close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Целые решения эллиптических уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
9(2)/2014
УДК 517.946
© В.В. Кибирев
ЦЕЛЫЕ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В данной работе доказаны 2 теоремы о целых решениях задачи Коши для эллиптических уравнений второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Ключевые слова: задача Коши, гармонические функции, порядок и тип целой функции двух комплексных переменных.
V.V. Kibirev
INTEGER SOLUTIONS FOR ELLIPTIC EQUATIONS
OF THE SECOND ORDER WITH CONSTANT COEFFICIENTS
In this article 2 theorems on integer solutions of Cauchy problem for elliptic equations of second order with
constant coefficients have been proved.
Keywords: Cauchy problem, harmonic functions, order and type of integer function of two complex variables.
Введение
Классическая теорема Коши–Ковалевской дает существование и единственность решения задачи
Коши для дифференциального уравнения о частных производных с аналитическими коэффициентами. Однако существование решения гарантируется только в малом. Здесь будет изучаться задача Коши для одного узкого класса уравнений, но решение будет получено и целом. Решение в целом получается за счет того, что уравнение рассматривается в комплексном пространстве.
Постановка задачи
Рассмотрим целую гармоническую функцию U, удовлетворяющую условию
U
z
 0. Пусть
z0
  x  iy ,   x  iy , f – целая функция двух комплексных переменных. Будем изучать рост функции U в зависимости от переменной z. Фиксируем  и  , тогда в круге
K ( R ) : z  R ,   0 ,   0  радиуса R функцию U можно представить следующим образом:
U z  0  f ( , ) , где
f (t , )
1
z2
U ( , , z )  
F (1,1; ;
)ddt ,
 
2 (t   )(   )
4 2   (t   )(  )
1 2
1
где 1 и
2
– окружности
(1)
1
t  R ,   R , а F ( 1,1; ; h ) – гипергеометрическая функция Гаусса.
2
Покажем, что целая гармоническая функция U по переменной z имеет порядок, не превосходящий
порядка целой функции U (  , ,0 ) , а также, что и тип функции U по z не превосходит типа целой
функции двух комплексных переменных
U (  , ,0 ) .
Доказательства основных теорем
Положим, M ( f , R ) 
sup f (  ,
) ,   R1 ,   R1 , z  Rz1 .
 R ,  R
Тогда из формулы (1) имеем
76
В.В. Кибирев. Целые решения эллиптических уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
q1 (  , )
M ( f , R ) 2 2
U ( 1 ,1 , z1 ) 



i
i
4 2
(
e


)(
e


)
0 0
1
1
1
z1
 F ( 1,1; ; i 
)d  d  ,
2 ( e   1 )( e i    1 )
где
q1 ( , ) 
Очевидно, имеем
ei (  )
f (Rei , Rei ).
M ( f , R)
max q1(  , )  1. Функция
1
v1 (1 ,1 , z1 )   2
4
2 2
q1 ( , )
  (e    )(e    ) 
i
0 0
i
1
1
2
1
1
z
 F (1,1; ; i
) d d
2 (e  1 )(ei  1 )
является целой гармонической функцией, поэтому для нее можно написать интегральное представление (1), в котором интегрирование ведется по множеству
t  R   ,   R   , где  –
произвольное положительное число.
Положим,
W ( f )  max v( 1 ,1 , z1 ,
K(1)
где K ( 1 ) – круг
z1  1, , а 1
и
1 фиксированы. Из интегрального представления (1) для функции
U следует, что имеет место оценка
W ( f )  V ( )
M ( f ,R  )
,
M ( f , R)
(2)
 . Из (1) и (2) следует оценка
M ( U , R )  V (  )M ( f , R   )
где V ( ) – константа, зависящая только от
(3)
для
M ( U , R )  max U (  , , z ,
K( R )
Порядком и типом целой функции f называются следующие числа соответственно
  lim
R  
ln ln M ( f , R)
,
ln R
  lim
R
ln M ( f , R)
R
.
Ниже мы выразим порядок и тип функции U по переменному z через числа
Из неравенства (3) имеем:

и

.
ln ln M (U , R)
ln{ln V ( )  ln M ( f , R)}
 lim

R
R
ln R
ln R
ln V ( )
ln[1 
]
ln ln M ( f , R   ) ln( R   )
ln M ( f , R   )
 lim {


}
R 
ln( R   )
ln R
ln R
ln ln M ( f , R   )
 lim

R 
ln( R   )
lim
Таким образом, целая гармоническая функция U по переменной z имеет порядок, не превосходящий порядка целой функции U (  , ,0 ) . Аналогично можно показать, что и тип функции U по z не
77
ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
9(2)/2014
превосходит типа целой функции двух комплексных переменных U (  , ,0 ) . Следовательно, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Для всякой целой функции f (  , ) существует целая гармоническая функция U,
удовлетворяющая условиям U
 f ( , ),
z 0
U
z
 0.
z 0
Порядок и тип функции U по переменной z не превосходят порядка и типа функции
f (  , )  U (  , ,0 ) .
Рассмотрим целое решение W уравнения
(4)
w  w  0 ,   const .
Для всякой целой функции f (  , ) существует целое решение W этого уравнения, удовлетворяющее условиям
W
 f (  , ),
z 0
W
Z
 0.
(5)
z 0
Причем это решение дается формулой
W ( , , z )  U ( , , z ) 
где U – гармоническая функция, а
z 
2
1

0
J1 ( z t )
U ( , , z 1  t )dt
t (1  t )
J1 – функция Бесселя. Из (6) имеем
z 
max w(  , , z )  max u(  , , z ) { 1  max
K( R )
(6)
K( R )
K( R )
1

2
j1( z t )
t( 1  t )
0
dt }
.
(7)
Так как
2m
m
z   t
z t 
J1( z t ) 
,
 ( 1 ) m
2 m0
m! ( m  1 )!4 m
то имеем
z 
2
z
J1( z t 
2
2


z
2m

m
tm
m 0 m!( m  1 )!4
m
.
Поскольку
1
1 m 1

t 2 ( 1  t ) 2 dt

0
1
1
( )( m  )
2 ,
 2
m!
то из (7) получим
M ( W , R )  M (U , R )  K(  , R )
,
(8)
полагая
M ( W , R )  max w(  , , z ) ,
K( R )
1
1

(
)

(
m

) 

2
2
K(  ,R )  1 
( R 2 )m .

2
4 m 0 ( m! ) ( m  1 )! 4
R2 
Из (8) следует, что порядок функции W не превосходит наибольшего из порядков функции U и
K (  , R ) . Порядок функции K (  , R ) равен
1
, поэтому имеем следующую теорему:
2
78
В.В. Кибирев. Целые решения эллиптических уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
Теорема 2. Пусть W – целое решение уравнения (4), удовлетворяющее условию
порядок функции W (  , ,0 ) равен
 , то
W
z
 0 . Если
z 0
порядок W ( , , z ) по z не превосходит числа
1
1  max(  , )
2
Замечание.
Более
общее
уравнение
с
постоянными
коэффициентами
u  au x  bu y  cu z  u  0
подстановкой
1
u  v exp[  ( ax  by  cz )]
2
сводится к уравнению
1
v  [   ( a 2  b 2  c 2 )] v  0 .
4
В этом случае в теореме число 1 заменяется на число  2  max(  ,1 ) .
Порядок по z целых решений уравнения с постоянными коэффициентами не зависит от абсолютных величин коэффициентов c и  и не превосходит  2 , если c  0 , а если c  0 , но
1
  ( a2  b2 )  0 ,
4
то он не превосходит
1 .
Величины коэффициентов а, в, с и

влияют
только на тип решения.
Заключение
Итак, в данной работе показано, что для всякой целой функции f (  , ) существует некоторая
гармоническая функция U, порядок и тип которой не превосходит порядка и типа функции двух комплексных переменных.
Литература
1. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. – 204 с.
2. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1950.
436 с.
3. Фукс Б.А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. М.:
Наука, 1962. 420 с.
4. Янушаускас А. К задаче Коши для уравнения Лапласа с тремя независимыми переменными // Сиб. матем. Журнал. 1975. Т.16, №6. С.1352–1363.
5. Янушаускас А. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Сиб. матем. журнал. 974. Т. 15,
№6. С. 1394-1405.
Кибирев Владимир Васильевич, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, тел. (8301-2)217573, e-mail: dekanat_imi@bsu.ru
Kibirev Vladimir Vasilevich, candidate of physical and mathematical sciences, professor, applied mathematics department, Buryat State University.
79
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
309 Кб
Теги
решение, уравнения, постоянный, эллиптическая, коэффициента, порядке, второго, целым
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа