close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Условия устойчивости нулевого решения периодической системы.

код для вставкиСкачать
УДК 530.1
Н.М. Кудряшова
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НУЛЕВОГО РЕШЕНИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Для систем дифференциальных уравнений с периодической правой частью исследован вопрос об устойчивости нулевого решения с помощью оценки нормы оператора
монодромии.
система дифференциальных уравнений, устойчивость, оператор монодромии, норма
матрицы.
Пусть дана система
x  f t, x  ,
(1)
для которой функция f t, x  –  -периодическая по t , f t, 0 n   0 n , f t, x  , интегрируемая по t и достаточно гладкая по x в окрестности точки x  0 n . При этом для
системы (1) обеспечено условие существования и единственности решения x t, x 0  ,
x 0, x 0   x0 и его продолжительности при t  0,  , если x0 достаточно мало [1].
Задача. Для системы (1) найти условие устойчивости решения x  0 n .
Для решения этой задачи используем свойство оператора монодромии
(сдвига на период) Ux0  x, x0  . Для него можно определить степени (итера© Кудряшова
ции)
U k x0 Н.М.,
xk2014
 , x0   x  , xk  1 , x0  , k  N . По свойствам этих степеней решим вопрос об устойчивости. Для этого используем аналог леммы 9.1 [3].
Лемма 1. Пусть в некоторой окрестности точки x  0 n определены все
степени U k x0 , k  N , и пусть для любого   0 существует   0 , для котороk
го из условия x0   следует оценка U x0   , k  N . Тогда решение x  0 n
устойчиво по Ляпунову.
Доказательство. Будем считать числа  и  , определенные условием
леммы такими, что решение xt , xk , x0  продолжаемо, по крайней мере, на
отрезок 0,   при всех k  N .
В силу непрерывности решений рассматриваемой системы от начальных
значений, для любого   0 число   0 можно считать таким, что   
и x  , x0    для любого   0,   , если x0   [2]. Следовательно, с учетом группового свойства динамической системы для произвольного t  k   ,
  0,   , k  t /   и при всех x0 , подчиненных неравенству x0   , получим оценку x t , x0   x , x k , x0    .
Таким образом, решение x  0 n устойчиво. Лемма доказана.
k
Лемма 2. Если в условиях леммы 1 lim U x0  0 , то решение x  0 n
n 
асимптотически устойчиво.
Доказательство очевидно.
Лемма 3. Если при достаточно малых x 0 верна оценка x , x0   x0 ,
то решение x  0 n системы (1) устойчиво.
Доказательство. Выберем произвольно   0 и    . Исходя из непрерывности решений системы (1) от начальных значений, можем считать, что из
условия x0   следует, что x, x0  определено. Тогда по условию
x , x0   x0   . Следовательно,
x2 , x0   x , x , x0   x  , x0   x0   .
Продолжая подобным образом, на произвольном шаге получим
xk , x0   xk  1 , x0   ...  x0   .
Итак, по лемме 1 решение x  0 n устойчиво. Лемма доказана.
В силу гладкости системы (1) предположим, что она имеет вид
x  A t x  g t , x  ,
(2)
где x  R n , g t , x  – достаточно гладкая функция от x в окрестности точки
x  0 n , g t , 0 n   0 n , то есть система (2) имеет нулевое решение, g x t , 0 n   0 n .
Пусть X t  – фундаментальная матрица системы x  At x , X 0  E .
Обозначим как X  X   матрицу монодромии.
Принимая во внимание свойства системы (2), можно подобрать такое число  0  0 , что любое решение x t, a  будет определяться и притом однозначно
для всех t  0,  , если a   0 [1]. При этом свойства системы (2) позволяют
предположить, что с помощью формулы Тейлора в окрестности точки a  0 n
для оператора монодромии получено представление вида
x  , a   X a  d a   p a  ,
(3)
в котором d a  – известная вектор-форма, для любого   R d a    d a  ,
k
k  N , k  1 (далее будем полагать, что k нечетно), а вектор-функция pa  определена лишь условием lim   k pa   0 (в смысле равномерной сходимости).
 0
Обсудим возможность построения представления вида (3).
Решение системы (1) в окрестности точки 0 n можно представить в виде
xt , a   X t a  y t , a  ,
(4)
t
где
y t , a   X t  X 1  g  , x  , a d – решение системы
y  At  y 
0
+ g(t, X(t)ɑ + y) с начальным значением y 0, a   0 n . При этом справедливо
равенство y a t , 0 n   0 n .
Покажем, что (4) является решением системы (2). Найдем производную от
правой и левой части выражения (4):

t


1
x t, a    X t a  X t  X  g  , x  , a d  t 
0


t
 At  X t a  At  X t  X 1  g  , x  , a d  X t  X 1 t g t , x t , a  
0
t


 At  X t a  X t  X 1  g  , x  , a d   g t , xt , a  
0


 At xt , a   g t , xt , a .
Получили тождество, то есть (4), действительно, является решением для
системы (2).
Ввиду дифференцируемости решения по начальным значениям, матрица xa t , a  непрерывна в точке 0 n . Так как x  0 n – решение системы (2), то
xt , 0n   0n в силу единственности решения с заданным начальным значением.
Так как g a t , 0 n   0 n , то из равенства
t
ya t , a   X t  X 1  g x  , x  , a xa  , a d
0
следует, что ya t , 0n   0n или, что то же самое, lim  1 g a t , a   0 n .
 0
Подставим (4) само в себя и получим
 

U a  X  a   X 1  g  , X  a  y t , a d  
0


  1
  1
 X  a   X  g  , X  a d    X  g x  , X  a  y  , a d 
0
0



  X 1  0 y  , a d .
0

В структуре U a выделим линейное слагаемое X a  X  a , затем из из-
 X  g  , X  a dt , исходя из ее гладкости, по формуле
1
вестной функции
Тейлора – первое нелинейное однородное слагаемое d a  порядка k . Оставшиеся слагаемые pa  будут иметь порядок выше k .
В силу представления (3) по свойствам матрицы X выделим случаи, связанные с оценкой нормы оператора монодромии. Рассмотрим вопрос об устойчивости
решений в случае, когда спектральный радиус матрицы монодромии   X   1 .
Пусть   X   1 . Так как   X  – нижняя грань
матричных норм [4], то для любого
X на множестве всех
  0; 1 -   X  существует такая X
,
что   X   X    X    , то есть X  1 .
Теорема 1. Если существует нормировка, при которой X  1 , то решение
x  0 n системы (1) асимптотически устойчиво [3].
Пример 1. Пусть дана система вида (1):
 x1   x1  2 x2  2 x24  x12 x2 cos 2t  x1 x22  x12 sin 2t ,

4
2
2
2
 x2   x2  3 x2  x1 x2 cos 2t  x1x2  x2 sin 2t
(5)
Проверим характер устойчивости ее нулевого решения.
Для данной системы T  1 , фундаментальная матрица линейной части
 e t
имеет вид X t   
 0
2te  t 
.
e t 
 e 1
Значит матрица монодромии – X  
 0
дову норму, получим X
2
2te 1 
 . Взяв, например, евклиe 1 
 3e 2  2 2e 2  1 . Следовательно, по теореме 1
нулевое решение системы (5) асимптотически устойчиво.
Итак, при условии, что X  1 , вывод об устойчивости нулевого решения
не зависит от свойств нелинейных членов правой части. В этом смысле подобные случаи принято называть «некритическими» и остается лишь вопрос об
оценке области устойчивости. Очевидно, в качестве такой оценки по лемме 1
можно выбрать шар a   , внутри которого U a  1  c  a .
Далее рассмотрим «критические» случаи.
Допустим, da   Da a , где Da  – n  n -матрица (очевидно, такое
представление не единственное). При этом D a    D a  .
Теорема 2. Если при некоторой нормировке и при каком-либо способе выбора подходящей матрицы Da  оказывается, что X  1 и
k
E  Da   1  c a
k 1
для всех малых a , где c  0 , то решение x  0 n систе-
мы (1) устойчиво.
Доказательство. С помощью (3) получим оценку

pa  
 a.
x  , a   X a  d a   pa   X  E  Da  
(6)

a


Так как lim   k pa   0 , где k  1 , то существует   0 такое, что
 
pa 
a

c
a
2
k 1
. Тогда из (6) следует, что

x , a   a 1  c a

k 1

c
a
2
k 1

 c
  a 1  a

 2
k 1

 a.

Следовательно, по лемме 3 решение x  0 n устойчиво. Теорема доказана.
Аналогично может быть установлено утверждение.
Теорема 3. Если XE  Da   1  c a
k 1
при некотором c  0 и всех
малых a , то решение x  0 n системы (1) устойчиво.
Пример 2. Пусть дана система вида (1):
 x1  2 x13  x12  5 x1 x 22  3 x1 x2  x 2 ,

3
3
2
 x 2  x1  3x 2  4 x 2  3x1 x 2  x1.
(7)
 cos t  sin t 
 . Для проведения
 sin t cos t 
Для линейной части системы (7) Xt   
вычислений удобно выбрать T  2 . Тогда X
1
 1 . Далее вычисляется d a  .
Заметим, что наличие квадратичных членов в правой части системы (7) затрудняет использование второго метода Ляпунова. При данном подходе вопрос
об устойчивости связан со свойствами вектор-функции d a  , которая не содержит квадратичные слагаемые. Это свойство характерно для автономной системы, у которой матрица линейного приближения имеет только соизмеримые, чисто мнимые собственные значения.
Допустим,

2
2
  5a1  5a 2
d a   D a a  
 3 a 2  3 a 2
1
2
4
4
3
3

 a12  a 22  a 
4
4
 1 .
 5a12  5a 22  a 2 

Произведем оценку при достаточно малой a 1 :
E  Da  1 

3
3
3
3

 max  1  5a12  5a 22  a12  a22 ;  a12  a22  1  5a12  5a22  
4
4
4
4


3
3
3 
17

 1  5a12  5a22  a12  a 22  1   5    a12  a 22  1   a12  a22 .
4
4
4 
4





По свойству аналитической эквивалентности норм [4, c. 387] для любого
вектора ɑ имеет место a
2
2
 2 a 1 , поэтому a12  a22  2 a 1 . Таким образом,
17
2
 и всех малых a 1 имеем E  Da  1  1  c a 1 . Тогда по теореме 2
2
решение x  0 n системы (7) устойчиво. Этот вывод иллюстрируется на рисунке
при c 
1 (построен в пакете Maple).
Рис. 1. Геометрическая интерпретация
устойчивости нулевого решения системы (7)
Определим при X  E коэффициентные условия устойчивости решения
x  0 n для системы вида (1) и, положим, n  2 , k  3 ,

d a   p1a13  p 2 a12 a2  p3 a1a22  p4 a23
q1a13  q 2 a12 a 2  q3 a1a 22  q4 a23

(8)
в формуле (3). В этом случае d a   Da   a , где
D a 

p a 2  1 p2 a1a2   2 p3 a22
  2 1 1
2
 q1a1  1  1  q2 a1a2  1   2  q3 a2
1  1  p2 a12  1   2  p3a1a2  p4 a22 


1q2 a12   2 q3 a1a2  q4 a22
p 2   1 p 2  1   1  p 2 ,
p 3   2 p3  1   2  p 3 ,
q3   2 q 3  1   2 q3 ,  i ,  i – параметры, i  1, 2 .
q 2   1q 2  1  1 q 2 ,
Тогда
E  Da  
 1  p1 a12   1 p2 a1 a2   2 p3 a 22
  2
2
 q1 a1  1  1 q2 a1 a2  1   2 q3 a2
1   1  p2 a12  1   2  p3 a1a2  p4 a 22 
1  1q 2 a12   2 q3 a1 a2  q4 a22
 (9)

В условиях теоремы 2 фигурирует оценка E + Da   1 - c a
(k -1)
. Чтобы про-
верить ее справедливость, рассмотрим несколько вариантов матричной нормы.
Пусть     .
В этом случае
E  D a 



 max 1  p1a12  1 p2 a1a2   2 p3 a22  1  1  p2 a12  1   2  p3 a1a2  p4 a22 ,

q1a12  1  1  q2 a1a2  1   2  q3 a22  1  1q2 a12  2 q3 a1a2  q4 a22 .
Для выполнения условия E  D a    1 необходимо, чтобы имели место
на единичной окружности следующие оценки:
p1a12  1 p2 a1a2   2 p3a22  0,
(10)
1q2 a12   2q3a1a2  q4 a22  0.
(11)
По критерию Сильвестра для оценки (10) необходимо и достаточно, чтобы
p1  0,

, а для оценки (11)

1 2 2
 2 p1 p3  4 1 p 2  0
 1q 2  0,

.

1 2 2
 1q 2 q 4  4  2 q3  0
Последние неравенства в этих системах всегда верны за счет выбора  1 ,  2 и
 1 ,  2 соответственно.
Обозначим
f1 a   1  p1a12  1 p2 a1a2   2 p3 a22  1  1  p2 a12  1   2  p3 a1a 2  p4 a22 .
Очевидно, что условие f1 a   0 , требующееся для оценки E  D a    1 , достаточно проверить на единичной сфере, например, при исходно выбранной
норме a

 1 . Так как a
a1  1 или a 2  1 при a
 max  a1 , a 2 , a12  a  , a 22  a  , a1a 2  a  ,
2


2
2
 1 , то можно усилить оценку:
f1 a    p1  1  1  p 2 a12  1 p2 a1a2  1   2  p3 a1a2    2 p3  p4 a22 
 max p1  1  1  p2 ,  2 p3  p4  1 p2  1   2  p3 .
Для улучшения оценки f1 a   0 учтем, что 1   2 целесообразно уменьшить, поэтому  2  1 .
Итак, для выполнения условия f1 a   0 потребуем, чтобы были справедливы неравенства
p1  0,

 p1 p3  0,
maxp  1    p ,
1
1
2

(12)
p 3  p 4    1 p 2  0.
В то же время по критерию Сильвестра для оценки f1 a   0 требуется
выполнение условий
p1  1   1  p 2  0,


1
2
p1  1   1  p 2    2 p3  p 4    1 p 2  1   2  p 3   0.

4
Здесь также целесообразно взять  2  1 . Тогда условия примут вид:
p1  1   1  p 2  0,


1
2
p1  1   1  p 2   p3  p 4    1 p 2   0.
4

(13)
Таким образом, f1 a   0 при выполнении одного из условий (12) или
(13), где  1 – некоторое число.
Аналогично для выполнения оценки
f 2 a   1q2 a12   2 q3a1a 2  q 4 a22  q1a12  1   1 q2 a1a2  1   2 q3 a22 
 1q 2  q1 a12   2 q3 a1a2  1  1 q 2 a1a2   q4  1   2 q3 a 22 
 max  1q 2  q1 , q4  1   2 q3   2 q3  1  1 q2  0
можно потребовать выполнение одного из условий (при  1  1 ):
q2  0,

 q2 q 4  0,
max q  q , q  1   q   q  0
2
1
4
2
3
2 3

(14)
q2  q1  0,


1
2
q2  q1  q4  1   2 q3    2 q3   0,

4
(15)
или
где  2 – некоторое число.
Таким образом, в силу проведенных рассуждений и по теореме (3) справедливо следующее утверждение.
Теорема 4. Если для системы (2) выполняются условия:
1) n  2 , k  3 ;
2) имеет место равенство (8);
3) существует  1 , удовлетворяющее одной из оценок (12) или (13);
4) существует  2 , удовлетворяющее одной из оценок (14) или (15),
то решение x  0 n системы (2) устойчиво.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бибиков, Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст]. –
М. : Высшая школа, 1991. – 303 с.
2. Зубов, В. И. Теория колебаний [Текст]. – М. : Высшая школа, 1979. – 400 с.
3. Красносельский, М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных
уравнений [Текст]. – М. : Наука, 1966. – 332 с.
4. Хорн, Р.А. Матричный анализ [Текст] / Р.А. Хорн, Ч.Р. Джонсон. – М. : Мир,
1989. – 655 с.
REFERENCES
1. Bibikov, Yu.N. Kurs obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy [Text] [Course of
ordinary differential equations]. – Мoscow : High School, 1991. – 303 p.
2. Zubov, V.I. Teoriya kolebaniy [Text] [Theory of vibrations] / V.I. Zubov. – Мoscow :
High School, 1979. – 400 p.
3. Krasnosel'skiy, M.A. Operator sdviga po traektoriyam differentsial'nykh uravneniy
[Text] [Translation operator of the differential equations]. – Мoscow : Science, 1966 – 332 p.
4. Horn, R.A. Matrichnyy analiz [Text] [Matrix analysis] / R.A. Horn, C.R. Johnson. –
Мoscow : Mir (Peace), 1989. – 655 p.
N.M. Kudryashova
CONDITIONS FOR STABILITY OF THE ZERO SOLUTION
OF THE PERIODIC SYSTEM
For systems of differential equations with periodic right part investigated the
question of the stability of the zero solution with estimates of the norm of the operator
of monodromy.
the system of differential equations, stability, operator of monodromy, norm of matrix.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
270 Кб
Теги
нулевого, условия, решение, система, устойчивость, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа