close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Характеризация функций из анизотропных пространств комплексного порядка.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 5 (432)
1998
УДК 517.993
А.Н. КАРАПЕТЯНЦ, В.А. НОГИН
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ
ПРОСТРАНСТВ КОМПЛЕКСНОГО ПОРЯДКА
В работе получено описание анизотропных пространств
(1)
Lp;r Lp;r (Rn ) = ff (x) : kf kLp;r kf kr + kF ; (j j1 + + jn jn )Ff kp < 1g;
n
1 < p < 1; 1 r < 1; = ( ; : : : ; n ) 2 C ; Re j > 0; j = 1; : : : ; n;
F | преобразование Фурье, понимаемое в соответствующем смысле. При вещественных j и
r = p пространства (1) совпадают с введенными и исследованными П.И. Лизоркиным (см. [1]{
[4] и [5]) пространствами p-суммируемых функций, имеющих в Lp обобщенные лиувиллевские
производные Dj f , j > 0, j = 1; : : : ; n, по переменным xj соответственно. В случае r 6= p и
= = n = > 0 пространства Lp;r были изучены С.Г. Самко (см. [6], [7] и [8], [9]). В анизотропном случае пространства Lp;r , а также пространства, совпадающие с ними с точностью до
эквивалентности норм, при вещественных j изучались в [10], [11] (см. также [12]{[14], где рассматривалась анизотропность более общего характера). В указанных работах описание класса
Lp;r было дано в терминах гиперсингулярных интегралов (ГСИ), введенных П.И. Лизоркиным
в [3] (и их модификаций).
Интерес, проявленный нами к пространствам Lp;r , j 2 C , обусловлен, в частности, тем,
что они содержат классические пространства бесселевых, риссовых, параболических потенциалов комплексного порядка. Принципиальное отличие случая комплексных j состоит в том,
что для исследования пространств Lp;r неприменимы, вообще говоря, использовавшиеся в [1]{
[11] и традиционные в таких вопросах методы, базирующиеся на технике p-мультипликаторов.
Это связано с необходимостью деления на функцию j j1 + + jn jn , которая в случае комплексных j таких, что jk = Im j Re k ; Im k Re j 6= 0 хотя бы для двух индексов j и k,
имеет нули в Rn , отличные от начала координат (напр., при n = 2 координаты нулей функции j j1 + j j2 в случае 6= 0 находятся из равенств: j j = expf(2k + 1) Re = g,
j j = expf(2k + 1) Re = g, k 2 Z). В частности, для описания классов Lp;r неприменим
метод ГСИ (вообще не ясно, как определить эти конструкции). Здесь используется другой (аппроксимативный) подход, применявшийся ранее при обращении операторов типа потенциала с
Lp -плотностями (см. обзорную статью [15] и имеющуюся там библиографию). В рамках этого
подхода описание дано в терминах условно сходящихся (по Lp -норме) сверточных операторов с
суммируемыми ядрами, выражаемыми через элементарные функции (в отличие от описания в
терминах анизотропных ГСИ при вещественных j ; см. ниже замечание 2).
Будем использовать обозначения:
P" (x) = x2 " "2 , x 2 R , | ядро Пуассона в R ; hf; !i =
R
R
f (x)!(x)dx; (Ff )( ) = n f (x)eix dx | преобразование Фурье функции f (x); (F ; f )(x) =
Rn R
R
;ix d | обратное преобразование Фурье; S = S (Rn ) | пространство Л. Шварца
f
(
)
e
n
Rn
быстро убывающих гладких функций; v , v Rn , | введенный и исследованный в [16]{[19]
1
1
1
1
1
1
2
2
12
1
1
2
12
12
1
1
1
+
1
1
(2
)
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проект Є 94-01-00577-A).
24
(см. также [8], x 3) класс шварцевых функций, исчезающих вместе со всеми своими производными на множестве v; топология в пространстве v задается счетным набором согласованных
сравнимых норм:
k!kN = sup [maxf(1 + jj ) = ; 1=(; v)g]n j(Dk !)()j; N = 0; 1; 2; : : : ;
2
1 2
jkjN
2Rnnv
где (; v) = min
j ; j; v = F ; (v ) | пространство прообразов Фурье функций из v . Если v
2v
| совокупность координатных гиперплоскостей, то будем писать v = , v = ; пространства
, были введены и изучены П.И. Лизоркиным ([1]{[4]). Через BC m = BC m(Rn ) будем обозначать класс функций, ограниченных вместе со всеми своими производными до m-го порядка
включительно. Под z , 2 C , будем понимать главную ветвь (k = 0) многозначной функции
z = expf(ln jz j + i arg z +2ki)g, являющуюся аналитической функцией в плоскости с разрезом
по отрицательной вещественной полуоси.
1
I. Описание пространств Lp;r в терминах аппроксимативных операторов
Пространство Lp;r определим соотношением (1), понимая в нем преобразование Фурье в смысле 0 -распределений. Такое определение корректно, поскольку функция j j1 + + jn jn
является мультипликатором в . Для j 2 C , Re j > 0 и " > 0 положим
R;" (x) = (F ; (j j1 + + jn jn )e;"j1 j;;"jn j )(x):
В силу формулы
Z
1
R;"(jxj) 2 1 jj e;"jj e;ix d = (;( + 1)=2)[(" ; ijxj);; + (" + ijxj);; ]
R
получаем
1
1
1
1
R;"(x) =
n
X
j
Rj ;"(jxj j)
=1
n
Y
k
k6 j
P"(xk ):
1
(2)
=1
=
Нетрудно показать, что R;" (x) 2 L (Rn ). Положим далее
(T" f )(x) = (R;" f )(x):
Основной результат статьи составляет
Теорема 1. Пусть 1 p 2, 1 r 2, Re j > 0. Тогда
Lp;r = ff (x) : f 2 Lr ; T f 2 Lp g;
где
1
Lp
(3)
(4)
T f = "lim
! (T" f )(x):
(5)
Пусть f (x) 2 Lp;r . Покажем, что
(T" f )(x) = (P" ')(x); ' = F ; (j j1 + + jn jn )Ff 2 Lp ;
(6)
(
)
0
Кроме того, kf kLp;r = kf kr + kT f kp .
Доказательство.
1
1
Q
n
где (P" ')(x) =
P"(tk ) ' (x). Положим v = f 2 Rn : j j1 + + jn jn g и для ! 2 v
k
рассмотрим функционал hT" f; !i = hf; R;" !i. Заметим, что R;" ! 2 v ; это следует из того,
1
=1
25
что функция R;" ( ) = (j j1 + + jn jn )e;j1 j;;jn j является мультипликатором в v . С
учетом этого получаем
hT"f; !i = (21 )n hf;e (j j1 + + jn jn )e;"j1 j;;"jnj!e (")i =
e e;"j1 j;;"jn j !
e (")i = h'; P" ! i = hP" '; ! i:
= (21 )n h';
1
1
e !
e ( )=(j j1 + + jn jn )i,
Второе из равенств этой цепочки вытекает из соотношения hf;e !e i = h';
! 2 v . Таким образом, пришли к равенству
(7)
hT"f; !i = hP" '; !i;
справедливому для любой функции ! 2 v . Покажем, что (7) справедливо для ! 2 S , откуда и
будет следовать (6). Выберем последовательность !k 2 v , аппроксимирующую функцию ! 2 S
по норме Lr0 и Lp0 одновременно. Возможность такой аппроксимации функции из S функциями
из v , где v | произвольное множество нулевой меры и r0 ; p0 2, установлена в [17]{[19] (в
нашем случае соотношение mes v = 0 очевидно). Переходя в равенстве hT" f; !k i = hP" '; !k i к
пределу при k ! 1, убеждаемся в справедливости (7) на функциях из S . На основании (6)
заключаем, что
Lp
lim
T f = ' 2 Lp :
"! "
Пусть теперь f (x) 2 Lr , T f 2 Lp . Для ! 2 имеем
1
(
)
0
Lp
hT f; !i = "lim
! T" f; ! = "lim
! hT" f; !i = "lim
! hf; R;" !i =
(
)
0
0
0
1
n ;"j1 j;;"jn j !
e
e ( )i =
= (21 )n "lim
! hf; (j j + + jn j )e
= (21 )n hf;e (j j1 + + jn jn )!e ( )i = hF ; (j j1 + + jn jn )Ff; !i: (8)
Второе из равенств этой цепочки следует из того, что сходимость в Lp влечет сходимость в 0,
предпоследнее | из того, что, как легко показать, e;"j1 j;;"jn j !e ( ) ;;!
!e ( ) в топологии .
"!
Таким образом, hF ; (j j1 + + jn jn )Ff; !i = hT f; !i, ! 2 , откуда следует, что f 2 Lp;r и
F ; (j j1 + + jnjn )Ff = T f .
Содержащееся в теореме 1 условие сходимости аппроксимативных операторов можно заменить условием равномерной ограниченности Lp -норм интегралов T" f . Именно, справедлива
Теорема 2. Пусть 1 < p 2, 1 r 2, Re j > 0. Тогда Lp;r = ff (x) : f 2 Lr ; sup kT" f kp <
">
1g. При этом kf kLp;r = kf kr + sup kT"f kp .
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
">
2 Lp;r ,
0
Доказательство. Если f
то, как было ранее показано, имеет место равенство (6), в
котором ' = T f . Отсюда следует
sup kT" f kp kT f kp :
(9)
">
Пусть f 2 Lr и sup kT" f kp < 1. Тогда существует такая подпоследовательность "k , что
">
Lp
Lp
f = ' 2 Lp , где W -lim
W -"lim
T
означает слабый предел в Lp . Заменив в цепочке выкладок
k! "
Lp
Lp
(8) lim на W -lim, получаем соотношение hF ; (j j1 + + jn jn )Ff; !i = h'; !i, из которого
следует, что f 2 Lp;r .
0
0
(
)
(
)
(
)
0
(
)
1
26
1
Далее имеем kT" f kp sup kT" f kp , откуда предельным переходом при " ! 0 получаем
">
kT f kp sup kT"f kp. Отсюда и из (9) следует kT f kp = sup kT" f kp.
0
">
">
0
0
Замечание 1. В случае, когда j > 0, j = 1; : : : ; n, приведенные выше теоремы справедливы
при 1 p; r < 1 (p 6= 1 в теореме 2). Доказательство этого факта аналогично доказательству
теорем 1, 2 с учетом того, что пространство v = , построенное по совокупности координатных
гиперплоскостей, плотно в Lp , 1 < p < 1 (см. [2]).
Упомянутое выше описание пространств Lp;r в терминах ГСИ имеет вид
Замечание 2.
Lp;r = ff (x) : f 2 Lr ; D f 2 Lp g; 1 < p < 1; 1 r < 1; j > 0;
(10)
где
D f
=
Z
((t l f )(x)=n
n
2
Lp Z
(t))dt lim
l f )(x)=n (t))dt
((
t
"! t >"
(
R
2
0
| анизотропный ГСИ П.И. Лизоркина. В (11)
n
P
)
+
( )
=
1
(11)
+
1
n
P
ni
=1
i ,
1
(t) | неявная функция, явля-
ющаяся решением уравнения xi ; i = 1, i = i , l = max j . Содержащееся в теореме
j 2 ;n
i
1 описание пространств Lp;r (при вещественных j ) является более эффективным в том смысле, что ядра операторов T" выражаются явно и через элементарные функции. Однако оно
не обладает такой конструктивностью, как описание (10): если f (x) | \достаточно хорошая"
функция, то предел в (11) равен интегралу по Rn ; в то же время вопрос о том, существует ли
предел "lim
! (T" f )(x) и чему он равен, требует специального исследования. Такое исследование
проведено ниже в п. II, в котором по существу речь идет о конструктивности описания (4).
2
1
2
2
=1
1
0
II. Сходимость аппроксимативных операторов на \хороших" функциях
Здесь будет доказано существование предела "lim
(T" f )(x), x 2 Rn , на функциях f (x) класса
!
BC m, m maxf[Re ]; : : : ; [Re n]g. Для такихRфункций f (x), следуя ([8], с. 86; [9], (26.67)), введем регуляризацию расходящегося интеграла fjtxj1+;ekkt dt, ek | координатный орт, равенством
0
1
(
)
R1
p. f.
Z
f (x ; ek t) dt = Z f (x ; ek t) ; (t)Pt;k
jtj k
R1
R1 jtj k
[Re
1+
k (x)
]
1+
]
Xk0
[Re
+
s
=0
k ]
P
dt +
(
@ s f (x); = 2; s четное,
(12)
s
s! (s ; k ) @xsk
0; s нечетное;
s
;t @ s f (x), (t) | характеристическая функция интервала (;1; 1),
где Pt;k k (x) =
s @xsk
s
штрих у суммы означает пропуск слагаемого с номером s = Re k в случае, когда k | целое число.
m
Теорема 3. Пусть f (x) 2 BC , m maxf[Re ]; : : : ; [Re n ]g. Тогда предел lim(T" f )(x)
">
существует для 8x 2 Rn и имеет место равенство
[Re
]
[Re
=0
(
)
s
!
1
lim(T f )(x) =
"! "
0
n
X
j
27
(J j f )(x);
=1
0
8
>
>
>
<
>
>
>
:
;(j + 1) cos j
J j f (x) =
Доказательство.
(T" f )(x) =
n
X
j
j
i @x@
j
f (x);
+1)
Z
p. f.
2
f (x ; ej t) dt; 6= 2; 4; : : : ;
j
R1 jtj j
j = 2; 4; : : :
1+
Интеграл (T" f )(x) запишем в виде
Z
n
n
jt j Y
" f (x ; t)dt = X
j dt
R
(J"j f )(x);
j "
j n;1
j
R1
R k tk + "
j
Z
1
n; "
1
=1
(
j
2
1+
2
k6 j
(13)
=1
=1
=
tj = (t ; : : : ; tj; ; tj ; : : : ; tn );
1
1
+1
j
j
n
где Rj (jtj) = Rj ; (jtj). Покажем, что "lim
! (J" f )(x) = (J f )(x), x2 R , откуда и будет следовать
утверждение теоремы. Пусть вначале j 6= 2; 4; : : : Интеграл (J" j f )(x) представим в виде
1
0
(J"j f )(x) =
Z
Z
jt j 1
j
= n; " j 1 Rj " dtj
1
+ n; 1"
1
Rn;1
R
1+
Z
1+
n
Y
j jtj j<
1
Rj jt"j j dtj
Z
k
k6 j
=1
=
1
j
tk + 1 [f (xj ; tj ; xj ; "tj ) ; (tj )Ptj ;j (xj ; xj ; "tj )]dtj +
[Re
]
2
n
Y
Rn;1 k=1
k6=j
1 P j (x ; x ; "t )dt (J j f )(x) + (J j f )(x);
j j
j j
;"
;"
tk + 1 tj ;j
[Re
]
1
2
2
где обозначено f (x) = f (xj ; xj ). Рассмотрим интеграл (J ;"j f )(x). Нетрудно видеть, что
1
1 R jtj j ;;! ;(j + 1) cos j
" j j " "!
(
+1)
1+
и, кроме того,
jtj j; ;j
(14)
1
2
0
n
Z
Y
"; ;j Rj jt"j j n;1 t 1+ 1 [f (xj ; tj ; xj ; "tj ) ; (tj )Ptj ;j j (xj ; xj ; "tj )]dtj R k
k
[Re
1
]
2
k6 j
=1
=
(
; ; j
C jtj j;f j g ; jtj j > 1; (15)
jtj j
; jtj j 1;
1
Re
Re
где C не зависит от ". Переходя на основании (15) к пределу под знаком интеграла (по dtj ) в
(J ;"j f )(x), с учетом (14) получаем
1
lim(J ;"j f )(x) =
"!
;(j + 1) cos j
(
1
0
+1)
f (x ; ej t) ; (tj )Ptj ;j j (x)
dtj :
jtj j j
R1
Z
2
[Re
1+
Обратимся теперь к (J ;"j f )(x). Если Re j 6= 2; 4; : : : ; то в силу
2
k < Re j и
R
tj
Re
jtj j<
1
j R
j
(J ;"j f )(x) = ; n1;
2
jtj j dt
j
"
= 0 при нечетных Re j получаем
]
Xj0 Z
[Re
1
s
=0
]
R
j j)dtj = 0 для
tj Rj ( tj
R1
k
Z
n
jt j Y
(;t)sj
1 @ s f (x ; x ; "t )dt :
j
R
dt
j
j j
j j
jtj j> s! " j j "
Rn;1 k tk + 1 @xsj
1
2
1+
k6 j
=1
=
28
(16)
Переходя в правой части последнего равенства к пределу под знаком интеграла, с учетом (14)
имеем
;( + 1) cos
lim(J ;"j f )(x) = ; j
"!
0
j
(
]
Xj0
+1) [Re
2
2
s
=0
@ s f (x):
s! (j ; s) @xsj
s
(17)
Если же Re j = 2; 4; : : : ; Im j 6= 0, то, интегрируя по частям, имеем
Z
2;(j + 1) cos j @ j
1
j
lim
t Rj ;" (jtj j)dtj = ; i Im (Re )! @x
f (x);
"! (Re j )! jtj j<
j
j
j
откуда, как и при Re j 6= 2; 4; : : : , получаем (17). Из (16), (17) следует утверждение теоремы
при j 6= 2; 4; : : :
Остается рассмотреть случай j = 2; 4; : : : Проинтегрировав (J"j f )(x) из (13) по частям j
раз, будем иметь
Z Y
n
j 1
1
@
j
(J" f )(x) = n n t + 1 i @x f (x ; "t)dt:
R k
j
k
(
Re
0
+1)
Re
2
1
2
=1
@
j
Переходя в этом равенстве к пределу при " ! 0, получаем "lim
! (J" f )(x) = i @xj
0
j f (x).
Литература
1. Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и функциональные пространства Lrp (En ). Теоремы вложения // Матем. сб. { 1963. { Т. 60. { Є 3. { С. 325{353.
2. Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов
в теории вложений классов дифференцируемых функций // Тр. Матем. ин-та АН СССР. {
1969. { Т. 105. { С. 89{167.
3. Лизоркин П.И. Описание пространств Lrp (Rn ) в терминах разностных сингулярных интегралов // Матем. сб. { 1970. { Т. 81. { Є 1. { С. 79{91.
4. Лизоркин П.И. Операторы, связанные с дробным дифференцированием, и классы дифференцируемых функций // Тр. Матем. ин-та АН СССР. { 1972. { Т. 117. { С. 212{243.
5. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. { М.:
Наука, 1983. { 480 с.
6. Самко С.Г. О пространствах риссовых потенциалов // Изв. АН СССР. Сер. матем. { 1976.
{ Т. 40.{ Є 5. { С. 1143{1172.
7. Самко С.Г. Пространства Lp;r (Rn ) и гиперсингулярные интегралы // Studia math. { 1977. {
T. 61. { Є 3. { S. 193{220.
8. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. { Ростов-на-Дону: Изд-во Рост.
ун-та, 1984. { 208 с.
9. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. { Минск: Наука и техника, 1987. { 688 с.
10. Давтян А.А. Пространства анизотропных потенциалов. Приложения // Тр. Матем. ин-та
АН СССР. { 1986. { Т. 173. { С. 113{124.
11. Емгушева Г.П., Ногин В.А. Характеризация функций из анизотропных классов лиувиллевского типа // Изв. вузов. Математика. { 1989. { Є 7. { С. 63{66.
12. Dappa H., Trebels W. On L criteria for quasi-radial Fourier multipliers with applications to some
anisotropic function spaces // Anal. math. { 1983. { V. 9. { Є 4. { P. 275{289.
13. Dappa H., Trebels W. On hypersingular integrals and anisotropic Bessel potential spaces // Trans.
Amer. Math. Soc. { 1984. { V. 286. { Є 1. { P. 419{429.
1
29
14. Хамидова Т.А. Гиперсингулярные интегралы и пространства анизотропных риссовых потенциалов. { Ростовск. ун-т. { Ростов-на-Дону, 1988. { 22 с. { Деп. в ВИНИТИ 27.12.88,
Є 9067-B.
15. Samko S.G. Inversion theorems for potential type integral transforms in Rn and on S n; // Integral
transforms and special functions. { 1993. { V. 1. { Є 2. { P. 145{163.
16. Samko S.G. Denseness of the spaces v of Lizorkin type in the mixed Lp (Rn )-spaces // Studia
math. { 1995. { T. 113. { Є 3. { S. 199{210.
17. Самко С.Г. Об основных функциях, исчезающих на заданном множестве, и о делении на
функции // Матем. заметки. { 1977. { Т. 21. { Є 5. { С. 677{689.
18. Самко С.Г. О плотности в Lp (Rn ) пространств v типа Лизоркина // Матем. заметки. {
1982. { Т. 31. { Є 6. { С. 855{865.
19. Самко С.Г. О плотности пространств v типа Лизоркина в пространствах Lp (Rn ) со
смешанной нормой // Докл. РАН. { 1991. { Т. 319. { Є 3. { С. 567{569.
1
Ростовский государственный
университет
Поступила
10.06.1996
30
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
209 Кб
Теги
пространство, характеризация, функции, комплексного, порядке, анизотропные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа