close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Условие экстремальности поверхности вращения для функционала типа площади.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИКА
УДК 517.957 + 514.752
УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНОСТИ ПОВЕРХНОСТИ
ВРАЩЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА ТИПА ПЛОЩАДИ
В.А. Клячин, Т.В. Ткачева
Данная статья посвящена исследованию поверхностей вращения, являющихся условными экстремалями функционала типа площади. Получены соответствующие решения дифференциальных уравнений и доказано свойство
симметричности поверхностей вращения относительно специальных горизонтальных плоскостей.
Введение
Пусть Ω — ограниченная область в R3 , M ⊂ Ω — заданная C 2 поверхность,
S = ∂Ω — граница Ω. Предположим, что в R3 определены неотрицательные
C 2 -функции α(x) и ϕ(x). Определим два функционала, выражаемые интегралами [3]
Z
Z
J1 (M ) = α(|x|)dS, J2 (M ) = ϕ(|x|)dx,
S
Ω
© В.А. Клячин, Т.В. Ткачева, 2007–2008
где x = (x1 , x2 , x3 ), dS — элемент площади. Поставим перед собой задачу исследования поверхностей вращения M , являющихся экстремалями функционала
J(M ) = J1 (M ) − λJ2 (M ).
К такому функционалу приводит задача минимизации функционала весовой площади J1 (M ) при условии, что пространственный функционал J2 (M ) = const. В частности, в теории капиллярных поверхностей [1] исследуется задача минимизации открытой площади поверхности при условии несжимаемости, то есть при постоянном
объеме жидкости.
1. Формула функционала для поверхностей вращения
Рассмотрим поверхность M , заданную вращением вокруг оси x3 графика функции, определяемой уравнением ρ = ρ(t), где ρ — расстояние точки P до оси t
(рис. 1). Примем за параметры точки P величину t и полярный угол θ. Для определенности будем считать, что t принадлежит некоторому числовому отрезку (a, b), а
θ изменяется от 0 до 2π , функция ρ = ρ(t) определяет форму меридиана. Имеем
Вестник ВолГУ. Серия 1. Вып. 11. 2007–2008
39
МАТЕМАТИКА
r(t, θ) = {ρ(t) cos θ, ρ(t) sin θ, t},
rt = {ρ0 cos θ, ρ0 sin θ, 1},
rθ = {−ρ sin θ, ρ cos θ, 0}.
Поэтому коэффициенты первой квадратичной формы поверхности примут вид
E = (rt , rt ) = ρ02 + 1, F = (rt , rθ ) = 0, G = (rθ , rθ ) = ρ2 .
Тем самым
dS 2 = (ρ02 + 1)dt2 + ρ2 dθ2 .
Рис. 1
Далее получим
J1 (M ) =
Z
α(|x|)dS =
Z2π
0
S
Zb √
Zb p
dθ α EG − F 2 dt = 2π αρ ρ02 + 1dt,
a
a
где α = α(ρ(t)).
J2 (M ) =
Z
Ω
40
ϕ(|x|)dx =
Zb
a
dt
Z2π
0
dθ
Zρ
0
ϕρdρ = 2π
Zb
h(ρ(t))dt,
a
В.А. Клячин, Т.В. Ткачева. Условие экстремальности поверхности вращения
МАТЕМАТИКА
где ϕ = ϕ(ρ(t)) и
h(ρ) =
Zρ
ϕ(y)ydy.
0
Вариационная задача для рассматриваемого функционала формулируется следующим образом. Среди всех поверхностей вращения M с фиксированным значением
пространственного функционала J2 (M ), определяемых функциями ρ(t), имеющих
непрерывную производную и удовлетворяющих граничным условиям
ρ(a) = A,
ρ(b) = B,
найти ту из них, которая доставляет слабый экстремум функционалу J1 (M ). Из
вариационного исчисления известно, что решения такой задачи являются экстремалями функционала J(M ) = J1 (M ) − λJ2 (M ). В терминах функции ρ(t) мы, тем
самым, получаем следующий одномерный функционал
J[ρ(t)] =
Zb
(αρ
a
p
ρ02 + 1 − λ + h(ρ))dt.
(1)
Поскольку данный функционал не зависит явно от t, так что F = F (ρ, ρ0 ),
следовательно уравнение Эйлера — Лагранжа [2] можно записать в следующем виде
d
(F − ρ0 Fρ0 ) = 0.
dt
То есть
d
dt
αρ
p
αρρ02
ρ02 + 1 − λh(ρ) − p
ρ02 + 1
!
= 0.
(2)
Введем обозначение ρ = u. Тогда первый интеграл выше приведенного уравнения примет вид
√
α(u)uu02
α(u)u u02 + 1 − λh(u) − √
=µ
u02 + 1
или
α(u)u
√
− λh(u) = µ.
u02 + 1
Здесь µ = const. Откуда
02
u =
α(u)u
µ + λh(u)
2
− 1.
(3)
Разделение переменных дает
dt = ± r
du
α(u)u
µ+λh(u)
Вестник ВолГУ. Серия 1. Вып. 11. 2007–2008
2
.
−1
41
МАТЕМАТИКА
Откуда интегрированием получим
Z
t = ± r
du
α(u)u
µ+λh(u)
+ C.
2
(4)
−1
Таким образом, имеем общее решение уравнения Эйлера — Лагранжа с постоянными
интегрирования µ и C .
Теорема 1. Пусть M ⊂ Ω ⊂ R3 — заданная поверхность вращения, а
Z
du
+C —
t = ± r
2
α(u)u
−1
µ+λh(u)
решение уравнения Эйлера — Лагранжа (2) для функционала типа площади (1).
Тогда заданная поверхность M является экстремальной.
2. Примеры
Пример 1. Положим в рассмотренной выше вариационной задаче α(ρ) = 1, ϕ(ρ) = 0.
Тогда наш функционал примет вид
Zb p
J[ρ(t)] = ρ ρ02 + 1dt.
a
Полученный выше интеграл (4) дает следующее общее решение
Z
u
du
+ C = µ arch + C.
t = ± r 2
µ
u
−1
µ
Тогда график функции
t−C
ρ = u = µ ch
µ
представляет собой цепную линию, а соответствующая ей поверхность вращения —
минимальная поверхность — катеноид.
3
Пример 2. Пусть теперь α(ρ) = u− 2 , ϕ(ρ) = 0. Будем рассматривать функционал
J[ρ(t)] =
Zb
a
Получим общее решение
t=
42
Z
q
1 p 02
ρ + 1dt.
√
ρ
du
1
µ2 u
+ C.
−1
В.А. Клячин, Т.В. Ткачева. Условие экстремальности поверхности вращения
МАТЕМАТИКА
Откуда заменой 1/µ2 = k, u = kτ, τ = sin2 2θ приходим к виду
Z r
Z
k
k
τ
t=k
dτ + C =
(1 − cos θ)dθ + C = (θ − sin θ) + C.
1−τ
2
2
Тогда графиком функции
ρ = u = k sin2
θ
k
= (1 − cos θ)
2
2
является циклоида.
3. Симметричность решения вариационной задачи
В простейшем случае рассматриваемая задача на экстремум представляет собой
хорошо известную изопериметрическую задачу о минимуме площади замкнутой поверхности среди всех поверхностей, ограничивающих область фиксированного объема. Другими словами, α(ρ) = ϕ(ρ) = 1. Известно, что решением этой задачи является сфера, имеющая плоскость симметрии, проходящую через ее центр. В нашем
случае для поверхностей вращения следует ожидать существования аналогичного
свойства, которое формулируется в следующей теореме.
Теорема 2. Пусть ρ(t) является решением уравнения (2) и пусть точка
t0 ∈ (a, b) является точкой локального минимума или локального максимума.
Тогда график этой функции симметричен относительно прямой t = t0 в любой
окрестности этой точки, не содержащей других точек экстремума.
Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что t 0 = 0 — точка
локального минимума, так, что при t > 0 функция ρ(t) возрастает, а при t < 0 —
убывает. Введем обозначение
F (u) = r
1
α(u)u
µ+λh(u)
Тогда уравнение (3) перепишется в виде
2
.
−1
u02 = F −2 (u).
Рассмотрим две симметричные точки t1 = τ, t2 = −τ , где τ > 0. Пусть u1 = u(t1 ),
u2 = u(t2 ), u0 = u(0). Тогда имеем
Zu1
F (z)dz = t1 = τ,
Zu0
F (z)dz = −t2 = τ.
u0
и
−
u2
Вестник ВолГУ. Серия 1. Вып. 11. 2007–2008
43
МАТЕМАТИКА
Вычитая эти равенства, приходим к
Zu2
F (z)dz = 0,
u1
что в силу положительности функции F (u) означает: u1 = u2 . Это доказывает симметричность графика решения уравнения (2).
Summary
EXTREMALITY CONDITION OF SURFACE OF REVOLUTION
FOR AREA-TYPE FUNCTIONAL
V.A. Klyachin, T.V. Tkacheva
Present article is devoted to investigation of extremal rotation surfaces for square
type functional. The solutions of differentional Euler-Lagrange equation are obtained.
Also, the symmetry property of these surface is proved and demonstrated examples
functionals and its corresponding solutions are constructed.
Список литературы
1. Финн Р. Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория. М.:
Мир, 1989. 312 с.
2. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и
приложения. М.: Наука, 1986.
3. Клячин В.А. Некоторые свойства устойчивых и неустойчивых поверхностей
предписанной средней кривизны // Изв. РАН. Сер. математическая. 2006. Т. 70,
№ 4. C. 77–90.
4. Погорелов А.В. Об устойчивости минимальных поверхностей // ДАН СССР.
Т. 260. 1981. № 2. С. 293–295.
44
В.А. Клячин, Т.В. Ткачева. Условие экстремальности поверхности вращения
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
210 Кб
Теги
условия, типа, функционал, экстремального, вращения, площадь, поверхности
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа