close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Условия фокусировки. Расщепление марковского процесса на несвязные фрагменты

код для вставкиСкачать
?
Здесь p j ? j -я компонента вектора p из (3).
Если ряд (1) сходится, но его сумма достаточно
?
велика и, начиная с k0 , все распределения p( ? k ) из
(3), на которые фокусирует процесс в точках tk ,
?
содержатся в ?? - окрестности распределения p , то
УДК 519.21
УСЛОВИЯ ФОКУСИРОВКИ.
РАСЩЕПЛЕНИЕ МАРКОВСКОГО
ПРОЦЕССА НА НЕСВЯЗНЫЕ
ФРАГМЕНТЫ
ДИКАРЕВ В.А.
Формулируются условия фокусировки вероятностей
состояний марковского процесса с дискретным множеством состояний на заданное распределение. Устанавливается возможность фокусировки диффузионного процесса. Полученные результаты могут быть использованы
при исследовании нейронных и компьютерных сетей, а
также в экологии, экономике и технике.
В [1-3] сформулированы условия, которым должна удовлетворять инфинитезимальная матрица ? (t )
(s0 ? t < t0 ) неоднородного марковского процесса с
непрерывным временем и дискретным множеством
состояний, при выполнении которых имеет место
точная фокусировка или ? - фокусировка. В этой
статье также приводятся условия, обеспечивающие
фокусировки указанных типов. Они более общие,
чем соответствующие условия из [1-3], и поэтому
приложимы к более широкому кругу прикладных
задач. Основными условиями, которые приводят к
формированию фокусирующего эффекта, являются
быстро изменяющиеся во времени факторы, вызывающие сильные возмущения элементов матрицы
? . Сформулируем условия фокусировки.
1. Пусть существует такая последовательность
попарно непересекающихся интервалов
{[ s , t )}
k
k
?
k =1
и такая последовательность индексов jk (k = 1, 2, ...) ,
для которых
tk
?
sk
(1)
?
0
0
k =1
k
k
(2)
норма матрицы ? (s ) ограничена одной и той же
константой: ? < C .
2. Предположим также, что ?( t ) непрерывна на
отрезках [ sk , t k ) и существует предел
?
?
lim p( ? k ) = p ,
(3)
k ??
?
где ? k ?[ sk , t k ) , p( ? k ) ? нулевой собственный вектор
матрицы ? ( ? k ) .
Тогда для любого j (индекс j нумерует состояния) и любого начального распределения вероятностей, заданного в точке s0 < s1 ,
lim p j (s0 , s ) = p j .
(4)
*
s ?t 0
134
верхний и левый нижний блоки матрицы ? (t ) (внедиагональные блоки) размерностей m Ч (n ? m ) и
(n ? m )Ч m соответственно. Предположим, что элемен-
ты этих блоков стремятся к нулю при t ? t0 . Будем
говорить, что при t ? t0 процесс распадается на
несвязанные фрагменты. Представляет интерес случай, когда в момент распада t = t0 происходит и
фокусировка распределений процессов, отвечающих
матрицам ?11 и ? 22 , или фокусировка хотя бы
одного из них. Приведем условия, при выполнении
которых эти фокусировки будут иметь место.
Пусть матрицы ?11 , ? 22 удовлетворяют условиям
1, 2 . Считаем, что последовательности интервалов
{[ s , t )}
k
?
k =1
из условия 1 являются общими для ?11 и
? 22 . Выполнение этого условия можно добиться всегда.
Известно [4] , что ?близким? в смысле нормы
матрицам двух линейных систем дифференциальных уравнений отвечают мало отличающиеся
друг от друга решения этих систем. Считаем, что
? (t ) ? 0 (k ? ? ) .
X (t ) ? X
(5)
k
На множестве
[s , t ) \ ?[s , t )
размерности (n ? m )Ч (n ? m ) удовлетворяют на [s0 , t0 )
условиям 1, 2 . Обозначим через ?12 (t ) , ? 21 (t ) правый
k
, sk < t k ? sk +1 , sk ? t 0 , t 0 ? ?
? inf ? ? ijk ( s) ds = ? .
k =1 i
*
t0 является точкой ? - фокусировки. Здесь ? = inf ? ,
?
где ?* - любая окрестность распределения p , в
?
которой, начиная с k0 , содержатся все p( ? k ) .
Рассмотрим марковский процесс с конечным числом состояний n и инфинитезимальной матрицей
? (t ) (s0 ? t < t 0 ) , распадающийся при t ? t0 на несвязанные фрагменты, что означает следующее. Пусть
левый верхний блок ?11 матрицы ? , имеющий
размерность m Ч m , и ее нижний правый блок ? 22
k
Здесь X k (t ) ? матрицант распадающейся системы
уравнений Колмогорова с матрицей ? (t ) , отвечающий интервалу [t k , t k +1 ) ; X? k (t ) ? матрицант системы
Колмогорова для этого же интервала с матрицей ?? (t ) ,
полученной из ? (t ) заменой нулями элементов
блоков ?12 , ? 21 с последующей коррекцией блоков
?11 , ? 22 . Эта коррекция состоит в замене элементов
? ii (t ) данных блоков величинами ?? ii (t ) :
где
?? ii (t ) = ? ii (t ) + ? i (t ) ,
n
? i (t ) = ? ? ij (t ) , i = 1, ..., m ,
? i (t ) =
j = m +1
m
? ? ij t
j =1
( ),
i = m + 1, ..., n .
Условие (5) будет выполнятся, если убывание к
нулю элементов блоков ?12 , ? 21 достаточно быстрое
РИ, 1998, № 3
[4]. Матрица ?? (t ) блочно-диагональная. Ее блоки
??11 (t ) , ?? 22 (t ) являются инфинитезимальными мат-
рицами, точка t0 ? их общая точка фокусировки.
Теорема. Пусть матрица ? (t ) распадающегося
процесса удовлетворяет перечисленным выше условиям. Тогда для произвольного распределения
вероятностей, заданного в любой точке s ? [s0 , t0 )
вероятности состояний p j (s, t ) распадающегося процесса, имеют пределы при t ? t0 :
*
lim p j (s, t ) = p j
t ?t0
.
(6)
?
*
Вектор p* с компонентами p j имеет вид
?
?
?
(7)
p* = ?p1* , (1 ? ? ) p*2 .
?* ?*
Здесь ? ? (0, 1) , p1 , p2 ? распределения, на которые
(
)
фокусируют при t ? t0 блоки ??11 , ?? 22 .
Если лишь один из диагональных блоков (для
определенности блок ?11 ) удовлетворяет условиям 1, 2 ,
но (5) по-прежнему выполняется, то формулировка
теоремы несколько изменится. Теперь (6) будет иметь
место только для j = 1, ..., m . Равенство (7) сохраняется
?
?
лишь частично: ? и p1* те же, что и в (7), но p2* не есть
вектор, на который фокусирует блок ?? 22 .
Если (5) имеет место и каждый из блоков ??11 ,
?? 22 ? - фокусирует при t ? t0 на векторы распре? ?
делений p1* , p*2 соответственно, то распадающийся
?
?
?
процесс ? - фокусирует на p* = ?p1* , (1 ? ? ) p*2 .
(
)
Если при t ? t0 один из диагональных блоков,
?
например, ? 11 фокусирует на p1* , а ? 22 ? - фоку?
сирует на p2* и (5) имеет место, то распадающийся
процесс осуществляет точную фокусировку пер?
вых m компонент на ?p1* и ? - фокусирует последние
?
n ? m компонент на (1 ? ? ) p*2 .
Во всех перечисленных случаях скалярный множитель ? в (7) зависит от начального распределения
вероятностей, точки s , в которой оно задается, и
быстроты убывания к нулю элементов блоков ?12 , ? 21 .
Рассмотрим вопрос о фокусировке распределений неоднородного диффузионного процесса.
Считаем, что диффундирующая частица в начальный момент t = 0 находится в начале координат и что процесс диффузии происходит на
плоскости (случай большей размерности рассматривается аналогично). Обозначим через ?1 (t ) ,
? 2 (t ) координаты частицы в момент t . Предположим, что смещение частицы в направлениях
ортогональных осей OX 1 и OX 2 происходит
независимо. Это означает, что при любом t случайные величины ?1 (t ) и ? 2 (t ) независимы. Тогда
РИ, 1998, № 3
каждая из них имеет нормальную плотность
вероятности.
Для определенности рассмотрим случайную
величину ?1 (t ) . На непересекающихся интервалах 0 < t1 < t 2 < ... < t n < ... смещение частицы представляется независимыми величинами
?(t1 ), ?(t 2 ) ? ?(t1 ), ... ?(t n ) ? ?(t n ?1 ), ... . Значит, при
?( s) = y , ?( t ) = x , s < t условное распределение в
момент t имеет вид
(
)
p s, y , t , x =
1
2 ??
2
e
?
( x ? y )2
2? 2
, ?? < x < ? .
Здесь ? 2 = ? 2 ( s, t , y , x ) определяет суммарный
диффузионный эффект при смещении частицы
из y в x за промежуток (s, t ) .
Разобьем всю числовую прямую ?? < x < ? на
n частей точками деления x1 < x2 < ... < xn ?1 . Если
?(t )? ( xi ?1 , xi ) (x0 = ??, xn = ? ) , считаем, что частица
находится в состоянии Ai . Вероятность перехода
из Ai в A j за промежуток (t , t + ?t ) равна
(
)
P ?(t + ?t )? A j ?(t )? Ai =
y2
?
( x ? y )2 ?
? 2
?
1
1
2
?
e 2 ? dx ?
e 2 ? 0 dy
= ???
?
2
2
,
Ai A j 2 ??
??
?? 2 ?? 0
=
? ?( t , t + ?t , y , x ) , ? 0 = ?( 0, t , 0, y ) .
Нетрудно проверить, что для любого t при
соответствующем изменении ? 2 ( s, t , y , x ) приближенная фокусировка будет иметь место. Точная фокусировка невозможна, так как для ее
реализации необходимо, чтобы ? 2 ( s, t , y , x ) принимала сколь угодно большие значения. Однако
многократным повторением фокусирующего
фактора можно добиться фокусировки с любой
наперед заданной точностью.
Литература: 1. Дикарев В. А. Точки фокусировки и теоремы о
существовании предельных вероятностей. Харьков. 1995. 11с.
Рук. деп. в ГТНБ Украины 28.02.95. № 526 ? Ук. 95. 2. Дикарев
В. А. Точки фокусировки и стабилизация неоднородных
марковских процессов. Харьков. 1995. 9 с. Рук. деп. в ГТНБ
Украины 28.02.95. № 533 ? Ук. 95. 3. Герасин С. Н., Дикарев В.А.,
Числин Н.И. Существование предельных вероятностей для
конечных процессов Маркова с убывающими к нулю временными промежутками переходов // Докл. национальной
академии наук Украины, №7. 1998. 4. Якубович В.Я., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987. 328 с.
Поступила в редколлегию 06.09.98
Рецензент: д-р физ.-мат. наук Руткас А.Г.
Дикарев Вадим Анатольевич, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики ХТУРЭ. Научные интересы: функциональный анализ, дифференциальные уравнения, случайный анализ и его применения.
Адрес: Украина, 310726, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.
33?57?03, 40?94?36.
135
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
280 Кб
Теги
условия, расщепление, фокусировки, процесс, фрагменты, марковского, несвязных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа