close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Уравнения описывающие динамику неньютоновской жидкости с реологическим законом Рейнера--Ривлина. II. Инвариантные решения

код для вставкиСкачать
2004
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (503)
УДК 517.958
Л.Д. ЭСКИН
УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ДИНАМИКУ
НЕНЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ
С РЕОЛОГИЧЕСКИМ ЗАКОНОМ РЕЙНЕРА{РИВЛИНА.
II.
ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
Данная работа является продолжением статьи, опубликованной в Є 3, 2004 г. журнала \Известия вузов. Математика". Нумерация разделов и формул продолжает нумерацию первой части работы, обозначения из которой здесь сохраняются.
5. Оптимальные системы подалгебр
Элемент U = u1 X1 + u2 X2 + u3 X3 алгебры L3 порождает действующий в ее векторном пространстве оператор Ad U hX i = X U . В базе Xi , i = 1; 2; 3, этот оператор задается матрицей
0u 0 ;u 1
3
1
@ 0 2u3 ;2u2A ;
0 0
0
а внутренний автоморфизм exp(t1 Ad X1 ) exp(t2 Ad X2 ) exp(t3 Ad X3 ) | матрицей
0a 0 ;t 1
1
A(t1 ; t2; a) = @0 a2 ;2t2A ; a = exp t3 > 0:
0 0 1
Автоморфизм A переводит вектор
P3 e X в P3 e0 X ,
i i
i i
i=1
i=1
e01 = ae1 ; t1e3; e02 = a2 e2 ; 2t2 e3 ; e03 = e3:
(5.1)
С помощью соотношений (5.1) вычисляются оптимальные системы 1 и 2 подалгебр алгебры
L3. Результаты вычислений приведены в табл. 1.
Таблица 1. Оптимальная система подалгебр алгебры L3
k = 1 Xi
k = 2 Xi , Xj
При вычислении оптимальной системы подалгебр алгебры La4 удобно перейти к базе Y1 = X1 ,
Y2 = X2 , Y3 = X4a ; (n +1)X3, Y4 = X4a. В этой базе действие внутреннего автоморфизма на вектор
Y = e1 Y1 + e2Y2 + e3Y3 + e4 Y4 задается с помощью соотношений
e01 = bn+1 e1 ; (n + 1)t1 e4 ; e02 = ba;2n;1e2 + t2((2n + 1)e3 ; e4); e03 = e3; e04 = e4; a > 0; b > 0:
Вычисленные на их основе оптимальные системы 1 , 2 , 3 подалгебр алгебры La4 приведены в
табл. 2.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(проект Є 00-01-00128).
73
Таблица 2. Оптимальная система подалгебр алгебры La4
k = 1 Yi; Y3 + Y4; Y1 Y2; Y1 Y3; 2n1+1 Y3 + Y4 Y2
k = 2 Yi, Yj ; Y1, Y3 + Y4; Y2, Y3 + Y4; Y2, Y1 + Y3; Y1, 2n1+1 Y3 Y2; Y1 + Y2, Y3 ; 2nn+1 Y4
k = 3 Yi, Yj , Ys; Y1, Y2, Y3 + Y4
В случае алгебры Lb4 удобно перейти к базе Y1 = X1 , Y2 = X2 , Y3 = X3 ; X4b , Y4 = X4b .
P4
Действие внутреннего автоморфизма на вектор ei Yi задается с помощью формул
i=1
e01 = ce1 ; t1e3 ; e02 = c;bd2+b e2 + t2(be3 ; (2 + b)e4 ); e03 = e3; e04 = e4 ; c > 0; d > 0:
Вычисленная на их основе оптимальная система подалгебр алгебры Lb4 приведена в табл. 3.
Таблица 3. Оптимальная система подалгебр алгебры Lb4
k = 1 Yi; Y3 + Y4; Y1 Y2; Y1 + Y4; Y3 + 2+b b Y4 Y2
b
k = 2 Yi, Yj ; Y1, Y3 + Y4; Y2, Y3 + Y4; Y2, Y1 + Y4; Y1 Y2, Y3 + bb+1
+2 Y4 ; Y1 , Y3 + b+2 Y4 Y2
k = 3 Yi, Yj , Ys; Y1, Y2, Y3 + Y4
Наконец, полагая b = 0 в табл. 3, получим оптимальные системы подалгебр алгебры Lc4 . Параметр в таблицах принимает любые вещественные значения, причем любые две подалгебры
с различными значениями не подобны. Размерности подалгебр в табл. 1{3 обозначены через k.
6. Инвариантные решения
Полученные таблицы полностью классифицируют с точностью до преобразований из допускаемой группы инвариантные на ее подгруппах решения всех найденных инвариантных уравнений. Однако нас в первую очередь будут интересовать инвариантные решения уравнения
ut = (sgn uxu2f (jvj))x ; v = uux;
(6.1)
где f (z ) | монотонно возрастающая при z > 0 функция, удовлетворяющая условию A. Именно уравнение (6.1) полностью описывает гидродинамику пленки неньютоновской жидкости с
реологическим законом Рейнера{Ривлина [1], [2], неизвестная функция u в уравнении (6.1) |
толщина пленки.
Результатами группового анализа уравнения (6.1) можно воспользоваться, рассматривая его
монотонные решения (поскольку любое решение можно \сшить" из монотонных, это ограничение несущественно). Наибольший интерес среди инвариантных решений уравнения (6.1) представляют решения, инвариантные на однопараметрических группах. Интересны также зависящие
от параметра семейства инвариантных решений на подалгебре Xa = X3 + X4a и Xb = X3 + X4b .
В первом случае (f | степенная функция, что соответствует реологическому закону Оствальда{
Ли) инвариантные решения автомодельны и полностью изучены [3]. Рассмотрим второй случай,
т. е. уравнение
jvj ut = sgn ux jvj + 1
; v = uux; > 0:
x
u2
(6.2)
Для монотонного инвариантного на подгруппе X3 + X4b решения u уравнения (6.2) справедливо
представление
2
u = t1+(1+)p(J ); J = t;(2+(1+2)) x u2
(6.3)
(знаки \+" в инварианте J для возрастающего, \;" для убывающего решений), p(J ) в случае
возрастающей u | решение нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения
(p2+ p0 )0 + (2 + (1 + 2 ))Jp0 ; (1 + (1 + ))p = 0;
(6.4)
74
а в случае убывающей u | решение уравнения
(p2+ (;p0 ) )0 ; (2 + (1 + 2 ))Jp0 + (1 + (1 + ))p = 0:
(6.5)
Важной особенностью группы Xb является отсутствие у нее в отличие от Xa инвариантов, зависящих лишь от x и t. Поэтому представление (6.3) для инвариантного решения u даже в
случае определения функции p из уравнения (6.4) дает лишь трансцендентное уравнение для u.
В силу условия монотонности функции u для ее определения из уравнения (6.3) необходимо
найти ее область определения (в которой она монотонна). Рассмотрим этот вопрос для монотонно возрастающего решения. Из представления (6.3) следует, что необходимым и достаточным
условием возрастания (убывания) инвариантного решения является справедливость неравенства 0 < pp0 < t; , p > 0 (0 > pp0 > ;t; , p > 0). Пусть решение p(J ) уравнения (6.4) монотонно
возрастает на интервале (J0 ; J1 ) (возможно, что J0 = ;1, J1 = 1). Рассмотрим в плоскости J; q
абсциссы 1 (t); 2 (t); : : : точек пересечения кривой q = pp0 с прямой q = t; (t > 0 фиксировано), принадлежащие интервалу I = (J0 ; J1 ). Эти точки разбивают интервал I на подынтервалы
и пусть Ii = (i ; i+1 ) (возможно, что i = J0 , i+1 = J1 ) | такой подынтервал, на котором
0 < q(J ) < t; . Тогда можно показать, что решение u уравнения (6.3) будет возрастать на
интервале (xi (t); xi+1 (t)), где
2 ( (t)) p
2+
(1+2
)
xi = t
i (t) ; t 2i
;
(6.6)
2 ( (t)) p
i+1
2+
(1+2
)
xi+1 = t
i+1 (t) ; t
:
2
Объединение этих интервалов и дает при заданном t > 0 область определения монотонно возрастающего инвариантного решения u уравнения (6.2).
Аналогично, если p(J ) | монотонно убывающее на интервале I решение уравнения (6.5),
1 (t); 2 (t); : : : | абсциссы точек пересечения кривой q = pp0 и прямой q = ;t; и Ii = (i ; i+1 )
| подынтервал, на котором 0 > q(J ) > ;t; , то решение u уравнения (6.3) убывает на интервале
(xi (t); xi+1 (t)), где
2 ( ) 2 ( ) p
p
i
2+
(1+2
)
2+
(1+2
)
xi = t
i + t 2 ; xi+1 = t
i+1 + t 2i+1 :
(6.7)
Рассмотрим следующий пример. Положим = ; 2+33 и J0 > 0 произвольно. Тогда уравнение
(6.5) имеет на интервале I = (0; J0 ) монотонно убывающее решение
1 ; = ; c = (;); (2 + 3 );= :
p(J ) = c (J0; ; J ; ) ; = ; +
2 + 1 Функция
q = pp0 = c2 J 1= (J0; ; J ; );= < 0
монотонно убывает на интервале I , причем q(0) = 0, q(J0 ) = ;1. Следовательно, при любом
t > 0 существует единственное решение J = (t) уравнения q = ;t;, причем 0 > q(J ) > ;t;
на интервале (0; (t)). С помощью соотношений (6.7) получаем, что уравнение (6.3) определяет
монотонно убывающее инвариантное решение u уравнения (6.2) (его можно найти численно,
напр., методом Ньютона) на интервале (x0 ; x1 ), где
x0 = c2 J0;2 t;2{ ; { = (2 + 3 );1 ;
(6.8)
x1 = t;{ ( + 21 {22 t;(3+6){ ):
При выводе соотношений (6.8) воспользовались уравнением
;c2 1= (J0; ; ; );= = t3{
(6.9)
75
для функции (t). Для значений u на концах интервала получаем
umax = c J0;{t;{ ; umin = {t;(3+1){ :
Из уравнения (6.9) нетрудно найти асимптотику (t) при t 1 и t 1, а затем изучить динамику
волны на малых и больших временах. Будем иметь
x1 c {;1J0; t(3+1){ + x0(t); u(t; x1) u(t; x0 );
t 1;
;
{
;
(3
+1)
{
x1 J0 t ;
u(t; x1) {J0t
; t 1:
Таким образом, u(t; x) | идущая из 1 -образная на малых временах волна, которая на больших временах размазывается вдоль всей полуоси x > 0.
7. Классификация монотонных решений уравнений
(6:4), (6:5)
Из результатов п. 6 следует, что задача классификации монотонных инвариантных решений
уравнения (6.2) сводится к задаче классификации монотонно убывающих при J > 0 решений
уравнения (6.5) и монотонно возрастающих при J > 0 решений уравнения (6.4).
Уравнение (6.5) допускает группу растяжений, следовательно, и понижение порядка. Полагая при J > 0
так что
dz ; W = y ; z;
p = zJ ; ; y = J dJ
(7.1)
p0 = J ; W;
(7.2)
dy = R1(y; z) ;
dz Q1(y; z)
(7.3)
получим уравнение первого порядка
где
R1 = z (;W ) (2 + )yW + (3 + 2) zW ; yz + (2 + (1 + 2 ))y + z;
Q1 = ;yz2+ (;W );1:
Монотонно убывающие решения p(J ) уравнения (6.5) порождаются в силу уравнений (7.1)
интегральными кривыми уравнения (7.3), принадлежащими сектору I плоскости z; y, который
является пересечением полуплоскостей z > 0 и W < 0, причем каждое однопараметрическое
+1
;1
семейство интегральных кривых порождает двупараметрическое семейство решений уравнения
(6.5), а каждая интегральная кривая | однопараметрическое семейство решений. Таким образом, задача классификации монотонно убывающих решений уравнения (6.5) сводится к задаче
классификации интегральных кривых уравнения (7.3), которая может быть рассмотрена с помощью стандартных методов теории динамических систем на плоскости [4]. Ниже будем полагать,
что > 1 целое (случай = 1 здесь не исследуется). Опуская детали достаточно громоздких исследований (изучение ветвей изоклины нуля, конечных особых точек и особых точек в
1, асимптотики интегральных кривых в окрестности особых точек), приведем окончательные
результаты. В дальнейшем будем использовать следующие обозначения:
1
1
+2
1
= 2 + 1 ; = 2++11 ; = ; +
; = ; 1; = ; ; ' = ; + 1;
{ = 1 + (1 + ); = 2 + (1 + 2 ); d1 = j{ j; d2 = ;1= d1 z0 ;
d3 = jj ; k1 = ; 2 + 1 ; k2 = '(32+ 2) ; p1 = jJ0; ; J ; j;
76
J ; J p2 = J 1 ; (A) = (2jAj);1=2 J0;=2 ;
1
i = 0; 1; 2; yi = ;zi ; li = ( ( + 1)zi+3 ); ;
1= (
z
i)
1
=
Ri = yi d2 jzi ; zj ; T (d2 ) = J1 zi d2 p ;
2
Si = yi li jzi ; zj ; Vi = J1 zi li (zi) ;
p2
K (D) = p0(1 + Dp;0 1= J ); L(d1 ) = p0 1 ; 1d=1 ;
8
8 p0 J
>
>
<01; 2 2 < < 0;
<01; 2 2 < < 0;
0() = 2 J0 ; = 0;
1() = 2 J1 ; = 0;
>
>
:1; > 0;
:1; > 0;
2(A)t ;1='
2
;2
; F1 (t) = J0t 1 2 J0 d3 t ;
F0 (t; A) = J0 t 1 +
2
z2 = Gi (t) = J1 t 1 2i J1 t :
Оказывается, существуют две точки бифуркации 1 = ;2= и 2 = ', поэтому приходится по
отдельности рассматривать четыре случая: 1) 1 , 2) 1 < < 2 , 3) = 2 , 4) > 2 .
Во всех случаях в секторе I имеются два однопараметрических семейства L1 и L2 интегральных кривых уравнения (7.3) и разделяющая их интегральная кривая S (рис. 1{3). В табл. 4
приведены асимптотики интегральных кривых и определяющие их параметры.
В формулах табл. 4 Ae < 0, De < 0 | коэффициенты, которые определяются
лишь численно для каждых заданных значений , ; z0 > 0, A < 0 | соответственно параметры
семейств L1 и L2 . Запись вида A = A(z0 ), D = D(z0 ) и т. п. означает, что соответствующий
коэффициент в асимптотике является функцией параметра.
Замечание 1.
77
Таблица 4. Асимптотики интегральных кривых уравнения (7.3)
e , y 1<;d <z,2z, ! 0; y = ;2(,;')1= z , > 2, y ;d3z ,
1, y Az
e 1= ,
S z ! 0; W ;d1 z, W ;3d z ,
e 1= , z ! 0; W Dz
z ! 0; W Dz
1
z!1
z!1
z!1 ;
z!1
y R0 (l0 ), z ! y R0;(d2 ), z !
y Az , z ! 0, y k1 z,
e
0, y ! y0 ; 0; z0 + 0, y ! y0 ; 0;
L1 Ay =R;A(d(z0),) > A; z ! 0; y R0;(d2 ), zW0 +Dz
1= , z !1, W Dz 1= , z !1,
0 2
z
!
z
;
0,
y
!
y
;
0
0
0
D = D(z0) > De
D = D(z0) > De
z!z0 ;0, y!y0;0
yAz , z ! 0,
e, W Dz1=, y Az , z !1=0, y Az , z !1=0, y Az , z !1=0,
A<
A
L2 z ! 1,
A < 0, W Dz , A < 0, W Dz , A < 0, W Dz ,
z!1, D=D(A)<0 z!1, D=D(A)<De z!1, D=D(A)<De
D = D(A) < 0
С целью классификации монотонно возрастающих при J > 0 решений уравнения (6.4) снова
выполним подстановку (7.1). Получим соотношение (7.2) и уравнение
dy = P2 (z; y) ;
(7.4)
dz Q2(z; y)
P2 = z+1W ;1[(2 + )yW + (1 + )zW + yz] + (2 + (1 + 2 ))W ; (1 + (1 + ))z;
Q2 = ;yz2+ W ;1:
Монотонно возрастающие при J > 0 решения уравнения (6.4) порождаются в силу (7.1), (7.2) интегральными кривыми уравнения (7.4), принадлежащими сектору II | пересечению плоскостей
z > 0 и W > 0. Точками бифуркации уравнения (7.4) снова являются = 1 и = 2. В секторе II имеем три однопараметрических семейства M1 , M2 , M3 интегральных кривых уравнения
(7.4) и две разделяющие их интегральные кривые: S1 и S2 (рис. 4{6). Асимптотики интегральных
кривых S1 , S2 и семейств M1 , M2 и M3 представлены в табл. 5.
S1
S2
M1
M2
M3
Таблица 5. Асимптотики интегральных кривых уравнения (7.4)
= 2
1 < < 2
> 2
y k1z, z ! 0;
y k2z, z ! 1
+
y R2 (d2 ), z ! y S2+; z ! z2 + 0,
z2 + 0, y ! y2 + 0, y ! y2 + 0, z2 > z1 ; y k1z, z ! 0;
W d1 z , z ! 1
z2 > z1; y k2z, y k2z, z ! 1
z!1
y k1z, z ! 0; y Az , z ! 0, A > 0
y R0+(d2 ), z ! y S0+, z !
z0 + 0, y ! y0 + 0, z0 + 0, y ! y0+0, y k1z, z ! 0;
0 < z0 < z2 ;
0<z0 <z2 ; y Az , W Dz 1= , z !1,
y Az , z ! 0,
z ! 0,
D>0
A = A(z+0 ) > 0
A = A(z0 ) > 0
y R0 (d2 ), z ! y S + z ! z0 + 0, y k1z, z ! 0;
0
z0 +0, y!y0+0,
y
!
y
> z2 ; y R0+(d2 ),
z0 >z2; W Dz1= , W Dz0 +1=0,, z0z!1
, z ! z0 ; 0,
z ! 1,
y ! y0 ; 0
D = D(z0) > 0
D = D(z ) > 0
1
y d3 z , z ! 0;
y R1+(d2), z !
z1 + 0, y+ y1 + 0
y R2 (d2), z !
z2 + 0, y ! y2 + 0,
z 2 > z1 ; y k 2 z ,
zy !
k11 z, z ! 0; y R0+(d2 ), z ! z0 + 0,
y ! y0 + 0, z0 < z1
y R0+(d2), z !
z0 + 0, y ! y0 + 0,
z1 < z0 < z2;
y Az , z ! 0,
A = A(z+0 ) > 0
y R0 (d2), z !
z0 +0, y!y0+0,
z0 >z2 ; W Dz1=,
z ! 1,
D = D(z0 ) > 0
0
78
В формулах табл. 5 z0 > 0 | параметр семейств M1 , M2 , M3 при 2 .
При 2 параметром семейства M1 является A > 0, семейства M2 | D > 0, семейства
M3 | z0 > 0. Величины z1, z2, определяющие интегральные кривые S1, S2 ((z1 ; y1), (z2 ; y2) |
координаты точек прямой W = 0, из которых выходят эти кривые), могут быть определены
лишь численно.
Замечание 2.
Используя асимптотики табл. 4 и 5 и соотношения (7.1), можно исследовать асимптотическое
поведение монотонно убывающих решений уравнения (6.5) и монотонно возрастающих решений
уравнения (6.4) вблизи концов интервалов, на которых решение монотонно.
В табл. 6 приведены асимптотики монотонно убывающих решений p(J ) уравнения (6.5), принадлежащих однопараметрическому семейству N (S; J0 ), порожденному в силу (7.1) интегральной кривой S уравнения (7.3), и решений p(J ), принадлежащих двупараметрическим семействам
N (L1; J0 ; z0 ), N (L2; J0 ; A) (J0 > 0, z0 > 0, A < 0 | параметры семейств), порожденным однопараметрическими семействами L1 и L2 интегральных кривых уравнения (7.3).
С помощью соотношения (7.2) нетрудно убедиться, что асимптотика производной p0 в окрестности концов интервала, на котором определено монотонно убывающее решение p, получается
дифференцированием асимптотики p(J ), после чего без труда находится и асимптотика функции q = pp0 . Для удобства читателя приводим в табл. 6 значения функции q на концах интервала
(используем при этом обозначения p0 = p(0), q0 = q(0)).
Аналогичные результаты для монотонно возрастающих решений уравнения (6.4) (однопараметрические семейства N (S1 ; J0 ), N (S2 ; J0 ) и двупараметрические семейства N (Mi ; J0 ; z0 )) представлены в табл. 7.
79
Таблица 6. Асимптотики убывающих решений p(J ) уравнения (6.5)
N (S )
N (L1)
;
1=2
;
1=2
e
p (A)p1 , J ! J0 ; 0; p L(d1 ), p (A)p1 , J ! J0 ; 0; p 1
J ! 0; 0 J J0 , q0 = 0,
T0+(d2 ), J ! J1 + 0; J1 J J0 ,
q(J0 ) = ;1;1 q(J1 ) = 0, q(J0 ) = ;1
p (d3 p1 ) , J ! J0 ; 0; p L(d1 ), p J J +k1 , J ! 1; p T +(d ), J !
0
0 2
1 < < 2 J ! 0; 0 J J0 , q0 = 0,
J
+
0;
J
J
<
1
,
q
(
J
)=0,
q(1)=0
1
1
1
q(J0 ) = ;1
;1 )
e
p (p(1+1)
, J ! J0 ; 0; p K (D ),
p V0;, J ! J1 ; 0; ;p' K (D), J ! 0;
;
'
= 2
e
J ! 0; 0 J J0 , q0 = Dp0 < 0, 0 J J1, q0 = Dp0 < 0, q(J1 ) = 0
q(J0 ) = ;1
p (d3 p1;1) , J ! J0 ; 0; p K (De ), p T0;(d2 ), J ! J1 ; 0; p ;'K (D),
e ;0 ' < 0, J ! 0; 0 J J1, q0 = Dp0 < 0,
> 2
J ! 0; 0 J J0 , q0 = Dp
q(J1 ) = 0
q(J0 ) = ;1
N (L2)
)p;1 1=2 , J ! J0 ; 0; p K (D), J ! 0; 0 J J0 , q0 = Dp;0 ' < 0,
;1 < < 1 pq(J ) (=A;1
, D = D(A)
0
Таблица 7. Асимптотики возрастающих решений p(J ) уравнения (6.4)
N (S1 )
N (M1)
p(d3 p1;1) , J !J0 + 0; pT1+(d2 ), p J0 J k1 + , J ! 0; p T +(d2 ), J !
1
J ! J1 ; 0, J0 J J1, q(J0 ) = 1, J ; 0; 0 J J , q = 0, 0q(J ) = 1
1
1 0
1
q(J1 ) = 0
;
1
=
2
p J0 J ;1=2 , J ! 0; p J1 J k1 + , p (A)p1 , J ! J0 + 0; p > 2
J ! 1; 0 J < 1, q0 = 1,
J1 J k1+ , J ! 1; J0 J < 1,
q(1) = 1()
q(J0 ) = 1, q(1) = 1()
N (S2 )
N (M2)
;
1=2
, J ! J0 + 0; p 1
p J0 J ;1=2 , J ! 0; p T2+(d2 ), J ! pT +(d ),(AJ)p!
< 2
J
J1 ; 0; 0 J J1 , q0 = 1, q(J1 ) = 0 q(0J )2= 1, q(J )1 =; 00; J0 J J1 ,
0
1
;1=2 , J ! J + 0; p V + ,
p
(
A
)
p
;
;
1
=
2
0
p J0 J
, J ! 0; p V2 , J ! J ! J ; 10; J J J0 , q(J ) = 1
= 2
,
1
0
1
0
J1 ; 0; 0 J J1 , q0 = 1, q(J1 ) = 0 q(J ) = 0
1
p
K
(D), J ! 0; p J0 J k1 + ,
k
+
1
p
L
(
d
),
J
!
0;
p
J
J
,
J
!
1
;
1
0
> 2
J ! 1; 0 J < 1, q0 = Dp;0 ' > 0,
0 J < 1, q0 = 0, q(1) = 0 ()
q(1) = 0()
N (M3 )
p K (D), J ! 0; p T0+(d2 ), J ! J1 ; 0; 0 J J1 , q0 = Dp;0 ' > 0,
< 2
q(J1 ) = 0
= 2
p K (D), J ! 0; p V0;, J !+ J1 ; 0; 0 J J1 , q0 = Dp;0 ' > 0, q(J1 ) = 0
p J0 J k1+ , J ! 1; p T0 (d2 ), J ! J1 + 0; J1 J < 1, q(J1 ) = 0,
> 2
q(1) = 0()
Итак, классифицированы монотонно возрастающие при J = x + u22 > 0 решения p(J ) уравнения (6.4) и монотонно убывающие при J = x ; u22 > 0 решения p(J ) уравнения (6.5). Полагая
dz , W = y + z при J < 0, получим в случае возрастающего решения p
e(J2),
pe = z(;J2) , y = J dJ
u
J = x + 2 , из (6.4) уравнение (7.3) в секторе I, а в случае убывающего решения pe(J ), J = x ; u2 ,
из (6.5) | уравнение (7.4) в секторе II. Отсюда следует, что возрастающие при J < 0 решения
pe(J ) уравнения (6.4) получаются из убывающих решений p уравнения (6.5), которые полностью классифицированы
вместе с асимптотиками в табл. 6 согласно формуле
pe(J ) = p(;J ),
2
2
u
u
J = x + 2 < 0. Точно так же получаются убывающие при J = x ; 2 < 0 решения pe урав80
нения (6.5) из возрастающих решений p уравнения (6.4), указанных в табл. 7. Таким образом,
в табл. 6, 7 полностью классифицированы монотонные решения уравнений (6.4) (возрастающие
решения) и (6.5) (убывающие решения).
8. Асимптотические свойства инвариантных решений
В пункте 6 показано, что каждое монотонное решение p(J ) уравнений (6.4), (6.5) порождает
по меньшей мере одно монотонное решение ui (t; x), определенное на интервале Ii , который определяется с помощью соотношения (6.6) для монотонно возрастающих и (6.7) | для монотонно
убывающих решений. После определения интервала Ii (для чего приходится решать уравнение
q = pp0 = t; в случае возрастающих и уравнение q = pp0 = ;t; в случае убывающих решений) решение ui находится из трансцендентного уравнения (6.3), где x 2 (xi ; xi+1 ). Очевидно,
что как уравнения (6.4), (6.5), так и уравнения для определения границ интервала Ii , а затем
и уравнение (6.3) для ui могут быть решены лишь численно. Однако с помощью указанных в
табл. 6, 7 асимптотических представлений для p(J ), из которых нетрудно получить и асимптотику q(J ), удается показать, что как на малых, так и на больших временах каждое монотонное
решение p(J ) порождает не более одного (в исключительных случаях | двух) монотонного
решения u, определенного на интервале (x0 (t); x1 (t)), причем для граничных точек x0 , x1 и значений решения u(t; x) в этих точках удается получить их асимптотику для малых и больших
времен (следует, однако, отметить, что не все монотонные решения существуют, сохраняя свою
монотонность, глобально по t). Соответствующие результаты приводим, опуская выкладки, в
табл. 8, 9 для t 1.
Таблица 8. Асимптотические свойства убывающих решений уравнения (6.2) (t 1)
N (S )
;
1
2
2
{
{
1
x0 = 2 p0t , u0 = p0t ; x1 F0 (t; Ae), u1 2;=2J01=2 ( (Ae));1='t{+ 2
1 < < 2
x0 = 2;1 p20t2{ , u0 = p0t{ ; x1 F;1+(t), u1 3 J0 d3 t;1
= 2
x0 = 2;1 p20, u0 = p0; x1 J0 t;' 1 ; J2t10=' , u1 ;J0't1=
2 < < 0
x0 = 2;1 p20t2{ , u0 = p0t{ ; x1 F1+(t), u1 J0 d3 t;1
N (L1 )
+
{
1
x0 G0 (t),u01=' J1 z0 t ; x1 F0 (t; A), u1 2;=2 J01=2( (A));1=' t{+ 2
0<<1
x0 x1 + J1 d'z20 t;, u0 u1 ; d2tz0+2 ; x1 = G+0(t), u1 = J1 z0t{
N (L2 )
;
1
2
2
{
{
x0 = 2 J0 (A)t , u0 = p0t; x1 J0 t(1 ; 21='( (A));2=' t;='),
<0
u1 2;=2 J01=2( (A));1=' t{+ 2
Таблица 9. Асимптотические свойства возрастающих решений u(t; x) уравнения (6.2) (t 1)
N (S1 )
1
x0 F1; (t),; u0 J0 d3 t;1; x1 = G;;1 (t), u1 = J1 z1 t{
2 < < 0
x0 ; ;1 ; 2J02 1='t+{;1, u0 ; 21 =2J0+1t(+{;1)=2; x1 = 1, u1 = 1
N (S2 )
;
;
2
1=' +{ ;1
;
1
x0 ; ; J02 t
, u0 ; 21 =2 J0+1 t(+{;1)=2 ; x1 = G;2 (t),
2
u1 = J1 z2 t{
2 < < 0
x0 = ;2;1 p20t2{ , u0 = p0t{ ; x1 = 1, u1 =; 1 1;{ ;
x0 = ;2;1 p20t2{ , u0 = p0t{ ; x1 ;p0t2{ p20 ; td1 , u1 p0t{ 1 ; tp01d;1{
>0
Асимптотика функций x0 (t), x1 (t) > x0 (t) и u0 = umax = u(t; x0 ), u1 = umin = u1 (t; x1 ) для
убывающих решений u(t; x) уравнения (6.2), порожденных убывающими при J > 0 решениями
p(J ) уравнения (6.5) из табл. 6, приведена в табл. 8, а для возрастающих решений u(t; x), порожденных возрастающими при J > 0 решениями p(J ) уравнения (6.4) из табл. 7 | в табл. 9,
81
где u0 = umin = u(t; x0 ), u1 = umax = u(t; x1 ) (желая избежать чрезмерной громоздкости табл. 9,
ограничились семействами N (S1 ), N (S2 ) из табл. 7).
С учетом сказанного в конце п. 7 нетрудно получить аналогичные результаты и для монотонных решений u(t; x) уравнения (6,2), порожденных возрастающими при J < 0 решениями
уравнения (6.4) и убывающими при J < 0 решениями уравнения (6.5).
Литература
1. CRC Handbook of Lie group analysis of dierential equations // Appl. in Engineering and Physical
Sci. / Ed. Ibragimov N.H. { CRC Press. { London{Tokyo, 1995. { V. 2. { P. 546.
2. Астарита Дж., Маруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. { М.:
Мир, 1978. { 309 с.
3. Chugunov V.A., Eskin L.D., Tonkonog S.L. Methods of group analysis in dynamics of nonNewtonian uid // Proc. Chebotarev Centennial Conf. { Kazan, 1994, June 6{11. { Valter de
Gruyter: Amsterdam, Berlin, New York, 1996. { P. 31{40.
4. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических
систем на плоскости. { М.: Наука, 1990. { 488 с.
Казанский государственный
университет
Поступили
первый вариант 19:12:2000
окончательный вариант 13:06:2003
82
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа