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Устойчивость и бифуркация рождения инвариантных торов из положения равновесия существенно нелинейного дифференциального уравнения второго по- рядка.

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??? 517.925
??????? ?????. ???. 1, 2009, ???. 4
???????????? ? ?????????? ????????
???????????? ????? ?? ????????? ??????????
??????????? ??????????? ?????????????????
????????? ??????? ????????
?. ?. ??????????
?.-????????????? ??????????????? ???????????,
????????, alex_math@mail.ru
????????
? ?????? [1] ?. ?. ??????? ?????????? ?????? ?? ???????????? ???????? ???????
????????????????? ?????????
x? + x2n+1 = X(x, x?),
(1)
??? n ? ??????????? ?????, X ? ????? ?????????? ??????????? x? + x2n+1 = 0. ????????? ? ?????? [2] ????????? (1) ????????? ??? n = 1 ? ??????, ????? X(x, x?, t) ?
????????????? ??? ?????????????????? ??????? ??????? t.
??? ?????? ?????? ?? ???????????? ???????? ???????, ? ??? ??????? ? ??????????
X ?????? ????????? ? ? ?????? ?? ??????????? ??? ??????????? ?????? ????????? ????? ??????? ???????? ?? ????????? ?????????? x = 0 ????????????? ????. ? ?????????
?????? ????????? ????????? (1) ??? n = 1/2. ? ???? ?????? ????????????? ?????????
????? ??? x? + x2 = 0 ? ???????????? ?? ????????. ??? ???? ????? ?????????? ??? ?
??????????, ??????? x2 ?? ??????? g(x) = x2 sgnx, ???
?
?
? 1 ??? x > 0,
sgnx =
0 ??? x = 0,
?
?
?1 ??? x < 0.
????? ??????? ??????????????? ?????????
x? + g(x) = X(x, x?, t, ?),
(2)
??? X(t, x, x?, ?) = a1 (t)xx? + a2 (t)x3 + a3 (t)x?2 + b1 (t)?x + a4 (t)x2 x? + b2 (t)?x? + . . . ??????????
??????? ??? |x| < x? , |x?| < x? , 0 ? ? ? ?? ???????, ???????????, 2?-????????????? ??
t, ??????????????? ??????? X(t, 0, 0, ?) = 0.
???????????, ??? ?????????? X ????? ??????? ??????? ?? ???? ??????, ???? x
??????????? ?????? ???????, x? ? ??????, ? ? ?????????.
??? ? = 0 ?????? ???????? ?????????? ??????????, ???? ??????? ?????????? ??????? ??????????????? ???????????? ??? ?????????????? ????????? ?????????? ??????????? (??????? 2.1). ??? ? > 0 ????????? ?????????, ????????????? ?????? ????????
????????????? ???????????? ????, ?????????? ?????????? ????????????? ?????????
(??????? 5.1).
? ?????? ????????? ??? ?????????? ????????? ???? (????? ? 09-01-00734(2)).
c ?. ?. ??????????, 2009
20
1. ?????????? ??????
? ???????
(
x? = y,
(3)
y? = ?g(x) + X(x, y, t, ?),
??????????????? ????????? (2), ?????? ???????? ??????????
x = ?2 C(?),
y = ??3 S(?),
(4)
??? ??????? C(?), S(?) ???????????? ?????????
C ? = ?S,
S ? = g(C),
C(0) = 1,
S(0) = 0.
(5)
??????? C, S ????? ??????????? ?????? ???????????, ?????????? ? ????????? ???????? 2?; C(?) ? ??????, S(?) ? ???????? ? ????????????? ????????????? ???????????
3S 2 + 2C 3 sgnC = 2.
(6)
?? ????? ???????????? ????????? ????????: ???? ??? ??????? S p (?)C q (?) ????
?? ???? ?? ??????????? p ??? q ???????? ???????? ??????, ?? ??????? ???????? ???
??? ???? ????. ?????????????, ????? ???? ?? ????? p ??? q ????????, ?????? ? ??????.
2?
2?
R?
R p q
R p q
?????????? ????????
S C d? ? ???? ????? ??????????
S C d? = S p C q d? +
0
2?
R
p
0
0
q
S C d?. ?????? ?????? ? = ?+? ? ?????? ????????? ? ???????????????? ??????????
?
S(? + ?) = ?S(?), C(? + ?) = ?C(?), ??????? ?????????
2?
R
S p C q d? = 0. ???? ?? ???
0
????? p ? q ???????, ?? ??????????? ???????? ?? ???????? C(?) ? ?????????? S(?).
???????? ? ??????? (3) ?????? (4) ?, ????????? ????????? (6), ??????? ???????
1
X(?2 C(?), ??3 S(?), t, ?) S(?),
3?2
2
?? = ? ? 3 X(?2 C(?), ??3 S(?), t, ?) C(?),
3?
?? = ?
(7)
??????? ? ???????? ????????????. ?????? ? ???????? (7) ????? ????????????? ?? ?????????? ??????? ??? ????????????? ?? ?????????
? 3?12 X(?2 C(?), ??3 S(?), ?) S(?)
dp
=
.
d?
? ? 3?23 X(?2 C(?), ??3 S(?), ?) C(?)
(7? )
???????????? ? ?????????? ???????, ????????? ?? t, ?, ???????? ??????????????
? ???????? 2? ?? t ? 2? ?? ?. ??? ????? ??????? ?? ????? ???????????? ??????????
F (t, ?) = F? + F? (?) + F? (t, ?),
(8)
??? F? ? ??????? ???????? F ?? t, ?, ? F? ? ??????? ???????? F ? F? ?? t.
2. ???????????? ???????? ??????? ??? ? = 0
?????????? ??????? (7) ??? ? = 0, ??????? ?????????? ? ????
?? =
N
X
Pi (t, ?)?i + O(?N +1 ),
i=3
2
(9)
3
?? = ? + ?2 ? + O(? ).
21
?????
a1
a2
a3
CS 2 , P4 = ? C 3 S ? S 3 ,
3
3
3
????? 2.1. ?????????? ??????
P3 =
?=r+
N
X
?2 =
2 2
C S.
3
(10)
hi (t, ?)ri ,
(11)
i=2
??????????? ??????? (9) ? ???????
r? =
N
X
gi ri + O(rN +1 ),
(12)
i=5
2
3
4
?? = r + ?2 r + ?3 r + O(r ),
R
??? gi ? ?????????, ?2 = 2/3a1 C 2 S + P?3 d?.
??????????????. ????????????????? ?????? (11) ?? t. ??????? ?????????
N
X
i=5
i
gi r + O(r
N +1
i
?hi
2
)+
+
r + ?2 r + . . . r +
?t
??
i=2
!
N
N
N
X
X
X
i?1
i
N +1
+
ir hi
gi r + O(r
) =
Pi
N X
?hi
i=2
i=5
i=3
r+
N
X
hi r
i=2
i
!i
.
??????????? ???????????? ??? r2 , ???????? ????????? ?h2 /?t = 0, ????????????? h2
??????? ?????? ?? ?. ??????????? ???????????? ??? r3 , ???????? ?????????
dh2 (?) ? h?3 (t, ?)
+
= P3 (t, ?),
d?
?t
(13)
dh2 /d? = P?3 , ? h?3 /?t = P?3 . ??? ????????????? k, 3 ? k ? N, ??????? ?????????
gk +
dh?k?1 (?) ? h?k (t, ?)
+
= Pk (t, ?) + Gk (t, ?),
d?
?t
(14)
??? Gk ?????????? ????? ????? ????????? hi . ????????? gk , h?k?1 , h?k ?? ?????????
dh?k?1
= P?k + G?k ,
d?
? h?k
= P?k + G?k ,
?t
gk = P?k + G?k .
?????????? ?????? ????????? ?? ?, ????????? h?k?1 , ?????????? ?????? ????????? ??
t, ??? ? ? ????????, ????????? h?k . ??? ???? ? ?????????? (13) ? (14) ??? k = 4 ?????????? ?? ????? ????? ????? ????, ??? ??? ?? ?????? (10) ???????? P?3 = P?4 + G?4 = 0,
??? G4 = 3P3 h2 ? dh?3 (?)/d? ? dh2 /d??2 . ?? ???? ?????????? ???????? ??????? S p C q
???????, ??? G?4 = 0. ??????? 2.1. ????? gk ? ??????, ???????? ?? ???? ????? ??????????????????
g5 , g6 , ..., gN . ????? ???? gk < 0, ?? ??????? ??????? ????????? (2) ??????????????
?????????, ? ???? gk > 0, ?? ??? ???????????.
22
??????????????. ?? ????????? 3x?2 + 2x3 sgnx = 2?6 ? ?? (9) ????? ??????????????
???????? ??????????? ???????. ?????????????, ?? ???? ??? r(t) ????????? ???????,
???????, ??? x(t, x0 ) ????? ????????? ???????. ??????? ??? ?????? ? > 0 ? ??????
t0 ????? ? = ?, ????? ?? ??????????? |x(t, x0 )| < |x0 | < ? ???????? ???????????? ???
t > t0 . ??????????????? ???????????? ??????? ?? ????, ??? ?? ????? ????? ?????
????? ??????????????? ???? ??? r, ??? ????? ??????????? ??????????? r? ? gN /2rN ,
?????? r(t) ???? 0. t??
3. ??????????????? ?????????????? ??? ? > 0
?????????? ??????? (7), ??????? ??????? ? ????
?? =
5
X
i=3
Pi (t, ?)?i + ?Q1 (t, ?) + Q2 (t, ?)?? + O ?6 + ??2 + ?2 ,
(15)
?
?2
3
4
?? = ? + ?2 (t, ?)? + ?3 (t, ?) + O ? +
+? .
?
?
??????? ?????? ?????????? (11) ??? N = 5 ?, ??????????? ????? 2.1, ??????? ???????
r? = g5 r5 + ?Q1 + ?rQ2 + O r6 + ?r2 + ?2 ,
?
?2
?? = r + ?2 r2 + ?3 r3 + ?3 + O r4 +
+? ,
r
r
??? Q1 = ?b1 (t)/3C(?)S(?), Q2 = b2 (t)/3S 2 . ? ??????? (16) ??????? ?????? r =
z), ? > 0. ? ?????????? ?????????????? ???????
(16)
?
4
?(? +
z? = ?3/4 Q1 (t, ?) + ?Z1 (t, ?) + ?zZ2 (t, ?) + O(?5/4 + ?z 2 ),
?
?? = ?1/4 ? + ?1/4 z + O( ?),
(17)
??? Z1 = ?5 g5 + ?Q2 , Z2 = 5?4 g5 + Q2 .
????? 3.1. ?????????? ??????
z = y + ?1/2 F1 (?) + ?3/4 F2 (t, ?) + ?3/4 y F? (?) + ?y F? (t, ?),
(18)
??????????? ??????? (17) ? ???????
y? = ?L(?) + ?yM (?) + O(?5/4 + ?y 2 ),
?
?? = ?1/4 ? + ?1/4 y + O( ?).
(19)
????? L = Z?1 , M = Z?2 .
??????????????. ????????????????? ?????? (18) ?? t. ??????? ?????????
?L + ?yM + O(?
5/4
2
+ ?y ) + ?
+ ?y
1/2 dF1
d?
?? + ?
!
? F?
? F?
+
??
?t
??
3/4
?F2
?F2
dF?
+
?? + ?3/4 y
?? + и и и +
?t
??
d?
+ и и и = ?3/4 Q1 + ?Z1 + ?Z2 y + O(?5/4 + ?y 2 ).
23
3
??????????? ???????????? ??? ? 4 , ? ? ?y, ????????, ??????????????, ?????????
dF1
? F?2
?+
= Q1 ,
d?
?t
L+
dF?2
? F?3
? F?2
?F1
+
= Z1 ?
?
Y1 (t, ?),
d?
?t
??
??
M+
dF?
? F?
?F2
?F1
+
= Z2 ?
?
Y2 (t, ?),
d?
?t
??
??
??? Y1 (t, ?), Y2 (t, ?) ? ????????? ???????????? ??? ???????? ?, ?y ??????????????.
??????????? ??????? ???????????? ?????????? ?????????????? ????? 2.1. 4
???????????, ??? g?5 Q?2 < 0. ??????? ????????? L(?) = 0 ???? ? = ?? , ??? ?? =
?Q?2 /g?5 . ??????? ???????
5
y? = ?M ? y + O(? 4 + ?y 2 ),
(20)
?
1
1
?? = ? 4 ? + ? 4 y + O( ?).
4. ????????????? ???????????? ?????? ? ?????????? ?????? ??? ? > 0
?????????? ?????????? ??????? ??????? (15) ? ???????? ??????????? ??????????????. ?? ?????? ? ??????? (20). ?????? ??????? ??? ?????????? ??????? (20)
????????????? ????????? ?????? (?????????????? ???????).
???????? ? (20) ?????????? t, ??????? ?????????
?
dy
= ?y + ?3/4 V (?, y, 4 ?),
d?
?
??? ? = ?3/4 M ? /?, ? V (?, y, 4 ?) ? ????????????? ?? ? ??????? ? V (?, 0, 0) = 0,
?V (s, 0, 0)/?y = 0. ??? ??????? ????? ???
y = y0 e
??
+?
3/4
Z?
e?(??s) V (s, y(s, y0 ,
?
?
4
?), 4 ?)ds.
(21)
0
?????????? ????????? y0 = y(0, y0 ,
y0 = y0 e
2??
+?
3/4
?
?
4
?) = y(2?, y0 , 4 ?) ???
Z2?
e?(2??s) V (s, y(s, y0 ,
?
?
4
?), 4 ?)ds.
0
?????, ??????????? ?????????? ? ??? ? ???? ?? ?3/4 , ???????? ?????????
F (y0 ,
?
4
?) = y0
2?M ? (2?M ? )2 3
+
?4 + и и и
?
2?2
+
Z2?
e?(2??s) V (s, y(s, y0 ,
?
?
4
?), 4 ?)ds = 0.
0
?
?? ????????????? ?V ?
/?y ???V /? 4 ? ????????,
??? ?y/?y?
0 ????? ??????????. ??????
????????, V (s, y(s, y0 , 4 ?), 4 ?) = U (s, y0 , 4 ?) ? ?U (s, y0 , 4 ?)/?y0 ??????????. ?????
??????? ?? ????? ??????????????????? ?? y0 ????????? ??? ?????? ?????????.
?? ??????? (21) ???????, ??? U (s, 0, 0) = 0 ? ?U (s, 0, 0)/?y0 = 0. ?????????????, F (0, 0) = 0 ? ?F (0, 0)/?y0 = 2?M ? /?. ?? ??????? ? ??????? ??????? ??????????
24
?
??????????? ????? (0, 0), ? ??????? ?????????
F (y0 , 4 ?) = 0 ?????????? ??????????
??? ???????????
??????? y0 = y0 ( 4 ?), ?????? y0 (0) = 0. ????? ???????, ???????
?
?
4
4
y = y(?, y0 ( ?), ?) ???? ????????????? ???????.
????? ???????, ????????
??????? 4.1. ??? ?????????? ??????? (7? ) ??? ? > 0,???? ??????? ???????????
?
??????? g?5 b?2 < 0, ?????????? ????????????? ??????? ? = 4 ?(?? + A(?, y0 , 4 ?)).
5. ????????????? ???????????? ??????????? ??? ? > 0
???????? ? ???????????? ?????? ??????.
????? 5.1. ?????????? ??????
y = u + ?F? (?) + ?5/4 F? (t, ?),
(22)
?????????? ??????? (20) ? ????
u? = ?M ? u + ?5/4 Y?1 + O(?5/4 u + ?3/2 + ?u2 ),
?
?? = ?1/4 ? + ?1/4 u + O( ?).
(23)
??????????????. ????????????????? ?????? (22) ?? t. ???????
dF?
?M ? u + ?5/4 Y1 + O(?5/4 u + ?3/2 + ?u2 ) + ?
?? + ?5/4
d?
!
? F?
? F?
+
?? =
?t
??
= ?M ? u + ?5/4 Y1 + O(?5/4 u + ?3/2 + ?u2 ).
??????????? ???????????? ??? ?5/4 , ???????? ?????????
Y?1 + ?
dF?
? F?
+
= Y1 .
d?
?t
?????? ???, ??? ? ?????????????? ????? 2.1, ? ???????? ??????? (23). ????? ?????????? ?????
Y?1
u = u1 ? ?1/4 ?
M
? ??????? ???????
u?1 = ?M ? u1 + ?3/2 Y2 + O(?3/2 u1 + ?u21 ),
?
?? = ?1/4 ? + ?1/4 u1 + O( ?).
(24)
???????? ????????? ??? ?????????, ??????????? ????????? ??? ???????? ?? ???????
(20) ? ??????? (24), ? ???????? ????? ??????? ???????
u?2 = ?M ? u2 + O(?5/4 u2 + ?9/4 + ?u22 ),
?
?? = ?1/4 ? + ?1/4 u2 + O( ?).
(25)
u2 = ?v,
(26)
????? ??????
????? ?? ??????? (25) ??????? ???????
v? = ?M ? v + O(?5/4 ),
?? = ?1/4 ? + ?1/2 d1 (t, ?) + ?3/4 d2 (t, ?) + ?d3 (t, ?) + O(?5/4 ).
(27)
25
????? 5.2. ?????????? ??????
? = ? + ?1/4 F1 (?) + ?1/2 F2 (t, ?) + ?3/4 F3 (t, ?) + ?F4 (t, ?),
(28)
?????????? ??????? (27) ? ????
v? = ?M ? v + O(?5/4 ),
?? = ?1/4 ? + ?1/2 d»1 + ?3/4 d»2 + ?d»3 + O(?5/4 ).
(29)
??????????????. ????????????????? ?????? (28) ?? t. ???????
?1/4 ? + ?1/2 d1 (t, ?) + ?3/4 d2 (t, ?) + ?d3 (t, ?) + O(?5/4 ) =
dF1
= ?1/4 ? + ?1/2 d»1 (t, ?) + ?3/4 d»2 (t, ?) + ?d»3 (t, ?) + O(?5/4 ) + ?1/4
+
d?
?F2
?F2
?F3
?F3
?F4
?F4
1/2
3/4
+?
+
?? + ?
+
?? + ?
+
?? .
?t
??
?t
??
?t
??
???????? ? ??? ??????? dk (t, ?) ?? ?1/4 ?? ??????? 3 ? k, ??? k = 1, 2, 3:
dk (t, ?) = dk (t, ?) +
?dk (t, ?)
F1 (t, ?)?1/4 +
??
? 2 dk (t, ?) 2
?dk (t, ?)
+
F1 (t, ?)?1/4 +
F2 (t, ?)?1/2 + O(?3/4 ).
2
??
??
??????????? ???????????? ??? ?1/2 , ?3/4 , ?, ???????? ?????????
dF?1
? F?2
d»1 +
+
= d1 (t, ?),
d?
?t
dF?2
? F?3
?d1
? 2 d1 2
d»2 +
?+
=
F1 +
F + d2 + G1 (t, ?),
d?
?t
??
??2 1
? F?4
?d1
?d2
? 2 d2 2
dF?3
d»3 +
?+
=
F2 +
F1 +
F + d3 + G2 (t, ?).
d?
?t
??
??
??2 1
??? ????????? ????????, ??? ? ?????????????? ????? (2.1). ???????????? ??????? (29), ???????
v? = ?M ? v + O(?5/4 ),
?? = ?(?) + O(?5/4 ).
(30)
??????? (30) ????????????? ???????? ??????? 1 ?? [2] ? ????????????? ???????????? ????????????? ???????????. ????????? ??? ??????? ? ?????? (26), (22), (18), (11),
????????
??????? 5.1. ??? ??????? (7) ??? ? > 0, ??? ??????? ???????????
??????? g?5 b?2 <
?
0, ?????????? ???????????? ????????????? ??????????? ? = 4 ?(?? + B(t, ?, ?)).
????? ???????, ??????? ???????, ??? ?????????? ??????? ??? ???????? ??????
????????? ????? ??????? ???????? ?????????? ?????????? ???????? ?????????? ????????????? ????.
26
??????????
1. ??????? ?. ?. ???????????? ?????? ?? ????????? ??????? ?????? ?? ???????????? ????????. ????. ???. ?. 2. ?.; ?.: ???-?? ?? ????, 1956. ?. 272?331.
2. ??????? ?. ?. ????????? ???????? ?????? ?????????????? ?????????? ?????????.
???.: ???-?? ?.-??????. ??-??, 2003. 180 ?.
?????? ????????? ? ???????? 14 ??? 2009 ?.
27
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