close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Усредненная линеаризация и аппроксимация уравнений в подпространствах.

код для вставкиСкачать
Математическое моделирование. Оптимальное управление
Вестник Нижегородского университета им.
Н.И.
Лобачевского, 2013, № 4 (1), с. 208–210
Н.В.
Кротов
208
УДК 517.938
УСРЕДНЕННАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
УРАВНЕНИЙ В ПОДПРОСТРАНСТВАХ
 2013 г.
Н.В. Кротов
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
nkrotov@gmail.com
Поступила в редакцию 31.05.2013
Для приближенного решения нелинейного операторного уравнения производится усредненная
линеаризация уравнения и аппроксимация линейных уравнений поиска минус-поправок в подпространствах. Результат конкретизирован в случае двухточечной задачи для дифференциального уравнения 2-го порядка.
Ключевые слова: усреднение, линеаризация, подпространства.
1. В KB-линеале (см. [1]) X выделены множества E, C и определена операция F :
E,C  X , F : E  C .
Производится поиск приближенного решения
нелинейного уравнения
x  F (x ) .
(1)
С целью усредненной линеаризации этого
уравнения вводится линейный ограниченный
(далее – л. о.) оператор  : X  X . Операция
F (.)   имеет модулярную мажоранту – л. о.
оператор B : X  X , удовлетворяющий неравенству:
F ( x  x)  F ( x )  x  B x ( x, x  x  E ) .
Оператор B положительный, B  0 в порядковом смысле: B  0, ( x  0)  ( Bx  0) .
Оператор  мажорируется л. о. положительным оператором A, нормы итераций которого ограничиваются сверху элементами сходящегося числового ряда:
A : X  X , x  A x ,

A n  an ( n  1), a  1 

an  .
(2)
n 1
Следовательно, существуют л. о. операторы
( I   ) 1 , ( I  A) 1 : X  X (где I – тождественный оператор: Ix  x ), причем ( I  A) 1  0 .
Пусть л. о. положительный оператор L
удовлетворяет следующим условиям:
L : X  X , L  ( I  A) 1 B,

(3)
Ln  ln (n  1), l  1 
ln  .

n 1
Если оператор ( I   ) 1 известен (осуществим), то, при выполнении некоторых условий,
может быть применен модифицированный метод касательных, когда минус-поправки  n 
 xn  xn 1
являются решениями линейных
уравнений  n   n  xn  F ( xn ) . Здесь же рассматривается случай, когда обратный оператор
неизвестен, и данные линейные уравнения метода аппроксимируются.
Вводится серия линейных замкнутых подпространств B-пространства X :
X n  X n1 (n  0,  ) ,
удовлетворяющих следующим условиям. Имеется серия л. о. операторов
Pn : C  X n , Pn x  x ( n  , x) , (4)
и серия таких л. о. операторов n : X n  X n , для
которых существуют и известны л. о. операторы ( I n  n ) 1 : X n  X n (где I n x  x, x  X n ) .
Требуется, чтобы в соответствующих Bпространствах X n  X n , X n  X л. о. операторов следующие нормы удовлетворяли приведенным условиям:
( I n  n ) 1  const , n ,
(5)
n    0 ( n  ) .
(6)
Подбираются неубывающая последовательность номеров
0  m(n)  m(n  1)   (n  )
(7)
и первоначальное приближение x0  ( E  X m( 0 ) ) .
Обозначим (см. (2))
h  a x0  F ( x0 ) .
(8)
Выберем числа cn  0 ( n  0) – элементы сходящегося ряда и введем величину (см. (3))
n1
n 
l
k 0
c ( n  1) .
n1k k
(9)
209
Усредненная линеаризация и аппроксимация уравнений в подпространствах
Следовательно, n  0, n  0 и существует
max n .
Введем число r (см. (3)) и метрический шар
S:
r  hl  max  n ,
(10)
S  {x : x  x0  r} .
Потребуем включение
SE.
Построим процесс вычисления
поправок xn  ( xn  xn1 )  X m( n ) :
(11)
(обозначение операторов Pn см. (4)). Тогда при
обозначениях (3), (8), (9) верна
Теорема 1. В шаре (11) существует и единственно решение x * уравнения (1). Возможен
такой выбор номеров (7), что вычисление минус-поправок по формуле (12) приводит к процессу, сходящемуся в этом шаре к решению,
xn  x * . Оценка погрешности приближения
xn  x *  hlln  n  0 ( n  1, n  ) .
Доказательство теоремы приведено в диссертации [2], см. также работы [3, 4].
2. Применим эту схему к краевой задаче при
0  t  1:
 y  f (t , y , y), y (0)  , y (1)   , (13)
где функция f непрерывна по совокупности 3
переменных. Действуем в B-пространстве
X  L . Здесь C означает B-пространство непрерывных функций. Введем обозначение
x   y . Следовательно,
1
y ( s )    (   ) s  G ( s, t ) x (t ) dt ,
0
(14)
1
y ( s )     
 G (s, t ) x(t )dt ,
0
где
s
функция Грина G  (1  s )t (t  s ),
G
1
 (1  t ) s (t  s) . Ясно, что y  C .
Указано множество E  X . Обозначим
Y  { y : y (0)  , y (1)  ,  y  E} . (15)
Следовательно, при обозначении ( f [ x])(s ) 
 f (s, y (s ), y (s ))
( y  Y )  ( f [ x]  C ) .
Задача (13) эквивалентна функциональноинтегральному уравнению x  f [x] .
С целью усредненной линеаризации этого
уравнения введем непрерывную функцию
V (s, t ) , определенную на квадрате Q 
 [0,1]  [0,1] :
V ( s, t )  v  1 .
(16)
если
1

( f [ x  x ]  f [ x ])(s)  V ( s, t ) x(t ) dt 
0
1
b

x(t ) dt , b  v  1.
0
Для применения теоремы 1 введем в рассмотрение операции

1
F ( x)  f [ x ], (x )(s )  V ( s, t ) x(t ) dt ,
минус-
xn  m( n ) xn  xn  Pm ( n ) F ( xn ) (n  0) (12)

Пусть
выполняется
условие:
y, y  y  Y (15), то п. в. на отрезке [0,1]

1
( Ax)( s)  v x(t ) dt ,
0

1
( Bx)(s )  b x (t ) dt ,
0
0
(17)
L  ( I  A) 1 B.
Тогда
v 1
x (t ) dt ,
1 v 0
1
b
( Lx )( s)  q x(t )dt , q 
1.
0
1 v
Здесь использованы числа (см. (2), (3), (8)):
1
1
a
, ln  q n , l 
,
1 v
1 q
(18)
h  a  sup ( x0  f [ x0 ])(s) .
(( I  A) 1 x )(s )  x( s) 


s
Введем узлы разбиения отрезка [0,1] и интервалы, соответствующие номеру n:
t0  0, tk  2 n k ,  k  (t k 1 , t k )
(1  k  2n ) .
Подпространство X n составим из ступенчатых
функций вида
xn (t )   k (t   k ), k .
Следовательно, X n  X n1 – линейные замкнутые подпространства в B-пространстве X .
Введем операторы (4) через значения непрерывных функций x в центрах интервалов:
k  (tk 1  tk ) / 2 ,
( Pn x)(t )  x (  k ) (t   k ), k .
Непрерывная функцияx x, определенная на
отрезке, равномерно непрерывна, поэтому последовательность
ступенчатых
функций
( Pn x )(t )  x(t ) п. в. равномерно, то есть по норме B-пространства X .
Аналогично обозначены для переменных s
узлы разбиения и центры интервалов: координаты si , i вместо t k ,  k . Выделим в квадрате
Q квадраты
ik  {( s, t ) : s   i , t   k }, i, k ,
и через значения непрерывной функции V в
центрах квадратов определим ступенчатое ядро
и оператор:
210
Н.В. Кротов
где m  m(n) , коэффициенты vmik – значения
Vn ( s, t )  V (i ,  k ) (( s, t )   ik ), i, k ,
1
(n x)( s) 
Очевидно,
 V (s, t ) x(t )dt .
0
n
Vn ( s, t )  v, n x  A x
(см. (16),
(17)). Поэтому ( I n  n ) 1  ( I  A) 1 , n , выполнено условие (5).
Непрерывная функция V , определенная на
замкнутом квадрате, равномерно непрерывна,
поэтому последовательность ступенчатых функций Vn ( s, t )  V ( s, t ) п. в. равномерно. Следова1
тельно,
n    sup
s
V
0
n
 V ( s, t ) dsdt  0 , ус-
ловие (6) выполнено.
Подбирается последовательность номеров (7).
Номеру m  m(n) соответствуют совокупности
узлов t m0  0, tmk  2 m k , интервалов  mk , квадратов  mik и их центров ( mi ,  mk ), k .
Выберем первоначальное приближение –
ступенчатую функцию x0  E :
x0 (t )   mk (t   mk , m  m(0) ), k .
Радиус (10) вычисляется по формулам (9),
(18). Шар (11) принимает вид
S  {x : x (t )  x0 (t )  r , п. в. t }. Обозначим
множество
Y0  { y : y (0)  , y (1)  ,  y  S} . (19)
Требование S  E означает условие: множество Y0  Y (см. (15)).
При m  m(n) в процессе (12) на интервалах
 mk приближение xn (t )   mk и минус-поправка
xn (t )  mk ,
(20)
правые части уравнений (12) – ступенчатые
функции со значениями на интервалах  mi :
mi   mi  ( f [ xn ])( mi ) .
Уравнения (12) являются линейной алгебраической системой уравнений
2m
 mi  2
m
v
mik
 mk  mi (1  i  2m ) , (21)
k 1
функции V в центрах квадратов  mik .
Приближения yn , yn выражаются
через
функции xn по формулам (14).
Решение x*  f [ x*]  C ,  x*  ( y*) , где y *
– решение задачи (13). Итак, y*  C 2 .
Из теоремы 1 следует
Теорема 2. На множестве (19) существует и
единственно решение y*  C 2 задачи (13). Возможен такой выбор номеров (7), что вычисление минус-поправок (20) по формулам (21) приводит к процессу, сходящемуся на множестве
(19)
к решению вместе с производными:
 xn  ( y*) п. в. равномерно, yn ( s)  ( y*)( s ) ,
yn ( s)  y * ( s ) равномерно. Оценки погрешно-
сти приближений при n  1 (см. (9), (18)):
xn  ( y*) ( s)  d n  hlln  n  0 (п. в. s),
yn  ( y*) ( s )  d n ( s 2  s  1 / 2) ,
y n  y * ( s )  d n ( s  s 2 ) / 2, s .
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и
научно-педагогические кадры инновационной России»,
соглашение № 14.B37.21.0393.
Список литературы
1. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1961. 407 с.
2. Кротов Н.В. Композиция методов линеариазации и аппроксимации операторных, интегральных и
дифференциальных уравнений. Дисс. к.ф.-м.н. Н.
Новгород, 2006. 113 с.
3. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Модификация метода касательных в серии подпространств // Вестник
ННГУ. Математика. 2004. Вып. 1(2). С. 171–177.
4. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Прямой метод приближенного решения нелинейного уравнения в серии
подпространств // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2005. № 9. C. 89–98.
AVERAGE LINEARIZATION AND APPROXIMATION OF EQUATIONS IN THE SUBSPACES
N.V. Krotov
The average linearization of an equation and the approximation of linear equations for minus-corrections in the subspaces are carried out for the approximate solution of a nonlinear operator equation. The result has been specified in the
case of a two point problem for a second order differential equation.
Keywords: averaging, linearization, subspaces.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
247 Кб
Теги
уравнения, линеаризации, аппроксимация, подпространств, усредненных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа