx d =
t
tZ
Z
0
y1 ;juj jrujx1 dx d +
y0
NX
;1 Z t Z
i=1 0
yyii+1
(22)
;juj jruj k(y (x1;) y ) dx d:
i+1
i
Обозначая первое слагаемое правой части через I1 и преобразуя второе слагаемое, получим
Z
NX
;1 ; Z t Z
2 pC ( )
2
jr
u
j
u
;juj jrujx1 dxd I1 +
dx d: (23)
+ p
y 2
2 C ()(yi+1 ; yi )2
Dt
i=1 k 0 yii+1
Пользуясь (19), оценим интеграл
Z
yyii+1
u2dx (y
i+1 )
Z
yyii+1
u2dx C ()(y
2
i+1 ; yi ) (yi+1 )
C ()(yi+1 ; yi)2 (y(yi+1) ) yi+1
yi
i
Z
Z
yyii+1
jruj2 dx 2 1
i+1 ; yi ) e k
jruj2 dx C ()(y
Тогда из (23), учитывая последнее неравенство и (20), получим
Z
Dt
;juj jrujx1 dx d I1 +
tZ
Z
0
yyN1
I1 =
p
1;N
k
e
;
j
u
j
jr
u
j
y1 ; y0 dx d:
yy10
tZ
0
Положим " = C ()(y1 ; y0 ). Учитывая, что согласно (19)
Z
будем иметь
yy10
juj jrujdx I1 Z
yy10
Z
tZ
jruj2 " + juj2 dx Z "jruj2 dx;
y1
2
2"
y0
y1 ;e
0 y0
1;N q
k
C ()
jruj2dx:
Теперь, пользуясь утверждением 1, получим
q
I1 2; e 1;kN C ()k'k2 :
Наконец, из (24) и равенства u2 jt=0 = 0 имеем
1 Z u2 dx ; e 1;kN qC ()k'k2 :
2 1yN
2
Утверждение 3 следует из (20).
41
yyii+1
jruj2 dx:
jruj2 dx d:
Отсюда, принимая во внимание (22), имеем
1 Z u2 =t dx + Z t Z jruj2 dx d I :
1
2 =0
0 1
yN
Оценим I1 . Ввиду (21) имеем
Z
Z
(24)
Доказательство оценки (8). Для любого t 2y2 (2) выполнено неравенство N (t) 2.
Зафиксируем произвольное t 2y0 и N 2. Согласно утверждению 3 получим
Z
Введем обозначение
u2 (t)dx ke; Nk k'k2 :
N
N
"(N ) = k(e; k )k'k2 .
Z
Тогда при всех > 0 имеем
Z
u2 (; x)dx "(N ) +
yN
u2 (; x)dx:
(25)
Положим = (C ()y2 (N ));1 . Умножая обе части неравенства (25) на , по лемме 2 получим
Далее
Z
Z
Z
u2(; x)dx ; "(N ) u2(; x)dx ; "(N )
;1
R
N
Z
jruj2 dx; > 0:
ruA(t; x)rudx; > 0:
(26)
Вводя обозначение E (t) = u2 (t; x)dx и дифференцируя (17) по t, имеем
dE (t) = ;2 Z ru(t; x)A(t; x)ru(t; x)dx:
dt
Учитывая последнее, из (26) получим
dE ( ) ;2 (E ( ) ; "(N )); > 0:
d
Отсюда
E ( ) "(N ) + E (0)e;2 ; > 0:
Взяв = 2t и заметив, что E (0) = k'k2 , получим
E 2t ke; Nk k'k2 + e;t k'k2 :
Выбрав
N = N (t), устанавливаем неравенство E ( 2t ) (k + 1) exp(;2N (t))k'k2 , где =
;1
min 2k ; 2C() . Из неравенства Нэша (7) и утверждения 2 следует оценка, завершающая доказательство оценки (8),
; n4
ju(t; x)j c1 2t
p
k + 1 exp(;N (t))k'k: 3. Оценка снизу
В этом разделе точки пространства Rn будем выделять жирным шрифтом.
Докажем соотношение (9) теоремы 1.
Напомним неравенство Гарнака, установленное Ю.
Мозером. Сформулируем его в удобном
для нас виде. Обозначим через B (; y) = fx 2 Rn jx ; yj g шар радиуса с центром в
точке y 2 Rn . Для неотрицательного в цилиндре Q = B (2; z) [0; 92 ] решения уравнения (1)
справедливо соотношение
max
u(t; x) H min
u(t; x);
Q;
Q+
H 1 зависит лишь от , ;, n и
Q+ = B (; z) [82 ; 92 ]; Q; = B (; z) [2 ; 22 ]:
в котором постоянная
42
Из неравенства Гарнака вытекает
Лемма 3. Пусть точки (t0 ; x0 ); (t1 ; x1 ) 2 D , z = (z; 0) 2 и число таковы, что
jxi ; (z; 0)j r(z)=2; i = 0; 1; t0 = t1 ; 82 2:
Тогда неотрицательное в D решение уравнения (1) удовлетворяет неравенству
u(t0 ; x0 ) Hu(t1 ; x1 ):
Действительно, в силу условия леммы для точек (t0 ; x0 ), (t1 ; x1 ) существует цилиндр Q =
B (2; z) [0; 92 ], содержащийся в D и такой, что (t0 ; x0 ) 2 Q; и (t1 ; x1 ) 2 Q+. Тогда согласно
неравенству Гарнака имеем
u(t0; x0 ) max
u(t; x) H min
u(t; x) Hu(t1 ; x1 ):
Q;
Q+
Положим x0 = (y0 ; 0), x1 = (y1 ; 0), 0 = (y1 ; y0 )=2, t0 = 20 , t1 = t0 + 820 . Тогда для пар
(t0 ; x0 ), (t1 ; x1 ) при z = ((y0 + y1)=2; 0) выполнены условия леммы 3, поскольку
B (20 ; (z; 0)) = B (r(z); z) :
Зафиксируем некоторое положительное число t > t0 . Далее положим
j = (yj+1 ; yj )=2; tj+1 = tj + 82j ; wi = ((yj + yj+1 )=2; 0); j = 0; 1:
Из определения последовательности fyj g следуют неравенства
(27)
j+1 3j ; j = 0; 1;
иначе неравенство i+1 > 3i влечет B (2i ; wi ) B (2i+1 ; wi+1 ), что невозможно.
Индукцией по j установим
tj 2j ; j = 0; 1:
(28)
Действительно, по выбору t0 = 20 и предположению индукции, в силу (27)
tj+1 = tj + 82j 92j 2j+1 :
Применяя (28) и определение последовательности fyj g, заключаем, что пары (tj ; xj ), (tj+1 ; xj+1 ),
j = 0; 1, удовлетворяют условиям леммы 3, и тогда справедливы неравенства
(29)
u(tj ; xj ) Hu(tj+1 ; xj+1 ); j = 0; 1:
Зафиксируем m 2. Предположим сначала, что N (tm ) m ; 1. Тогда из (29) получаем
неравенства
u(tm; xm ) H ;mu(t0 ; x0 ) M0 H ;N (tm) :
Пусть теперь N (tm ) < m и q N (tm ) + 1 | первый номер, для которого y(N + 1) = yq+1 ; yq .
Если y(N + 1) = y0, то полагаем q = 0. С этого номера внесем изменения в последовательности
j , xj , tj , полагая j = q , xj = xq , t0j = tq + 82q (j ; q), j = q + 1; 1. Очевидно, по лемме 3
измененная последовательность также удовлетворяет неравенствам (29). Пусть k | первый
номер, для которого t0k tm . Можно считать, что t0k = tm , уменьшив, в случае необходимости,
k так, чтобы t0k = t0k;1 + 82k = tm. Согласно (29)
u(tm ; xq ) = u(t0k ; xk ) H ;k u(t0 ; x0 ):
Из определения функции N (t), следует неравенство y2 (tNm+1) N +1. Заметим, что в случае q 1
имеем 2q = yq+1 ; yq = y(N + 1) и
k = q + (k ; q) N + 1 + 8t 2 = N + 1 + 2y2 (Ntm + 1) 2(N + 1):
q
43
Если же y(N + 1) = y0 , то 2q = y1 ; y0 = y1y;0y0 y(N + 1), и
2
2 1
y
t
1
y
t
0
m
0
m
=
N
+
1
+
(
N
+
1)
1
+
k N + 1 + 82
2 y1 ; y0 y2 (N + 1)
2 y 1 ; y0 :
q
Таким образом, всегда
max
u(tm ; xm ) H ;K(N (tm )+1) M0:
x
Неравенство (9) теоремы доказано.
Литература
1. Гущин А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка //Тр. матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. { 1973. { Т. 126. { С. 5{45.
2. Гущин А.К. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения
второго порядка // Матем. сб. { 1976. { Т. 101. { Є 4. { C. 459{499.
3. Гущин А.К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. { 1982. { Т. 119. { Є 4. { C. 451{508.
4. Лежнев А.В. О поведении при больших значениях времени неотрицательных решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. { 1986. { Т. 129. { Є 2.
{ С. 186{200.
5. Ушаков В.И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка в нецилиндрической области // Матем. сб. { 1980. { Т. 111. { Є 1. {
С. 95{115.
6. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. { 1980. { Т. 111. { Є 4. { С. 503{521.
7. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при t ! 1 решения
первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго
8.
9.
10.
11.
12.
// Матем. сб. { 2000. { Т. 191. { Є 2. { С. 91{131.
Мукминов Ф.Х. Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. { 1987. { Т. 23. { Є 10. { С. 1172{1180.
Тедеев А.Ф. Стабилизация первой смешанной задачи для квазилинейного параболического
уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. { 1989. { Т. 25. { Є 3. { С. 491{498.
Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка: Дис. : : : канд. физ.-матем. наук. { М.: МГУ, 1981. { 75 с.
Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations // Amer. J. Math. { 1958. {
V. 80. { P. 931{953.
Ладыженская О.А, Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения
параболического типа. { М.: Наука, 1967. { 736 с.
порядка
Башкирский государственный
Поступила
26.04.2005
педагогический университет
44
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
209 Кб
Теги
решение, уравнения, оценки, точная, убывание, скорость, порядке, параболические, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа