close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Устойчивые периодические точки двумерных диффеоморфизмов класса С1.

код для вставкиСкачать
УДК 517. 9
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 2
Е. В. Васильева
УСТОЙЧИВЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТОЧКИ
ДВУМЕРНЫХ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ КЛАССА C1 ∗
В работе рассматривается диффеоморфизм плоскости в себя с седловой неподвижной точкой. Предполагается, что существует нетрансверсальная гомоклиническая точка. Ранее, в статьях [1–4] были указаны условия, при которых в окрестности гомоклинической точки существует бесконечно много устойчивых периодических точек. При
этом оказывается, что один из характеристических показателей стремится к нулю с
ростом периода.
Основная задача работы — доказать, что при выполнении определенных условий
окрестность гомоклинической точки содержит бесконечно много устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями (результат
был анонсирован в [6]).
Пусть f — диффеоморфизм плоскости, имеющий неподвижную гиперболическую
точку в начале координат, т. е. f (0) = 0. Обозначим через λ и µ собственные числа
матрицы Df (0). Будем предполагать, что λ и µ удовлетворяют следующим неравенствам:
0 < λ < 1 < µ, λµ < 1.
(1)
Обозначим γ = −
Пусть
ln λ
.
ln µ
1<γ<2
s
(2)
u
и, как обычно, W (0) и W (0) — устойчивое и неустойчивое многообразия точки 0.
Предположим, что существует гомоклиническая точка w, т. е. w 6= 0 и w ∈ W u (0) ∩
W s (0).
Цель работы — показать, что при выполнении определенных условий, наложенных
на характер касания W s (0) и W u (0), существует бесконечное множество устойчивых
периодических точек, чьи характеристические показатели меньше некоторого отрицательного числа. Эти периодические точки лежат в малой окрестности гомоклинической
точки. Пример такого диффеоморфизма приведен в книге [5].
Предположим, что существует окрестность точки 0 такая, что f линеен в этой
окрестности. Обозначим эту окрестность через V. Введем в V координаты такие, что
f (x, y) = (λx, µy) для любых (x, y) ∈ V.
(3)
Выберем из орбиты точки w две точки r и p, лежащие в V : r — на оси Oy, а p — на
оси Ox. Пусть r = (0, y0 ), p = (x0 , 0). Предположим, что
x0 > 0,
y0 > 0.
(4)
m
Существует натуральное число m такое, что f (r) = p. Пусть U столь малая
окретсность точки r, что U ⊂ V и f m (U ) ⊂ V.
∗ Работа выполнена в НИИММ им. акад. В. И. Смирнова СПбГУ при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-01-01079) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-4609.2006.1).
c Е. В. Васильева, 2007
20
Обозначим через L сужение f m U . Ясно, что L — C 1 -функция. Представим L в координатах x, y :
L(x, y) = (x0 + F (x, y − y0 ), G(x, y − y0 )),
(x, y) ∈ U ;
(5)
функции F и G принадлежат классу C 1 и такие, что F (0, 0) = G(0, 0) = 0.
Из работ [1–4] следует, что для C k -диффеоморфизма f (k > 1) такого, что
∂G(0, 0)
∂ k−1 G(0, 0)
= ... =
= 0,
∂y
∂y k−1
∂ k G(0, 0)
6= 0,
∂y k
можно указать дополнительные условия, при выполнении которых U содержит счетное
множество устойчивых периодических точек, однако по крайней мере один из характеристических показателей стремится к нулю при стремлении периода к бесконечности.
Предположим, что
F (x, y − y0 ) = ϕ1 (x) + ψ(y − y0 ),
(6)
G(x, y − y0 ) = ϕ2 (x) + g(y − y0 ),
где ϕ1 , ϕ2 , ψ, g — C 1 -функции, определенные в малой окрестности нуля. Ясно, что
ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = ψ(0) = g(0) = 0.
Обозначим через a, b и c следующие величины:
ϕ′1 (0) = a,
ϕ′2 (0) = c,
ψ ′ (0) = b.
Пусть
b < 0,
c > 0.
(7)
Для формулировки основного результата необходимо наложить дополнительные
ограничения на функцию g, которые определят характер касания W s (0) и W u (0) в
точке p. Для этого рассмотрим следующие последовательности. Пусть ξk — произвольная положительная убывающая числовая последоватеьность такая, что
lim ξk = ξ > 0.
(8)
σk = (λµ)k ξk .
(9)
k→∞
Положим
Ясно, что справедливы следующие соотношения:
σk − σk+1 = (λµ)k [ξk − (λµ)ξk+1 ] > 0 для любого k,
lim (σk − σk+1 ) = lim σk = 0.
k→∞
k→∞
Зафиксируем постоянную s такую, что 0 < s < 1, и положим
εk =
s
(σk − σk+1 ).
1 + λµ
(10)
Из условий (10) следует, что εk — положительная убывающая последовательность,
стремящаяся к нулю. Кроме того, для достаточно больших k имеем
(σk − εk , σk + εk ) ∩ (σk+1 − εk+1 , σk+1 + εk+1 ) = ∅.
21
Из непрерывности функции g следует, что
g(σk ) → 0
Положим
τk =
при
k → ∞.
y0
λk c(x0 + bσk )
+ λk ξk −
;
k
µ
1 − λk a
ясно, что τk → 0 при k → ∞.
Предположим, что g(σk ) удовлетворяют неравенству
εk
для любого k,
|g(σk ) − τk | <
4µk
и пусть
g ′ (σk ) = 0 для любого k.
(11)
(12)
(13)
Допустим, что существует постоянная α > 0 такая, что справедливо неравенство
|g ′ (v)| 6
1
µ(1+α)k
при
v ∈ (σk − εk , σk + εk ).
(14)
Следовательно, функция g непрерывно дифференцируема в окрестности нуля и удовлетворяет условиям (12)–(14). Ясно, что g ′ (0) = 0.
Заметим, что если неравенства (2) не выполнены, то функции с перечисленными
свойствами не существует. Однако в противном случае можно построить пример такой
функции.
Ясно, что касание W u (0) и W s (0) определяется условиями (7), (12)–(14).
Теорема. Пусть f — диффеоморфизм плоскости с неподвижной гиперболической
точкой в начале координат. Пусть r — гомоклиническая точка, а U — достаточно малая окрестность точки r. Предположим, что выполняются условия (1)–(14), тогда
U содержит счетное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых меньше некоторого отрицательного числа.
Доказательство теоремы. Предположим, что окрестность U настолько мала,
что существуют такие положительные a1 , b1 , c1 , что справедливы следующие неравенства:
(15)
|ϕ′1 (x)| 6 a1 , −ψ ′ (y − y0 ) 6 b1 , ϕ′2 (x) 6 c1 , где (x, y) ∈ U.
Рассмотрим последовательность точек rk = (xk , yk ), где
xk =
λk (x0 + bσk )
,
1 − λk a
yk = y0 + σk .
(16)
Ясно, что rk ∈ U, если номер k достаточно велик. Далее будем рассматривать только
такие k. Можно считать, что xk > 0, yk > 0.
Пусть r k = (xk , y k ) = f k L(rk ). Так как L(rk ) ∈ f m (U ), имеем
xk = λk [x0 + ϕ1 (xk ) + ψ(σk )],
yk = µk [ϕ2 (xk ) + g(σk )].
Функции ϕ1 , ϕ2 , ψ, g принадлежат классу C 1 , таким образом имеем
ϕ1 (xk ) = axk + ∆1k xk ,
ϕ2 (xk ) = cxk + ∆2k xk ,
ψ(σk ) = bσk + ∆3k σk ,
22
(17)
где ∆ik (i = 1, 2, 3) — некоторые величины, обладающие свойством
lim ∆1k =
k→∞
lim ∆2k = lim ∆3k = 0. Из соотношений (17), учитывая (11) и (13), получаем
k→∞
k→∞
xk = xk + λk ∆1k xk + ∆3k σk ,
y k = yk − µk τk + µk g(σk ) + µk ∆2k xk .
Пусть d1 =
(18)
8b1 ξ(1 − λµ)s
ξ(1 − λµ)s
, d2 =
, где величины ξ и s введены в (8) и (10).
1 + λµ
8c1 (1 + λµ)
Рассмотрим произвольную последовательность δk , элементы которой удовлетворяют следующему неравенству:
(λ2 µ)k d1 < δk < λk d2 .
(19)
Обозначим через Uk следующую окрестность точки rk :
Uk = {(x, y) : |x − xk | < δk , |y − yk | < εk },
где величины εk введены ранее. Считаем, что Uk ⊂ U.
Пусть Ûk = f k L(Uk ), тогда можно легко показать, что для любого достаточно большого k выполнено включение
Ûk ⊂ Uk .
Для этого оценим величины |xk − xk | и |y k − yk |. Учитывая (18), имеем
|xk − xk | 6 λk |∆1k |xk + λk |∆3k |σk ,
|y k − yk | 6 µk |g(σk ) − τk | + µk |∆2k |xk .
Из условий (19), (16), (10) следует, что для любого достаточно большого k справедливы
следующие неравенства:
λk |∆1k |xk =
λ2k (x0 + bσk ) |∆1k |
1
δk
< (λ2 µ)k d1 < ,
k
1−λ a
4
4
1 2 k
δk
(λ µ) d1 < ,
4
4
k
(λµ) (x0 + bσk ) |∆2k |
εk
µk |∆2k |xk =
< .
k
1−λ a
4
Таким образом, учитывая (12), имеем
λk |∆3k |σk = (λ2 µ)k ξk |∆3k | <
|xk − xk | <
δk
,
2
|y k − yk | <
εk
.
2
Из последних неравенств следует, что rk ∈ Uk , если k достаточно велико. Далее рассматриваются только такие k.
Зафиксируем k и выберем точку qk = (x̃k , ỹk ), лежащую на границе Uk . Предположим для определенности, что справедливы следующие условия:
|x̃k − xk | 6 δk ,
ỹk = yk + εk .
Пусть
q̂k = (x̂k , ŷk ) = f k L(x̃k , ỹk ),
23
таким образом, имеем
x̂k = λk [x0 + ϕ1 (x̃k ) + ψ(ỹk − y0 )],
ŷk = µk [ϕ2 (x̃k ) + g(ỹk − y0 )].
Существуют такие u1 , u2 , лежащие между xk и x̃k , и u3 , u4 , лежащие между σk и
σk + εk , что
ϕ1 (x̃k ) = ϕ1 (xk ) + ϕ′1 (u1 )(x̃k − xk ),
ϕ2 (x̃k ) = ϕ2 (xk ) + ϕ′2 (u2 )(x̃k − xk ),
ψ(ỹk − y0 ) = ψ(σk ) + ψ ′ (u3 )εk ,
g(ỹk − y0 ) = g(σk ) + g ′ (u4 )εk .
Учитывая условия (18), имеем
x̂k = xk + λk ϕ′1 (u1 )(x̃k − xk ) + λk ψ ′ (u3 )εk ,
ŷk = y k + µk ϕ′2 (u2 )(x̃k − xk ) + µk g ′ (u4 )εk ,
откуда, принимая во внимание (14), (15), (19), получим
δk
+ λk a1 δk + λk b1 εk < δk ,
2
εk
εk
|ŷk − yk | 6
+ µk c1 δk + αk < εk .
2
µ
|x̂k − xk | 6
Таким образом, имеем q̂k ∈ Uk для любого достаточно большого k. Аналогично можно
показать, что любая точка, лежащая на границе Uk , при отображении f k L перейдет во
внутреннюю точку Uk . Ясно, что f k L имеет в Uk неподвижную точку, т. е. диффеоморфизм f имеет в U счетное множество периодических точек с периодом k + m.
Обозначим эти точки через rk∗ и найдем их характеристические показатели. Пусть
rk∗ = (x∗k , yk∗ ),
a∗k = ϕ′1 (x∗k ),
b∗k = ψ ′ (yk∗ − y0 ),
c∗k = ϕ′2 (x∗k ),
gk∗ = g ′ (yk∗ − y0 ).
Легко видеть, что
lim a∗k = a,
k→∞
lim b∗k = b,
k→∞
lim c∗k = c,
k→∞
lim gk∗ = 0.
k→∞
Обозначим через ρ1 (k), ρ2 (k) собственные числа матрицы
k ∗
λ ak λk b∗k
Df k L(rk∗ ) =
:
µk c∗k µk gk∗
12
1 k ∗
1 k ∗
k ∗
k ∗ 2
k ∗ ∗
ρ1,2 (k) = (λ ak + µ gk ) ± (µ gk − λ ak ) + (λµ) bk ck .
2
4
Легко видеть, что ρ1 (k) и ρ2 (k) могут быть как действительными, так и комплексносопряженными величинами. Рассмотрим отдельно эти два случая.
1. Предположим, что существует последовательность номеров k таких, что соответствующие ρ1 (k) и ρ2 (k) — комплексно-сопряженные числа с ненулевой мнимой частью.
Предположим, что это так для всех k. Тогда справедливо неравенство
(µk gk∗ − λk a∗k )2 < −4(λµ)k b∗k c∗k .
24
(20)
В этом случае
k
1
|ρ1 (k)| = |ρ2 (k)| = (λµ) 2 (a∗k gk∗ − b∗k c∗k ) 2 .
(21)
Пусть ν1 (k), ν2 (k) — характеристические показатели неподвижных точек. Известно,
что они определяются следующим образом:
νi (k) =
1
ln |ρi (k)|,
k+m
i = 1, 2.
(22)
Из условий (21) получим
νi (k) =
k ln(λµ)
ln(a∗k gk∗ − b∗k c∗k )
+
,
2(k + m)
2(k + m)
i = 1, 2.
Из последнего равенства следует, что для достаточно больших k верно
νi (k) 6
ln(λµ)
< 0,
4
i = 1, 2.
(23)
Следовательно, если существует последовательность номеров k таких, что собственные числа матрицы Df k L(rk∗ ) имеют ненулевые мнимые части, то характеристические
показатели соответствующих периодических точек ограничены сверху отрицательной
ln(λµ)
величиной
.
4
Более того, если справедливо неравенство α > (γ − 1)/2, то ρ1 (k) и ρ2 (k) являются
комплексно сопряженными для любого достаточно большого k.
2. Предположим, что ρi (k) ∈ R, i = 1, 2 для любого k. Это означает, что неравенство
(20) нарушается. Кроме того,
γ−1
0<α6
.
2
Обозначим через
h(k) =
1−
λk a∗k
µk gk∗
2
+
4(λµ)k b∗k c∗k
,
µ2k gk∗2
z1,2 =
λk a∗k
1
+ sing (gk∗ ) ± (h(k)) 2 ;
∗
k
µ |gk |
очевидно, что h(k) > 0.
Тогда ρi (k), i = 1, 2, можно записать следующим образом:
ρi (k) =
µk |gk∗ |
zi (k),
2
i = 1, 2.
k
Введем последовательность nk : µk |gk∗ | = nk (λµ) 2 ; допустим, что nk имеет конечный
1
предел. Ясно, что этот предел не может быть меньше, чем 2(−bc) 2 . В этом случае
последовательность h(k) также сходится к некоторому отрицательному пределу, который должен быть строго меньше единицы. Ясно, что в этом случае последовательности
|zi (k)|, i = 1, 2, ограничены сверху и отделены от нуля снизу.
Запишем характеристические показатели νi (k), i = 1, 2, с учетом (22):
k ∗ 1
µ |gk |
νi (k) =
ln
+ ln |zi (k)| .
k+m
2
(24)
25
Нетрудно видеть, что в этом случае νi (k) удовлетворяет условию (23), т. е. νi (k) 6
ln(λµ)
, начиная с некоторого номера.
4
Теперь предположим, что nk — неограниченно возрастающая последовательность,
т. е. nk → +∞ при k → +∞. Рассмотрим следующие соотношения:
k
nk (λµ) 2 = µk |gk∗ | 6
1
.
µαk
(25)
γ−1
Нетрудно видеть, что они выполняются, если только 0 < α <
. Очевидно, что
2
h(k) → 1 при k → ∞. Следовательно, для каждого достаточно большого номера k одна
из величин |zi (k)|, i = 1, 2, близка к нулю, а другая — к двум. Однако если значение
|zi (k)| близко к нулю, то ln |zi (k)| отрицателен. Следовательно, исходя из условий (24),
(25), легко получить, что
α ln µ
, i = 1, 2.
νi (k) 6 −
2
Таким образом, если α >
α ln µ
γ−1
ln(λµ)
γ−1
, то νi (k) 6
, а если 0 < α 6
, то νi (k) 6
2
4
2
−
, i = 1, 2. Последние оценки характеристических показателей справедливы для
2
бесконечного числа k, начиная с некоторого номера.
Теорема доказана.
Summary
E. V. Vasilyeva. Stable periodic points of two-dimensional C 1 diffeomorphisms.
The goal of this work is to prove the following result: there is a set of two-dimensional diffeomorphisms with a countable set of stable periodic points which are situated in a neighbourhood of
the homoclinic point. The characteristic exponents of these points are negative and separated from
zero.
Литература
1. Иванов Б. Ф. Устойчивость траекторий, не покидающих окрестность гомоклинической
точки // Дифференц. уравнения. 1979. Т. XV. № 8. С. 1411–1419.
2. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Динамические явления в многомерных
системах с негрубой гомоклинической точкой // Докл. Рос. Акад. наук. 1993. Т. 330, № 2.
С. 144–147.
3. Гонченко С. В., Шильников Л. П. О динамических системах с негрубыми гомоклиническими кривыми // Докл. Акад. наук СССР. 1986. Т. 286, № 5. С. 1049–1053.
4. Newhouse Sh. Diffeomorphisms with infinitely many sinks // Topology. 1973. Vol. 12. P. 9–18.
5. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977. 304 с.
6. Васильева Е. В. К вопросу устойчивости периодических точек, лежащих в окрестности
гомоклинической точки // Докл. Рос. Акад. наук. 2005. Т. 400. № 2. С. 151–152.
Статья поступила в редакцию 12 декабря 2006 г.
26
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
243 Кб
Теги
точка, диффеоморфизмов, двумерные, класс, периодических, устойчивое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа