close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Условия единственности решения задачи о внешней оценке сегментной функции полиномиальной полосой.

код для вставкиСкачать
УДК 517.518.82
Е.В. Сорина
УСЛОВИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
О ВНЕШНЕЙ ОЦЕНКЕ СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ
ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ
Рассматривается задача о построении полосы наименьшей постоянной
ширины с полиномиальной осью, содержащей график заданной сегментной функции. Методами выпуклого анализа получены достаточные условия
единственности решения задачи.
F (t) = [g1 (t), g2 (t)], t ? [c; d],
g1 (t) ? g2 (t), Pn (A, t) = a0 +
Пусть задана сегментная функция (с.ф.)
g1 (t), g2 (t) непрерывные функции, причјм
a1 t + · · · + an tn , A = (a0 , a1 , . . . , an ) ? Rn+1 вектор
коэффициентов.
Рассмотрим экстремальную задачу
?(A) ? max max {Pn (A, t) ? g1 (t), g2 (t) ? Pn (A, t)} ?? min
.
n+1
(1)
F (t)
A?
A?R
t?[c,d]
Это задача о внешней оценке с.ф.
решение задачи (1), то
Pn (A? , t)
полиномиальной полосой. Если
является осью полиномиальной полосы
наименьшей ширины, которая содержит график с.ф.
Очевидно, задача (1) является обобщением задачи П.Л. Чебышјва о
равномерном приближении непрерывной функции полиномом (случай, когда
g1 (t) = g2 (t)
при
t ? [c; d]).
В дискретном случае, когда отрезок
заменяется конечной сеткой значений для
t,
[c, d]
задача рассматривалась И.Ю.
Выгодчиковой [1].
Введјм обозначения
R1 (A) = {t ? [c; d] : ?(A) = Pn (A, t) ? g1 (t) > g2 (t) ? Pn (A, t)},
R2 (A) = {t ? [c; d] : ?(A) = g2 (t) ? Pn (A, t) > Pn (A, t) ? g1 (t)},
R3 (A) = {t ? [c; d] : ?(A) = Pn (A, t) ? g1 (t) = g2 (t) ? Pn (A, t)},
R(A) = R3 (A) ? R2 (A) ? R3 (A).
Отметим, что если
R3 (A) 6= ?,
то, очевидно,
R3 (A) = {t? ? [c; d] : g2 (t?) ? g1 (t?) = max (g2 (t) ? g1 (t))}.
t?[c;d]
Ранее в работе [2] был получен критерий решения задачи (1):
Теорема 1. Для того, чтобы вектор коэффициентов A? был решением
задачи (1), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из
условий
76
а) R3 (A? ) 6= ?;
б)
существует
упорядоченный
набор
точек
{ti }i=1,n+2 ,
?
c ? t1 < t2 < . . . < tn+2 ? d, такой что если ti ? R1 (A )(R2 (A? )), то
ti+1 ? R2 (A? )(R1 (A? )).
В отличие от задачи П.Л. Чебышјва задача (1) может иметь не единственное решение. Приведјм достаточные условия единственности.
Теорема 2. Если вектор A? удовлетворяет одному из условий
1) множество R3 (A? ) содержит не менее (n + 1) точки,
2) существует набор T = {ti }i=1,n+2 ? R(A? ), в котором можно выделить упорядоченные точки ti1 < ti2 < . . . < til , l ? n + 2, из множества
R1 (A? ) ? R2 (A? ), а остальные точки набора T содержатся в R3 (A? ), и при
этом если
(
R1 (A? )(R2 (A? )), ik+1 ? ik чјтн.,
tik ? R1 (A? )(R2 (A? )), то tik+1 ?
R2 (A? )(R1 (A? )), ik+1 ? ik нечјтн.,
то A? является, причјм единственным, решением задачи (1).
Доказательство. 1. Докажем, что A? решение задачи (1). Если выполнено условие 1) или условие 2) при
l < n + 2,
то
R3 (A? ) 6= ?
и
A?
- решение
задачи (1) в соответствии с условием а) теоремы 1. Если же выполнено усло-
R3 (A? ) = ?, то выполняется условие б) теоремы 1. Таким образом,
?
в любом случае A - решение задачи (1).
?
2. Докажем единственность. Пусть R3 (A ) 6= ? и A ещј одно решение
?
задачи (1). Тогда R3 (A ) = R3 (A) в силу определения множества R3 (·).
вие 2) и
Если выполнено условие 1), то для точек
следует из определения множества
R3 (A),
{ti }i=1,n+1 ? R3 (A? ),
как это
будут выполняться равенства
Pn (A? , ti ) = (g1 (ti ) + g2 (ti ))/2, i = 1, n + 1,
(2)
которые представляют собой систему линейных алгебраических уравнений
относительно
(a0 , a1 , . . . , an ).
Еј определитель, являющийся определителем
Вандермонда, отличен от нуля. Поэтому
A? единственное решение системы
(2), а следовательно, и задачи (1).
Пусть теперь выполняется только условие 2). Функция
выпуклой и конечной на
Rn+1 .
?(A)
является
Еј субдифференциал, пользуясь субдиффе-
ренциальным исчислением [3], можно записать в виде
??(A) = co{?A f (A, t) : t ? R(A)},
(3)
f (A, t) = max {Pn (A, t) ? g1 (t), g2 (t) ? Pn (A, t)}, а ?A f (A, t) субдифференциал функции f (A, t) по A. Тогда в соответствии с субдифференциаль-
где
77
ным исчислением можно выразить его в виде
?
n
?
?(1, t, . . . , t ), Pn (A, t) ? g1 (t) > g2 (t) ? Pn (A, t);
?A f (A, t) = ?(1, t, . . . , tn ), g2 (t) ? Pn (A, t) > Pn (A, t) ? g1 (t);
?
?
1 (t)
[?(1, t, . . . , tn ), (1, t, . . . , tn )], Pn (A, t) = g2 (t)+g
.
2
(4)
Из (3) и (4) вытекает
??(A)(?(A)) = co{?(t)(1, t, . . . , tn ) : t ? R(A)},
где
?
?
?1,
?(t) = ?1,
?
?[?1, 1],
если
если
если
t ? R1 (A);
t ? R2 (A);
t ? R3 (A).
(5)
(6)
A? селектор ?(t) ? ?(t) так, что если ?(ti ) = +1(?1), то ?(ti+1 ) = ?1(+1), i = 1, n + 1.
Учитывая (5) и (6), а также само уcловие 2), нетрудно выбрать для
Тогда по теореме 2 из [4] выполняется
On+1 ? int co{?(ti )(1, ti , . . . , tni ), i = 1, n + 2}.
On+1 ? int ?(A? ),
?
говорит о том, что A
Поэтому тем более
что, как известно из выпуклого ана-
лиза (см. [3]),
единственное решение задачи (1).
Теорема доказана.
Приведјм пример, показывающий существенность уcловий теоремы.
g1 (t) = 1, g2 (t) = t + 2, t ? [0; 1], n = 1. Условие 1) теоремы 2 не
выполняется, так как для оптимальных точек A множество R3 (A) = {1}
содержит лишь одну точку. Также не существует набора точек T , удовле-
Пусть
творяющего условию 2). Множество решений этой задачи можно записать в
виде
? = {A? = (a?0 , a?1 ) : 0 ? a?1 ? 1; a?0 = 2 ? a?1 }.
Оно содержит более чем одну точку.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Выгодчикова И.Ю. О наилучшем приближении дискретного мультиотображения
алгебраическим полиномом // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2001. Вып. 3. C. 25-27.
2. Дудов С.И., Сорина Е.В. О приближении сегментной функции полиномиальной
полосой // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 14-й
Сарат. зимней шк. Саратов, 28 янв. 4 февр. 2008 г. Саратов, 2008. С. 67-68.
3. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука,
1981. 384 c.
4. Дудов С.И. О двух вспомогательных фактах для исследования задач полиномиального приближения // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та.
2007. Вып. 9. C. 22-26.
78
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
313 Кб
Теги
внешней, единственности, условия, решение, оценки, полиномиальной, полосок, сегментно, функции, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа