close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Устойчивость симметричной гиперболоидальной прецессии неуравновешенного ротора.

код для вставкиСкачать
УДК 534.1:531.36
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 4
И. А. Пасынкова
УСТОЙЧИВОСТЬ СИММЕТРИЧНОЙ
ГИПЕРБОЛОИДАЛЬНОЙ ПРЕЦЕССИИ
НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА
Введение. В работах [1, 2] было установлено, что динамически и статически неуравновешенный жесткий ротор, укрепленный вертикально в упругих нелинейных опорах,
может иметь при определенных условиях стационарный режим вращения, который
представляет прямую синхронную прецессию гиперболоидального типа. Эти условия
состоят в том, что центр масс должен находиться на равном расстоянии от опор и
фазовый сдвиг динамического дисбаланса по отношению к статическому должен быть
равен ε = π/2. При этом опоры предполагались центрально-симметричными. Рассматривались существенно нелинейная характеристика опор типа Герца [1] и нелинейная
характеристика типа Дуффинга [2]. Силы сопротивления не учитывались. Были получены условия неустойчивости симметричных гиперболоидальных прецессий. Однако,
эти условия охватывали не весь диапазон угловых скоростей и не позволяли точно
установить границы потери устойчивости. В данной работе предлагается уточнение и
расширение полученных ранее результатов.
1◦ . Уравнения движения ротора. Рассматривается динамически симметричный жесткий ротор, имеющий массу M , длину Lr , моменты инерции Jp (осевой) и
Jt (экваториальный). Ротор статически и динамически неуравновешен. Статический
эксцентриситет равен e. Динамический эксцентриситет характеризуется величиной δ
и фазовым сдвигом ε. Ротор приводится во вращение двигателем, способным поддерживать постоянную угловую скорость вращения Ω. В пренебрежении перемещением
ротора вдоль оси вращения его можно рассматривать как механическую систему с четырьмя степенями свободы. В качестве обобщенных координат выбираются декартовы
координаты xj , yj (j = 1, 2) j-го конца оси ротора (шипа) в плоскости, перпендикулярной оси подшипников. Упругие опоры предполагаются обладающими центральной
симметрией. В этом случае реакция опоры имеет только радиальную составляющую,
равную Fj = −Fj (|Sj |) nj . Здесь Sj = xj + i yj — смещение j-го шипа от равновесного положения (в комплексной форме), nj — орт направления Sj , а функции Fj (|Sj |)
непрерывно-дифференцируемые и Fj (0) = 0. Силы сопротивления не учитываются.
Пусть L — расстояние между опорами, и ротор укреплен таким образом, что расстояние его центра масс от j-ой опоры равно ej L, так что всегда справедливо e1 + e2 = 1.
Введем в рассмотрение характерный линейный размер h, например, эксцентриситет e
или величину Lδ, и характерную угловую скорость ω0 , выбор которой зависит от вида функций Fj . В комплексной форме, после перехода к безразмерным переменным
sj = Sj /h, τ = ω0 t и безразмерной угловой скорости Ω = Ω/ω0 уравнения движения [3]
примут вид
- sj
e3−j s̈j + fj (|sj |)
= d1 Ω2 exp(i Ω τ ),
|s
|
j
j=1,2
(1)
sj
(−1)j s̈j − iΩλṡj + klej fj (|sj |)
= ld2 Ω2 exp(i(Ωτ − ε)).
|sj |
j=1,2
c
86
И. А. Пасынкова, 2006
Здесь дифференцирование ведется по безразмерному времени τ и все обозначения имеют тот же смысл, что и в [3].
Уравнения движения жесткого ротора с четырьмя степенями свободы в линейных
упругих опорах и без учета сил сопротивления приводятся в [4, 5].
Решение, которое определяет прямую синхронную прецессию, имеет вид
sj = Rj exp(i ψj ) exp(i Ω τ ),
j = 1, 2,
(2)
где Rj , ψj — вещественные постоянные и Rj > 0. Величина Rj — это радиус круговой
орбиты j-го шипа, а ψj — угол сдвига фазы относительно возмущающей силы.
Подставив решение (2) в систему (1), получим линейную неоднородную систему
алгебраических уравнений относительно величин exp (i ψj ), j = 1, 2, разрешив которую,
получим
Ω2 (3)
exp(iψj ) =
d1 B3−j + (−1)j d2 A3−j exp (−i ε) ,
Rj Δ
Δ = A1 B2 + A2 B1 ,
fj (Rj )
fj (Rj )
Aj =
− e3−j Ω2 , Bj = k ej
− Ω2 .
Rj
Rj
Отсюда следует, что
(−1)j+1 d2 A3−j sin ε
(4)
d1 B3−j + (−1)j d2 A3−j cos ε
2◦ . Устойчивость прямой синхронной прецессии. К исследованию устойчивости прямой синхронной прецессии применим стандартный линейный анализ. Составим
систему линейного приближения в окрестности конкретного режима прецессии, параметризуемого решением (2) системы (1). Введем малые возмущения rj , αj , j = 1, 2 по
формулам
sj = (Rj + rj ) exp(i(ψj + αj )) exp(i Ω τ ).
(5)
tan ψj =
Уравнения линейного приближения в комплексной форме будут
(L1j + i L2j ) exp(i ψj ) = 0,
j=1,2
-
(−1)j (L3j + i L4j ) exp(i ψj ) = 0,
(6)
j=1,2
где введены следующие обозначения:
L1j = e3−j (r¨j − Ω2 rj − 2 Ω Rj α˙j ) + fj (Rj ) rj ,
L2j = e3−j (2 Ω r˙j + Rj α¨j − Ω2 Rj αj ) + fj (Rj ) αj ,
L3j = r¨j − l Ω2 rj − (1 + l) Ω Rj α˙j + k l ej fj (Rj ) rj ,
(7)
L4j = (1 + l) Ω r˙j + Rj α¨j − l Ω2 Rj αj + k l ej fj (Rj ) αj .
Выделим в каждом уравнении системы (6) вещественную и мнимую части, тем самым
получим окончательные уравнения линейного приближения:
L11 cos ψ1 − L21 sin ψ1 + L12 cos ψ2 − L22 sin ψ2 = 0,
L11 sin ψ1 + L21 cos ψ1 + L12 sin ψ2 + L22 cos ψ2 = 0,
−L31 cos ψ1 + L41 sin ψ1 + L32 cos ψ2 − L42 sin ψ2 = 0,
−L31 sin ψ1 − L41 cos ψ1 + L32 sin ψ2 + L42 cos ψ2 = 0.
(8)
87
Характеристическое уравнение этой системы имеет восьмой порядок относительно характеристического показателя, но содержит только его четные степени, так как силы
сопротивления не учитываются:
P (p) = a0 p8 + a2 p6 + . . . + a8 = 0.
(9)
Легко выписать старший член характеристического полинома (9):
e2 cos ψ1 , −e2 R1 sin ψ1 , e1 cos ψ2 , −e1 R2 sin ψ2
e sin ψ1 ,
e2 R1 cos ψ1 , e1 sin ψ2 ,
e1 R2 cos ψ2
a0 = 2
R1 sin ψ1 ,
cos ψ2 ,
−R2 sin ψ2
− cos ψ1 ,
− sin ψ1 ,
−R1 cos ψ1 ,
sin ψ2 ,
R2 cos ψ2
=
(10)
= R1 R2 (e1 + e2 )2 = R1 R2 .
Свободный член характеристического полинома P (p) также можно подсчитать в
виде определителя
L11 cos ψ1 , −L21 sin ψ1 , L12 cos ψ2 , −L22 sin ψ2 L11 sin ψ1 ,
L21 cos ψ1 , L12 sin ψ2 ,
L22 cos ψ2 a8 = ,
(11)
L41 sin ψ1 , L32 cos ψ2 , −L42 sin ψ2 −L31 cos ψ1 ,
−L31 sin ψ1 , −L41 cos ψ1 , L32 sin ψ2 ,
L42 cos ψ2 где Lmj вычислены для значений rj = 1, αj = 1 (m = 1, 4, j = 1, 2), а значения ψj
задаются формулой (4).
Для общего случая сделать какие-либо выводы о знаке свободного члена a8 невозможно. Однако для симметричных гиперболоидальных прецессий (СГП) определитель
в (11) можно раскрыть, используя свойство симметрии.
В случае СГП выполняются следующие равенства [1, 2]:
e1 = e2 = 1/2,
R1 = R2 = R,
f1 (R1 ) = f2 (R2 ) = f (R),
ψ1 = ψ,
ψ2 = −ψ
D=
k f (R) − Ω2 .
2
f1 (R1 ) = f2 (R2 ) = f (R).
(12)
Введем обозначения:
C = f (R) −
Ω2
,
2
(13)
Тогда на основании (7) справедливы равенства
L11 (1, 1) = L12 (1, 1) = C,
L31 (1, 1) = L32 (1, 1) = l D,
L21 (1, 1) = L22 (1, 1) = R A,
L41 (1, 1) = L42 (1, 1) = l R B.
(14)
Подставим (12) и (14) в формулу (11) для свободного члена. Определитель в (11)
приводится к блочно-треугольной форме
L11 cos ψ, −L21 sin ψ,
0,
0 −L31 sin ψ, −L41 cos ψ,
0,
0 a8 = (15)
,
sin
ψ,
L
cos
ψ,
−2
L
sin
ψ,
2
L
cos
ψ
L
11
21
11
21
−L31 cos ψ,
L41 sin ψ,
2 L31 cos ψ, 2 L41 sin ψ
88
и
a8 = l2 R2 (BC cos2 ψ + AD sin2 ψ)(BC sin2 ψ + AD cos2 ψ).
(16)
Формула (4) в симметричном случае, когда ε = π/2, примет вид
tan ψ =
d2 A
.
d1 B
(17)
Следовательно,
cos2 ψ =
d21 B 2
,
d21 B 2 + d22 A2
sin2 ψ =
d22 A2
.
d21 B 2 + d22 A2
(18)
Окончательно получаем
a8 =
l 2 R2
A B K1 K2 ,
(d21 B 2 + d22 A2 )2
K1 = d22 A C + d21 B D,
(19)
K2 = d22 A3 D + d21 B 3 C.
Можно сделать вывод, что свободный член характеристического полинома обращается в ноль в точках, где K1 = 0 (кривая 2-го порядка) и K2 = 0 (кривая 4-го порядка),
а знак свободного члена определяется знаком произведения (A B K1 K2 ).
3◦ . Нелинейная характеристика опор типа Герца. Пусть полностью неуравновешенный ротор установлен в одинаковых опорах посередине между ними, т. е.
e1 = e2 = 1/2. Пусть ε = π/2, и нелинейные характеристики опор заданы формулой Герца f (|sj |) = |sj | 3/2 . Примем d1 = 1 (это означает, что в качестве характерного
размера выбран статический эксцентриситет h = e) и обозначим d = d2 = (Lδ)/e.
Тогда для симметричной гиперболоидальной прецессии, когда R1 = R2 = R, ψ1 =
ψ, ψ2 = −ψ, выражения (3), (4) примут вид
dA
Ω2
(B + i dA) , tan ψ =
RΔ
B
(20)
1 2
k
Δ = 2 AB, A = Rj − Ω , B =
Rj − Ω2 .
2
2
√
Удобно перейти к новым координатам Y = R, X = Ω2 . Используя свойство
| exp(i ψ)| = 1, получим выражение для амплитудно-частотной характеристики СГП:
exp(iψ) =
X
Y −
2
2
1
d2
+
A2
B2
1/2
= 0.
(21)
На рис. 1 амплитудно-частотные характеристики показаны жирной линией. Из
рис. 1 видно, что одному и тому же значению частоты Ω (или, что то же, X) для динамически вытянутого ротора могут соответствовать от одного до пяти различных режимов
гиперболоидальной прецессии, а для динамически сжатого — от одного до трех.
Множество нелинейных резонансов Δ = 0 [1] вырождается в пару прямых Δ =
A B = 0 на плоскости (X, Y ). На рис. 1 показано тонкими линиями резонансное множество, т. е. прямые A = Y − X/2 = 0, B = kY /2 − X = 0.
Покажем, что вблизи нелинейного резонанса A = 0 «резонирует» цилиндрическая
прецессия, т. е. гиперболоид, зачерчиваемый осью вращения, по форме близок к цилиндру. Вблизи B = 0 «резонирует» коническая прецессия. Гиперболоид, зачерчиваемый
89
Рис. 1. Устойчивые и неустойчивые режимы СГП.
a — динамически вытянутого ротора, k = 1.8, d = 5.5; b — динамически сжатого ротора,
k = −1.8, d = 5.5
осью вращения, по форме близок к конусу. На основании формул (20) определим функции cos(ψ1 − ψ2 ) = cos(2 ψ) и sin(ψ1 − ψ2 ) = sin(2 ψ):
cos(2 ψ) =
B 2 − d2 A2
,
B 2 + d2 A2
sin(2 ψ) =
2dAB
,
+ d2 A2
B2
(22)
и вычислим пределы этих функций при A → 0 и B → 0. Получим, что при A → 0
lim cos(2 ψ) = 1,
A→0
lim sin(2 ψ) = 0.
A→0
Это означает, что при приближении решения к резонансу A = 0 разность фаз (2 ψ) → 0,
что соответствует стремлению к цилиндрической прецессии.
При B → 0
lim cos(2 ψ) = −1, lim sin(2 ψ) = 0.
B→0
B→0
Значит, при приближении решения к резонансу B = 0 разность фаз (2 ψ) → π, что
соответствует стремлению к конической прецессии.
Рассмотрим характеристический полином в этом случае. По формуле (10) старший
член характеристического полинома a0 = Y 4 .
Выпишем величины C и D по формулам (13), перейдя к переменным X, Y :
C=
1
(3 Y − x),
2
D=
1
(3 k Y − 4 X).
4
(23)
Подставим значения A, B, C и D в выражения для K1 , K2 (19) и выясним, какой вид
имеют кривые K1 = 0 и K2 = 0.
Рассмотрим сначала K1 = 0:
K1 = (3 k 2 + 12 d2 ) Y 2 − 10 (k + d2 ) X Y + 2 (4 + d2 ) X 2 = 0.
(24)
Эта кривая второго порядка представляет либо пару пересекающихся в начале координат прямых, если собственные числа матрицы квадратичной формы разных знаков,
либо вырождается в начало координат, если собственные числа одного знака.
90
Собственные числа матрицы квадратичной формы (24) равны
√
1
(n1 ± n2 ),
2
n1 = 8 + 14 d2 + 3 k 2 ,
λ1,2 =
(25)
n2 = 64 − 160 d2 + 52 k 2 + 200 d4 + 60 k 2 d2 + 9 k 4 + 200 k d2 .
Рис. 2. Область параметров: K1 > 0 при x > 0, y > 0.
На плоскости {d, k} можно выделить области, соответствующие собственным числам одного и разных знаков. На рис. 2 заштрихована область параметров d, k, при
которых кривая K1 = 0 вырождается в точку. Для амплитудно-частотной характеристики на рис. 1 с параметрами d = 5.5, k = 1.8 точка (d, k) попадает в заштрихованную
область.
Рассмотрим кривую K2 = 0, которая после подстановки значений A, B, C и D
принимает вид однородной формы 4-го порядка относительно X, Y :
K2 = 6k(4d2 + k 2 )Y 4 − 2(k 3 + 16d2 + 18kd2 + 18k 2 )Y 3 X+
+6(3kd2 + 2k 2 + 8d2 + 12k)Y 2 X 2 −
−3(8d2 + kd2 + 8k + 16) Y X 3 + 4(d2 + 4) X 4 = 0.
(26)
В зависимости от коэффициентов уравнения (26) кривая K2 = 0 представляет собой
пучок прямых Y = ã X, где ã — вещественные корни уравнения
6k(4d2 + k 2 )ã4 − 2(k 3 + 16d2 + 18kd2 + 18k 2 )ã3 +
+6(3kd2 + 2k 2 + 8d2 + 12k)ã2 −
−3(8d2 + kd2 + 8k + 16)ã + 4(d2 + 4) = 0,
(27)
которое получаем в результате подстановки Y = ã X в уравнение (26). Если уравнение
(27) не имеет вещественных корней, то кривая K2 = 0 вырождается в точку (0, 0).
Для выбранных параметров уравнение (27) имеет два положительных корня ã =
0.385, ã = 0.766, и K2 = 0 принимает вид
K2 = (Y − 0.385 X)(Y − 0.766 X) = 0.
91
Рассмотрим теперь динамически сжатый ротор, когда k < 0. Резонансное множество
в этом случае представляет собой одну прямую A = 0, а граница устойчивости имеет
вид K2 = Y − 0.365 X = 0.
На рис. 1 неустойчивые режимы показаны жирной штриховой линией. Остальные
режимы будут устойчивыми, но не асимптотически. Границы потери устойчивости
K1 = 0, K2 = 0, как и нелинейные резонансы A = 0, B = 0, показаны тонкой сплошной
линией, а предельное значение Y = Y∞ — штрихпунктирной. Для выбранных параметров Y∞ = 1.711.
Если рассматривать гиперболоидальную прецессию как сложение двух движений —
цилиндрической прецессии вместе с центром масс и конического вращения вокруг центра масс, — то можно сказать, что в случае динамически сжатого ротора резонирует
только цилиндрическая прецессия, а конической раскачки не происходит. Иными словами, динамически сжатый полностью неуравновешенный ротор не имеет тенденции к
конической раскачке.
4◦ . Нелинейная характеристика опор типа Дуффинга. Пусть опоры одинаковые и изотропные. Пусть нелинейные характеристики опор, записанные в безразмерном
виде, будут
(28)
f = |sj | (1 + c |sj |2 ).
При исследовании стационарных движений ротора, соответствующих СГП, удобно
сделать замену
Y = R2 .
(29)
X = Ω2 ,
Тогда величины A и B в соответствии с формулами (3) будут
A = (1 + c Y ) −
X
,
2
B=
k
(1 + c Y ) − X.
2
(30)
Амплитудно- и фазово-частотная характеристики запишутся в виде
√
Y =X
1
d2
+
2
(2(1 + c Y ) − X)
(k(1 + c Y ) − 2X)2
d ((2(1 + c Y ) − X))
.
tan ψ =
(k(1 + c Y ) − 2X)
1/2
,
(31)
На рис. 3 амплитудно-частотные характеристики СГП показаны жирной линией,
нелинейные резонансы A = 0, B = 0 и предельное значение Y = Y∞ = 2.0 показаны
тонкими линиями. Точки пересечения нелинейных резанансов A = 0, B = 0 с осью
OX соответствуют значениям критических угловых скоростей вала, вращающегося в
линейно-упругих опорах. Значения квадратов критических угловых скоростей равны
X1 = 0.4, X2 = 2.0. В случае динамически сжатого ротора имеется тодько один нелинейный резонанс, соответствующий резонансу цилиндрической прецессии A = 0, и одна
критическая угловая скорость X1 = 2.0.
Для этого типа нелинейности величины C и D будут
C=
1
(2 (1 + 3 c Y ) − X) ,
2
D=
1
(k (1 + 3 c Y ) − 2 X) .
2
(32)
Появление нулевых корней характеристического полинома возможно в точках пересечения амплитудно-частотной характеристики и кривых K1 = 0, K2 = 0.
92
Рис. 3. Устойчивые и неустойчивые режимы СГП
a — динамически вытянутого ротора k = 0.8, c = 0.3, d = 2.0; b — динамически сжатого ротора
k = −0.8, c = 0.3, d = 2.0.
Рассмотрим сначала кривую K1 = 0, которая после подстановки значений A, B, C
и D принимает вид
3 c2 (k 2 + 4 d2 ) Y 2 + (d2 + 4) X 2 − 8 c (k + d2 ) X Y +
+ 4 c (k 2 + 4 d2 ) Y − 4 (k + d2 ) X + (k 2 + 4 d2 ) = 0. (33)
Изучение кривой второго порядка (33) показало, что в зависимости от параметров
k и d это может быть либо гипербола, либо эллипс, который целиком расположен не в
первом квадранте. Выпишем условие, при котором (33) является эллипсом и не влияет
на устойчивость:
(34)
4 d4 + (32 k − 3 k 2 − 48) d2 + 4 k 2 < 0.
Рис. 4. Область параметров: K1 > 0 при x > 0, y > 0.
93
Кривая, ограничивающая область (34), подобно гиперболе в первом квадранте имеет
две ветви. На рис. 4 показана нижняя ветвь. Условие (34) на плоскости {d, k} представляет собой заштрихованную часть. Параметры на рис. 3,a соответствуют точке в
заштрихованной области.
Для кривой 4-го порядка K2 = 0 найдем асимптоты по известному алгоритму [6].
Сделаем подстановку Y = ã X + b̃ в выражение K2 в формуле (19). Уравнения для
определения ã, b̃ получим, приравняв нулю коэффициенты при X 4 , X 3 . Получающиеся
выражения довольно громоздки, но решаются численно без трудностей. В результате
для параметров, принятых на рис. 3,a, получили две асимптоты:
Y1 = 3.873 X − 2.819,
Y2 = 0.671 X − 1.607.
Для динамически сжатого тела при выбранных параметрах имеется одна асимптота
Y = 0.672 X − 1.749.
На рис. 3 неустойчивые режимы симметричной гиперболоидальной прецессии отмечены жирной пунктирной линией, а асимптоты кривой K2 = 0 показаны тонкой линией.
Отмечены также критические значения параметра частоты X1 , X2 для динамически
вытянутого (a) ротора, и X1 — для динамически сжатого (b).
Summary
I. A. Pasynkova. Stability of symmetrical hyperboloidal precessions of an unbalanced rotor.
Stability of symmetrical hyperboloidal precessions of a rigid statically and dynamically unbalanced rotor supported in nonlinear elastic bearings is investigated. The center of mass is located
symmetrically with respect to the bearings. The restoring forces are considered to be of the Duffing
or Hertz nonlinearity. The resistance forces are neglected. The linear standard method of stability
investigation is applied.
Литература
1. Пасынкова И. А. Гиперболоидальная прецессия ротора в нелинейных упругих опорах //
Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1997. Вып. 4 (№ 22). С. 88–95.
2. Пасынкова И. А., Лебедева И. М. Установившиеся вращения ротора в нелинейных упругих опорах без учета сопротивления // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1998. Вып. 3 (№ 15).
С. 101–106.
3. Пасынкова И. А. Прецессии неуравновешенного ротора, нецентрально укрепленного в
упругих опорах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. 1. С. 128–136.
4. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М., 1959. 440 с.
5. Кельзон А. С., Циманский Ю. П., Яковлев В. И. Динамика роторов в упругих опорах.
М., 1982. 280 с.
6. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ. М.: Наука, 1986. 544 с.
Статья поступила в редакцию 6 июня 2006 г.
94
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
305 Кб
Теги
неуравновешенных, симметричные, гиперболоидальной, прецессия, устойчивость, ротора
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа