close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Уравнения параболического типа с разрывной нелинейностью степенного роста.

код для вставкиСкачать
В. Н. ПАВЛЕНКО
УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
С РАЗРЫВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
СТЕПЕННОГО РОСТА1
Исследуется проблема существования обобщенных решений первой краевой задачи для уравнения параболического типа с разрывной нелинейностью степенного
роста.
Kлючевые слова: первая краевая задача, уравнения параболического типа, разрывная
нелинейность, неподвижные точки мультиотображения.
Введение
Рассматривается первая краевая задача для уравнения параболического типа
Lu(x, t) = g(x, t, u(x, t)),
(x, t) ∈ QT ,
u|ΓT = 0
(1)
(2)
в цилиндре QT = Ω × (0, T ), где Ω — ограниченная область в Rn с границей ∂Ω
класса C 2 , T > 0, ΓT = (∂Ω × [0, T ]) ∪ {(x, 0) | x ∈ Ω} — параболическая граница
цилиндра QT . Здесь
L = ∂t −
n
X
i,j=1
aij (x, t)∂x2i xj
+
n
X
aj (x, t)∂xj + a(x, t) —
j=1
равномерно параболический дифференциальный оператор второго порядка в QT
с коэффициентами из пространства C 0,α (QT ) (0 < α < 1), функция g : QT ×R → R
борелева (mod 0) [1], для почти всех (x, t) ∈ QT сечение g(x, t, ·) имеет разрывы
только первого рода, и
g(x, t, u) ∈ [g− (x, t, u), g+ (x, t, u)],
g+ (x, t, u) = lim sup g(x, t, η), g− (x, t, u) = lim inf g(x, t, η) ∀u ∈ R.
η→u
η→u
Предполагается также, что нелинейность g(x, t, u) удовлетворяет условию
D : существуют постоянные a > 0, q > 1 и функция b ∈ Lq (QT ) такие, что для
почти всех (x, t) ∈ QT
|g(x, t, u)| 6 a|u|µ + b(x, t) ∀u ∈ R,
(3)
n+2
, и µ < n+2−2q
, если q < n+2
.
где µ — любое положительное число, если q > n+2
2
2
Ограничения на степень роста нелинейности обеспечивают компактность
вложения Wq2,1 (QT ) в пространство Lµq (QT ) [2] и действие оператора Немыцкого
1
Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта № 07-01-96000_р_урал_а).
50
В. Н. Павленко
Gu = g(x, t, u(x, t)) из Lµq (QT ) в Lq (QT ). В случае, когда q = 2 и n > 2, допустимая степень роста µ < n+2
.
n−2
Определение 1. Обобщенным решением из Wq2,1 (QT ) задачи (1), (2) назовем
функцию u ∈ Wq2,1 (QT ) с нулевым следом на ΓT , удовлетворяющую для почти
всех (x, t) ∈ QT включению
Lu(x, t) ∈ [g− (x, t, u(x, t)), g+ (x, t, u(x, t))].
(4)
Проблема существования обобщенных решений задачи (1), (2) с разрывной
нелинейностью изучалась в [3; 4] топологическими методами, в [5; 6] — метоn
P
дом верхних и нижних решений. В [3] L = ∂t −
∂x2i xi , а нелинейность g(x, t, u)
i=1
удовлетворяет оценке (3) с a = 0 и q > n (ограниченная нелинейность). В [4]
n
P
L = ∂t −
∂xj aij (x, t)∂xi , aij ∈ C 1,α (QT ) (0 < α < 1), неравенство (3) для нелиi,j=1
нейности выполняется с 0 < µ < n4 + 1 и q = µ+1
. Устанавливается существование
µ
2,1
обобщенного решения из Wq (QT ) задачи (1), (2) в случае 0 < µ 6 1 (подлинейный рост), в ситуации 1 < µ < n4 + 1 дополнительно предполагается наличие для
g(x, t, u) оценки при почти всех (x, t) ∈ QT
g(x, t, u)u 6 −k0 |u|µ+1 + k1 (x, t)|u|µ+1−γ + k2 (x, t) ∀u ∈ R,
(5)
где постоянные k0 > 0, 0 < γ < µ + 1, функции k1 ∈ L µ+1 (QT ), k2 ∈ L1 (QT ).
γ
Отметим, что в данной работе по сравнению с [4] ослаблены ограничения на рост
нелинейности. Так, при n = 3 в [4] µ < 37 , а в условии D для q = 2 степень роста
µ < 5. В работах [5] и [6] требуется, чтобы нелинейность представлялась в виде
разности неубывающих по фазовой переменной u функций, причем в [5] предполагается, что эти функции имеют подлинейный рост, а в [6] — существование
упорядоченной пары нижнего и верхнего решений.
Ослабление ограничений на рост нелинейности в данной работе достигается за счет выбора пространств при операторной постановке задачи (1), (2).
Однако в ситуации сверхлинейного роста (µ > 1) для существования обобщенного решения, как и в [4], требуются дополнительные ограничения на поведение
нелинейности. Таковым в [4] является оценка (5), обеспечивающая в рамках операторной постановки этой работы коэрцитивность оператора краевой задачи (1),
(2). При выполнении условия D задача (1), (2) преобразуется к операторному виду в пространстве Lµq (QT ). В этом случае неравенство (5) можно рассматривать
как обеспечивающее коэрцитивность оператора краевой задачи (1), (2), только
когда µ+1 = µq. Последнее с учетом условия D приводит к неравенству µ < 1+ n4 .
Следовательно, дополнительное ограничение вида (5) к новым результатам существования обобщенных решений не приводит.
Рассмотрим однопараметрическое семейство краевых задач, которое получается из (1), (2) заменой в уравнении (1) нелинейности g(x, t, u) на εg(x, t, u),
где g(x, t, u) обладает всеми перечисленными выше свойствами:
Lu(x, t) = εg(x, t, u(x, t)),
(x, t) ∈ QT ,
(6)
Уравнения параболического типа с разрывной нелинейностью. . .
u|ΓT = 0.
51
(7)
Теорема 1. Предположим, что
1) функция g : QT × R → R борелева (mod 0), для почти всех (x, t) ∈
QT сечение g(x, t, ·) имеет разрывы только первого рода и g(x, t, u) ∈
[g− (x, t, u), g+ (x, t, u)] ∀u ∈ R;
2) функция g(x, t, u) удовлетворяет условию D.
Тогда найдется ε0 > 0 такое, что для любого ε с |ε| 6 ε0 задача (6), (7) имеет
обобщенное решение из Wq2,1 (QT ).
Доказательство теоремы сводится к принципу неподвижной точки для многозначного компактного отображения Боненбласта — Карлина [7]. Представляет
интерес поиск других дополнительных к условию D ограничений на поведение
нелинейности g(x, t, u), обеспечивающих существование обобщенных решений задачи (1), (2).
1. Операторная постановка задачи (1), (2)
Обозначим через E лебегово пространство Lµq (QT ), где µ и q из условия D.
На всюду плотном в E подмножестве D(A) = {u ∈ Wq2,1 (QT )| u|ΓT = 0} определим линейный оператор A равенством Au = Lu(x, t) со значениями в Lq (QT ). В
[8] показано, что отображение A : D(A) → Lq (QT ) биективно и обратный оператор A−1 : Lq (QT ) → Wq2,1 (QT ) ограниченный. Поскольку пространство Wq2,1 (QT )
компактно вкладывается в E, то оператор M : Lq (QT ) → E, совпадающий с A−1
на Lq (QT ), является вполне непрерывным. Далее, в силу неравенств (3) оператор Немыцкого Gu = g(x, t, u) действует из пространства E в Lq (QT ) и переводит
ограниченные множества из E в ограниченные в пространстве Lq (QT ) множества.
Определим многозначное отображение SG из E в Lq (QT ) следующим образом: для любого u ∈ E множество SG(u) из Lq (QT ) совпадает с замыканием выпуклой оболочки слабо предельных точек всех последовательностей вида
(Gum ), um → u (отображение SG называется секвенциальным замыканием оператора G [5]). Известно [4], что SG совпадает с овыпуклением G оператора G. В
[1] доказывается, что Gu = {z : QT → R| z(x, t) — измеримая по Лебегу на QT и
для почти всех (x, t) ∈ QT значение z(x, t) ∈ [g− (x, t, u(x, t)), g+ (x, t, u(x, t))]} для
любого u ∈ E. Отсюда следует, что включение (4) для u ∈ D(A) равносильно
операторному включению Au ∈ SG(u). Последнее эквивалентно существованию
неподвижной точки у многозначного отображения MSG в пространстве E. Таким образом, для доказательства существования обобщенного решения задачи
(1), (2) из Wq2,1 (QT ) достаточно установить наличие u ∈ E, удовлетворяющего
операторному включению
u ∈ MSG(u).
(8)
В случае задачи (6), (7) включение (8) имеет вид
u ∈ εMSG(u).
(9)
52
В. Н. Павленко
Изучим свойства мультиотображения T = MSG. Докажем, что значения
T — выпуклые компактные множества в E. Значения SG ограниченные выпуклые и замкнутые в Lq (QT ), а оператор M : Lq (QT ) → E линейный и вполне
непрерывный. Поэтому значения T — выпуклые и предкомпактные множества.
Чтобы доказать компактность T u для u ∈ E, достаточно установить замкнутость T u в E. Пусть (zm ) ⊂ T u и zm → z в E. Тогда существует (ym ) ⊂ SGu
такая, что zm = Mym . Отсюда из определения оператора M следуют равенства
ym = Azm . Из ограниченности SGu ⊂ Lq (QT ) и рефлексивности Lq (QT ) заключаем о существовании подпоследовательности (ymk ), слабо сходящейся к некоторому y в Lq (QT ). Так как (ymk ) ⊂ SGu, а SGu — замкнутое выпуклое множество,
то y ∈ SGu. В силу замкнутости линейного оператора A его график в E × Lq (QT )
слабо замкнут. Поэтому z ∈ D(A) и y = Az, и, значит, z = My ∈ T u. Замкнутость
множества T u в E установлена.
Покажем полунепрерывность сверху отображения T на E. Допустим противное, тогда найдутся u ∈ E и открытое множество B ⊃ T u в E такие, что для
произвольного натурального m существует um с kum −ukE < m−1 и zm ∈ T um \ B.
Каждый элемент zm представляется в виде zm = Mvm , vm ∈ SG(um ). Так как
последовательность (um ) ограничена в E, а отображение SG переводит ограниченные множества в E в ограниченные в Lq (QT ), то и последовательность
(vm ) ограничена в Lq (QT ). Отсюда и из рефлексивности Lq (QT ) заключаем о
существовании слабо сходящейся подпоследовательности (vmk ) к некоторому v
в Lq (QT ). В силу слабо-сильной замкнутости секвенциального замыкания [4]
имеем v ∈ SG(u). Так как M — линейный вполне непрерывный оператор, то
Mvmk → Mv. Поскольку Mv ∈ T u ⊂ B и B — открытое множество в E, то
zmk = Mvmk принадлежит B для достаточно больших k, что противоречит выбору zm . Полунепрерывность сверху отображения T на E доказана.
Многозначный оператор SG переводит ограниченные множества в E в ограниченные, а оператор M вполне непрерывный, поэтому T компактен на любом
шаре в E. Последнее означает, что для произвольного шара U из E его образ
T U — предкомпактное множество в E. Таким образом, значения мультиотображения T в E являются выпуклыми компактами, T полунепрерывно сверху и
компактно. Согласно теореме Боненбласта — Карлина такое отображение имеет неподвижную точку в выпуклом замкнутом подмножестве B ⊂ E, если оно
переводит B в себя.
2. Доказательство теоремы
В соответствии с пунктом 1 задача (6), (7) имеет обобщенное решение из
если мультиотображение εT имеет в E неподвижную точку. В силу
теоремы Боненбласта — Карлина для этого достаточно доказать наличие шара
U в пространстве E, для которого εT (U) ⊂ U. Пусть UR = {u ∈ E| kukE 6
R}, R > 0. Отображение SG переводит UR в ограниченное множество, и, значит,
найдется число b > 0 такое, что для любого u ∈ UR и произвольного v ∈ SGu
верно неравенство kvkLq (QT ) 6 b. Положим ε0 = kMRkb . Тогда для любого числа
ε, по модулю не превосходящего ε0 , имеем для любого u ∈ UR и произвольного
Wq2,1 (QT ),
Уравнения параболического типа с разрывной нелинейностью. . .
53
v ∈ SGu неравенство
kεMvkE 6 εkMkkvk 6 ε0 kMkb = R.
Отсюда заключаем, что εT (UR ) ⊂ UR для любого ε, по модулю не превосходящего
ε0 = kMRkb . Теорема доказана.
Замечание 1. К исследованию операторной постановки задачи (1), (2) (включения (8)) можно применить теорию топологической степени для многозначных
компактных отображений [7]. Для доказательства существования u ∈ E, удовлетворяющего (8), достаточно установить ограниченность множества всех решений
включений u ∈ νT u, T = MSG, 0 6 ν 6 1 (метод Лере — Шаудера) или доказать
наличие R > 0 такого, что для произвольных u с kuk = R, v ∈ T u и ν ∈ [0, 1]
верно неравенство u − νv 6= 0 (второй подход более общий).
Список литературы
1. Красносельский, М. А. Системы с гистерезисом / М. А. Красносельский,
А. В. Покровский.— М. : Наука, 1983.
2. Лионс, Ж.-Л. Управление сингулярными
Ж.-Л. Лионс.— М. : Наука, 1987.
распределенными
системами
/
3. Chang, K.-C. Free boundary problems and set-valued mappings / K.-C. Chang // J.
Differential Equations.— 1983.— Vol. 49, No. 1.— P. 1—28.
4. Павленко, В. Н. Управление сингулярными распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейностями / В. Н. Павленко // Укр. мат.
журн.— 1994.— Т. 45, № 6.— C. 729—736.
5. Павленко, В. Н. О существовании полуправильных решений первой краевой
задачи для уравнения параболического типа с разрывной немонотонной нелинейностью / В. Н. Павленко // Дифференц. уравнения.— 1991.— Т. 27, № 3.— С. 520—
526.
6. Павленко, В. Н. Метод верхних и нижних решений для уравнений параболического типа с разрывными нелинейностями / В. Н. Павленко, О. В. Ульянова //
Дифференц. уравнения.— 2002.— Т. 38, № 4.— С. 499—504.
7. Борисович, Ю. Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович [и др.]— М. : КомКнига, 2005.
8. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева.— М. : Наука, 1967.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
277 Кб
Теги
типа, уравнения, разрывного, степенной, роста, нелинейности, параболические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа