close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом. Ii

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (455)
УДК 517.929
Н.В. АЗБЕЛЕВ, П.М. СИМОНОВ
УСТОЙЧИВОСТЬ УРАВНЕНИЙ
С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ. II
В предыдущих работах [1], [2] на основе идей теории \абстрактного функционально-дифференциального уравнения" [3]{[5] была предложена новая концепция устойчивости для линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений и их обобщений. Ниже упомянутая концепция и
результаты работ [6]{[9] развиваются для уравнений квазилинейных.
Обозначим через C банахово пространство непрерывных и ограниченных функций x :
[0; 1) ! Rn с нормой kxkC def
= sup jx(t)j, где j j | норма в Rn . Пусть, далее, пространство
t0
C0 и весовое пространство C при > 0 определяются равенствами
def
def
def
def
t
C0 = fx 2 C : lim jx(t)j = 0; kxkC0 = kxkC g;
C = fx 2 C : kxkC = sup e jx(t)j < 1g:
t!1
Пространства C0 и C банаховы.
Задача Коши
x_ (t) = f (t; x(t)); x(0) = ; t 0;
эквивалентна уравнению
x(t) =
Z t
0
f (s; x(s)) ds + :
t0
(1)
(2)
Поэтому приведенные в ([10], c. 9) определения устойчивости уравнения x_ (t) = f (t; x(t)) в случае f (t; 0) 0 можно переформулировать следующим образом: тривиальное решение задачи
(1) устойчиво по Ляпунову (асимптотически, экспоненциально), если уравнение (2) имеет в
пространстве C (в C0 , C соответственно) единственное решение при каждом 2 Rn и это
решение непрерывно зависит от в метрике этого пространства. Другими словами, данный
тип устойчивости | это корректная разрешимость уравнения (2) в данном пространстве. В
[10] рассмотрена также \устойчивость относительно постоянно действующих возмущений " |
непрерывная зависимость решения задачи
x_ (t) = f (t; x(t)) + (t); x(0) = ; t 0;
от возмущений .
Рассмотрим теперь общее функционально-дифференциальное уравнение Lx = F x в предположении, что L : D ! L | линейный, а F : D ! L | нелинейный вольтерровы операторы [3],
[4]. Здесь L | линейное пространство классов эквивалентных локально суммируемых функций z : [0; 1) ! Rn , D | линейное пространство всех абсолютно непрерывных на каждом
конечном отрезке функций x : [0; 1) ! Rn . Пусть, далее, задано банахово пространство B с
нормой k kB , элементы которого принадлежат пространству L, а решение x 2 D задачи Коши
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(96-15-96195, 99-01-01278), International Soros Science Education Program (EP-55, d99-1245) и Конкурсного
центра по исследованиям в области фундаментального естествознания, Санкт-Петербург.
3
L x = z, x(0) = для \модельного" уравнения L x = z с линейным вольтерровым оператором L : D ! L при любом z 2 L имеет представление в виде формулы Коши x = W z + U [3], [4]. Здесь вольтерров оператор W : L ! D | оператор Коши модельного уравнения, а
U : Rn ! D | оператор, порожденный фундаментальной матрицей U решений однородного
уравнения L x = 0: (U )(t) = U (t). Банахово пространство D определим равенствами
n
D = WB UR ;
kxkD = kL xkB + jx(0)j:
0
0
0
0
def
0
0
def
def
0
0
Развивая идею понятия устойчивости как корректной разрешимости задачи Коши в данном
пространстве, введем
Будем говорить, что уравнение Lx = F x
свойством), если задача Коши
Определение 1.
D0
-устойчиво (обладает
D0
-
Lx = F x + ; x(0) = (3)
при каждой паре f; g 2 B Rn и это решение непрерывно
имеет единственное решение x 2 D0
по норме пространства D0 зависит от и (т. е. для любого " > 0 найдется такое = (x; ") > 0,
что kx1 ; xkD0 < ", если k1 ; kB < , j1 ; j < , где x1 | решение задачи (3) при = 1 ,
= 1 ).
Следующие утверждения эквивалентны:
а) уравнение Lx = F x D0 -устойчиво;
б) уравнение
Теорема 1.
x = W (L0 ; L)x + WF x + g
имеет единственное решение x 2 D0 при каждом g
зависит от g по норме пространства D0 ;
в) уравнение
(4)
2D
0
и это решение непрерывно
z = (L0 ; L)W z + F (W z + U ) + #
имеет единственное решение z 2 B при каждой паре f#; g
непрерывно зависит от # и по норме пространства B.
(5)
2 B Rn
и это решение
Доказательство. Решение x 2 D задачи (3) удовлетворяет равенству L x + Lx = F x + +
L x и, следовательно, равенству x = W (L ;L)x + WF x + W + U . Таким образом, импликация
a) =) б) следует из того, что при любом g 2 D решение задачи (3), где = L g, = g(0),
является решением уравнения (4). Импликация б) =) а) следует из того, что при любых 2 B,
2 Rn решение уравнения (4), где g = W + U , является решением задачи (3).
Импликация а) =) в) есть следствие того, что при любых # 2 B, 2 Rn решение z 2 B
уравнения (5) определяется равенством z = L x, где x 2 D | решение задачи (3) при =
# + LU . Импликация в) =) а) есть следствие того, что при любых 2 B, 2 Rn решение
x 2 D задачи (3) определяется равенством x = W z + U , где z 2 B | решение уравнения (5)
при # = ; LU .
Замечание 1. В предположении действия операторов L и F из пространства D в пространство B можно утверждать, что D -устойчивость уравнения Lx = F x гарантирует совпадение
множества всех решений уравнения Lx = F x + при всех 2 B, которое обозначим через
D(L ; F ; B), с множеством D . Действительно, если x 2 D(L ; F ; B), то x 2 D в силу D устойчивости. Если же x 2 D , то x 2 D(L ; F ; B), т. к. элемент x является решением задачи
(3) при = Lx ; F x, = x(0).
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
Решения скалярной задачи x_ (t)+ x(t) = x2 (t), x(0) = имеют вид x(t) = =( ; ( ; 1)et ). При
< 1 решения этой задачи асимптотически устойчивы, но при > 1 задача вообще не имеет
решений, определенных на полуоси [0; 1). Поэтому естественно ввести следующее определение
\локальной" устойчивости. Пусть xk | решение задачи (3) при = k , = k , k 2 Z+ def
=
f0; 1; 2; : : : g.
Определение 2. Будем говорить, что уравнение Lx = F x + 0 D0 -устойчиво (локально)
в окрестности решения x0 при x0 (0) = 0 , если существует 0 = 0 (x0 ) > 0, для которого при
каждой паре f; g 2 B Rn , k ; 0 kB 0 , j ; 0 j 0 , задача (3) имеет единственное решение
x 2 D0 , и это решение непрерывно по норме пространства D0 зависит от и (т. е. для любого
" > 0 найдется такое = (x; ") > 0, что kx1 ; xkD0 < ", если k1 ; 0 kB 0 , j1 ; 0 j 0 и
k1 ; kB < , j1 ; j < ).
Пусть V | некоторое банахово пространство, V | область в пространстве V. Следуя
установившейся в Анализе терминологии, будем говорить, что уравнение y = G y + g корректно
разрешимо в пространстве V (корректно разрешимо в области ), если оно имеет единственное
решение y 2 V при каждом g 2 V (g 2 ) и это решение непрерывно зависит от g по норме
пространства V.
Отметим, что если оператор G действует в пространстве V и уравнение y = G y + g однозначно
разрешимо в этом пространстве при любом g 2 V, то множество всех решений этого уравнения
при всех g 2 V совпадает с пространством V.
Лемма 1. Пусть уравнение Lx = f с линейным оператором L : D0 ! B D0 {устойчиво.
Тогда
-устойчивость уравнения Lx = F x+ эквивалентна корректной разрешимости уравнения x = CF x + g в пространстве D0 ;
б) D0 -устойчивость уравнения Lx = F x + 0 в окрестности решения x0 при 0 = Lg0 ,
x0 (0) = 0 g0 (0) эквивалентна корректной разрешимости в пространстве D0 уравнения x = CF x + g для всех g из некоторой окрестности элемента g0 = C 0 + X 0 .
Доказательство. D0 -устойчивость линейного уравнения Lx = f эквивалентна тому, что
а)
D0
его оператор Коши C действует из пространства B в пространство D0 и ограничен, а столбцы
фундаментальной матрицы X принадлежат пространству D0 . Поэтому оператор L : D0 ! B
ограничен в силу теоремы Банаха об обратном операторе ([11], гл. 3, 3.5.3, c. 89).
Утверждение а) леммы следует из теоремы 1, если положить L0 = L.
Докажем утверждение б). Пусть уравнение Lx = F x + 0 D0 -устойчиво в некоторой окрестности решения x0 при x0 (0) = 0 . Это означает существование 0 = 0 (x0 ) > 0, для которого
при каждой паре f; g 2 B Rn , k ; 0 kB 0 , j ; 0 j 0 , задача (3) имеет единственное
решение x 2 D0 и это решение непрерывно по норме D0 зависит от f; g. Пусть g; g0 2 D0 ,
g = C + X , g0 = C 0 + X 0 , kg ; g0 kD0 k ; 0 kB + j ; 0 j < 0 . Тогда k ; 0 kB 0 ,
j ; 0j 0 и при = Lg, = g(0) задача (3) имеет единственное решение x 2 D0 , непрерывно
зависящее в метрике D0 от f; g 2 B Rn . Для решения x 2 D0 в силу уравнения Lx = F x + имеем F x 2 B. Поэтому x удовлетворяет уравнению x = CF x + g и в метрике D0 непрерывно
зависит от g 2 D0 , kg ; g0 kD0 0 .
Пусть уравнение x = CF x + g корректно разрешимо в пространстве D0 для g 2 D0 , kg ;
g0 kD0 0 = 0 (g0 ) > 0. Положим 0 = Lg0 , = g0 (0) и возьмем f; g 2 B Rn , k ; 0 kB < =2,
j ; 0 j < =2. Тогда kg ; g0kD0 k ; 0kB + j ; 0j 0 , где = Lg, = g(0), и при таких
g 2 D0 уравнение x = CF x + g корректно разрешимо в пространстве D0 . Для решения x 2 D0 в
силу уравнения x = CF x + g имеем CF x 2 D0 , откуда F x 2 B. Поэтому x является решением
задачи Коши (3) и в метрике D0 непрерывно зависит от f; g 2 B Rn .
При исследовании локальной устойчивости удобно пользоваться подстановкой y = x ; x0 ,
сводящей задачу (3) при = 0 , = 0 и x = x0 к \канонической форме" Ly = F0 y + 0, y(0) = 0,
5
где F0 y def
= F (y + x0 ) ;Lx0 , и рассматривать вопрос об устойчивости в окрестности тривиального
решения y = 0 этой задачи.
Тот факт, что явный вид оператора F0 неизвестен, поскольку неизвестно решение x0 , не
мешает применять здесь стандартные методы: оператор F0 наследует от оператора F требуемые
свойства. Например, константы Липшица операторов F и F0 одинаковы.
Некоторые задачи о локальной устойчивости удается решить на основе следующего распространения теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению, аналогичное теореме 1
из [7] и теоремам 3 из [8], [9].
Теорема 2. Пусть уравнение Lx = f с линейным оператором L : D0 ! B D0 {устойчиво,
оператор F : D0 ! B обладает свойством: F (0) = 0 и для любого k > 0 найдется такое > 0,
что
kF x ; F x kB kkx ; x kD
, kx kD . Тогда уравнение Lx = F x
2
при всех kx1 kD0
тривиального решения.
2
1
2
1
(6)
0
0
D0
-устойчиво в окрестности
Доказательство. В силу леммы 1 локальная D0 -устойчивость уравнения Lx = F x в окрестности тривиального решения эквивалентна корректной разрешимости в пространстве D0 уравнения
x = CF x + g
(7)
для g из некоторой окрестности нуля. Здесь C : B ! D0 | оператор Коши уравнения Lx =
f , g = C + X . Обозначим def
= kCkB!D0 . В силу условия на оператор F для некоторого
положительного k < 1= найдется такое > 0, что при любых xi 2 D0 , kxi kD0 < , i = 1; 2,
имеет место неравенство (6).
При kgkD0 0 def
= (1 ; k) для уравнения (7) в шаре fkxkD0 0 g выполнены условия
локального принципа Банаха о сжимающих отображениях ([11], гл. 4, cлед. 4.3.5, c. 130). Следовательно, уравнение (4) (которое в данном случае совпадает с уравнением (7)) корректно разрешимо в пространстве D0 при kgk 0 . Отсюда следует D0 -устойчивость уравнения Lx = F x
в окрестности тривиального решения.
Замечание 2. Условие теоремы относительно оператора F выполнено, если в некоторой
окрестности точки x = 0 оператор F : D0 ! B имеет непрерывную производную Фреше F 0 и
F (0) = F 0(0) = 0.
Пример 1.
Рассмотрим скалярное уравнение
x_ (t) + p0 (t)x[h0 (t)] = p(t)x_ 2 [h(t)] + q(t)x_ [h(t)]x[h(t)] + r(t)x2 [h(t)] + f (t); t 0;
x( ) = '( ); x_ ( ) = ( ); если < 0:
(8)
Здесь функции p0 ; p; q; r; f : [0; 1) ! R измеримы и ограничены в существенном на [0; 1);
функции h0 ; h : [0; 1) ! R измеримы, причем существуют такие > 0, b > 0 , что t ; h0 (t) t, t ; h(t) t при всех t 2 [b; 1); vrai
inf p0 (t) > 0, vrai sup p0 (t) < 3=(2); начальные функции
tb
tb
'; : [;; 0] ! R измеримы и ограничены в существенном на [;; 0].
Следуя [3]{[5], введем для функций y; u : [0; 1) ! R и : R ! R обозначения
yu (t) =
def
(
y[u(t)]; если u(t) 0;
0;
если u(t) < 0;
u (t) =
def
6
(
0;
если u(t) 0;
[u(t)]; если u(t) < 0:
Тогда уравнение (8) принимает вид Lx = F x + , где
(Lx)(t) def
= x_ (t) + p0 (t)xh0 (t);
def
(F x)(t) = p(t)x_ 2h (t) + q(t)x_ h (t)xh (t) + r(t)x2h (t);
;
;
(t) def
= p(t) h (t) 2 + q(t) h (t)'h (t) + r(t) 'h (t) 2 ; p0 (t)'h0 (t) + f (t);
;
т. к. x[h0 (t)] = xh0 (t)+'h0 (t), x_ [h(t)] = x_ h (t)+ h (t), x[h(t)] = xh (t)+'h (t), x_ 2 [h(t)] = x_ 2h (t)+ h (t) 2 ,
;
x_ [h(t)]x[h(t)] = x_ h (t)xh (t) + h (t)'h (t), x2 [h(t)] = x2h(t) + 'h (t) 2 .
В силу результатов работ [12], [13] для функции Коши C (t; s) уравнения Lx = f для некоторых N , > 0 справедлива при 0 s t оценка
jC (t; s)j Ne;(t;s):
1
Пусть L0 x x_ + x = z и B = L1
, 0 < < . Тогда банаховы пространства D0 , D(L; L ) и W
совпадают, т. е. совпадают как линейные пространства, и нормы этих пространств эквивалентны,
причем W C и это вложение непрерывно.
Здесь через L1
, 2 R, обозначим банахово пространство всех таких функций z : [0; 1) !
n
;t , где y 2 L1 , с нормой kz kL1 def
R , для которых справедливо представление z (t) = y (t)e
=
kykL1 , L1 | банахово пространство измеримых и ограниченных в существенном на [0; 1)
функций y : [0; 1) ! Rn с нормой kykL1 def
= vrai sup jy(t)j. Аналогично W , 2 R, | банаt0
хово пространство всех таких функций x 2 D, для каждой из которых справедливы включения
def
x 2 C , x_ 2 L1
, где kxkW = kxkC + kx_ kL1
.
В каждой точке x0 2 D0 для любого x 2 D0 справедливы равенства
; 0
F (x0)x(t) = 2p(t)(x_ 0 )h (t)x_ h(t) + q(t)[(x_ 0 )h (t)xh(t) + (x0)h (t)x_ h(t)] + 2r(t)(x0 )h (t)xh(t):
Очевидно, F (0) = F 0 (0) = 0.
Таким образом, в силу теоремы 3 уравнение Lx = F x локально D0 -устойчиво в окрестности тривиального решения. Из непрерывности вложения D0 C следует экспоненциальная устойчивость по Ляпунову и, следовательно, экспоненциальная устойчивость такого решения по начальным функциям ' и , т. е. при некотором M > 0 и достаточно малых jj и
k'kL1 [;;0] def
= vrai sup j'(t)j, k kL1 [;;0] def
= vrai sup j (t)j справедливо неравенство
t2[;;0]
t2[;;0]
;
;
t
jx(t)j Me (k'kL1 [;;0] + k
kL1 ;; ) + jj; t 0:
Если ограничиться случаем, когда оператор F : D ! B допускает непрерывное расширение
F : C ! B на пространство C непрерывных функций, то чебышевская норма и удобная естественная упорядоченность (x x , если x (t) x (t) при всех t 2 [0; 1)) позволяет получать
[
0]
2
0
1
2
1
2
требуемые оценки простыми приемами.
Зафиксируем банахово пространство функций B L, модельное уравнение L0 x = z и некоторое банахово пространство V функций y : [0; 1) ! Rn . Пусть, далее, xk | решение задачи (3)
при = k , = k , k 2 Z+ .
Определение 3. Уравнение Lx = F x называется V-устойчивым (обладает V-свойством),
если для каждой пары f; g 2 B Rn задача (3) имеет единственное решение x 2 V и это
решение непрерывно зависит от и (т. е. для любого " > 0 найдется такое = (x; ") > 0, что
kx1 ; xkV < ", если k1 ; kB < , j1 ; j < ).
Определение 4. Будем говорить, что уравнение Lx = F x + 0 V-устойчиво (локально) в
окрестности решения x0 при x0 (0) = 0 , если существует 0 = (x0 ) > 0, для которого при
каждой паре f; g 2 B Rn , k ; 0 kB 0 , j ; 0 j 0 , задача (3) имеет единственное
решение x 2 V и это решение непрерывно зависит от и (т. е. для любого " > 0 найдется
7
такое = (x; ") > 0, что kx1 ; xkV < ", если k1 ; 0 kB 0 , j1 ; 0 j 0 и k1 ; kB < ,
j1 ; j < ).
Замечание 3. Таким образом, например, C-устойчивость (C0 -устойчивость, C -устойчивость), как и локальная C-устойчивость (C0 -устойчивость, C -устойчивость), гарантируют
устойчивость по Ляпунову либо в целом, либо локально соответственно.
Лемма 2.
Пусть пространствa D0 и V таковы, что имеет место непрерывное вложение
V, оператор F непрерывно действует из пространства V в пространство B, а уравнение
Lx = f c линейным оператором L : D ! B D -устойчиво. Тогда
а) V-устойчивость и D -устойчивость уравнения Lx = F x | понятия эквивалентные;
б) V-устойчивость уравнения Lx = F x + в окрестности решения x и D -устойчивость
уравнения Lx = F x + в окрестности решения x | понятия эквивалентные.
Доказательство. Из доказательства леммы 1 следует, что операторы L : D ! B, C :
n ! D ограничены. Далее, из непрерывности вложения D V следует
B ! D , X : R
ограниченность оператора Коши C : B ! V и оператора X : Rn ! V.
а) Пусть уравнение Lx = F x D -устойчиво. Тогда ввиду вложения D V при любых
= 2 B и = 2 Rn решение x 2 D задачи (3) принадлежит пространству V, причем
другого решения x 2 V задача (3) при = , = иметь не может. При условии klim
k ;
!1 k
kB = klim
j ; j = 0 из D -устойчивости уравнения Lx = F x и непрерывности вложения
!1 k
D V имеем lim kxk ; x kV d lim kxk ; x kD = 0, где d | константа вложения D в V.
k!1
k!1
Пусть уравнение Lx = F x V-устойчиво. Тогда при любых = 2 B, = 2 Rn решение
x 2 V задачи (3) принадлежит пространству D , т. к. x = C f + X , где f = F x + 2 B. При
условии klim
k ; kB = klim
j ; j = 0 из непрерывности операторов F : V ! B и C : B ! D
!1 k
!1 k
имеем klim
kx ; x kD kXkRn !D klim
j ; j + kCkB!D klim
(kF xk ;F x kB + kk ; kB ) = 0.
!1 k
!1 k
!1
D0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Доказательство утверждения б) производится аналогично, если рассматривать только такие
пары f; g 2 B Rn , которые удовлетворяют неравенствам k ; 0 kB 0 , j ; 0 j 0 .
Замечание 4. В условиях леммы 2 V-устойчивость (D0 -устойчивость) уравнения Lx =
F x + гарантирует, что множество D(L ; F ; B) всех решений x этого уравнения при всех
2 B совпадает с множеством D0 . Действительно, при доказательстве п. а) показано, что D(L;
F ; B) D0. Вложение D(L ; F ; B) D0 очевидно.
Лемма 3. В условиях леммы 2
а) корректная разрешимость уравнения x = CF x + g в пространстве V гарантирует D0 устойчивость уравнения Lx = F x;
б) корректная разрешимость уравнения x = CF x + g в пространстве V при kg ; g0 kV 0 ,
где g0 2 D0 , 0 > 0, гарантирует D0 -устойчивость уравнения Lx = F x + 0 в некоторой
окрестности решения x0 при x0 (0) = 0 = g0 (0), 0 = Lg0 .
Доказательство. a) Пусть уравнение x = CF x + g корректно разрешимо в пространстве V.
Тогда при любом g 2 D0 решение x этого уравнения принадлежит пространству D0 , т. к. x 2 V,
F x 2 B и CF x 2 D0 .
Возьмем элементы 0 2 B и 0 2 Rn , тогда элемент g0 = C 0 + X 0 2 D0 . Решение x0
уравнения x = CF x + g0 принадлежит пространству D0 , поэтому x0 является решением задачи
Lx = F x + 0 , x(0) = 0.
Пусть fk ; k g 2 B Rn и klim
k ; 0kB = 0, klim
j ; 0j = 0, gk = C k + X k , k 2 Z+,
!1 k
!1 k
тогда klim
kg ; g0 kD0 = 0 ввиду D0 -устойчивости линейного уравнения Lx = f .
!1 k
Из непрерывности вложения D0 V и корректной разрешимости уравнения x = CF x + g
в пространстве V получаем klim
kg ; g0 kV = 0 и klim
kx ; x0kV = 0. Далее из непрерывности
!1 k
!1 k
8
операторов F : V ! B и C : B ! D0 имеем klim
kx ; x0kD0 kCkB!D0 klim
kF xk ; F x0 kB +
!1 k
!1
lim kgk ; g0 kD0 = 0.
k!1
б) Пусть уравнение x = CF x + g корректно разрешимо в пространстве V при g 2 V, kg ;
g0 kV 0 , где g0 2 D0 , 0 > 0. Как показано в п. а), при всех таких g 2 D0 решение x уравнения
x = CF x + g принадлежит пространству D0 . Возьмем элементы 2 B, 2 Rn так, чтобы
выполнялись неравенства k ; 0 kB 0 =(2d), j ; 0 j 0 =(2d), где d | константа вложения D0
в V. Тогда для элементов g = C + X имеем kg ; g0 kV dkg ; g0 kD0 = d(k ; 0 kB + j ; 0 j) 0 .
Для таких элементов g уравнение x = CF x + g корректно разрешимо в пространстве V и каждое
его решение x является решением задачи Коши (3). Непрерывную зависимость по норме D0
решения x этой задачи можно показать аналогично тому, как это сделано в п. а).
Замечание 5. Если выполнены условия леммы 2, то в случае корректной разрешимости
уравнения x = CF x + g в пространстве V множество M всех решений этого уравнения при всех
g 2 D0 совпадает с множеством D0 . Действительно, в п. а) доказательства леммы 2 показано,
что M D0 . Вложение M D0 очевидно.
Справедливо следующее обобщение теоремы 2 из [7] и теоремы 5 из [9].
Пусть пространство D0 непрерывно вложено в пространство V, уравнение
Lx = f с линейным оператором L : D0 ! B D0 -устойчиво, а оператор F : V ! B обладает
свойством: F (0) = 0 и для любого k > 0 найдется такое > 0, что
Теорема 3.
kF x ; F x kB kkx ; x kV
(9)
при всех kx kV , kx kV . Тогда уравнение Lx = F x локально D -устойчиво в окрестности
2
1
1
2
2
1
0
тривиального решения.
Из доказательства теоремы 3 следует, что операторы L : D0 ! B, C : B !
V, X :
! V ограничены. Повторяя схему доказательства теоремы 3, получим, что уравнение
x = CF x + g корректно разрешимо в пространстве V при g 2 V, kgkV 0 для некоторого 0 > 0.
Тогда в силу утверждения б) леммы 3 уравнение Lx = F x локально D0 -устойчиво в окрестности
тривиального решения.
Лемма 4. Пусть линейное уравнение Lx = f V-устойчиво. Тогда
а) корректная разрешимость уравнения x = CF x + g в пространстве V гарантирует Vустойчивость уравнения Lx = F x;
б) корректная разрешимость уравнения x = CF x + g в пространстве V при kg ; g0 kV 0 ,
где g0 = C 0 + X 0 , 0 2 B, 0 2 Rn , 0 > 0, гарантирует V-устойчивость уравнения
Lx = F x + 0 в некоторой окрестности решения x0 при x0(0) = 0.
Доказательство. V-устойчивость уравнения Lx = f означает, что оператор Коши C действует из пространства B в пространство V и ограничен, а столбцы фундаментальной матрицы
X уравнения принадлежат пространству V. Обозначим & = kCkB!V + kXkRn !V .
а) Пусть уравнение x = CF x + g корректно разрешимо в пространстве V. Рассмотрим
последовательность задач Lx = F x + i , x(0) = i при fi ; i g 2 B Rn , i 2 Z+ . Тогда
gi = C i + X i 2 V и ilim
kg ; g0kV = 0, если ilim
k ; 0 kB = ilim
j ; 0 j = 0. Решение
!1 i
!1 i
!1 i
xi уравнения x = CF x + gi существует, единственно, причем xi 2 V и ilim
kx ; x0kV = 0 при
!1 i
lim kgi ; g0 kV = 0. Элементы xi и gi связаны равенством xi = C (F xi + i )+ X i , поэтому элемент
i!1
xi является решением задачи Lx = fi , x(0) = i при fi = F xi + i . Более того, ilim
kx ; x k = 0,
!1 i 0 V
если ilim
!1 ki ; 0 kB = ilim
!1 ji ; 0 j = 0.
б) Пусть уравнение x = CF x + g корректно разрешимо в пространстве V при g 2 V, kg ;
g0 kV 0 , где 0 > 0 и g0 = C 0 + X 0 , f0 ; 0 g 2 B Rn . Рассмотрим последовательность
Доказательство.
n
R
9
задач Lx = F x + i , x(0) = i при fi ; i g 2 B Rn , ki ; 0 kB "=& , ji ; 0 j "=& , i 2 Z+ .
Тогда gi = C i + X i 2 V, kgi ; g0 kV 0 . Кроме того, ilim
kg ; g1kV = 0, если ilim
k ;
!1 i
!1 i
1 kB = ilim
!1 ji ; 1 j = 0. Повторяя рассуждения п. а), получаем, что решение xi уравнения
x = CF x + gi является решением задачи Lx = F x + i , x(0) = i , причем ilim
kx ; x1kV = 0,
!1 i
если ilim
!1 ki ; 1 kB = ilim
!1 ji ; 1 j = 0.
Имеет место другой вариант обобщения теоремы 2 из [7] и теоремы 6 из [9].
Теорема 4. Пусть линейное уравнение Lx = f V-устойчиво, а оператор F : V ! B
обладает свойством: F (0) = 0 и для любого k > 0 найдется такое > 0, что при kxi kV ,
i = 1; 2, имеет место неравенство (9). Тогда уравнение Lx = F x локально V-устойчиво в
некоторой окрестности тривиального решения.
Доказательство.
Повторяя схему доказательства теоремы 3, установим, что уравнение x =
CF x + g корректно разрешимо в пространстве V при g 2 V, kgkV для некоторого > 0.
Тогда в силу утверждения а) леммы 4 уравнение Lx = F x локально V-устойчиво в некоторой
0
0
окрестности тривиального решения.
Для установления локальной D0 -устойчивости в окрестности решения уравнения Lx = F x
на основе теоремы 3 следует разложить оператор F : D0 ! B на сумму вида F = L1 + F1 ,
где F1 удовлетворяет условиям теоремы. Если при этом уравнение (L ; L1 )x = f окажется
D0 -устойчивым, то локальная D0 -устойчивость в окрестности решения нелинейного уравнения
будет установлена.
Обозначим L1 x def
= F 0 (x0 )x, F1 x = F x ; L1 x. Тогда уравнение Lx = F x можно записать в
виде
(L ; L1 )x = F1 x
и в качестве линейного приближения можно брать уравнение (L ; L1 )x = f .
Рассмотрим простые примеры применения этой схемы.
Пример 2. В скалярном уравнении
x_ (t) = f (x[t ; #]; x_ [t ; ]); t 0;
(10)
x( ) = x_ ( ) = 0 при < 0;
#, | положительные постоянные, функция f непрерывно дифференцируема в некоторой
окрестности нуля пространства R2 , причем f (0; 0) 0. Обозначим h(t) = t ; #, g(t) = t ; ,
Lx = x_ , F x = Nf (xh ; x_ g ), p = ;fu(0; 0), q = fv (0; 0), где Nf (y; z) f (y; z) | оператор Не(u;v )
(u;v )
мыцкого, порожденный функцией f (; ), fu (u; v) @f@u
, fv (u; v) @f @v
. Выберем модельное
1
уравнение L0 x x_ + x = z и пространство B = L . В указанных предположениях оператор Nf
действует из некоторого шара с центром в нуле пространства L1 L1 в пространство L1 и
непрерывно дифференцируем в этом шаре ([14], гл. X, x 1, 1.10, cc. 385, 386). Тогда оператор F
действует из некоторого шара с центром в нуле пространства D0 в пространство L1 и непрерывно дифференцируем в этом шаре, причем L1 x F 0 (0)x = ;pxh + qx_ g . Уравнение (10) можно
записать в виде (L ; L1)x = F1 x, где (L ; L1 )x = x_ ; qx_ g + pxh , F1 x = F x ; L1 x.
В силу признаков из [15], [16] достаточным условием C-устойчивости линейного уравнения
(L ; L1 )x = является выполнение (при ! = e;1 , (!) = 1) неравенств jqj < 1, p > 0 и
(1 ; q)jp# + (q ; 1)=ej + pjqj < 1 ; 3jqj + q2 :
Тогда в этих предположениях из теоремы 3 следует локальная D0 -устойчивость уравнения
(L ; L1 )x = F1 x (и уравнения (10)) в окрестности тривиального решения.
10
Пример 3. В системе уравнений модели \хищник{жертва", учитывающей внутривидовую
борьбу в популяциях [17],
N_ 1 (t) = "1 +
Z t
N2 (s)ds K1 (t ; s) ; 1 N1 (t) N1 (t);
t;1
Z t
N_ 2 (t) = ; "2 +
t;2
N1 (s)ds K2 (t ; s) ; 2 N2 (t) N2 (t); t 0;
(11)
N1 ( ) = Ne1 ( ); N2 ( ) = Ne2 ( ); если < 0;
N1 и N2 | численности жертв и хищников соответственно; константы "1 , "2 , 1 , 2 , 1 , 2
положительны; Ne1 : [;2 ; 0] ! [0; 1), Ne2 : [;1 ; 0] ! [0; 1) | кусочно{непрерывные функции; K1 : [0; 1 ] ! R, K2 : [0; 2 ] ! R | неубывающие ограниченные функции. Обозначим
k1 = K1 (1 ) ; K1 (0), k2 = K2 (2 ) ; K2 (0).
Найдем условия устойчивости нетривиального положения равновесия
" +" k
" k ;" N10 = 1 2 2 1 ; N20 = 1 2 2 1
1 2 + k1 k2
1 2 + k1 k2
при Ne1 ( ) N10 , Ne2 ( ) N20 . Заметим, что N20 > 0 при "1 k2 > "2 1 . Будем предполагать выполненным это неравенство. Введя новые функции x1 (t) = N1 (t) ; N10 , x2 (t) = N2 (t) ; N20 ,
'1 ( ) = Ne1 ( ) ; N10 , '2 ( ) = Ne2 ( ) ; N20 , получим систему
Z t
x_ 1 (t) = (;1 + a1 (t))x1 (t) +
x2 (s)ds r1 (t ; s) + F1 (x1 ; x2 )(t) + 1 (t);
h1 (t)
Z t
x_ 2 (t) = (;2 + a2 (t))x2 (t) ;
h2 (t)
Здесь 1 = 1 N10 , 2 = 2 N20 ; a1 (t) =
(12)
x1 (s)ds r2 (t ; s) + F2 (x1 ; x2 )(t) + 2 (t); t 0:
R0
'2 (s)ds K1 (t ; s), a2 (t) =
h; (t)
1
R0
h; (t)
'1 (s)ds K2 (t ; s); h;1 (t) =
2
minft ; 1 ; 0g, h;2 (t) = minft ; 2 ; 0g, h1 (t) = maxft ; 1 ; 0g, h2 (t) = maxft ; 2 ; 0g; r1 (t) = N10 K1 (t),
r2 (t) = N20 K2 (t), p1 = N10 k1 , p2 = N20 k2 ;
Z t
F (x ; x )(t) = x (t)
1
1
2
1
h1 (t)
Z t
F (x ; x )(t) = ;x (t)
2
R0
1
2
2
x2 (s)ds K1 (t ; s) ; 1 x1 (t) ;
h2 (t)
x1 (s)ds K2 (t ; s) + 2 x2 (t) ;
R
;
' (s)ds r (t ; s). Обозначим x = colfx ; x g, =
h; t
h; t
colf ; g, F x = colfF (x ; x ); F (x ; x )g;
1 (t) =
1
1( )
2
'2 (s)ds r1 (t ; s), 2 (t) =
1
1
2
2
1
0
1
2
1
2
(L0 x)(t) = xx__ 1 ((tt)) + 01 0
2
2
L = L0 ; R, Rx = colfR1 (x1; x2 ); R2 (x1; x2 )g, где
R (x ; x )(t) = a (t)x (t) +
1
1
2
1
1
Z t
h1 (t)
Z t
R (x ; x )(t) = ;a (t)x (t) ;
2
1
2
2
2( )
2
2
x1 (t) ;
x2 (t)
x2 (s)ds r1 (t ; s);
h2 (t)
x1 (s)ds r2 (t ; s):
Тогда систему (12) можно записать в виде матричного уравнения (Lx)(t) = (F x)(t) + (t),
t 0, где оператор F непрерывно действует из пространства C непрерывных и ограниченных
вектор-функций x : [0; 1) ! R2 в пространство L1 измеримых и ограниченных в существенном
11
вектор-функций z : [0; 1) ! R2 . Более того, оператор F : C ! L1 непрерывно дифференцируем
по Фреше в любой точке x 2 C и F (0) = F 0 (0) = 0. Укажем условия C-устойчивости линейного
уравнения Lx = f . Тогда в силу теоремы 4 нелинейное уравнение Lx = F x будет также локально
C-устойчивым в некоторой окрестности тривиального решения.
Оператор Коши W модельного уравнения L0 x = z определен равенством
(W z )(t) =
где
Z t
0
W (t; s)z (s) ds;
;1 (t;s)
0
W (t; s) = e 0
e;2 (t;s) :
Очевидно, оператор W действует из пространства L1 в пространство C и ограничен. Поэтому
банахово пространство D0 def
= D(L0 ; L1 ) совпадает с банаховым пространством W. В частности,
норма kxkD0 def
= kL0 xkL1 + jx(0)j в пространстве D0 эквивалентна норме kxkW def
= kxkC + kx_ kL1
def
в пространстве W. Оператор R (G = WR) действует из пространства C в пространство L1 (в
пространство C) и ограничен. В силу замечания 4 и теоремы 4 [1] однозначная разрешимость
уравнения x = G b x + g в пространстве Cb def
= fx 2 C : x(t) 0 на [0; b]g для некоторого b > 0
гарантирует C-устойчивость (D0 -устойчивость) уравнения Lx = f .
Определим норму jj элемента = colf1 ; 2 g 2 R2 равенством
jj = maxfj j; j jg;
1
2
норму kxkCb элемента x 2 Cb | равенством
n
o
kxkCb = col sup jx (t)j; sup jx (t)j :
1
tb
tb
2
Тогда kGkCb !Cb < 1, если b > maxf1 ; 2 g, p1 < 1 , p2 < 2 .
Итак, из теоремы 4 (теоремы 3) следует, что система (12) локально C-устойчива (D0 устойчива) в некоторой окрестности тривиального решения, если k1 < 1 , k2 < 2 .
Покажем, что в условиях k1 < 1 , k2 < 2 система (11) локально C -устойчива в окрестности
положения равновесия N1 = N10 , N2 = N20 для некоторого > 0.
Действительно, пусть 1 > p1 , 2 > p2 , тогда найдется такое положительное число , что
1 ; > p1 , 2 ; > p2 . Оператор R действует из пространства C в пространство L1
, т. к. для
;
t
2
1
x 2 C , x(t) = e y(t), y 2 C, y(t) 2 R , имеем kRxkL LkxkC , где
o
n
L = max vrai sup ja1 (t)j + p1 e1 ; vrai sup ja2 (t)j + p2 e2 :
t0
t0
1
Аналогично можно показать действие и непрерывность операторов W : L1
! C , F : C ! L .
Условие однозначной разрешимости уравнения x = WRx + g в пространстве C имеет вид
p1 < 1 ; , p2 < 2 ; . Тогда из теоремы 4 (теоремы 3) следует, что система (12) локально C устойчива (D(L0 ; L1
)-устойчива) в окрестности тривиального решения. Поэтому система (11)
0
локально C -устойчива (D(L0 ; L1
)-устойчива) в окрестности положения равновесия N1 = N1 ,
N2 = N20 при k1 < 1 , k2 < 2 и 0 < < minf(1 ; k1 )=N10 ; (2 ; k2 )=N20 g.
Замечание 6. В статье [17] условие асимптотической устойчивости по начальным функциям нетривиального положения равновесия fN10 ; N20 g уравнения (11) имеет вид N10 k1 + N20 k2 <
2 minfN10 1 ; N20 2 g. Это условие совпадает с полученными нами условиями в отдельных случаях.
В общем случае условия пересекаются, но не совпадают.
12
Литература
1. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом //
Изв. вузов. Математика. { 1997. { Є 6. { С. 3{16.
2. Azbelev N.V., Rakhmatullina L.F. Stability of solutions of the equations with aftereect // Funct.
Dierent. Equat. { 1998. { V. 5. { Є 1{2. { P. 39{55.
3. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально{
дифференциальных уравнений. { М.: Наука, 1991. { 280 с.
4. Azbelev N.V., Maksimov V.P., Rakhmatullina L.F. Introduction to the theory of linear functional
dierential equations. { Atlanta: World Federation Publ. Company, 1995. { 172 p.
5. Azbelev N.V., Rakhmatullina L.F. Theory of linear abstract functional dierential equations and
applications // Mem. Dierent. Equat. and Mathem. Physics. { Tbilisi: Publ. House GCI, 1996.
{ V. 8. { P. 1{102.
6. Азбелев Н.В., Малыгина В.В. Об устойчивости тривиального решения нелинейных уравнений с последействием // Изв. вузов. Математика. { 1994. { Є 6. { С. 72{85.
7. Азбелев Н.В., Ермолаев М.Б., Симонов П.М. К вопросу об устойчивости функциональнодифференциальных уравнений по первому приближению // Изв. вузов. Математика. { 1995.
Є 10. { С. 3{9.
8. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Исследование устойчивости нелинейных дифференциальных
уравнений с последействием по линейному приближению // Некоторые пробл. фундам. и
прикл. матем. { М.: МФТИ(ГУ), 1998. { С. 4{14.
9. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость и асимптотическое поведение решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Междунар. конгресс \Нелинейный анализ и его приложения": Тр. конгресса. { М.: ЦИУНД при ИМАШ
РАН. { 1999. { С. 658{673.
10. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. { М.: Физматгиз,
1959. { 212 с.
11. Хатсон В.К.Л., Пим Дж.С. Приложения функционального анализа и теории операторов. {
М.: Мир, 1983. { 432 с.
12. Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. { 1992. { Т. 28. { Є 10. { С. 1716{1723.
13. Малыгина В.В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием // Изв. вузов. Математика. { 1993. { Є 5. { С. 72{85.
14. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения. { М.:
Наука, 1968. { 448 с.
15. Гусаренко С.А. Признаки разрешимости задач о накоплении возмущений для функционально{дифференциальных уравнений // Функц.{дифференц. уравнения. { Пермь: Пермск. политехн. ин-т., 1987. { С. 30{40.
16. Гусаренко С.А. Об ограниченности оператора Коши // Функц.{дифференц. уравнения. {
Пермь: Пермск. политехн. ин-т. { 1992. { С. 111{122.
17. Дроздов А.Д., Колмановский В.Б., Триджанте Д. Об устойчивости системы хищник{
жертва // Автоматика и телемеханика. { 1992. { Є 11. { С. 57{64.
Пермский государственный
технический университет,
Пермский государственный университет
Поступила
24.05.1999
13
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
236 Кб
Теги
уравнения, запаздывающими, устойчивость, аргументы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа