close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Характеристики многоканальной системы массового обслуживания.

код для вставкиСкачать
УДК 519.872
И. Н. Валеев
ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Ключевые слова: система массового обслуживания, вероятность ожидания, вероятность
отказа, время ожидания.
В данной статье рассматривается обобщенная модель двух известных
систем массового обслуживания: многоканальной системы и системы с отказами. Для данной модели построен граф состояний и выведены основные
характеристики этой модели.
Key words: multichannel queuing system, probability of waiting, probability of failure, waiting
time.
In this article the generalized model of two known queuing systems is
examined: multichannel system and system with refuses. For this model the count of
the states is built and basic descriptions of this model are shown out.
В данной работе разработана новая многоканальная модель систем массового обслуживания. Данная модель является обобщенной моделью двух известных моделей систем массового обслуживания (СМО): многоканальной модели (M/M/m) и многоканальной
модели с отказами (M/M/m/0). Проведена полная математическая формализация данной
модели, получены в общем виде формулы для вероятностных, числовых и временных характеристик. Данная модель является усложнением модели, описанной в [1]. Смысл данной модели заключается в том, что у нас имеется два типа обслуживающих устройств – m1
и m2, и имеется два потока заявок с интенсивностями 1 и 2 :
– 1-й тип – заявки, которые обслуживаются при любых обстоятельствах, независимо от наличия свободных обслуживающих устройств и количества заявок, ожидающих обслуживания в очереди. При чем заявки первого типа могут обслуживаться как устройствами группы m1, так и m2;
– 2-й тип – заявки, которые обслуживаются только при наличии свободного обслуживающего устройства и никогда не становятся в очередь, при этом заявки данного типа
обслуживаются только устройствами группы m1. В случае, если на момент поступления в
систему очередной подобной заявки в системе не оказывается свободного обслуживающего устройства группы m1 , данная заявка покидает систему необслуженной. Граф данной
модели показан на следующем рисунке.
Принятые обозначения:
i – средняя интенсивность соответствующего потока заявок
 – средняя интенсивность обслуживания заявок одним обслуживающим устройством


   2
  1  2 , 1  1 , 2  2 ,    1
 1  2




329
1+2
1+2
0
1
m1
…

m1
3
2
2
m1+1
(m1+1) 
…
2
2
m2
m2 
m2+1
…
m2 
m2 
Рис. 1 - Граф состояний многоканальной модели с отказами
Допуская, что все потоки заявок являются простейшими (Пуассоновскими), получим общие зависимости для различных характеристик СМО.
Вероятностные характеристики
Вероятность простоя системы (нулевого состояния):
1
p0 
2 m1
m1m
2
2 m1E  ;m  1  
em11     m1 E1  2 ;m1  1  m

1 2
2
2

m  1! m   
2
2
2

i
– неполная экспонента/
i0 i!
где em11     
m11
– функция Миттаг-Леффлера первого порядка
i0 Г  m1  1  i 
Вероятности состояний СМО:
 i
 p0 , 0  i  m1
 i!
 iim1
pi   2 p0 , m1  i  m2
 i!
 ii2m1
p0 , m 2  i
 im2
 m2 m2 !
Вероятность отказа в обслуживании вновь прибывшей заявке:
2 m1p

m1m
1  m1 
m2 m1
0
2

pотк   p0 E1  2 ;m1  1  2
E1  2 ;m2  1 


  m  1 !  m    
 
2
2
2 

E1  2 ;m1  1  
Относительная пропускная способность:
q  1  pотк
Абсолютная пропускная способность:
A  q
Вероятность ожидания обслуживания заявкой в очереди:
2 m1
m1m

2
pожид  2
p0
  m2  1 !  m2  2 
Числовые характеристики
Среднее число требований, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов).
330



2 m1E  ;m
m2 pожид  m1p0 E1  2 ;m1   m
1 2
2 .
2
2
Среднее число требований в очереди (средняя длина очереди).
 pожид2
l 
 2  m2  2 
Среднее число требований в системе:


2

k  p0 em12     pожид  m2 




m
2




2
2


n  p0 em12    


2 m1E  ;m
m1p0 E1  2 ;m1   m
1 2
2 .
2
Временные характеристики
Среднее время обслуживания заявки одним каналом:
n 1
tобсл  
A 
Среднее время ожидания обслуживания заявкой в очереди:
pожид
tожид 
q   m2  2 
А дисперсия данной величины примет следующий вид:
2q  pожид
ожид 
p
2 ожид
q2  m2   2 
Функция распределения времени ожидания обслуживания заявкой в очереди:
1  m  t
Fожид  t   1  e  2 2  pожид .
q
Плотность распределения времени ожидания обслуживания заявкой в очереди:

 m  t
fожид  t    m2  2  e  2 2  pожид .
q
Среднее время пребывания заявки в системе:
p
 q  m 2  2 
.
t сист  ожид
q  m2   2 
Результаты данных исследований могут быть использованы для прогноза производительности ряда применяемых на практике систем массового обслуживания для выбора
структуры системы на стадии её проектирования.
Литература
1. Валеев, И.Н. Многоканальная система массового обслуживания с отказами / И.Н. Валеев, А.П.
Кирпичников // Вестник Казан. технол. ун-та. – 2006. – №4. – С. 66-70.
______________________________________________
© И. Н. Валеев – ст. препод. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КГТУ, vildarn@mail.ru.
331
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
13
Размер файла
208 Кб
Теги
массового, обслуживание, система, многоканальный, характеристика
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа