close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Точные решения систем уравнений типа реакция - диффузия.

код для вставкиСкачать
Вычислительные технологии
Том 3, № 4, 1998
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
ТИПА РЕАКЦИЯ — ДИФФУЗИЯ ∗
А. В. Шмидт
Институт вычислительного моделирования, Красноярск, Россия
Two-component reaction-diffusion systems have been described that can be reduced to
a single equation. The examples of constructing the solutions of such systems are given.
В настоящее время ведутся интенсивные исследования явлений самоорганизации в различных неравновесных системах, заключающихся в возникновении и эволюции упорядоченных пространственно-временных структур. Примером последних могут служить автоволны [1, 2], которые формируются в так называемых возбудимых средах в ответ на внешнее возмущение. Существует множество примеров возбудимых сред: нервные и мышечные
ткани [3], колонии микроорганизмов [4], ряд химических растворов и гелей [5, 6], магнитные сверхпроводники с током [7], некоторые твердотельные системы [8]. Общепринятой
моделью для описания возбудимых сред является система нелинейных параболических
уравнений типа реакция — диффузия (см., например, [9])
Ct = ∇(D(C)∇C) + F (C),
(1)
где C — вектор состояния элементарного объема возбудимой среды.
О. В. Капцов [10] предложил простой метод построения точных решений двухкомпонентных систем (1), для случая, когда коэффициенты диффузии являются константами,
основанный на редукции систем к одному уравнению с помощью дифференциальных подстановок. Групповая классификация уравнения Tt = (m(T )Tx )x + Q(T ) проведена в работе
[11]. Вопрос о полной групповой классификации системы (1) остается открытым.
Цель работы — используя метод, предложенный О. В. Капцовым [10], провести описание двухкомпонентных систем уравнений (1), обладающих дифференциальными подстановками.
1. Системы реакция — диффузия и дифференциальные
подстановки
В работе исследуются двухкомпонентные системы (1)
ut = (K(u, v)ux )x + F (u, v),
vt = (P (u, v)vx )x + G(u, v),
Работа выполнена при финансовой поддержке ISSEP (грант s97–3099).
c А. В. Шмидт, 1998.
°
∗
87
(2)
88
А. В. Шмидт
где функции u и v зависят от x и t. В дальнейшем рассматриваются только нераспадающиеся системы (2), то есть системы, в которых оба уравнения зависят от u и v.
Говорят [10], что система (2) допускает дифференциальную подстановку n-го порядка,
если в результате замены
u = w(v, v (1) , . . . , v (n) ),
(3)
где v (i) — частная производная i-го порядка по x функции v, первое уравнение системы
удовлетворяется тождественно (в силу второго уравнения).
Лемма 1. Системы (2) допускают дифференциальные подстановки не выше второго
порядка.
Доказательство. Пользуясь формулой (3) и вторым уравнением системы (2), можно
вычислить производные любого порядка функции u. Подставив значения этих производных в первое уравнение системы (2), получим уравнение редукции, которое, очевидно,
будет содержать производные функции v по x порядков, больших n. Требуя, чтобы уравнение редукции удовлетворялось тождественно и собирая подобные члены при указанных
выше производных функции v, получим ряд выражений.
Для доказательства леммы 1 достаточно следить за коэффициентом при старшей про(n)
изводной функции v по x уравнения редукции. Используя (3), находим ut = wv(n) vt +. . . .
(n)
(n)
Производную vt дает второе уравнение системы (2) — vt = Pu u(n+1) v (1) + . . . . Далее, из
(3) определяем u(n+1) = wv(n) v (2n+1) + . . . . Таким образом, Pu wv2(n) v (1) v (2n+1) — слагаемое,
содержащее старшую производную функции v по x левой части уравнения редукции. С
другой стороны, из первого уравнения системы (2) следует, что ut = Ku(2) +. . . . Несложно
видеть, что старшая производная v по x правой части уравнения редукции — v (n+2) . Из
неравенства 2n + 1 > n + 2 следует, что 2 ≤ n < ∞, то есть, если порядок дифференциальной подстановки выше 1, то P = P (v).
Рассмотрим систему
ut = (K(u, v)ux )x + F (u, v),
vt = (P (v)vx )x + G(u, v).
(4)
Повторяя предыдущие рассуждения, несложно получить, что если порядок подстановки
выше 2, то G = G(v) — система (4) “распадается”. Лемма 1 доказана.
Таким образом, для систем (2) необходимо подробно рассмотреть дифференциальные
подстановки первого порядка, а для систем (4) — дифференциальные подстановки второго
порядка.
2. Дифференциальные подстановки первого порядка
Рассматриваются дифференциальные подстановки первого порядка u = w(v, vx ) для систем (2). Требуя тождественного удовлетворения уравнения редукции и собирая подобные
2
, vxx , получаем следующие уравнения:
члены при vxxx , vxx
P + Pu wvx vx = K,
(5)
Pu wvx vx wvx vx + 2Pu wv2x + Puu wv3x vx = Kwvx vx + Ku wv2x ,
(6)
wv (P + Pu wvx vx ) + wvx (3Pu wv vx + 3Pv vx + 2Pu wvvx vx2 + 2Puu wv wvx vx2 + 2Puv wvx vx2 +
+Gu wvx ) = K(wv + 2wvvx vx ) + 2Ku wv wvx + Kv wvx vx ,
(7)
89
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ РЕАКЦИЯ — ДИФФУЗИЯ
наконец, оставшиеся слагаемые дадут еще одно уравнение
wv (Pu wv vx2 + Pv vx2 + G) + wvx (Pu wvv vx3 + Puu wv2 vx3 + 2Puv wv vx3 + Pvv vx3 + Gu wv vx + Gv vx ) =
= Kwvv vx2 + Ku wv2 vx2 + Kv wv vx2 + F.
(8)
Обозначим wvx vx через D(u, v). Тогда уравнение (6), после умножения на vx2 , принимает
вид
P wvx vx vx2 = Pu D2 (1 − Du ).
(9)
Справедливы следующие равенства:
(wvx vx )vx vx = wvx vx vx2 + wvx vx , Dvx vx = Du wvx vx = Du D = wvx vx vx2 + D, Du D − D = wvx vx vx2 .
Следовательно, уравнение (9) можно переписать следующим образом
P + Pu wvx vx = 0.
(10)
Тогда из уравнений (5) и (10) следует, что K = 0. Интегрируя уравнение (10), находим
P (u, v) =
a(v)
,
vx
(11)
где a — функция, произвольным образом зависящая от v. Уравнения (7), (8) после несложных преобразований, с учетом того, что Gvx vx = 0, переходят в следующие:
aa0
+ c,
P
õ
!
¶
0
1
P
a
P
F (u, v) = wv c + wvx vx c0 =
− Pv c −
c0 ,
Pu
a
Pu
G(u, v) = −vx2 (Pu wv + Pv ) + c = −
(12)
где c — произвольная функция от v. Подставляя функции P (u(v, vx ), v) и G(u(v, vx ), v),
определяемые по формулам (11) и (12), во второе уравнение системы (2), получаем редуцированное уравнение
vt = c(v).
(13)
Таким образом, справедлива
Лемма 2. Система
!
õ
¶
P (u, v)a0 (v)
P (u, v) 0
1
− Pv (u, v) c(v) −
c (v) ,
ut =
Pu (u, v)
a(v)
Pu (u, v)
vt = (P (u, v)vx )x +
a(v)a0 (v)
+ c(v),
P (u, v)
(14)
где a, c, P — произвольные функции, дифференциальной подстановкой первого порядка,
определяемой из (11), редуцируется к уравнению (13).
Замечание 1. Очевидно, что решения уравнения (13), а следовательно, и системы
(14), содержат произвольную функцию от x.
Предположив линейность подстановки относительно производной vx
u = a(v)vx + b(v),
(15)
90
А. В. Шмидт
получаем, что уравнение (6) тождественно удовлетворено, а из уравнения (5) имеем
K(u, v) = P (u, v) + Pu (u, v)(u − b). Используя последнее выражение, а также формулы
(7) и (15), находим
µ ¶
(u − b)2 P
G(u, v) = −
+ c(v),
(16)
a
a v
где c(v) — произвольная функция. После несложных преобразований уравнения (8) получим
¶
µ 0
¶
µ 00
a
Pvv
a
3
00
0
(u − b) + b + Gv (u − b) + (3G − 2c)
(u − b) + b . (17)
F (u, v) = 2 (u − b) − P
a
a
a
Подставив u из формулы (15) во второе уравнение системы (2), получаем редуцированное
уравнение
vt = (P (avx + b, v)vx )x + G(avx + b, v).
(18)
Таким образом, имеет место
Лемма 3. Система
µµ
¶ ¶
ut =
P (u, v) + Pu (u, v)(u − b) ux + F (u, v),
x
vt =
µ
P (u, v)vx
¶
+ G(u, v),
(19)
x
где P — произвольная функция, G определяется по формуле (16), а F по формуле (17),
заменой (15) редуцируется к уравнению (18).
В следующей лемме 4 выделяется класс систем (19), редуцируемых к уравнению
vt = q(v)vxx .
(20)
Лемма 4. Система
¶
µ
1
1
q 0 b0
2
00
− b00 q,
−
ut = (qux )x − 2 (u − b) + rb
a
a2 u − b
µµ
¶ ¶
r
u−b
vt =
+ q vx − 2 (q 0 (u − b) + r0 ),
u−b
a
x
(q, r, b — произвольные функции от v, a — константа) дифференциальной подстановкой
первого порядка u = avx + b(v) редуцируется к уравнению (20).
Для доказательства леммы 4 следует рассмотреть уравнение (18). Требуя, чтобы система (19) редуцировалась к уравнению (20), то есть (18) переходило в (20), определяем
функции P , K, F , и G.
Пример построения решений. В случае, когда q(v) = v 2 , получаем редуцированное
уравнение vt = v 2 vxx , которое, в свою очередь, сводится [12] к линейному уравнению
теплопроводности zt = zyy . Редукция осуществляется точечным преобразованием x = z,
v = zy . √
Возьмем, например, одно из решений линейного уравнения теплопроводности z =
−λt
e sin λy. Тогда функции
√
p
λ ax
v = λ(e−2λt − x2 ), u = b(v) − √
e−2λt − x2
91
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ РЕАКЦИЯ — ДИФФУЗИЯ
являются решениями системы
¶
µ
2vb0 (v)
1
1
2
00
ut = (v ux )x −
− b00 (v)v 2 ,
(u − b(v)) + r(v)b (v) 2 −
a2
a
u − b(v)
¶ ¶
µµ
u − b(v)
r(v)
2
+ v vx −
(2v(u − b(v)) + r0 (v)).
vt =
2
u − b(v)
a
x
2
Таким образом в леммах 2, 3 описаны все системы реакция — диффузия (2), обладающие дифференциальными подстановками первого порядка.
3. Дифференциальные подстановки второго порядка
Рассматриваются дифференциальные подстановки второго порядка u = w(v, vx , vxx ) для
систем (4). Требуя тождественного удовлетворения уравнения редукции и собирая подоб2
ные члены при vxxxx , vxxx
, vxxx , получаем следующие уравнения:
P + Gu wvxx = K,
(21)
wvxx (Guu wv2xx + Gu wvxx vxx ) = Kwvxx vxx + Ku wv2xx ,
(22)
wvx (Gu wvxx + P ) + wvxx (4P 0 vx + 2Guu wvxx (wv vx + wvx vx x) + 2Guv wvxx vx + Gu (2wvvxx +
+2wvx vxx vxx +wvx )) = K(2wvvxx vx +2wvx vxx vxx +wvx )+wvxx (2Ku (wv vx +wvx vxx )+Kv vx ), (23)
наконец, оставшиеся слагаемые дадут еще одно уравнение
wv (P 0 vx2 + P vxx + G) + wvx (P 00 vx3 + 3P 0 vx vxx + Gu (wv vx + wvx vxx ) + Gv vx ) + wvxx (P 000 vx4 +
+6P 00 vx2 vxx + 3P 0 vx2 + (Guv (wv vx + wvx vxx ) + Gvv vx )vx + Gu ((wvv vx + wvvx vxx )vx + wv vxx +
+(wvvx vx + wvx vx vxx )vxx ) + (wv vx + wvx vxx )(Guu (wv vx + wvx vxx ) + Guv vx ) + Gv vxx ) =
= K((wvv vx + wvvx vxx )vx + wv vxx + (wvvx vx + wvx vx vxx )vxx )+
+(Ku (wv vx + wvx vxx ) + Kv vx )(wv vx + wvx vxx ) + F.
(24)
Обозначим wvxx через D(u, v) и проанализируем уравнения (21) и (22):
K = P (v) + Gu D, Ku = Guu D + Gu Du ,
D(Guu D2 + Gu DDu ) = (P (v) + Gu D)DDu + (Guu D + Gu Du )D2 , P (v) + Gu D = 0,
то есть K = 0. Возвращаясь к старым обозначениям и интегрируя по vxx уравнение P +
Gu wvxx = 0, получаем
G = −P vxx + c1 (v, vx ).
(25)
Уравнение (23) несложно преобразовать к виду 2P 0 vx + Gu wvx = 0, что после интегрирования по vx дает
G = −P 0 vx2 + c2 (v, vxx ).
(26)
Очевидно, из формул (25), (26) следует, что
G = −P (v)vxx − P 0 (v)vx2 + c(v).
(27)
92
А. В. Шмидт
Подставив найденную функцию G(u(v, vx , vxx ), v) во второе уравнение системы (4), получим редуцированное уравнение (13). Используя выражения (24), (27), находим F =
cwv + c0 wvx vx + (c00 vx2 + c0 vxx )wvxx , откуда несложно получить
µ
µ
¶ ¶
¶
µ
vxx P 2 c00
1 P 0c
P P 00
0
0
0
F (u, v, vxx ) =
+ Pc +
−P c +
(G − c) − Gv c + Gc . (28)
Gu
P0
P0
Gu P
Выразив производную vxx из формулы (27) и подставив ее в (28), получим
µ
µ 02
µ
¶ ¶
¶
1 P 0c
vx2
P
00
0 0
2
00
0
− Pc − P c +
F (u, v, vx ) =
−P c +
(G − c) − Gv c + Gc .
Gu
P
Gu P
(29)
Таким образом, имеет место
Лемма 5. а) Система
ut = F (u, v, vxx ),
vt = (P (v)vx )x + G(u, v),
где P , G — произвольные функции, а F (u, v, vxx ) определяется по формуле (28), дифференциальной подстановкой второго порядка, определяемой из (27), редуцируется к уравнению (13).
б) Система
ut = F (u, v, vx2 ),
vt = (P (v)vx )x + G(u, v),
где P , G — произвольные функции, а F (u, v, vx2 ) определяется по формуле (29), дифференциальной подстановкой второго порядка, определяемой из (27), редуцируется к уравнению (13).
Замечание 2. Очевидно, что если функция c(v) удовлетворяет линейному ОДУ второго порядка
¶
µ
P 02
00
0 0
00
c = 0,
Pc + P c + P −
P
то функция F зависит только от u и v. Другими словами, выделяются системы в исходной
постановке, обладающие дифференциальными подстановками второго порядка.
Уравнение (22) тождественно удовлетворится в том случае, когда дифференциальная
подстановка имеет вид u = a(v, vx )vxx + b(v, vx ). Тогда из (21) имеем
K(u, v) = P (v) + Gu (u, v)a,
(30)
следовательно, a = a(v). После несложных преобразований из (23) получаем
¶
µ
2P a0
b vx
0
− 3P 0 ,
− a Gu =
Guv a +
vx
a
откуда следует, что b = φ(v)vx2 + ψ(v), и, возвращаясь к старым обозначениям, имеем
u = a(v)vxx + b(v)vx2 + c(v),
Guv +
2P a0 − 3P 0 a
2b − a0
Gu =
.
a
a2
(31)
(32)
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ РЕАКЦИЯ — ДИФФУЗИЯ
Интегрирование по v уравнения (32) дает:
!
ÃZ
0
0
R a0 −2b
R 2b−a0
2P
a
−
3P
a
Gu = e a dv
e a dv dv + h(u) ,
a2
!
ÃZ
0
0
R 2b−a0
R a0 −2b
2P
a
−
3P
a
e a dv dv + h(u) ,
K = P + ae a dv
a2
где h(u) — произвольная функция. Интегрируя уравнение (33) по u, находим
à Z
!
0
0
R a0 −2b
R
0
2P a − 3P a 2b−a dv
G = e a dv u
dv + H(u) + r(v),
e a
a2
93
(33)
(34)
(35)
где r(v) — произвольная функция, а H(u) — первообразная функции h. Используя формулы (24), (30), (31), (32), несложно получить, что
à µ
¶
¶ µ
0
a
a02
a2
000
00
00
0 0
0a
0
0 0
00
02
0
2
F = vxx 2 P a−4P b−P b −3P b +2P b +Gu a b + 2(P b) −2P +3P a +P a −Gu a −
b
a
b
a
!
Ã
µ µ
¶
0
u−c
P 000 a
a02
b00
a0
0
00
0b
−2P b − 4P a + vxx
2a P −
+ 2P
+ 3P + P
− 3P 0 a0 + 4P b − 2(P b)0 −
b
b
b
b
a
a
!
Ã
¶
µ
¶
µ ¶0
a0 b 0
1
u−c
a
0 0
00
0 2
0 0
2
00
−4P
+ 3P ac +P ac −3P a −2P a c +Gvv a
+
−P a +Gb
Gb0 +2Gv b+
b
b
b
b
µ
¶!
0 0
0 0
c
a
b
a
u
−
c
+3P 0 a+2P
P 000 a+2P 00 b+2P
−3P 0 c0 +Gvv a−P c00 +
−3P 0 b0 −P b00
+Gc0 . (36)
a
b
a
Подставив u из формулы (31) во второе уравнение системы (4), получаем редуцированное
уравнение
Ã
Z
R a0 −2b
2P a0 − 3P 0 a R 2b−a0 dv
dv
0 2
2
e a
dv+
vt = P vxx + P vx + e a
(avxx + bvx + c)
a2
!
+H(avxx + bvx2 + c)
+ r(v).
(37)
Таким образом, имеет место
Лемма 6. Система
ut = (K(u, v)ux )x + F (u, v, vxx ),
vt = (P (v)vx )x + G(u, v),
где P — произвольная функция, функции K и G определяются соответственно по формулам (34) и (35), а F (u, v, vxx ) находится из (36), заменой (31) редуцируется к уравнению (37).
Замечание 3. Выражая из уравнения (31) производную vxx и подставляя в формулу
(36), можно получать и другие функции F , которые будут зависеть от u, v, vx , vxx .
Таким образом, в леммах 5, 6 описаны все системы реакция — диффузия (2), обладающие дифференциальными подстановками второго порядка.
Автор благодарит д.ф.-м.н., проф. Капцова О. В. за постановку задачи и помощь в
работе.
94
А. В. Шмидт
Список литературы
[1] Васильев В. А., Романовский Ю. М., Яхно В. Г. Автоволновые процессы. Наука, М., 1987.
[2] Кринский В. И., Михайлов А. С. Автоволны. Знание, М., 1984.
[3] Иваницкий Г. Р., Кринский В. И., Сельков Е. Е. Математическая биофизика
клетки. Наука, М., 1978.
[4] Gerisch G. Wilhelm Roux Archiv Entwickelungsmech Organizmen, 156, 1965, 127.
[5] Белоусов Б. П. Сборник рефератов по радиационной медицине за 1958 г. Медгиз,
М., 1959, 145; Автоволновые процессы в системах с диффузией. ИПФ АН СССР,
Горький, 1981, 176.
[6] Жаботинский А. М. Концентрационные автоколебания. Наука, М., 1974.
[7] Буздин А. И., Михайлов А. С. ЖЭТФ, 90, 1986, 294.
[8] Скотт Э. Волны в активных нелинейных средах в приложении к электронике. Сов.
радио, М., 1977.
[9] Cohen D., White A. SIAM J. Appl. Math., 51, 1991, 472–483.
[10] Капцов О. В. Построение точных решений систем диффузионных уравнений. Матем. моделирование, 7, №3, 1995, 107–115.
[11] Дородницын В. А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 22, №6, 1982, 1393–1400.
[12] Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. Наука, М.,
1983.
Поступила в редакцию 10 февраля 1998 г.
Правила для авторов
1. Статья должна быть представлена в редакцию в одной из двух форм:
1.1. Два экземпляра рукописи, отпечатанных на одной стороне листа стандартного формата
A4 (297x210 мм) + файлы рукописи в формате LATEX или AMS-LATEX + файлы рисунков
на дискете;
1.2. Два экземпляра рукописи, отпечатанных на одной стороне листа стандартного формата A4 (297x210 мм) + электронная версия рукописи, набранная в текстовом формате
Microsoft Word (RTF) + файлы рисунков на дискете.
Время прохождения издательского цикла для рукописей, представленных в форме 1.1, минимально,
а для рукописей в форме 1.2 — максимально.
2. Все файлы предоставляются на дискете 3.5" формата 1440 Кбайт. Возможна пересылка файлов по
электронной почте jct@ict.nsc.ru в виде *.zip архива. Текстовые файлы и файлы TEX представляются в
кодировке CP866 (MS-DOS).
3. Статья предваряется аннотацией, содержащей не более 300 знаков. На отдельной странице прилагаются на русском и английском языках название статьи, имена авторов, аннотация и ключевые слова.
4. Статья должна сопровождаться разрешением на опубликование от учреждения, в котором выполнена данная работа. В сопроводительном письме необходимо указать почтовый адрес, телефоны, e-mail
автора, с которым будет вестись переписка.
5. Для каждого автора должна быть представлена (на русском и английском языках) в виде отдельного
файла следующая информация:
◦ Фамилия, имя, отчество
◦ место работы и должность
◦ почтовый адрес
◦ ученая степень и звание
◦ год рождения
◦ телефоны с кодом города (дом. и служебный), факс, e-mail, URL домашней страницы
◦ область научных интересов (краткое резюме)
6. Рекомендации по оформлению статьи в LaTeX.
Оформление статьи в LATEX 2.09
Оформление статьи в LATEX 2ε
7. Все материалы следует направлять по адресу: редакция журнала “Вычислительные технологии",
Институт вычислительных технологий СО РАН, проспект Ак. Лаврентьева 6, 630090, Новосибирск, 90,
Россия, Пестунову Игорю Алексеевичу (отв. секретарь) — тел.: +7(3832)343785, Митиной Галине Григорьевне (зав. РИО).
Оформление статьи в LATEX 2.09
Стиль журнала jctart.sty.
Для представления статей на английском языке используйте стиль jctart-e.sty.
Структура файла формата LaTeX должна быть следующей:
\documentstyle{jctart}
\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}
\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{<И. О. Фамилия автора(ов)>}{<КРАТКОЕ НАЗВАНИЕ СТАТЬИ (ДО 40 СИМВОЛОВ)>}
\title{<НАЗВАНИЕ СТАТЬИ>\footnote{<Ссылка на поддержку (факультативно)>.}}
\author{\sc{<И. О. Фамилия первого автора>}\\
\it{<Место работы первого автора>}\\[2mm]
\sc{<И. О. Фамилия второго автора>}\\
\it{<Место работы второго автора>}\\[2mm] ...}
\maketitle
\begin{abstract}
<Текст аннотации>
\end{abstract}
<Текст статьи>
\begin{thebibliography}
<Библиография (\item-список)>
\end{thebibliography}
\end{document}
<Перевод названия статьи на английский язык (или на русский, если статья на английском)>
<аннотации на английский язык (или на русский, если статья на английском)>
Список литературы составляется по ходу упоминания работы в тексте и оформляется по образцу:
[1] Иванов И. И., Иванова И. И. К вопросу о вычислительных технологиях // Вычислительные
технологии. 1999. Т. 11, №11. С. 1123–1135.
[2] Иванов И. И. Что такое вычислительные технологии? Новосибирск: Наука, 1995.
[3] Ivanov I. I. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1988.
P. 225–229.
Следует учитывать, что иллюстрации будут воспроизводиться в масштабе 1:1 с разрешением 300 dpi.
Наиболее предпочтительной формой представления иллюстраций являются файлы черно-белых растровых
рисунков в форматах .pcx, .bmp, .tif или векторном формате PostScript (.eps).
Иллюстрации вставляются в текст статьи с помощью следующих команд:
\begin{figure}[htbp]
\hspace*{<сдвиг рисунка по горизонтали в мм>mm}
\special{em:graph <имя файла рисунка>}
\vspace*{<высота рисунка в мм>mm}
\caption{<Подрисуночная подпись>}
\end{figure}
Оформление статьи в LATEX 2ε
Для представления статей на английском языке используйте опцию english:
\documentclass[english]{jctart}.
\documentclass{jctart}
\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}
\usepackage{amsmath}
...
\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{<И. О. Фамилия автора(ов)>}{<КРАТКОЕ НАЗВАНИЕ СТАТЬИ (ДО 40 СИМВОЛОВ)>}
\title{<НАЗВАНИЕ СТАТЬИ>\footnote{<Ссылка на поддержку (факультативно)>.}}
\author{\sc{<И. О. Фамилия первого автора>}\\
\it{<Место работы первого автора>}\\[2mm]
\sc{<И. О. Фамилия второго автора>}\\
\it{<Место работы второго автора>}\\[2mm] ...}
\maketitle
\begin{abstract}
<Текст аннотации>
\end{abstract}
<Текст статьи>
\begin{thebibliography}
<Библиография (\item-список)>
\end{thebibliography}
\end{document}
<Перевод названия статьи на английский язык (или на русский, если статья на английском)>
<аннотации на английский язык (или на русский, если статья на английском)>
Список литературы составляется по ходу упоминания работы в тексте и оформляется по образцу:
[1] Иванов И. И., Иванова И. И. К вопросу о вычислительных технологиях // Вычислительные
технологии. 1999. Т. 11, №11. С. 1123–1135.
[2] Иванов И. И. Что такое вычислительные технологии? Новосибирск: Наука, 1995.
[3] Ivanov I. I. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1988.
P. 225–229.
Следует учитывать, что иллюстрации будут воспроизводиться в масштабе 1:1 с разрешением 300 dpi.
Наиболее предпочтительной формой представления иллюстраций являются файлы черно-белых растровых
рисунков в форматах .pcx, .bmp, .tif или векторном формате PostScript (.eps).
Иллюстрации вставляются в текст с помощью следующих команд:
\includegraphics{<имя файла рисунка>}
Instructions for Authors
1. The paper may be submitted to the editorial board in one of the following forms:
1.1. As two copies of the manuscript typed on one side of the standard A4 sheet (297x210 mm) +
figures on separate sheets + file with electronical manuscript in LATEX or AMSLATEX + files
with figures, created in one of the appropriate graphics formats (see below);
1.2. As two copies of the manuscript typed on one side of the standard A4 sheet (297x210 mm) +
figures on separate sheets + file with electronical manuscript (saved as RTF-format) with (or
without) formules + files with figures, created in one of the appropriate graphics formats (see
below).
The duration of the publishing cycle for the manuscripts, submitted in the second form is the longest one
and for the manuscript in the forms first - the shortest.
2. All files should be submitted on a 3.5" floppy disc (1440 Kbytes) or sent by e-mail jct@ict.nsc.ru as a
*.zip - archive. All text-files and TeX-files in Russian must be submitted in CP866 (MS-DOS) Code Page.
3. The “hard copies"must be typed neatly with a fresh black ribbon. The typing should be double-spaced
and lettered as neatly as possible. Any material that cannot be typed such as symbols and formulae should be
inked carefully in black meeting the existing standards. The drawings must be printed on a laser or high-quality
ink-jet printer or drawn directly in Indian ink on a sheet of a strong (bond) white paper.
4. Each paper must be preceded by an abstract of no more than 300 characters. The title of the paper and
its abstract in English should be submitted on a separate sheet accompanied by the list of the key words (not
more than 20) in Russian and English as well as the AMS/ZBL classification codes.
5. Authors are required to obtain permission for the publication from the company or institution at which
the scientific results presented in the paper had been obtained. The accompanying letter should contain the
communicating author, his mail address, telephone number(s), e-mail address.
6. The following information pertinent to every author have to be submitted as a separate file:
◦ First name, Second name, Last name
◦ Affiliation data: Institution/Organization, Position
◦ Scientific degree, Title
◦ Address
◦ Telephone numbers, including the area code, Fax number, E-mail address, Homepage URL
◦ Scientific Interests (Breef Curriculum Vitae)
7. Submission in LaTeX — Case (3). Recommendations.
Using LATEX 2.09
Using LATEX 2ε
8. All materials should be mailed to the following address: Journal of Computational Technologies, Institute of Computational Technologies SB RAS, Academician Lavrentyev Ave. 6, Novosibirsk, 630090, Russia,
Ph. D. Igor A. Pestunov — Phone +7(3832)343785, Galina G. Mitina.
Writing paper in English in LATEX 2.09
Journal style jctart-e.sty
Writing paper in Russian using LATEX 2.09
Journal style jctart.sty.
In this case LaTeX file structure should look like this:
\documentstyle[jctart]
\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}
\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{<Name(s) of the author(s)>}{<SHORT TITLE (LESS THAN 40 SYMBOLS)>}
\title{<TITLE OF THE PAPER>\footnote{<Name of the supporting institution (optional)>.}}
\author{\sc{<Name of the first author>}\\
\it{<Affiliation of the first author>}\\[2mm]
\sc{<Name of the second author>}\\
\it{<Affiliation of the second author>}\\[2mm] ...}
\maketitle
\begin{abstract}
<Text of the abstract>
\end{abstract}
<Body of the paper>
\begin{thebibliography}
<References(\item-list)>
\end{thebibliography}
\end{document}
The list of references should only include works that are cited in the text and should be sorted in the order
they appear in the text. Here is a short example of the style of references:
[1] Ivanov I. I., Ivanova I. I. On computational technologies. Computational technologies // 1989. V. 11,
No. 11. P. 1123–1135.
[2] Ivanov I. I. What is computational technology? Novosibirsk: Nauka, 1995.
[3] Ivanov I. I. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1998.
P. 225–229.
The preferred representation of figures (along with the hard copy) are the files of black and white or
greyscale drawings (resolution = 300 dpi) in the raster formats (.pcx, .bmp, .tif) or as a vector graphics in
Encapsulated PostScript format (.ps, .eps). File names for the figures should contain the figure number. Figure
captions should be included in the text not in the figure file. The illustrations are inserted into the text by the
following commands:
\begin{figure}[htbp]
\hspace*{<horizontal shift of the drawing in mm>mm}
\special{em:graph <name of the drawing file>}
\vspace*{<height of the drawing in mm>mm}
\caption{<caption>}
\end{figure}
Writing paper in LATEX 2ε
Writing paper in English use the option english:
\documentclass[english]{jctart}.
\documentclass{jctart}
\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}
\usepackage{amsmath}
...
\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{<Name(s) of the author(s)>}{<SHORT TITLE(LESS THAN 40 SYMBOLS)>}
\title{<TITLE OF THE PAPER>\footnote{<Name of the supporting institution (optional)>.}}
\author{\sc{<Name of the first author>}\\
\it{<Affiliation of the first author>}\\[2mm]
\sc{<Name of the second author>}\\
\it{<Affiliation of the second author>}\\[2mm] ...}
\maketitle
\begin{abstract}
<Text of the abstract>
\end{abstract}
<Body of the paper>
\begin{thebibliography}
<References (\item-list)>
\end{thebibliography}
\end{document}
<Russian translation of the paper title for papers in Russian>
<Abstract in Russian>
The list of references should only include works that are cited in the text and should be sorted in the order
they appear in the text. Here is a short example of the style of references:
[1] Ivanov I. I., Ivanova I. I. On computational technologies. Computational technologies // 1989. V. 11,
No. 11. P. 1123–1135.
[2] Ivanov I. I. What is computational technology? Novosibirsk: Nauka, 1995.
[3] Ivanov I. I. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1998.
P. 225–229.
The preferred representation of figures (along with the hard copy) are the files of black and white or
greyscale drawings (resolution = 300 dpi) in the raster formats (.pcx, .bmp, .tif) or as a vector graphics in
Encapsulated PostScript format (.ps, .eps). File names for the figures should contain the figure number. Figure
captions should be included in the text not in the figure file.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
238 Кб
Теги
диффузия, типа, решение, уравнения, система, реакций, точных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа