close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Функция автокорреляции функционального преобразования суммы стационарного случайного процесса и 2ѓ-периодического продолжения во времени детерминированного сигнала.

код для вставкиСкачать
Радиофизика
Вестник Нижегородского
университета
им. Н.И. Лобачевского,
2012, № 3 (1),
с. 55–59 процесса
Функция автокорреляции
функционального
преобразования
суммы стационарного
случайного
55
УДК 621.396
ФУНКЦИЯ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
СУММЫ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
И 2π-ПЕРИОДИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ ВО ВРЕМЕНИ
ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА
 2012 г.
В.И. Пройдаков
Филиал ЦНИИ «Комета» – КБ «Квазар», Нижний Новгород
vip713@sandy.ru
Поступила в редакцию 22.06.2011
Приводится доказательство стационарности функции автокорреляции функционального (нелинейного, безынерционного) преобразования суммы стационарного случайного процесса и 2π-периодического продолжения во времени детерминированного сигнала. Получена формула автокорреляционной
функции для детерминированного сигнала в виде N-частичной суммы ряда Фурье.
Ключевые слова: функция корреляции, функциональное преобразование, частичная сумма ряда Фурье, детерминированный сигнал.
Введение
BF 
Корреляционная функция (КФ) BF функционального преобразования (ФП) F(y) суммы
y(t) = ξ(t) + x(t), t  (t 0 , t 0  T ) ,
(1)
где ξ(t) – стационарный, хотя бы в широком
смысле, случайный процесс (ССП), x(t) – детерминированный сигнал, t0 – начало отсчета произвольного открытого интервала наблюдений T,
t 0  ( ,   ) , T  (0, T ), в общем случае может
быть определена, если известна (по крайней мере) двумерная плотность вероятности значений
 y ( y1 , y 2 ), следующей формулой [1–5]:
BF  m y {F[ y (t )]  F[ y (t  )]} 
  F ( y ) F ( y )
1
2
y
( y1 , y 2 ) dy1dy 2 ,
 
где my{…} – математическое ожидание величины, заключенной в скобки, и y(t) = y1, y(t + τ) = y2.
Если для ФП существует двустороннее преобразование Лапласа (контурный интеграл), то,
полагая j    1 , получим [1, 3]:

g ( jv)  L[ F ( y )] 
 F ( y) e
 jvy
dy ,

F ( y )  L1[ g ( jv )] 


1
2
TT y (v1 , v 2 )  m y {exp[ j (v1 y1  v 2 y 2 )]} (4)
– двумерная характеристическая функция суммы (1).
Результаты исследований свойств КФ ФП
суммы (1) – формулы (2) и (3) для различных
законов распределения и моделей сигналов широко апробированы в научно-технической литературе. В целом ряде работ детерминированный
сигнал заменяют, как правило, различными
специальными моделями ССП.
Понятие аналитического сигнала (АС) z(t)

(2)
  

1
g ( jv1 ) g ( jv2 )  TTy (v1 , v2 ) dv1dv2 , (3)
(2) 2 C
C
1
g ( jv) e jvy dv ,
2 С

L и L-1 – соответственно прямой и обратный
оператор Лапласа, и замкнутый на бесконечности контур интегрирования обходит снизу возможные особые точки в направлении от –∞ к
+∞. Тогда для формулы (2) можно получить
следующее представление КФ:

[1–5] z (t )  y (t )  j  y (t ) , где y(t) и y (t ) связаны преобразованиями Гильберта и y(t) принимает действительные значения, позволяет ввести однозначное, не зависящее от выбора средней
частоты, определение огибающей как модуля АС
для случайного стационарного процесса, пред
ставленного рядом y (t )   c n cos(  n t   n ) , где
n 0
αn – случайные фазы, равновероятно распредеc2
ленные на интервале (0, 2π), n – мощность
2
сигнала, соответствующая частоте ωn.
В работе [2] детерминированная составляющая представлена модулированной по амплитуде синусоидой, содержащей случайную фазу,
равновероятную на интервале значений от 0 до
2π, а при построении оценки КФ предлагается
подставлять в соответствующие формулы среднее значение модулирующего сигнала.
56
В.И. Пройдаков
В работе [3] рассмотрено общее решение задачи для представления (1) при формальной замене
в (2) и (3)  y ( y1 , y 2 ) на   ( y1  x1 , y 2  x 2 ) ,
где   ( 1 ,  2 ) – двумерная плотность вероятности значений ССП ξ(t). При этом отмечено,
что в случае x(t) ≠ 0 (тождественно) КФ зависит
от времени, и сделан вывод о нестационарности
ФП в общем случае сигнала вида (1). В качестве
оценки КФ рекомендовано рассматривать среднее во времени значение на интервале наблюдений.
Сложные ФП, например детектирование,
возведение в конечную степень, сводятся к исследованию статистических характеристик огибающей АС. В работе [4] для общего случая y(t)
(1), когда x(t) есть узкополосный ССП, приведены выражения двумерной функции распределения вероятностей значений и КФ огибающей,
зависящие лишь от разности времени τ.
Очевидно, что результаты исследований КФ
ФП, и в первую очередь стационарность, существенным образом зависят от модели представления детерминированной части суммы сигналов (1).
Постановка задачи
Вычислим КФ BF ФП F(y) для модели исходного сигнала (1) с минимальными ограничениями на свойства составляющих, входящих в
выражения (1) – (4). Полагаем, что случайный
процесс ξ(t) стационарен (по крайней мере) в
широком смысле. Пусть существует двустороннее преобразование Лапласа для ФП во всей области значений y(t), а для произвольно определенной детерминированной функции x(t) выполняются условие интегрируемости Дини [6, 7] на
открытом интервале времени t  (t 0 , t 0  T ) , где
t0 – начало отсчета произвольного интервала
наблюдений T, t 0  (,) , T  (0, T ) .
Взаимно-однозначным преобразованием t  
t 1
 2(  ) открытого интервала времени
T 2
t
t  (t 0 , t 0  T ) на t   (t 0  , t 0  ) и t 0  2( 0 )
T
построим 2π-периодическое продолжение по
оси времени t′ детерминированного сигнала
x(t )  x (t   2k ) , k = 1, 2,… При этом отсчеты
t 0 интервалов являются равновероятными случайными величинами (СВ) ввиду произвольности значений интервала наблюдений T.
Из интегрируемости x(t) следует справедливость теоремы Фейера [6,7] и возможность
представления x(t′) рядом Фурье:
1
{x (t   0)  x(t   0)} 
2
(5)
1
 S 0  lim {S1 (t )  S 2 (t )  ...  S m1 (t )},
m  m
где Sm – частичная сумма ряда Фурье
m
S m (t ) 
 A (t )
n
(6)
n 1
и
t0  
S0 
1
x (t ) dt   const ,
2 t 

0
An (t )  a n cos(nt )  bn sin( nt ) ;
t 0 
an 
(7)
t0 
1 ~
1 ~
x (t ) cos(nt )dt  , bn 
x (t) sin(nt)dt ; (8)
 t  
 t 


0
0
для x(t′) в виде
t   

~


 x(t )  S 0  x (t ) &  ~x (t )dt   0 .
t  

Коэффициенты an и bn принимают случайные
значения, так как пределы интегрирования в (8)
содержат СВ t 0 . Заменим переменную интегрирования в (8), полагая   t   t 0 ,   (, ) , и
выполним интегрирование по новой переменной. После несложных тригонометрических
преобразований получим выражения:
An (t )  a n cos(nt   nt 0 )  bn sin( nt   nt 0 ) , (9)
0

0

an 
1 ~
x (  t 0 ) cos( n) d ,
 


1 ~
x (  t 0 ) sin( n)d.
(10)
 
Выражение ~
x (  t 0 ) представлено 2π-периодической детерминированной функцией, и,
в силу построения 2π-периодического продолжения оси времени t′, значения интегралов (10),
в указанных пределах, не зависят от произвольного сдвига t 0 . Следовательно, значения an и
bn неслучайны, а при вычислении по формулам
bn 

(10) можно положить t 0 = 0. Учтем периодичность функций sin и cos в (9) и получим для
An(t′), полагая
nt  1
 n  nt 0  2E ( 0  ) ,  n  ( , ) , (11)
2 2
где E(…) – целая часть численного значения
выражения в скобках,
An (t )  a n cos( nt    n )  bn sin( nt    n ) , (12)
где φn – фаза отдельного члена частичной суммы
ряда Фурье Sm(t′) (6), которая является СВ, равновероятной на открытом интервале n  (, ) .
Функция автокорреляции функционального преобразования суммы стационарного случайного процесса
Учтём, что значение фазы φn полностью определяется номером n – целочисленным аргументом преобразования (11), и, следовательно,
множество {φm} фаз составляющих частичной
суммы ряда Фурье Sm(t′) (6) образует совокупность независимых СВ, равновероятных на интервале (–π, π).
Общее решение задачи
На практике, как правило, исследуют модель
сигнала, адекватно представляющую его свойства, например в виде разложения в ряд по ортогональным функциям. Без ограничения общности постановки задачи представим x(t′) в виде
суммы:
x(t′) = S0 + SN(t′), ~
x (t )  S N (t ) , N = 1, 2, 3,…, (13)
где SN(t′) – N-частичная сумма ряда Фурье детерминированного сигнала.
В соответствии с полученными выше выводами, SN(t′) есть сумма (6) ССП (12) с N-мерной
плотностью вероятности значений фаз {φN}:
wwN (1 , 2 ,..., N ) 
 1
, {k  (,)} & {k  [1, 2,..., N ]}, (14)
N

  (2)
0 , {k  [1, 2,..., N ]} & {  (,)}.
k

Учитывая независимость ξ(t) и x(t), (N + 2)мерную функцию распределения значений
 y ( y1 , y 2 ) можно представить произведением:
 y ( y1 , y 2 )  ww N (1 ,  2 ,...,  N ) 
где   ( 1 ,  2 ) – двумерная плотность вероятности значений ССП ξ(t).
Подставим (15) в (2), (3) для определения
КФ, учтем условие существования двустороннего преобразования Лапласа ФП во всей области определения y(t) и представим (4), используя (1) и (13), в виде:
TT y (v1 , v2 )  m y {exp[ j (v1 y1  v2 y 2 )]} 
(16)
 U 0 P(v1 , v 2 )TT (v1 , v2 ),
где
U 0  exp[ jS 0 (v1  v 2 )]
и
в итоге получим для КФ ФП суммы (13) выражение:
1
BF 

(2) 2
(18)
 g ( jv1 ) g ( jv2 )U0 P(v1 , v2 ) TT (v1 , v2 ) dv1dv2 ,

C2
где все входящие в формулу величины определены ранее.
После несложных тригонометрических преобразований выражений (6) и (12) представим
показатель экспоненты в (17) в виде:
N
 u r sin(
v1 S N (t )  v 2 S N (t   ) 
i i
i
 i ) , (19)
i 1
где
u i2  ( ai ) 2  (bi) 2 , ri 2  v12  v22  2v1v2 cos i  ,(20)
2i
i 
– i-я основная частота (всего N часT
тот),
 i  it    i ,
(21)
а начальная фаза
 v a  v2 (ai cos i   bi sin i ) 
i  arctg 1 i

 v1bi  v2 ( ai sin i   bi cos i ) 
не зависит от времени t′ и случайной фазы φi.
Подставим (19) в (17) и получим:
N
N
 exp[ ju r sin(
pˆ i )
P(v1 , v2 )  (
i 1
k k
k
 k )]. (22)
k 1
Докажем справедливость формулы
N
P (v1 , v2 ) 
 J (u r ),
0
(23)
i i
i 1
где J0(x) – функция Бесселя действительного
аргумента нулевого порядка.
Доказательство. Представим экспоненту в
(22), используя формулу Эйлера и соответствующие формулы из [8], и получим формулу
для дальнейших вычислений.
Полагаем

pˆ i 
N
1
d i ;
2  

N
  exp[ ju r sin( 
pˆ i )
P(v1 , v 2 )  (
TT (v1 , v2 ) 
i 1
N
k k
(
N
i
i 1
k
 k )] =
k 1

 pˆ )J (u r ) 2[J
 m {exp[ j (v11  v 2  2 )]} – двумерная характеристическая функция ССП ξ(t). Полагаем
k k
0
2m
(u k rk ) 
m1
k 1
 cos(2m( k  k ))  jJ 2m1 (u k rk ) sin((2m  1)(k  k ))}],

1
pˆi 
di
2 

  2(

C1
(15)
   ( y1  x1 , y 2  x2 ),
57
–
интегральный
оператор и
 1
 ) ,   (0, T ) ,   ( , ) ; тогда
T 2
N
 pˆ ) exp{j[v S
P(v1 , v2 )  (
i
i 1
1 N
(t )  v2 SN (t  )]}, (17)
где Jn(x) – функция Бесселя действительного
аргумента целого n-го порядка. Выполним умножение и представим формулу в виде:
N
P ( v1 , v 2 )  (

i 1
где
N
pˆ i )[

k 1

J 0 (u k rk ) 
 SM
m 1
{N}
] , (24)
58
В.И. Пройдаков
N
 
k 
N
SM { N } 
 k
Bi ( m i

s 1 
q

1

 
k 1
q
q
N ,k

) ,
 s
(25)
N N

N
N!
 

и s  [1, 2,...,  ] ,
 k   N  k  ( N  k )!k!
k 
  

 
N ,k
 
– s-е сочетание из N по k неповторяю 
... s
щихся индексов iq, q  [1, 2,..., k ] & [k  N ] из
множества индексов i, i  [1, 2,..., N ] ,
B (m )  c
N ,k
iq
iq
s

cos(mi )  di sin(mi )
iq
q
q
q
N ,k
s
(26)
и сi , d i – произвольные функции, не зависяq
q
для которых i = iq. Применим последовательно
для каждого оператора p̂i правило исключения
(29) к SM{N} и докажем равенство (28), из которого следует справедливость равенства (23).
Подставим (23) в (18) и получим, в итоге,
для КФ ФП суммы (13) выражение:
1
BF 
g ( jv1 ) g ( jv 2 )U 0 
(2) 2 C
C
(30)


1
2
N

J
0
(u i ri )TT (v1 , v 2 ) dv1 dv 2 ,
i 1
где ui, ri, i  [1, 2,..., N ], (20), как видно, не зависят от времени t′.
Заключение
щие от случайных фаз {φN} и  i , iq = i в (21).
q
Из выражения (24) видно, что первое слагаемое не зависит от {φN}, то есть следует определить значение произведения интегральных
N
 pˆ ) на SM
операторов (
i
{N }
.
i 1
Лемма. Покажем вначале, что
 Bi ( m  i ) N , k , i  iq ,
N ,k
s
pˆ i Bi ( m  i )

(27)
s
0, i  iq .
Действительно, вычисляя непосредственно,
можно убедиться в справедливости
 cos( m i )

, i  i

cos( m i )   sin( m i ) 
1


pˆ i 
d i 
,

2  sin( m i )   0


 , i  i
  0

q
q


q
q

q
q
q

Из доказанного выше следует стационарность ФП F(y) суммы (1), где детерминированный сигнал представлен 2π-периодическим
продолжением по оси времени, и КФ BF = BF(τ′)
(30) зависит лишь от разности времён τ′.
Формула (30) позволяет определить функцию корреляции функционального преобразования аддитивной суммы случайного процесса,
стационарного – по крайней мере – в широком
смысле, и произвольного детерминированного
сигнала, представленного в виде N-частичной
суммы ряда Фурье.
Работа посвящена памяти заслуженного профессора ННГУ им. Н.И. Лобачевского Станислава Фёдоровича Морозова (06.07.1931 – 20.01.2003).
q
q
Список литературы
q
из которого следует справедливость соотношения (27).
Докажем следующую теорему:
N
 pˆ )
Теорема. Значение произведения (
i
на
i 1
суммах SM{N} (25) равно нулю:
N
 pˆ ) SM    0.
(
i
(28)
N
i 1
Доказательство. Действительно, из леммы
(27) следует равенство:
pˆ i SM { N }  SM N i ,
(29)
где SM{N}–i есть SM{N} за исключением всех слагаемых, содержащих сомножителем Bi (m i ),
q
q
1. Деч Р. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Сов. радио, 1965. 208 с.
2. Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию
случайных сигналов и шумов. М.: ИЛ, 1960.
3. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн.1. 2-е изд., перераб. и доп. М.:
Сов. радио, 1974.
4. Тихонов В.И. Нелинейные преобразования
случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986.
5. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника.
2-е изд., перераб. и доп. М.: Радио и связь, 1982.
6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 4-е изд.
М.: Наука, 1976.
7. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Ч.1. М.: Физматгиз, 1963.
8. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. 5-е изд. М.: Наука, 1978.
Функция автокорреляции функционального преобразования суммы стационарного случайного процесса
AN AUTOCORRELATION FUNCTION OF THE FUNCTIONAL TRANSFORMATION
OF THE SUM OF A STATIONARY RANDOM PROCESS
AND THE 2π-PERIODIC EXTENSION OF A DETERMINISTIC SIGNAL
V.I. Proidakov
A proof is given for stationarity of the autocorrelation function of the functional (nonlinear, inertialess) transformation of the sum of a stationary random process and the 2π-periodic extension of a deterministic signal. An autocorrelation function formula for the deterministic signal has been derived in the form of Nth partial sum of the
Fourier series.
Keywords: correlation function, functional transformation, Nth partial sum of the Fourier series, deterministic
signal.
59
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа