close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Функция Сеге на неспрямляемой дуге.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2012, № 4, c. 12–23
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421200123 \0037
Б.А. КАЦ, Д.Б. КАЦ
ФУНКЦИЯ СЕГЕ НА НЕСПРЯМЛЯЕМОЙ ДУГЕ
Аннотация. Пусть Γ — простая жорданова дуга на комплексной плоскости. Задача о нахождении функции Сеге — это краевая задача об определении голоморфной в комплексной
плоскости с разрезом по Γ функции по заданному произведению ее граничных значений на
этой дуге. Решение этой задачи известно для случая, когда дуга является кусочно-гладкой.
В данной работе строится функция Сеге на неспрямляемой дуге с концами в точках ±1. В
основе построения лежат свойства преобразования Коши некоторой обобщенной функции с
носителем на дуге Γ.
Ключевые слова: неспрямляемая дуга, краевая задача Римана, функция Сеге, обобщенная
функция, преобразование Коши.
УДК: 517.544
Введение
В течение последнего десятилетия было опубликовано большое число работ, посвященных применению краевой задачи Римана–Гильберта при исследовании ортогональных многочленов и различных их обобщений. При этом используется как матричная задача Римана (подход Дейфта–Чжоу, например, [1]–[4]), так и обычная краевая задача Римана и
другие связанные с ней краевые задачи для обычной (т. е. не матричной) голоморфной
функции на плоскости или на римановой поверхности [5]–[7]. Следует отметить также работы Ф.Н. Гарифьянова, где методы и идеи теории краевых задач применяются для изучения биортогональных систем функций (например, [8]). В этих исследованиях существенную
роль играет аналитическая в C \ Γ функция S(z), имеющая на заданной дуге Γ заданное
произведение своих предельных значений слева и справа:
S + (t)S − (t) = ρ(t), t ∈ Γ \ {a1 , a2 },
(1)
где a1,2 — концы дуги Γ. Эту функцию называют (например, [6]) функцией Сеге для этой
дуги в честь одного из создателей современной теории ортогональных многочленов Габора
Сеге. Формальное логарифмирование этого краевого условия приводит к краевой задаче
Римана
(2)
Φ+ (t) + Φ− (t) = f (t), t ∈ Γ \ {a1 , a2 },
где Φ и f — логарифмы S и ρ соответственно. Для кусочно-гладких дуг решение такой
задачи Римана известно (например, [9], с. 442) и строится с помощью интеграла типа Коши.
Однако в случае неспрямляемой
дуги Γ эта техника не работает, поскольку в определении
контурного интеграла ·dz возникают определенные трудности. Так, если понимать этот
Γ
интеграл в смысле Стильтьеса, то наиболее простым достаточным (хотя и не необходимым)
Поступила 10.05.2011
12
ФУНКЦИЯ СЕГЕ НА НЕСПРЯМЛЯЕМОЙ ДУГЕ
13
условием его существования является конечность вариации z как функции на дуге Γ, что
равносильно спрямляемости этой дуги.
Следует отметить работу [10], где задача (1) впервые была исследована без предположения об отсутствии нулей у искомой функции. Но контур Γ и в этой работе предполагался
спрямляемым.
Задача Римана на неспрямляемой дуге была впервые решена в работе [11] методом регуляризации квазирешений.
В данной работе мы решаем ее путем замены интеграла типа Коши преобразованием
Коши некоторых обобщенных функций. В результате здесь удается ослабить ограничения
работы [11] на дугу Γ.
Преобразование Коши меры с компактным носителем µ
dµ(ζ)
1
,
Cµ :=
2πi
ζ−z
называемое также потенциалом Коши, стало в последние десятилетия популярным объектом исследований (например, [12]–[14]). В частном случае, когда носитель µ — спрямляемая
кривая, dµ = f (t)dt и f (t) — интегрируемая на кривой функция, это выражение превращается в интеграл типа Коши.
Определение преобразования Коши легко переносится с мер на обобщенные функции.
Если ϕ есть обобщенная функция с компактным носителем S на комплексной плоскости,
то ее преобразование Коши определяется равенством
1 1 ϕ,
,
Cϕ :=
2πi
ζ −z
1
как к функции переменной ζ.
где z ∈
/ S и ϕ применяется к ζ−z
Отметим, что сходный объект исследовался под названием “аналитическое представление” в [15]. Однако аналитическое представление в смысле этой книги для распределения
с носителем на плоскости представляет собой аналитическую функцию двух комплексных
переменных.
В первом разделе данной работы рассматриваются свойства некоторого семейства обобщенных функций. Во втором исследуются их преобразования Коши. Наконец, в третьем
разделе на этой основе решается вспомогательная краевая задача Римана (2) на неспрямляемой дуге, строится функция Сеге и обсуждаются вопросы ее единственности.
1. Свойства обобщенной функции
∂ √ 1
∂z z 2 −1
Пусть Γ — простая жорданова дуга с концами в точках ±1. В дальнейшем считаем,
что она, вообще говоря, неспрямляема, но имеет нулевую плоскую меру Жордана. Пусть
F (z) — однозначная в C \ Γ ветвь функции √z12 −1 , разложение которой в степенной ряд в
окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид F (z) = 1z + · · · . Функция F голоморфна
в C \ Γ, ограничена вне любых окрестностей точек ±1, а в этих точках имеет особенности
порядка 1/2. Таким образом, эта функция интегрируема в любом круге. Любую функцию
F ∈ Lloc (C) можно отождествить с обобщенной функцией, действующей по правилу
F (z)ω(z)dz dz, ω ∈ C0∞ (C),
F, ω =
C
где C0∞ (C) означает, как обычно, пространство всех заданных на комплексной плоскости
функций с компактными носителями, имеющих частные производные всех порядков, а
14
Б.А. КАЦ, Д.Б. КАЦ
dz dz ≡ dz ∧ dz = −2i dx dy. Рассмотрим обобщенную функцию
менения дифференциального оператора
1 ∂
1 ∂
∂
≡
−
∂z
2 ∂x
i ∂y
∂F
∂z ,
т. е. результат при-
к обобщенной функции, полученной таким образом из упомянутой выше ветви √z12 −1 . При
этом через F+ (t) и F− (t) обозначаем предельные значения функции F при приближении к
внутренней точке t дуги Γ слева и справа соответственно; дуга Γ обходится от точки −1 к
точке +1. Очевидно,
F− (t) = −F+ (t).
По определению производной обобщенной функции (например, [16])
∂
∂ω
F, ω = −
dz dz.
F
∂z
∂z
C
(3)
Если носитель ω не пересекает Γ, то по формуле Грина получаем
∂
∂F ω
F, ω = −
dz dz =
F ωdz = 0,
∂z
supp ω ∂z
Λ
где Λ есть спрямляемая простая замкнутая кривая, не пересекающая Γ и ограничивающая
область, содержащую supp ω. Это значит, что supp ∂F
∂z ⊂ Γ. Но из леммы Вейля [16] сле∂F
дует, что C \ supp ∂z не имеет общих точек с Γ (в противном случае функция F была бы
аналитической в такой общей точке). Поэтому
∂F
= Γ.
∂z
В частном случае, когда Γ спрямляема, эту обобщенную функцию можно представить
следующим образом. Построим от точки −1 к +1 дополнительную
спрямляемую дугу Γ так,
чтобы область D, ограниченная замкнутой кривой Γ Γ , находилась слева от Γ. Функцию
F (z) представим в виде суммы F (z) = F + (z) + F − (z), где F + (z) равна F (z) в области D и
нулю вне ее, а F − (z) равна нулю в области D и F (z) вне ее. Тогда в силу формулы Грина
∂F + ∂F ω
,ω = −
dz dz =
F + (t)ω(t)dt.
∂z
∂z
D
Γ∪Γ
supp
Аналогично
∂F −
∂z
,ω = −
Γ∪Γ
F − (t)ω(t)dt.
Но так как F + + F − = F , а скачок F при переходе через Γ равен нулю, имеем
∂F , ω = (F+ (t) − F− (t))ω(t)dt = 2 F+ (t)ω(t)dt.
∂z
Γ
Γ
Таким образом, ∂F
∂z можно рассматривать как обобщение операции интегрирования с весом
2F+ на неспрямляемые кривые.
Непосредственно из формулы (3) следует, что при ω ∈ C0∞ (∆), где ∆ — любая конечная
область, содержащая Γ,
∂ω ∂F |F |dx dy ≤ CωC 1 (∆) .
∂z , ω ≤ 2 sup ∂z : z ∈ ∆
∆
ФУНКЦИЯ СЕГЕ НА НЕСПРЯМЛЯЕМОЙ ДУГЕ
15
Поэтому обобщенную функцию ∂F
∂z можно продолжить до непрерывного функционала на
C 1 (∆). Иначе говоря, обобщенное интегрирование ∂F
∂z применимо к любой дифференцируемой в окрестности Γ функции.
Однако можно доказать, что ∂F
∂z ограничена и по норме более обширного пространства,
а именно Гёльдера. Пространством Гёльдера Hν (A) на компакте A называется множество
всех заданных на этом компакте функций, удовлетворяющих условию Гёльдера с показателем ν, т. е. условию
|f (t1 ) − f (t2 )|
:
t
∈
A,
t
=
t
)
< ∞,
hν (f ) := sup
1,2
1
2
|t1 − t2 |ν
снабженное нормой f Hν (A) ≡ hν (f )+f C(A) , где f C(A) означает обычную равномерную
норму пространства C(A).
В дальнейшем понадобится верхняя метрическая размерность. Ее определение таково.
Для компактного множества A ⊂ C рассмотрим все его покрытия кругами, диаметр каждого из которых не превосходит ε. Через Nε (A) обозначим наименьшее возможное число
кругов в таком покрытии. Верхней метрической размерностью называется
ln Nε (A)
dmA = lim
.
ε→0 ln ε−1
Эта размерность введена в работе [17] и отмечена в [18], причем 1 ≤ dmA ≤ 2. Она равна единице для спрямляемых кривых и двум для множеств, имеющих внутренние точки.
Основным результатом этого раздела является
Теорема 1. При ν > 34 dmΓ −
1
2
обобщенная функция ∂F
∂z допускает оценку
∂F , ω ≤ CωHν (∆)
∂z
для любой функции ω ∈ C0∞ (∆). Здесь ∆ — произвольная конечная область, содержащая Γ.
Доказательство. Воспользуемся разбиением Уитни (например, [19], с. 199). Оно состоит из
неналегающих диадических квадратов Q, накрывающих C \ Γ и таких, что
dist(Q, Γ) diam Q.
Обозначим через W эту совокупность квадратов, а через mn — число квадратов со стороной
2−n , входящих в разбиение W . Пусть W1 — совокупность всех квадратов
из W со стороной
Q. Очевидно, Γ ⊂
не больше единицы. Обозначим через ∆ такую область, что ∆ =
Q∈W1
∂Q. Для любой функции ω ∈ C0∞ (∆) рассмотрим
∆. Кроме того, обозначим Γ∗ =
Q∈W1
продолжение Уитни этого сужения. Как известно
ее сужение на Γ∗ и обозначим через ω
[18], оператор продолжения Уитни связывает с заданной на компакте A функцией f ее
продолжение f w на всю комплексную плоскость, причем вне A это продолжение имеет
производные всех порядков и
|∇f w (z)| ≤ hν (f ) distν−1 (z, A),
(4)
если f ∈ Hν (A). По построению продолжения Уитни, внутри каждого квадрата Q ∈ W1
функция ω
фактически является продолжением сужения ω на границу этого квадрата. 1
, то
Лемма. Если f ∈ Hν (∂Q) и p < 1−ν
|∇f w |p dx dy ≤ Ca2−(1−ν)p hpν (f ),
Q
16
Б.А. КАЦ, Д.Б. КАЦ
где a — сторона квадрата Q, hν (f ) — коэффициент Гёльдера функции f на границе Q, а
C не зависит от a и f .
Доказательство. Без ограничения общности можно cчитать, что центр квадрата находится
в начале координат. Разобьем квадрат его диагоналями на четыре равных треугольника. В
каждом из них расстояние dist(z, ∂Q) равно a2 − x или a2 − y, где z = xi + y. Обозначим один
из треугольников (для конкретности, с вертикальным основанием) через T . Тогда согласно
неравенству (4)
a/2 x
a/2
dy
x dx
p
|V f w |p dx dy ≤ hpν (f )
dx
=
2h
(f
)
.
ν
a
a
(1−ν)p
( 2 − x)(1−ν)p
0
−x ( 2 − x)
0
T
1
последний интеграл сходится. Замена переменной x = at
При условии p < 1−ν
2 приводит к
требуемой оценке.
При ω ∈ C0∞ (∆) имеем
∂F ∂ω
∂F ω
,ω = −
dz dz = −ΣQ∈W1
dz dz =
F
∂z
∂z
∆
Q ∂z
∂ω
dz dz.
F ωdz dz = ΣQ∈W1
Fω
dz dz = −
F
= ΣQ∈W1
∂z
∂Q
∂Q
∆
Согласно неравенству Коши
1/q ∂F q
|F | dx dy
∂z , ω ≤ 2
∆
где
1
p
+
1
q
∆
p
1/p
∂ω
dx dy
,
∂z = 1. Первый из интегралов сходится при q < 4. Второй оцениваем согласно лемме
p
∂ω
−n 2−(1−ν)p
dx dy ≤ Chpν (ω)Σ∞
)
,
n=0 mn (2
∆ ∂z
где mn есть число квадратов со стороной 2−n в разбиении Уитни. Из определения верхней метрической размерности следует (например, [20]) mn ≤ C2nd , где d — любое число,
большее dmΓ. В результате слагаемые последней суммы оцениваются величинами вида
2−d
. Нужно
2(d−2+(1−ν)p)n , и эта сумма конечна при d − 2 + (1 − ν)p < 0, т. е. при p < 1−ν
1
3
3
1
потребовать, чтобы p < 4 ; отсюда ν > 4 d − 2 .
Тем самым доказано, что ∂F
∂z продолжается до непрерывного функционала на замыкании
∞
C0 (∆) по норме Hν (∆), если ν удовлетворяет условию теоремы. Замыкание не совпадает
с Hν (∆), но оно содержит Hµ (∆) при любом µ > ν. Поэтому продолжение определено на
Hν (∆) при любом ν, удовлетворяющим условию теоремы. Будем называть его продолже∂F w
нием Уитни обобщенной функции ∂F
∂z и обозначать ( ∂z ) . Имеем
∂ f
∂F w
dz dz,
(f ) = −
F
∂z
∂z
C
где f — продолжение Уитни сужения f ∈ Hν (∆) на Γ∗ с компактным носителем. Получить
такое продолжение можно умножением (f |Γ∗ )w на функцию ω0 ∈ C0∞ , равную единице в
окрестности Γ.
Это продолжение позволяет ввести семейство обобщенных функций ∂F
∂z f по формуле
∂F
∂F w
∂ ωf
f, ω =
dz dz.
(f ω) = −
F
∂z
∂z
∂z
C
ФУНКЦИЯ СЕГЕ НА НЕСПРЯМЛЯЕМОЙ ДУГЕ
17
Они определены при том же условии на ν и имеют носитель на Γ. Эти обобщенные функции
можно рассматривать как интегрирования по дуге Γ с весами вида 2F+ (t)f (t).
Покажем, что последнюю формулу можно несколько упростить, записав ее в виде
∂F
∂ω(f |Γ )w ω0
f, ω = −
dz dz,
F
∂z
∂z
C
≡ ((ωf )|Γ∗ )w ω0 на более простое выражение ω(f |Γ )w ω0 . Для этого потрет. е. заменить ωf
буется следующее рассуждение. Предположим
∂ξфункцию F ограниченной. Положим (f ω) −
w
F ∂z dz dz = 0. Покроем C двоичными квадра(f |Γ ) ωω0 = ξ. Требуется показать, что
C
тами со стороной 2−n , а объединение тех из них, которые имеют общие точки с кривой Γ,
назовем ∆n . Количество двоичных квадратов в ∆n обозначим через mn , а длину ∂∆n —
через Ln . Построим также область D таким образом, чтобы носитель ω0 лежал внутри D.
Таким образом, получим
∂ξ
∂ξ
∂ξ
∂ξ
F dz dz =
F dz dz =
F dz dz +
F dz dz.
∂z
∂z
∂z
∂z
C
D
∆n
D\∆n
Ясно, что площадь ∆n будет стремиться к нулю при n → ∞, поэтому
∂ξ
∂F ξ
dz dz.
F dz dz = lim
n→∞
∂z
C
D\∆n ∂z
Легко видеть, что формула Стокса справедлива для функции, непрерывной в замкнутой
области, первые частные производные которой существуют внутри этой области за возможным исключением системы из спрямляемых кривых, разбивающих эту область на конечное
число частей, и интегрируемы в замыкании этой области. Отсюда
∂F ξ
dz dz =
F ξ dz.
D\∆n ∂z
∂∆n
Получим оценку для последнего интеграла. Очевидно, при z ∈ ∂∆n имеем |ξ| ≤ 2−nν C.
Далее, Ln ≤ Cmn 2−n и mn ≤ C2nd , где d — любая величина, превосходящая dmΓ (доказательство последнего неравенства, например, в [20]). Отсюда
F ξ dz ≤ C
|ξ| |dz| ≤ C2−nν Ln ≤ C2n(d−1)−nν = C2n(d−1−ν) .
∂∆n
∂∆n
− ≥ d − 1, поэтому 2d−1−ν → 0 при n → ∞. Данное рассуждение можно
Но ν >
применить и для неограниченной в окрестности +1 и −1 функции F . Вырежем квадратные
окрестности точек −1 и +1 со стороной 2−k , обозначим эту пару окрестностей через Q и
применим рассуждение к оставшейся области. Обозначим через ∆n объединение квадратов
двоичной сетки со стороной 2−n , имеющих с Γ \ Q общие точки. Получим
∂ξ
∂ξ
∂ξ
∂ξ
F dz dz =
F dz dz +
F dz dz +
F dz dz.
∂z
∂z
∂z
C
∆n
D\(∆n Q)
Q ∂z
3
4d
1
2
Устремим сначала к ∞ величину n; в силу предыдущего рассуждения здесь исчезнут первые
∂ξ
два слагаемых. Затем устремим к ∞ величину k. При этом в силу интегрируемости F ∂z
последний интеграл в сумме устремится к нулю. Тем самым возможность вышеуказанной
замены доказана. Из нее, в частности, вытекает
Теорема 2. Пусть f, g ∈ Hν (∆), Γ ⊂ ∆, ν > 34 dmΓ − 12 . Тогда из равенства сужений этих
∂F
функций на дугу Γ следует равенство соответствующих им интегрирований: ∂F
∂z f = ∂z g.
18
Б.А. КАЦ, Д.Б. КАЦ
Таким образом, интегрирование ∂F
∂z f определяется сужением f на Γ. Если функция f
определена только на Γ, то можно продолжить ее по Уитни и связать с ней интегрирование
∂F
∂f w ω0 ω
F
(5)
f, ω = −
dz dz.
∂z
∂z
C
Разумеется, продолжение f w определяется неоднозначно, но предшествующее теореме 2
рассуждение показывает, что на обобщенную функцию (5) эта неоднозначность не влияет.
Не зависит эта обобщенная функция и от выбора компактифицирующего множителя ω0 ∈
C0∞ , равного единице в некоторой окрестности Γ.
Отметим, что использованная здесь схема построения обобщенных интегрирований по
неспрямляемой дуге предложена в работе [21], но там она была реализована только для
замкнутых кривых и ограниченных функций F . Существуют и другие схемы построения
интегралов по неспрямляемым кривым (обзор — в работе [21]).
2. Преобразования Коши для интегрирований
Теперь рассмотрим преобразования Коши интегрирований ∂F
∂z f , т. е. функции
1 ∂F
1 ∂F
f =
f,
, z ∈ C \ Γ.
C
∂z
2πi ∂z ζ − z
Конечно, обобщенная функция ∂F
∂z f применяется здесь не к ядру Коши, а к его произвеΓ и нулю в
дению на некоторую функцию ω0 класса C0∞ , равную единице в окрестности
f
(z)
на
Γ
и
ее поведеокрестности z. Нас интересуют граничные значения функции C ∂F
∂z
ние в точках ±1 и ∞. Но прежде всего построим аналог классической формулы БореляПомпейю (например, [22]).
Без ограничения общности можно считать, что ω0 = ω1 (1 − ω2 ), где ω1,2 ∈ C0∞ , причем
ω1 обращается в единицу в некоторой окрестности дуги Γ, а ω2 — только в окрестности
точки z. Носитель ω2 содержится в круге |ζ − z| < ε, не пересекающем Γ. Тогда согласно
представлению (5)
1
∂ f w (ζ)ω1 (ζ)(1 − ω2 (ζ))
∂F
f (z) = −
dζ dζ =
F (ζ)
C
∂z
2πi
ζ −z
∂ζ
C
1
∂f w ω1 dζ dζ
∂f w ω1 ω2 dζ dζ
1
+
.
F
F
=−
2πi C
ζ −z
∂ζ ζ − z 2πi
∂ζ
C
Предел второго слагаемого при ε → 0 равен F (z)f w (z)ω1 (z). В этом легко убедиться, применив в нем формулу Стокса в кольце ε > |ζ − z| > η, где η настолько мало, что ω2 равна
единице в круге |ζ − z| ≤ η. Итак,
1
∂f w ω1 dζ dζ
∂F
w
f (z) = F (z)f (z)ω1 (z) −
,
(6)
F
C
∂z
2πi
∂ζ ζ − z
C
где ω1 есть любая функция класса C0∞ , обращающаяся в единицу в окрестности Γ. Это и
есть аналог формулы Бореля–Помпейю.
Интегральный член формулы (6)
∂f w ω1 dζ dζ
1
F
G(z) =
2πi
∂ζ ζ − z
C
представляет преобразование Коши (иначе говоря, потенциал Коши) меры с компактным
w
носителем F ∂f∂ζω1 dζ dζ, и его свойства хорошо известны (например, [22]). Так, если ϕ ∈ Lp
ФУНКЦИЯ СЕГЕ НА НЕСПРЯМЛЯЕМОЙ ДУГЕ
19
имеет компактный носитель, то функция
ϕ(ζ)dζ dζ
1
2πi
ζ −z
C
при p > 2 непрерывна во всей плоскости и удовлетворяет условию Гёльдера с показателем
w
1 − 2p . В нашем случае ∂(f∂ζω1 ) интегрируема в любой степени p < 2−dmΓ
1−ν . Это было установлено в первом разделе (и в [20]). Условие p > 2 выполняется при ν < 12 dmΓ. Заметим, что
1
3
1
1
2 dmΓ ≥ 4 dmΓ − 2 , т. е. при ν > 2 dmΓ выполнены условия теоремы 1.
Функция F ограничена вне любых окрестностей точек ±1. Обозначим через Kε (±1) круги
радиуса ε с центрами в точках ±1 и положим D = supp ω1 \ (Kε (+1) ∪ Kε (−1)). Тогда
∂(f w ω1 ) dζ dζ
1
.
+
+
F
G(z) =
2πi
ζ −z
∂ζ
Kε (1)
Kε (−1)
D
В силу произвольности радиуса третье слагаемое непрерывно и удовлетворяет условию
Гёльдера с показателем 1 − 2p во всей плоскости.
Для оценки первых двух слагаемых воспользуемся неравенством [22]
|dζ dζ|
≤ C|z1 − z2 |α+β−2 ,
α |ζ − z |β
|ζ
−
z
|
1
2
B
где B — любая конечная область, α < 2, β < 2, α + β > 2. Отсюда при малом ε
w ω ) dζ dz w dζ dz ∂(f
∂f
1
=
≤
F (ζ)
F (ζ)
ζ − z Kε (±1)
∂ζ
∂ζ ζ − z Kε (±1)
w p
1/p 1/q
∂f F (ζ) q
≤
≤
|dζ dζ|
|dζ dζ|
Kε (±1) ∂ζ
Kε (±1) ζ − z
w
w
1/q
∂f ∂f dx dy
|z ± 1|3/2−2/q ,
C
≤
C
≤
q/2
q
|ζ − z|
∂ζ Lp
∂ζ Lp
Kε (±1) |ζ ± 1|
где
1
p
+
1
q
= 1. Тогда
3
1
2 1
1
3 2
− = −2 1−
= − >− .
2 q
2
p
p 2
2
Итак, |G(z)| ≤ C|z ± 1|−1/2 вблизи точек ±1. Далее, слагаемое F (z)f w (z)ω1 (z) имеет скачок
F+ (t)f (t) − F− (t)f (t) = 2F+ (t)f (t) на дуге Γ за исключением ее концов. Кроме того, оно ведет себя как |z ±1|−1/2 вблизи точек ±1. Для формулировки полученного результата введем
следующие термины и обозначения. Положим Γ◦ = Γ \ {±1}. Любую связную компоненту
множества {z : |z − t| < r} \ Γ при t ∈ Γ◦ , r < |t ± 1| будем называть нормальной полуокрестностью точки t. Оба слагаемых формулы (6) в любой нормальной полуокрестности
любой точки t ∈ Γ◦ удовлетворяют условию Гёльдера с показателем 1 − 2p , т. е. с любым
показателем, меньшим
2ν − dmΓ
.
(7)
µ=
2 − dmΓ
Будем относить к классу H◦µ (Γ) все голоморфные в C \ Γ функции, удовлетворяющие в
любой нормальной полуокрестности каждой точки t ∈ Γ◦ условию Гёльдера с показателем,
меньшим µ. Итак, справедлива
20
Б.А. КАЦ, Д.Б. КАЦ
Теорема 3. Пусть f ∈ Hν (Γ), ν > 12 dmΓ. Тогда функция C( ∂F
∂z f )(z) голоморфна в C \ Γ,
имеет предельные значения с обеих сторон в каждой точке t ∈ Γ◦ и скачок 2F+ (t)f (t) на
дуге Γ. Она обращается в нуль в точке ∞, удовлетворяет оценкам
1
∂F
f (z) = O(|z ± 1|− 2 )
C
∂z
вблизи точек ±1 и принадлежит классу H◦µ (Γ), где µ определяется формулой (7).
В качестве примера рассмотрим случай f ≡ 1. Простой подсчет на основе формулы (6),
формулы Грина и формулы Коши дает C( ∂F
∂z 1)(z) = F (z).
3. Вспомогательная задача Римана и функция Сеге
Теперь рассмотрим функцию
1
Φ(z) = F −1 (z)C
2
∂F
f
∂z
(z).
(8)
Очевидно, при t ∈ Γ◦
1 −1
1 −1
+ ∂F
− ∂F
(t) + F− (t)C
(t) =
Φ (t) + Φ (t) = F+ (t)C
2
∂z
2
∂z
1
1 −1
+ ∂F
− ∂F
f (t) − C
f (t) = F+−1 (t)2F+ (t)f (t) = f (t),
= F+ (t) C
2
∂z
∂z
2
+
−
причем в окрестностях точек ±1 функция Φ(z) ограничена. Таким образом, эта функция
является ограниченным решением краевой задачи (2). Кроме того, Φ ∈ H◦µ (Γ), где µ определяется равенством (7).
Пусть Φ1 (z) — любое другое ограниченное решение задачи 2) в классе H◦µ (Γ). Рассмотрим
функцию
Ψ(z) := F (z)(Φ(z) − Φ1 (z)).
Она голоморфна в C \ Γ и непрерывна на Γ◦ . Кроме того, в достаточно малой окрестности
любой точки t ∈ Γ◦ она удовлетворяет условию Гёльдера с показателем меньше µ. Если
µ > dmh Γ − 1, где dmh Γ означает хаусдорфову размерность кривой Γ, то согласно теореме
Е.П. Долженко [23] функция Ψ(z) голоморфна во всех точках множества Γ◦ . Но тогда ее
особенности в точках ±1 являются изолированными. Из оценок
Ψ(z) = O(|z ± 1|−1/2 )
вблизи точек ±1 следует, что эти особенности устранимые. Поэтому функция Ψ(z) голоморфна в C и постоянна в силу теоремы Лиувилля. Но Ψ(∞) = 0 и отсюда Ψ ≡ 0. Итак,
при условии
2ν − dmΓ
(9)
dmh Γ − 1 < µ =
2 − dmΓ
функция Φ(z) является единственным ограниченным решением задачи (2) в классе H◦µ (Γ).
Тем самым доказана
Теорема 4. При условии f ∈ Hν (Γ), ν > 12 dmΓ, функция (8) является ограниченным
решением задачи (2). Если, кроме того, выполнено условие (9), то эта функция является
единственным ограниченным решением задачи (2) в классе H◦µ (Γ).
ФУНКЦИЯ СЕГЕ НА НЕСПРЯМЛЯЕМОЙ ДУГЕ
21
Как уже отмечалось, решение краевой задачи Римана на неспрямляемой дуге было впервые построено в работе [11]. Однако там при решении однородной задачи налагалось дополнительное условие, которое в нашем случае приобретает вид
z−1
= O(ln |z ± 1|−1 ), z → ±1,
lnΓ
z+1
а при решении неоднородной задачи — условие
z−1
lnΓ
∼ ln |z ± 1|, z → ±1,
z+1
z−1
означает однозначную ветвь логарифма, выделенную с помощью разреза вдоль
где lnΓ z+1
дуги Γ. Эти ограничения на рассматриваемую дугу означают, что на концах дуги либо не
происходит ее скручивание в спирали, либо это спирали логарифмического типа. Теорема 4 не содержит таких ограничений. Кроме того, в работе [11] рассматривались только
неограниченные решения неоднородной задачи Римана. Таким образом, результат теоремы
4 является новым.
Теперь перейдем к задаче о построении функции Сеге. Будем называть функцией Сеге
голоморфную в C \ Γ функцию S(z), которая удовлетворяет граничному условию
S + (t)S − (t) = ρ(t), t ∈ Γ◦ ,
ограничена и отделена от нуля во всей комплексной плоскости:
C −1 < |S(z)| < C, z ∈ C \ Γ, C = C(S) > 0.
(10)
В силу условия (10) логарифм ln S(z) имеет в C \ Γ однозначную ветвь Φ(z). Будем
считать, что ρ(t) удовлетворяет на Γ условию Гёльдера с показателем ν и не обращается там
в нуль. Тогда ln ρ(t) также имеет однозначную ветвь, принадлежащую Hν (Γ). Обозначим
одну из таких ветвей f (t). Очевидно,
Φ+ (t) + Φ− (t) = f (t) + 2πin, t ∈ Γ◦ ,
где n — не зависящее от t целое число. Получили краевую задачу Римана вида (2). При
условии ν > 12 dmΓ эта краевая задача имеет решение
1 −1
∂F
∂F
1 −1
(f + 2πin) (z) = F (z)C
f (z) + πin.
Φ(z) = F (z)C
2
∂z
2
∂z
Здесь использован пример, приведенный в конце предыдущего раздела.
Следовательно, при том же условии задача о построении функции Сеге разрешима и ее
решениями являются две функции
∂F
1 −1
F (z)C
f (z) .
(11)
S(z) = ± exp
2
∂z
Вопрос о возможности существования других решений решается точно так же, как при
доказательстве предыдущей теоремы.
В итоге получается
Теорема 5. При условиях ρ(t) = 0, ρ ∈ Hν (Γ), ν > 12 dmΓ на дуге Γ существуют две
функции Сеге, отличающиеся друг от друга знаком и определяемые равенством (11). Если,
кроме того, выполнено условие (9), то эти функции лежат в классе H◦µ (Γ), и других
функций Сеге этого класса не существует.
В заключение авторы выражают благодарность профессору Ф.Н. Гарифьянову за ценные
обсуждения.
22
Б.А. КАЦ, Д.Б. КАЦ
Литература
[1] Deift P. Orthogonal polynomials and random matrices: a Riemann–Hilbert approach, Courant Lecture Notes
(New York University, 1999), V. 3.
[2] Deift P., Kriecherbauer T., McLaughlin K.T.-R., Venakides S., Zhou X. A Riemann–Hilbert approach to
asymptotic questions for orthogonal polynomials, J. Comput. Appl. Math. 133, 47–63 (2001).
[3] Kuijlaars A.B.J. Riemann–Hilbert analysis for orthogonal polynomials, in: E. Koelink, W. Van Assche (Eds.),
Orthogonal Polynomials and Special Functions, Leuven 2002, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1817,
Springer, Berlin, 167–210 (2003).
[4] Baratchart L. and Yattselev M. Convergent interpolation to Cauchy integrals over analytic arcs
with Jacobi-type weights, International Mathematics Research Notices, Article ID rnq026, 65 pages.
doi:10.1093/imrn/rnq026 (2010).
[5] Суетин С.П. О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде для гиперэллиптических
функций, Матем. сб. 191 (9), 81–114 (2000).
[6] Аптекарев А.И. Точные константы рациональных аппроксимаций аналитических функций, Матем.
сб. 193 (1), 3–72 (2002).
[7] Aptekarev A.I. and Van Asshe W. Scalar and matrix Riemann–Hilbert approach to the strong asymptotics
of Pade approximants and complex orthogonal polynomials with varying weight, Journal of Approximation
Theory 129, 129–166 (2004).
[8] Гарифьянов Ф.Н. Биортогональные ряды, порожденные группой диэдра, Изв. вузов. Матем., № 4, 11–15
(2001).
[9] Гахов Ф.Д. Краевые задачи (Наука, М., 1977).
[10] Говоров Н.В., Кузнецов Н.К. Об одной нелинейной краевой задаче на разомкнутом контуре, Теория
функций, функ. анализ и их приложения 20, 49–63 (1974).
[11] Кац Б.А. Задача Римана на разомкнутой жордановой кривой, Изв. вузов. Матем., № 12, 30–38 (1983)
[12] Mattila P. and Melnikov M.S. Existence and weak type inequalities for Cauchy integrals of general measure
on rectifiable curves and sets, Proc. Amer. Math. Soc. 120, 143–149 (1994).
[13] Эйдерман В.Я. Мера Хаусдорфа и емкость, связанная с потенциалами Коши, Матем. заметки 63 (6),
923–934 (1998).
[14] Tolsa X., Bilipschitz maps, analytic capacity and the Cauchy integral, Ann. of Math. 162, 1243–1304 (2005).
[15] Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье (Мир, М., 1968).
[16] Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I. Теория
распределений и анализ Фурье (Мир, М., 1986).
[17] Колмогоров А.Н., Тихомиров В.М. ε-энтропия и емкость множеств в функциональных пространствах, УМН 14, 3–86 (1959).
[18] Федер Е. Фракталы (Мир, М., 1991).
[19] Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций (Мир, М., 1973).
[20] Кац Б.А., Задача Римана на замкнутой жордановой кривой, Изв. вузов. Матем., № 4, 68–80 (1983).
[21] Abreu-Blaya R., Bory-Reyes J., Kats B.A. Integration over non-rectifiable curves and Riemann boundary
value problems, J. Math. Anal. Appl. 380 (1), 177–187 (2011).
[22] Векуа И.Н. Обобщенные аналитические фукции (Наука, М., 1988).
[23] Долженко Е.П. О “стирании” особенностей аналитических функций, УМН 18 (4), 135–142 (1963).
Б.А. Кац
профессор,
Казанский (Приволжский) Федеральный Университет,
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия,
e-mail: katsboris877@gmail.com
Д.Б. Кац
студент,
Казанский (Приволжский) Федеральный Университет,
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия,
e-mail: random000@rambler.ru
ФУНКЦИЯ СЕГЕ НА НЕСПРЯМЛЯЕМОЙ ДУГЕ
B.A. Kats and D.B. Kats
The Szegö function on a non-rectifiable arc
Abstract. Let Γ be a simple Jordan arc in the complex plane. The Szegö function, by definition,
is a holomorphic in C \ Γ function with a prescribed product of its boundary values on Γ. The
problem of finding the Szegö function in the case of piecewise smooth Γ was solved earlier. In
this paper we study this problem for non-rectifiable arcs. The solution relies on properties of the
Cauchy transform of certain distributions with the support on Γ.
Keywords: non-rectifiable arc, Riemann boundary value problem, Szegö function, distribution,
Cauchy transform.
B.A. Kats
Professor,
Kazan (Volga Region) Federal University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia,
e-mail: katsboris877@gmail.com
D.B. Kats
Student,
Kazan (Volga Region) Federal University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia,
e-mail: random000@rambler.ru
23
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
13
Размер файла
234 Кб
Теги
дуге, сеге, функции, неспрямляемых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа