close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Устойчивость и бифуркация положения равновесия одной существенно нелинейной системы.

код для вставкиСкачать
2013
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 1
Вып. 1
МАТЕМАТИКА
УДК 517.925
УСТОЙЧИВОСТЬ И БИФУРКАЦИЯ
ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ОДНОЙ
СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
А. А. Дороденков
С.-Петербургский государственный университет,
соискатель, alex_math@mail.ru
Введение. Данная работа является продолжением работы [1]. В ней были изучены периодические возмущения осциллятора ẍ+x2 sgnx = 0. Рассматривались вопросы
устойчивости по Ляпунову положения равновесия x = 0 осциллятора и бифуркация
рождения инвариантного двумерного тора.
В настоящей работе полученные в [1] результаты распространяются на случай
малых периодических возмущений системы
ẋ = y,
ẏ = −x2 sgnx,
ż = Az,
где A — постоянная гиперболическая матрица.
Найдена постоянная Ляпунова, знак которой указывает на наличие асимптотической устойчивости или неустойчивости, и построено уравнение, определяющее бифуркацию рождения инвариантного двумерного тора.
В работе [2] аналогичные результаты были получены при изучении малых периодических возмущений системы
ẋ = y,
ẏ = −x3 ,
ż = Az,
где A — постоянная гиперболическая матрица.
1. Предварительные преобразования. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
⎧
⎪
⎨ ẋ = y + X(x, y, z, ε, t),
(1)
ẏ = −x2 sgnx + X(x, y, ε, t),
⎪
⎩
ż = Az + Z(x, y, z, ε, t),
c
68
А. А. Дороденков, 2013
где z = (z1 , . . . , zn )T — вектор, 0 ≤ ε — малый параметр, X, Y, Z — нелинейности по
x, y, ε, z, причем разложение функции в ряд Тейлора не содержит степень x2 . Функции
X, Y, Z достаточно гладкие при |x| < x∗ , |y| < y ∗ , ||z|| < z ∗ , 0 ≤ ε < ε∗ и периодические
по t с периодом 2π. Кроме того, выполняется условие X(0, 0, 0, ε, t) = Y (0, 0, 0, ε, t).
Тем самым система (1) имеет положение равновесия x = 0, y = 0, z = 0 при любом
допустимом ε.
Пусть для матрицы A выполняются условия Reλi = 0, i = 1, . . . , n, где λi —
собственные числа матрицы A.
Сделаем, следуя А. М. Ляпунову [3], в системе (1) замену переменных
x = ρ2 C(ϕ),
y = −ρ3 S(ϕ),
где ρ > 0, а x = C(ϕ), y = S(ϕ) — решение системы
dx
= −y,
dϕ
dy
= x2 sgnx
dϕ
(2)
с начальными данными C(0) = 1, S(0) = 0. Функции C, S периодичны с некоторым
периодом 2ω, и выполняется соотношение
3S 2 (ϕ) + 2C 3 (ϕ)sgnC(ϕ) = 2.
Получим систему, которую можно записать в виде
⎧
ρ̇ = P3 ρ3 + P4 ρ4 + P5 ρ5 + Q1 ε + Q2 ερ + P z + P1 zρ + O(ρ6 + ερ2 + ε2 )+
⎪
⎪
⎪
2
⎪
⎪
⎪
⎪ + O z + zρ2 + zε ,
⎪
⎪
⎪
ρ2
ρ2
⎪
⎪
⎪
⎨
ε
z
ε2
2
3
4
5
ϕ̇ = ρ + Φ2 ρ + Φ3 ρ + Φ4 ρ + Θ1 + Θ2 ε + Φ + Φ1 z + O ρ + ερ +
+
⎪
ρ
ρ
ρ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
z2
zε
⎪
⎪
+ zρ + 3 ,
+
O
⎪
3
⎪
ρ
ρ
⎪
⎪
⎪
4
⎩
ż = Az + O ρ + ρ2 ε + ε2 + O(zρ2 + εz + z 2 ).
(3)
(4)
Здесь и далее коэффициенты при степенях — периодические по t, ϕ функции.
Лемма 1. Существует замена вида
z = w + w4 ρ4 + w5 ρ5 + w6 ρ6 + w7 ρ7 + W ερ2 ,
переводящая систему (4) в систему
⎧
ρ̇ = P3 ρ3 + (P4 + P w4 )ρ4 + (P5 + P w5 + P1 w4 )ρ5 + Q1 ε + Q2 ερ+
⎪
⎪
⎪
2
⎪
⎪
⎪
⎪ + O(ρ6 + ερ2 + ε2 ) + O w + w + wε ,
⎪
⎪
⎪
ρ2
ρ2
⎪
⎪
⎨
ε
ϕ̇ = ρ + Φ2 ρ2 + (Φ3 + Φw4 )ρ3 + (Φ4 + Φw5 + Φ1 w4 )ρ4 + Θ1 + Θ2 ε+
ρ
⎪
⎪
2
⎪
⎪
⎪
w
ε2
wε
⎪
5
⎪
⎪
⎪ + O ρ + ερ + ρ + O ρ3 + wρ + ρ3 ,
⎪
⎪
⎪
⎩
ẇ = Aw + O(ρ8 + ρ3 ε + ε2 ) + O(wρ2 + εw + w2 ).
(5)
69
Эта лемма как и все последующие доказывается методом неопределенных коэффициентов.
2. Существование двумерного инвариантного тора при ε > 0
Лемма 2. Существует замена вида
ρ = r + h2 (ϕ)r2 + h3 (t, ϕ)r3 + h4 (t, ϕ)r4 + h5 (t, ϕ)r5 ,
переводящая систему (5) в систему
⎧
2
w
ε3
wε
⎪
5
6
2
2
⎪
ṙ = gr + Q1 ε + R2 εr + O r + εr + ε + 2 + O
+w+ 2 ,
⎪
⎪
⎪
r
r2
r
⎪
⎪
⎪
2
3
⎪
ε
ε
ε
⎪
⎨ ϕ̇ = r + Ψ r2 + Ψ r3 + Ψ r4 + Θ + Θ ε + O r5 +
+ 3 +
2
3
4
1
3
r
r
r
2
⎪
⎪
⎪
wε
w
w
⎪
⎪
+O
+ + 3 ,
⎪
⎪
r3
r
r
⎪
⎪
⎪
⎩
8
ẇ = Aw + O(r + r3 ε + ε2 ) + O(wr2 + εw + w2 ),
(6)
(7)
где g = const.
При доказательстве леммы использовалось представление периодических функций в виде
P (t, ϕ) = P̄ + P̂ (ϕ) + P̃ (t, ϕ),
где P̄ — среднее значение функции P по t, ϕ, а P̂ — среднее значение функции P − P̄
по t. Данное представление было взято из√работы [4].
Осуществим в системе (7) сдвиг r = 4 ε(α + u), где α > 0, |u| < α, и выполним
замену переменных w = ε3/2 v. После нескольких замен, аналогичных замене (6),
придем к системе
⎧
⎪
ṗ = L(α)ε + M (α)εp + O(ε5/4 + ε3/4 p4 + εp2 ),
⎪
⎨
√
√
√
√
√
(8)
ϕ̇ = 4 εα + α2 Φ2 ε + Ω1 ε3/4 + Ω2 ε + 4 εp + Ω3 εp + O( εp2 + ε5/4 ),
⎪
⎪
⎩ v̇ = Av + O(ε1/4 ),
где L(α) = gα5 + bα, b = const.
Рассмотрим уравнение L(α) = 0. Если gb < 0, то у данного уравнения существует
один положительный √
корень √
α∗ . Примем α = α∗ . Получим систему, которая после
4
замены вида ϕ = ψ + εf1 + εf2 + ε3/4 f3 + εf4 (можно показать, что такая замена
существует) и замены p = ε1/8 перейдет в систему
⎧
⎪
η̇ = M (α∗ )εη + O(ε9/8 ),
⎪
⎨
(9)
ψ̇ = γ(ε) + O(ε3/8 η + ε5/4 ),
⎪
⎪
⎩ v̇ = Av + O(ε1/4 ).
Если M (α∗ ) = 0, то система (9) удовлетворяет условиям леммы 2.1 из работы [5],
гарантирующей существование инвариантного двумерного тора. Отсюда следует
70
Теорема 1. При достаточно малом ε существует инвариантный двумерный
тор для системы (4), задаваемый уравнениями
ρ = ε1/4 (α∗ + ε1/8 N (t, ϕ, ε)),
z = ε9/8 D(t, ϕ, ε),
где функции N, D непрерывны и периодичны по t, ϕ с периодом 2π, 2ω соответственно.
3. Устойчивость нулевого решения при ε = 0. Рассмотрим систему (1) при
ε = 0. Предполагая, что Reλi < 0, i = 1, . . . , n, воспользуемся леммой 1. Получим
систему (6) при ε = 0. Выполним в системе (6) последовательно замены
w = ρ3 v,
ρ = r + h2 (ϕ)r2 + h3 (t, ϕ)r3 + h4 (t, ϕ)r4 + h5 (t, ϕ)r5 ,
где коэффициенты, как и выше, находятся методом неопределенных коэффициентов.
Получим систему
⎧
5
6
3
⎪
⎨ ṙ = gr + O(r + r v),
ϕ̇ = r + O(r2 ),
⎪
⎩
v̇ = Av + O(r5 + r2 v),
где g = const.
Теорема 2. Если g < 0, то нулевое решение системы (1) асимптотически
устойчиво по Ляпунову, а если g > 0 — оно неустойчиво.
Для доказательства достаточно рассмотреть функцию Ляпунова
U=
1 2
r + Q(v1 , . . . , vn ),
2
∂Q
∂Q
, . . . , ∂v
)Av =
где Q(v1 , . . . , vn ) — квадратичная форма, определяемая уравнением ( ∂v
1
n
2
2
2
g||v|| , а ||v|| = v1 + . . . + vn , и воспользоваться теоремой Ляпунова об асимптотической устойчивости при g < 0 и теоремой о неустойчивости при g > 0.
Литература
1. Дороденков А. А. Устойчивость и бифуркация рождения инвариантных торов из положения
равновесия существенно нелинейного дифференциального уравнения второго порядка // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. 4. С. 20–27.
2. Бибиков Ю. Н., Букаты В. Р., Дороденков А. А. Регулярные и сингулярные периодические
возмущения осциллятора с кубической восстанавливающей силой. Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1.
2010. Вып. 2. С. 79–89.
3. Ляпунов А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения.
Собр. соч. Т. 2. М.; Л.: Изд-во АН-СССР, 1956. С. 272–331.
4. Бибиков Ю. Н. Устойчивость и бифуркация при переодических возмущениях положения
равновесия осциллятора с бесконечно большой или бесконечно малой частотой // Мат. заметки.
1999. Т. 65. Вып. 3. С. 323–335.
5. Hale J. K. Integral manifolds of perturbed differential system // Ann. of Math. 1961. Vol. 73. N 3.
P. 496–531.
Статья поступила в редакцию 20 сентября 2012 г.
71
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
230 Кб
Теги
нелинейные, равновесие, существенных, бифуркация, система, одной, устойчивость, положение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа