close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Условия оптимальности управляемых систем Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
Larionov A.S., Panasov V.V. Research of dynamic of automatic regulation systems by the
example of a heat electric radiator. The dynamical properties of systems of automatic regulation
by the certain example are investigated by the methods of the functional dierential equations.
Key words: functional dierential equation; Cauchy's matrix; system of automatic regulation;
heat electric radiator; stability.
Ларионов Александр Степанович, Братский государственный университет, г. Братск,
Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики; e-mail: larios84@yandex.ru.
Панасов Вячеслав Владимирович, Братский государственный университет, г. Братск,
Российская Федерация, кандидат технических наук, доцент кафедры систем электроснабжения; e-mail: rasp@brstu.ru.
УДК 517.95
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
ГУРСА-ДАРБУ В КЛАССАХ ФУНКЦИЙ С СУММИРУЕМОЙ
СМЕШАННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
c И.В. Лисаченко, В.И. Сумин
Ключевые слова
: нелинейная система ГурсаДарбу; решения с суммируемой смешанной
производной; терминальная задача оптимизации; принцип максимума; особые управления.
Рассматривается нелинейная управляемая система ГурсаДарбу с полной каратеодориевской правой частью уравнения при общих условиях, позволяющих искать решения
системы в классе функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной. На примере терминальных задач оптимизации обсуждаются вопросы получения
необходимых условий типа принципа максимума, условий вырождения принципа максимума, условий оптимальности особых управлений.
Для задачи оптимизации системы ГурсаДарбу в свое время была получена одна из
первых в классе распределенных оптимизационных задач достаточно общих формулировок
принципа максимума (об истории вопроса [1, c. 333345, 449450; 2, c. 442450]). Впоследствии вопросы вывода и анализа принципа максимума для задач оптимального управления
системой ГурсаДарбу, являющейся своего рода пробным камнем теории оптимизации распределенных систем, рассматривали многие авторы [3, 4].
В последнее время наблюдается устойчивый интерес [57] к задачам оптимизации систем типа ГурсаДарбу, рассматриваемых в классах абсолютно непрерывных функций с
суммируемой в некоторой степени смешанной производной. В этом случае, по сравнению
с преимущественно изучавшимся до недавнего времени случаем ограниченной смешанной
производной [812], принцип максимума исследован еще мало. Доклад посвящен результатам, полученным авторами в данном направлении.
В [13] доказан поточечный принцип максимума для терминальной задачи оптимизации
нелинейной управляемой системы ГурсаДарбу с полной каратеодориевской правой частью
1116
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
уравнения при достаточно общих условиях, позволяющих искать решения системы в классе
функций с суммируемой в степени p > 1 смешанной производной (видимо, при столь общих
условиях принцип максимума для задачи оптимизации системы ГурсаДарбу, рассматриваемой в классе функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной, ранее
доказан не был). При вычислении вариаций функционалов существенно использовалась
эквивалентная запись управляемой системы ГурсаДарбу в виде вольтеррова функционального уравнения второго рода в лебеговом пространстве [14]. Нетривиальное отличие
этой процедуры от подобной, относящейся к случаю решений с ограниченной смешанной
производной [11], связано с тем, что здесь семейство линейных операторов правых частей
линеаризованных функциональных уравнений, получающихся при разных параметрах варьирования, не обладает, вообще говоря, общей квазинильпотентной мажорантой. Поэтому при вычислении вариаций использовалось введенное в [14, 15] понятие равностепенно
квазинильпотентного семейства операторов. Наряду с указанным принципом максимума в
докладе обсуждаются полученные по общей схеме [16], использующей тензорные произведения лебеговых пространств, условия вырождения и необходимые условия оптимальности
соответствующих особых управлений.
ЛИТЕРАТУРА
Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975.
Егоров А.И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2004.
3. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. Ч. 2. Опти1.
2.
мальное управление. Новосибирск: Наука, 1990.
Tuan H.D. On solution sets of nonconvex Darboux problems and applications to optimal control with
4.
endpoint constraints // J. Austral. Math. Soc. Ser.: B. 1996. V. 37. P. 354-391.
5.
Толстоногов А.А. Теорема существования оптимального управления в задаче ГурсаДарбу без пред-
положения выпуклости // Известия РАН. Серия: Матем. 2000. Т. 64. ќ 4. С. 163-182.
6.
Idczak D. The bang-bang principle for the Goursat-Darboux problem // Int. J. Contr. 2003. V. 76. ќ 11.
P. 1089-1904.
Погодаев Н.И. О решениях системы ГурсаДарбу с граничными и распределенными управления-
7.
ми // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. ќ 8. С. 1116-1126.
8.
Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых
системами ГурсаДарбу // Bычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т. 12. ќ 1. С. 61-77.
9.
Suryanarayana M.B. Necessary conditions for optimization problems with hyperbolic partial dierential
equations // SIAM J. Control. 1973. V. 11. ќ 1. P. 130-147.
10.
Матвеев А.С., Якубович В.А. Оптимальное управление некоторыми системами с распределенными
параметрами // Сиб. матем. журн. 1978. Т. 19. ќ 5. С. 1109-1140.
11.
Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация распределенных систем в лебеговом пространстве //
Сиб. матем. журн. 1981. Т. 22. ќ 6. С. 142-161.
12.
Гаврилов В.С., Сумин М.И. Параметрическая оптимизация нелинейных систем ГурсаДарбу с фа-
зовыми ограничениями //Bычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. ќ 6. С. 1002-1022.
13.
Лисаченко И.В., Сумин В.И. Принцип максимума для терминальной задачи оптимизации системы
ГурсаДарбу в классе функций с суммируемой смешанной производной // Вестник Удмуртского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Компьютерные науки. Ижевск, 2011. Вып. 2.
14.
Сумин В.И. Управляемые функциональные вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах //
Вестник Нижегородского университета. Серия: Математическое моделирование и оптимальное управление.
Н. Новгород, 1998. Вып. 2(19). С. 138-151.
15.
Сумин В.И. Равностепенная квазинильпотентность: определения, признаки, примеры применения //
Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. ќ 1.
С. 453-466.
16.
Сумин В.И. Сильное вырождение особых управлений в распределенных задачах оптимизации //
ДАН СССР. 1991. Т. 320. ќ 2. С. 295-299
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП ѕНаучные и
научно-педагогические
кадры
инновационной
Россииї
(20092013
годы)
1117
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 16, вып. 4, 2011
(проект НК13П13) и АЦВП ѕРазвитие потенциала высшей школы (20092011 годы)ї
Минобрнауки РФ (регистрационный номер проекта 2.1.1/3927).
Lisachenko I.V., Sumin V.I. Optimality conditions for Goursat-Darboux systems in the
classes of functions with summable mixed derivatives. The general nonlinear Gourat-Darboux
system is considered. The right part of dierential equation is Caratheodory function. The mixed
derivatives of system solutions are
Lp -functions, p > 1 .
We discuss the conclusion of the
maximum principle for terminal problem of optimization, conditions of degeneration of maximum
principle, optimality conditions of singular controls.
Key words: nonlinear Goursat-Darboux system; solutions having summable mixed derivatives;
terminal optimization problem; maximum principle; singular controls.
Лисаченко Ирина Владимировна, Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры прикладной математики, e-mail: i_lisach@mail.ru.
Сумин
Владимир
Иосифович,
Нижегородский
государственный
университет
им.
Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, доктор физико-математических
наук,
профессор,
заведующий
кафедрой
математической
физики,
e-mail:
v_sumin@mail.ru.
УДК 517.977
УСЛОВИЯ УПРАВЛЯЕМОСТИ В ЗАДАЧЕ СО СМЕНОЙ ФАЗОВОГО
ПРОСТРАНСТВА
c И. С. Максимова, В. Н. Розова
Ключевые слова
:
управляемость;
множество
достижимости;
многозначное
отоб
ражение.
В настоящей работе получены достаточные условия управляемости нелинейных дифференциальных систем в задаче со сменой фазового пространства.
X = Rn , Y = Rm переменных x = (x1 , ..., xn ),
y = (y1 , ..., ym ). Обозначим ?(Rn ), ?(Rm ) совокупности всех непустых выпуклых компактных подмножеств пространств Rn и Rm , соответственно. Пусть заданы множества
U ? ?(Rn ), V ? ?(Rm ). Движение объекта описывается следующими нелинейными систеИмеются два фазовых пространства
мами дифференциальных уравнений:
x?(t) = f (t, x(t), u(t)),
u(t) ? U,
x(t) ? X,
t ? [0, ? ];
(1)
y?(t) = g(t, y(t), v(t)),
v(t) ? V,
y(t) ? Y,
t ? [?, T ].
(2)
u(·) ? L? ([0, ? ], Rn ),
t ? [0, ? ] и v(t) ? V при п.в.
Допустимыми управлениями являются всевозможные функции
L? ([?, T ], Rn ), для которых
v(·) ?
t ? [?, T ].
Функции
u(t) ? U
f (t, x, u), g(t, y, v) таковы,
(2) существует и единственно.
1118
при п.в.
что решение задачи Коши для систем (1) и
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
254 Кб
Теги
управляемое, условия, суммируемой, смешанной, система, функции, производной, дарбу, оптимальности, класса, гурса
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа