close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Устойчивость кольцевой пластинки под действием радиальных растягивающих усилий на внутреннем контуре.

код для вставкиСкачать
УДК 539.3, 517.928
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2009, вып. 2
УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНКИ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАДИАЛЬНЫХ РАСТЯГИВАЮЩИХ УСИЛИЙ
НА ВНУТРЕННЕМ КОНТУРЕ∗
С. Б. Филиппов
С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, профессор, s_b_filippov@mail.ru
Задача о потере устойчивости кольцевой пластинки представляет интерес в связи
с тем, что такая пластинка может рассматриваться как модель шпангоута, подкрепляющего оболочку вращения. В работах [1] и [2] исследовалась устойчивость цилиндрической оболочки, сопряженной с кольцевой пластинкой, под действием внешнего
давления. Рассматривалась потеря устойчивости, при которой вмятины расположены
на поверхность оболочки. Однако при определенных соотношениях между параметрами пластинки и оболочки возможна форма потери устойчивости, локализованная
на поверхности пластинки. Данная работа является первым шагом в изучении таких
форм потери устойчивости. Ввиду того, что в реальных конструкциях шпангоуты имеют небольшую ширину, главное внимание уделяется узким пластинкам.
В статье Мансфилда [3] предложены аналитические решения задач об устойчивости
кольцевой пластинки под действием радиальных напряжений, приложенных к внутреннему контуру пластинки. Работа [3] имеет существенный недостаток. Используемые
в ней начальные напряжения, называемые в дальнейшем напряжениями Мансфилда,
не удовлетворяют граничным условиям, которые обычно встречаются на практике. В
данной работе получены уравнения устойчивости пластинки с реальными начальными
напряжениями, равными нулю на внешнем контуре пластины. Для таких уравнений
краевые задачи не имеют аналитических решений. В общем случае они решаются методом прогонки. Для узких и широких пластин с помощью асимптотических методов
получены простые приближенные формулы для вычисления параметра критической
нагрузки. Показано, что замена напряжений Мансфилда реальными напряжениями
может привести к уменьшению критической нагрузки в 20 раз.
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о потере устойчивости кольцевой пластинки под действием радиальных растягивающих усилий σ0 , равномерно распределенных по внутреннему контуру пластинки. Введем на поверхности пластинки полярные
координаты r и ϕ (рис. 1). После разделения переменных систему уравнений устойчивости кольцевой пластинки запишем в виде
′
1
m
w
m2
′
′′
Q1 + Q1 + Q2 = h σr w + σϕ
− 2 w ,
r
r
r
r
1
m
m
2
Q1 = M1′ + (M1 − M2 ) + 2 H, Q2 = − M2 + H,
r
r
r
r
(1)
M1 = D(κ1 + νκ2 ), M2 = D(κ2 + νκ1 ), H = D(1 − ν)κ12 ,
m ′
m2
w′
κ1 = −w′′ , κ2 = 2 w − , κ12 =
w ,
r
r
r
∗ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 07-01-00250).
c С. Б. Филиппов, 2009
112
r1
r
ϕ
σ0
r0
Рис. 1. Кольцевая пластинка
под действием радиальной нагрузки.
где штрих означает дифференцирование по r, m — число волн в окружном направлении, Q1 , Q2 — перерезывающие усилия, σr , σϕ — начальные напряжения, M1 , M2 , H —
моменты, κ1 , κ2 , κ12 — изменения кривизны, w — прогиб, D = (Eh3 )/[12(1 − ν 2 )] — изгибная жесткость, E — модуль Юнга, h — толщина пластинки, ν — коэффициент Пуассона [4].
Будем рассматривать два варианта граничных условий на краях пластинки:
1) шарнирное опирание, при котором
w = M1 = 0
при r = r0 ,
r = r1 ;
(2)
2) случай заделки внутреннего контура r = r0 и свободного внешнего контура r = r1 ,
для которого
w = w′ = 0 при
r = r0 ,
M1 = Q1 − hσr w′ = 0
при r = r1 .
(3)
Для первого варианта граничных условий приближенные уравнения устойчивости узкой пластинки имеют простое аналитическое решение. Второй вариант соответствует
пластинке, выступающей в роли шпангоута.
2. Начальные напряжения. Осесимметричную деформацию кольцевой пластинки в ее плоскости описывают уравнения
1
T1′ + (T1 − T2 ) = 0,
r
u
T1 = B u′ + ν
,
r
T2 = B
u
r
+ νu′ ,
(4)
где T1 , T2 — усилия, u — радиальное перемещение, B = Eh/(1 − ν 2 ). Общее решение
системы (4) имеет вид
C2
C2
u = C1 r +
, T1,2 = B (1 + ν)C1 ∓ (1 − ν) 2 .
(5)
r
r
На внутреннем контуре пластинки
T1 (r0 ) = −hσ0 .
(6)
113
Предположим, что на внешнем контуре
T1 (r1 ) = 0.
(7)
Подставляя выражения (5) для T1 и T2 в граничные условия (6) и (7), находим постоянные C1 и C2 . Принимая во внимание формулы T1 = hσr , T2 = hσϕ , получаем
σr = −
σ0 r02 (r12 − r2 )
,
r2 (r12 − r02 )
σϕ =
σ0 r02 (r12 + r2 )
.
r2 (r12 − r02 )
(8)
Пусть теперь внешний контур пластинки подкреплен кольцом. Тогда
T1 (r1 ) = −
ES
u(r1 ),
r12
(9)
где S — площадь поперечного сечения кольца. Выберем
S=
hr1
.
1+ν
(10)
В этом случае C1 = 0, и выражения для начальных напряжений имеют вид
σϕ = −σr = σ0
r02
.
r2
(11)
В статье Мансфилда [3] напряжения (11) используются при решении задачи устойчивости, что позволяет получить решение системы (1) в явном виде. Однако выполнение условий (9) и (10) для реальной конструкции маловероятно. С другой стороны,
условие (7) выполняется, например, для подкрепляющего оболочку вращения шпангоута с прямоугольным поперечным сечением.
3. Устойчивость узкой шарнирно опертой пластинки. В систему уравнений
устойчивости (1) подставим начальные напряжения (8), выберем за единицу длины
радиус внутреннего контура r0 и сведем систему (1) к одному безразмерному дифференциальному уравнению относительно прогиба w. Это уравнение можно записать в
виде
d4 w 2 d3 w 2m2 + 1 + βsr d2 w 2m2 + 1 + βsϕ dw m2 (m2 − 4 − βsϕ )
+
−
+
+
w = 0, (12)
dr4
r dr3
r2
dr2
r3
dr
r4
где
r2 − r2
r2 + r2
hσ0 r02
, sϕ = 12
, β=
.
sr = 12
r1 − 1
r1 − 1
D
Безразмерный параметр нагрузки β является искомой величиной. Для начальных напряжений Мансфилда (11) в уравнении (12) следует положить sr = sϕ = 1.
В случае шарнирного опирания краев пластинки
w=
d2 w ν dw
+
=0
dr2
r dr
при r = 1,
r = r1 .
(13)
Предположим, что безразмерная ширина пластинки мала, т. е. ε = r1 − 1 ≪ 1. Будем
называть такую пластинку узкой.
114
Рассмотрим сначала напряжения Мансфилда (11). В уравнении (12) положим sr =
sϕ = 1, сделаем замену переменной r = 1 + εx и отбросим малые слагаемые. Считая,
что m ∼ 1, в нулевом приближении получим
2
d4 w
2d w
−
βε
= 0,
dx4
dx2
(14)
d2 w
= 0 при x = 0, x = 1.
(15)
dx2
Краевая задача (14), (15) не имеет нетривиальных решений при β > 0, поэтому при
m ∼ 1 не происходит потери устойчивости пластинки.
Если m ∼ 1/ε, то уравнение нулевого приближения имеет вид
w=
d4 w
d2 w
− ε2 (2m2 + β) 2 + ε4 m2 (m2 − β)w = 0.
4
dx
dx
(16)
Функция w = sin(πx) удовлетворяет граничным условиям (15) и уравнению (16) при
условии
(ε2 m2 + π 2 )2
.
β = f (m) = 2 2 2
ε (ε m − π 2 )
Критическая нагрузка соответствует
βc = min f (m).
m
√
Если рассматривать f (m) как функцию вещественного аргумента, то при m = 3π/ε
она достигает минимума fm = 8π 2 /ε2 . Число fm можно использовать в качестве приближенного значения βc :
8π 2
βc ≃ 2 .
(17)
ε
Ввиду того, что m ∼ 1/ε ≫ 1, погрешность формулы (17) имеет такой же порядок, как
погрешность формул нулевого приближения.
Во втором и третьем столбцах таблицы 1 приведены значения βc , полученные методом прогонки и найденные по асимптотической формуле (17). В скобках указано число
волн m, при котором β имеет минимальное значение. Относительная погрешность формулы (17) уменьшается вместе с уменьшением безразмерной ширины пластины ε.
Таблица 1.
ε
0.2
0.1
Значения βc
Прогонка
Асимптотика
2377 (30)
1974 (27)
8693 (57)
7896 (54)
Погрешность, %
17
9
Пусть теперь начальные напряжения определяются по формулам (8). Для узкой
пластины
sr ≃ 1 − x, sϕ ≃ 1/ε,
и уравнение нулевого приближения имеет вид
d4 w
d2 w
− 2ε2 m2 2 + ε2 m2 (ε2 m2 − εβ)w = 0.
4
dx
dx
(18)
115
Подстановка в уравнение (18) функции w = sin(πx), удовлетворяющей граничным условиям шарнирного опирания (15), дает формулу
β=
(ε2 m2 + π 2 )2
.
ε 3 m2
(19)
Правая часть равенства (19) имеет минимум при m = π/ε. Подставив это значение m
в формулу (19), получим
4π 2
βc ≃
.
(20)
ε
При ε = 0.1 значение βc , найденное по формуле (20), в 20 раз меньше значения,
полученного по формуле (17).
Таблица 2.
ε
0.3
0.2
0.1
Значения βc
Прогонка
Асимптотика
149 (13)
132 (10)
215 (19)
197 (16)
414 (34)
395 (31)
Погрешность, %
11
8
4
Результаты, приведенные в таблице 2, позволяют сравнить значения βc , полученные
численным и асимптотическим методами для разных значений ε. В скобках указано
число волн, образующихся при потере устойчивости.
4. Устойчивость узкой пластинки при других граничных условиях. Подстановка в уравнение (16) решения w = eλx дает для определения λ биквадратное
характеристическое уравнение
λ4 − ε2 (2m2 + β)λ2 + ε4 m2 (m2 − β) = 0,
(21)
корни которого определяются по формулам
p
p
λ1,2 = ±εm b0 − a0 , λ3,4 = ±εm b0 + a0 ,
где
a0 =
r
2β0 +
β02
,
4
b0 = 1 +
β0
,
2
β0 =
β
.
m2
Если β0 6 1, то b0 > a0 , все корни уравнения (21) вещественны, краевые задачи для
уравнения (16) не имеют нетривиальных решений, и пластина не теряет устойчивости.
Будем искать значения β0 > 1. В этом случае общее решение уравнения (16) имеет вид
w = C1 sin αx + C2 cos αx + C3 sh γx + C4 ch γx,
где Ck — произвольные постоянные,
p
α = εm a0 − b0 ,
γ = εm
p
a0 + b 0 .
(22)
Рассмотрим случай заделанного внутреннего контура пластинки и свободного внешнего контура. После перехода к безразмерным величинам, замены переменной r = 1+εx
116
и отбрасывания малых слагаемых граничные условия (3) при начальных напряжениях
Мансфилда (11) приобретают вид
w = w′ = 0 при x = 0
w′ = dw
dx ,
(23)
w′′ − νε2 m2 w = 0, w′′′ − ε2 [(2 − ν)m2 + β]w′ = 0 при x = 1.
Подстановка решения (22) в граничные условия (23) дает систему четырех линейных однородных уравнений с неизвестными Ck . Приравняв нулю определитель этой
системы, получим уравнение для определения β0 :
F sh γ sin α + G ch γ cos α + H = 0,
(24)
где
√
G = [β02 + 2β0 (3 − ν) + 2(1 − ν)2 ] β0 − 1,
√
H = 2[(β0 (1 + ν) − (1 − ν)2 ] β0 − 1.
F = β02 + β0 (1 − 4ν − ν 2 ) − 2(1 − ν)2 ,
Для определения приближенного значения параметра критической нагрузки βc следует найти наименьшие положительные корни β0 (m) уравнения (24) при различных
значениях m и выбрать наименьшее из чисел β(m) = m2 β0 (m).
В таблице 3 для ν = 0.3 приведены значения βc , полученные методом прогонки
и найденные асимптотическим методом. В скобках указано число волн m. Величина
критической нагрузки для граничных условий (23) значительно меньше, чем в случае
шарнирного опирания (см. табл. 1).
Таблица 3.
Значения βc
Прогонка
Асимптотика
766 (18)
613 (16)
2751 (34)
2451 (32)
ε
0.2
0.1
Погрешность, %
20
11
Для начальных напряжений (8) уравнение нулевого приближения имеет вид (18).
Корни характеристического уравнения
λ4 − 2ε2 2m2 λ2 + ε3 m2 (εm2 − β) = 0
определяются по формулам
p
λ1,2 = ±εm 1 − β0 ,
где
p
λ3,4 = ±εm 1 + β0 ,
√
β
β0 = √ .
m ε
В случае β0 > 1 общее решение уравнения (18) имеет вид (22), где
p
p
α = εm β0 − 1, γ = εm β0 + 1.
Подстановка общего решения уравнения (18) в граничные условия
w = w′ = 0
′′
2
2
w − νε m w = 0,
′′′
2
при x = 0,
w − ε m2 (2 − ν)w′ = 0
при x = 1,
117
соответствующие заделанному внутреннему контуру пластинки и свободному внешнему контуру, дает систему линейных однородных алгебраических уравнений для определения произвольных постоянных. Условием существования нетривиальных решений
такой системы является равенство нулю ее определителя:
F sh γ sin α + G ch γ cos α + H = 0,
(25)
где
F = β02 (1 − 2ν) − (1 − ν)2 ,
q
G = [β02 + (1 − ν)2 ] β02 − 1,
q
H = [β02 + (1 − ν)2 ] β02 − 1.
Численное решение уравнения (25) позволяет найти зависимость наименьшего положительного корня β0 уравнения (25) от числа волн m. Параметр критической нагрузки
определяется по формуле
βc = ε min m2 β02 (m).
m
Таблица 4.
ε
0.3
0.2
0.1
Значения βc
Прогонка
Асимптотика
41.8 (8)
42.3 (6)
62.7 (12)
63.3 (10)
125.6 (21)
126.4 (19)
Погрешность, %
1.2
1.0
0.6
Приведенные в таблице 4 результаты показывают, что для ν = 0.3 и рассматриваемых значений ε погрешность вычисления βc асимптотическим методом не превосходит
1.2%. Полученные для начальных напряжений (7) значения параметра критической
нагрузки значительно меньше, чем для напряжений Мансфилда (см. табл. 3).
5. Устойчивость широкой пластинки. В работе Мансфилда [3] утверждается,
что для пластинки с заделанными или шарнирно опертыми краями
βc → 3 при r1 → ∞,
(26)
где r1 — безразмерный внешний радиус пластины, причем форма потери устойчивости,
соответствующая большим значениям r1 , имеет две волны в окружном направлении.
Формула (26) со ссылкой на статью [3] приводится и в книге Вольмира [4].
Покажем, что формула (26) верна, но при увеличении r1 параметр критической
нагрузки βc приближается к предельному значению βc = 3 очень медленно.
Общее решение уравнения (12) в случае sr = sϕ = 1 имеет вид [3]
w=
4
X
Ck rλk ,
k=1
где Ck — произвольные постоянные,
qp
2m2 (2 + β) + β 2 /4 − m2 − 1 − β/2,
λ1,2 = 1 ± iα, α =
qp
λ3,4 = 1 ± γ, γ =
2m2 (2 + β) + β 2 /4 + m2 + 1 + β/2.
Подстановка общего решения в граничные условия заделки
w=
118
dw
= 0 при r = 1,
dr
r = r1 ,
(27)
дает систему линейных алгебраических уравнений для определения постоянных Ck .
Приравняв нулю определитель этой системы, получим следующее уравнение [3] для
определения параметра β:
(α2 − γ 2 ) sh ζ sin z + 2αγ(ch ζ cos z − 1) = 0,
(28)
где ζ = γ ln r1 , z = α ln r1 ,
Аналогичное уравнение для граничных условий шарнирного опирания (13) имеет
вид [3]
(α2 + γ 2 )2
α2 − γ 2 +
sh ζ sin z + 2αγ(ch ζ cos z − 1) = 0,
(29)
(1 + ν)2
Корню α = 0 уравнений (28) и (29) соответствует β = β0 = m2 − 1. Покажем, что β0
не является собственным значением рассматриваемых краевых задач. Действительно,
при β = β0 общее решение уравнения (12) имеет вид
p
w = C1 r + C2 r ln r + C3 r1+γ + C4 r1−γ , γ = 3m2 + 1.
Подстановка этого решения в граничные условия (13) или (27) приводит к системе
линейных алгебраических уравнений, которая не имеет нетривиальных решений.
Будем называть пластинку широкой, если r1 ≫ 1. Для широкой пластинки отбрасывание малых слагаемых в уравнениях (28) и (29) приводит к одному и тому же
приближенному уравнению
α
tg = 0,
(30)
µ
где µ = ln−1 r1 — малый параметр. Положительные корни уравнения (30) определяются
по формуле
α = αk = µπk, k = 1, 2, . . .
(31)
Подставив в равенство (31) выражение для α, получим уравнение для определения
приближенных значений параметра β:
r
β
β2
2m2 (2 + β) +
− m2 − 1 − = α2k .
(32)
4
2
Решения уравнения (32) имеют вид
βk =
(α2k + m2 + 1)2 − 4m2
,
m2 − 1 − α2k
k = 1, 2, . . .
Наименьшим из чисел βk является β1 , поэтому параметр критической нагрузки запишем в виде
βc = min β1 (m),
m
β1 (m) =
(α21 + m2 + 1)2 − 4m2
,
m2 − 1 − α21
α1 = µπ.
(33)
Если r1 → ∞, то µ → 0, β1 (m) → m2 − 1. Наименьшему предельному значению
βc = 3 соответствует m = 2.
Кривая 1 на рис. 2 представляет собой график зависимости параметра критической
нагрузки βc от величины ln r1 для пластины с заделанными краями, полученный путем
119
Рис. 2. Зависимость параметра βc
от внешнего радиуса заделанной пластины r1 .
численного решения уравнения (28). Кривая 2 построена с помощью приближенной
формулы (33). Прямая 3 соответствует предельному значению βc при r1 → ∞.
Формула βc = 3 имеет точность менее 10% только при r1 > 105 . При r1 = 10 критическая нагрузка более, чем в 6 раз превосходит свое предельное значение, приведенное
в работах [3] и [4]. Относительная погрешность формулы (33) при увеличении r1 от 10
до 1000 уменьшается от 18 до 4%.
Результаты, приведенные в таблице 5 для шарнирно опертой пластины, показывают, что в этом случае формула (33) дает хорошее приближение к точному значению
параметра критической нагрузки для пластинок любой ширины. В скобках приведено
число волн, образующихся при потере устойчивости.
Таблица 5.
r1
1000
100
50
10
5
2
1.5
1.2
1.1
Точное решение
Формула (33)
3.96(2)
5.40(2)
6.62(2)
16.9(2)
32.8(2)
167(8)
484(14)
2377(30)
8694(57)
3.98(2)
5.47(2)
6.73(2)
17.1(2)
33.0(2)
166(8)
484(14)
2377(30)
8694(57)
Универсальность формулы (33) для шарнирно опертой пластинки связана с тем,
что для узкой пластинки отбрасывание в уравнении (29) малых слагаемых приводит к
тому же самому уравнению (30), что и для широкой пластинки. Для узких пластинок
формула (33) является более точным приближением к значению βc , чем полученная в
разделе 3 формула нулевого приближения (17). Принимая во внимание, что для узких
пластинок r1 = 1 + ε, ε ≪ 1, m ≫ 1, можно показать, что формула (17) получается из
формулы (33) путем отбрасывания малых величин.
С увеличением r1 разница между начальными напряжениями (8) и (11) уменьшается, поэтому уменьшается и разница между критическими нагрузками, которые со120
β
c
15
2
10
1
5
0
20
40
60
80
100
r1
Рис. 3. Зависимость βc от r1 для напряжений (8) и (11).
ответствуют этим напряжениям. Кривые 1 и 2 на рис. 3 представляют собой графики
зависимостей βc от r1 для напряжений (8) и (11) в случае шарнирного опирания.
Следовательно, для широкой пластинки значения βc , полученные при воздействии
на пластинку напряжений (11), могут служить оценкой сверху для параметров критической нагрузки, соответствующих напряжениям (8). В частности, при шарнирном
опирании или заделке краев пластинки для такой оценки годятся значения βc , полученные по формуле (33).
Литература
1. Макаренко И. Н., Филиппов С. Б. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевой пластиной // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 1. С. 94–102.
2. Кобченко М. Е., Филиппов С. Б. Устойчивость цилиндрической оболочки, сопряженной
с кольцевой пластиной, под действием внешнего давления // Асимптотические методы в механике деформируемого твердого тела. СПб., 2006. С. 60–74.
3. Mansfield E. H. On the buckling of an annular plate // Quart. J. Mech. and Applied Math.
Vol. 13. 1960. P. 16–23.
4. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.
Статья поступила в редакцию 18 декабря 2008 г.
121
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
294 Кб
Теги
пластинки, внутренние, контур, кольцевой, радиальных, устойчивость, действие, растягивающих, под, усилий
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа