close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Численные методы на адаптивных сетках для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений в области с криволинейной границей.

код для вставкиСкачать
2003
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 1 (488)
УДК 519.632
Г.И. ШИШКИН
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НА АДАПТИВНЫХ СЕТКАХ ДЛЯ
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В ОБЛАСТИ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕЙ
В области D с криволинейной границей рассматривается краевая задача для сингулярно
возмущенных эллиптических уравнений реакции-диффузии. Классические разностные схемы
для такой задачи сходятся лишь при условии " N1;1 + N2;1 , где " | возмущающий параметр,
величины N1 и N2 определяют число узлов сетки по осям x1 и x2 . Исследуются схемы на прямоугольных сетках, локально сгущающихся в окрестности пограничного слоя в том случае, когда
ориентация шаблона разностной схемы в области сгущения не зависит от направления нормали
к границе. Показано, что в классе классических разностных аппроксимаций задачи на адаптивных \кусочно-равномерных" сетках (сгущающихся в слое) не существует схем, сходящихся
"-равномерно и даже при условии " P ;1 , где P | число узлов сеточной области. Таким
образом, для построения схем, сходящихся на D при условии " P ;1 , использование сеток,
подстраивающихся в погранслое к криволинейной границе, является необходимым. Строятся
схемы, сходящиеся на D при более слабом условии, накладываемом на ", чем в случае традиционных разностных схем, а также "-равномерно сходящиеся схемы, однако сходящиеся вне
пограничного слоя и на достаточно узких множествах, \пересекающих" пограничный слой.
1. Введение
При исследовании процессов тепло-массообмена в средах с малыми коэффициентами теплопроводности/диффузии возникают краевые задачи для сингулярно возмущенных уравнений в
частных производных (с возмущающим параметром " | коэффициентом "2 при старших производных уравнений). Решения таких задач при малых значениях параметра " имеют особенности
типа пограничных слоев.
Ошибки решений хорошо известных численных методов существенно зависят от величины
параметра " и могут быть большими при малых значениях ". Таким образом, актуальной является проблема разработки специальных численных методов для сингулярно возмущенных задач
в областях произвольной формы. При разработке таких методов широко используются сгущающиеся в погранслоях сетки, адаптирующиеся к границе области; шаг таких \анизотропных"
сеток в направлении нормали к границе области зависит от величины параметра " и для фиксированного числа узлов сеточной области стремится к нулю при " ! 0 (см., напр., [1]{[4] и
библиографию там же).
Весьма привлекательными являются сеточные методы на локально сгущающихся в окрестности погранслоя (априорно, либо апостериорно) \изотропных" сетках | сетках, близких в
области сгущения к прямоугольным, имеющих соизмеримый шаг по всем направлениям и сохраняющих форму шаблона разностной схемы вне зависимости от поведения границы. Такие
сетки часто применяются при уточнении сеточных решений в численных методах на основе
апостериорно адаптирующихся сеток.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(код проекта 01-01-01022).
74
В данной работе рассматриваются разностные аппроксимации для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений реакции-диффузии в области с криволинейной границей. При
построении схем используются локально сгущающиеся сетки на шаблонах, ориентация которых не связана с нормалью к границе. Строятся и исследуются разностные схемы, сходящиеся
при условии, накладываемом на параметр ", более слабом, чем в случае традиционных разностных схем. Обсуждаются проблемы, связанные с построением "-равномерно сходящихся схем на
указанных сетках.
2. Постановка задачи. Обоснование исследований
1. В области
DR
(2.1)
с криволинейной границей ; = D n D рассмотрим краевую задачу для сингулярно возмущенного
эллиптического уравнения реакции-диффузии
Lu(x) "
2
X
s=1;2
2
@
as (x) @x ; c(x) u(x) = f (x); x 2 D;
s
2
2
u(x) = '(x); x 2 ;:
(2.2а)
(2.2б)
Коэффициенты и правая часть уравнения, а также граничная функция удовлетворяют условиям 1
0 < a0 as (x) a0 ; 0 < c0 c(x) c0 ; x 2 D; s = 1; 2;
jf (x)j M; x 2 D; j'(x)j M; x 2 ; ;
параметр " принимает произвольные значения из полуинтервала (0; 1]. Граница области и функции as (x), c(x), f (x), x 2 D, '(x), x 2 ; , предполагаются достаточно гладкими. При стремлении
параметра " к нулю в окрестности границы ; появляется пограничный слой.
2. Ошибки решений классических разностных схем при использовании в качестве базовых
прямоугольных сеток зависят от величины параметра " и становятся малыми лишь при значениях параметра ", существенно превышающих \эффективный" шаг сетки. Так, согласно оценкам
(4.3), (4.5) классические разностные схемы (4.2), (4.1) и (4.2), (4.4) (см. x 4 ниже) сходятся при
условии
" N1;1 + N2;1 ;
(2.3)
где величины N1 и N2 определяют число узлов сеток по переменным x1 и x2 соответственно.
При нарушении этого условия сеточные решения не сходятся к решению краевой задачи (2.2),
(2.1).
Для задачи (2.2), (2.1) с использованием классических аппроксимаций краевой задачи и локально сгущающихся прямоугольных сеток требуется построить разностные схемы, сходящиеся
"-равномерно, либо схемы, близкие к таковым. В частности, представляют интерес схемы, сходящиеся при условии более слабом, чем условие (2.3).
О содержании работы. Классическая разностная схема при использовании прямоугольных
сеток, являющихся прямым произведением сеток по x1 и x2 , рассматривается в x 4. В x 5 обсуждаются проблемы, связанные с построением "-равномерно сходящихся схем на локально
сгущающихся прямоугольных сетках | адаптивных сетках, не согласованных с границей. Для
1
Здесь и ниже через M , Mi (через m) обозначаются достаточно большие (соответственно малые)
положительные постоянные, не зависящие от " и от параметров разностных схем. Запись L(j:k) (соответственно M(j:k) Dh(j:k) ) означает, что эти операторы (соответственно постоянные, сетки) введены в
формуле (j:k ).
75
таких сеток в x 6 строятся схемы, сходящиеся на всей области D при условии более слабом,
чем условие (2.3), а также "-равномерно сходящиеся схемы, однако сходящиеся вне пограничного слоя, а также на достаточно узких множествах, пересекающих пограничный слой. В x 7
рассмотрена "-равномерно сходящаяся (на всей области D) схема на сетках, подстраивающихся
к границе в окрестности пограничного слоя. Априорные оценки, используемые в построениях,
приведены в следующем разделе.
3. Априорные оценки
Приведем априорные оценки решения краевой задачи (2.2), (2.1), используемые при построениях (см., напр., [1], а также [2]{[4]).
Решение задачи представим в виде суммы функций
u(x) = U (x) + V (x); x 2 D;
(3.1)
где U (x) и V (x) | регулярная и сингулярная части решения.
Для функций u(x); U (x); V (x) получаются оценки
@ k u(x) M";k ;
(3.2)
@xk1 xk2
@ k U (x) M;
@xk1 xk2
jV (x)j M exp(;m "; r); x 2 D; k 4;
где r = r(x; ; ) | расстояние от точки x до множества ; , m | произвольная постоянная из
интервала (0; m ), m = min[a; (x)c(x)] = .
1
2
1
2
1
0
0
1
D
1
1
1 2
В -окрестности границы ; , где m, выполняется оценка
@ k Ve () M";k1 exp ; ; m "; r(; ;e );
@k1 k2
e
2 D;
r(; ;e) m; k 4; m = m : :
1
1
1
2
1
(3.3)
1(3 2)
Здесь = (x) | ортогональная система координат, связанная с границей ; ; 1 | переменная
вдоль нормали к границе ; ; Ve ( ) = V (x( )); De и ;e | образы множеств D и ; ; 1 = r(; ;e ).
l+ (D ), ' 2 C l;1+ (; ), ; 2 C l;1+ , s = 1; 2, l = 6, > 0. ТоТеорема 3.1. Пусть as ; c; f 2 C
гда для решения краевой задачи (2:2), (2:1) и его компонент из представления (3:1) справедливы
оценки (3:2), (3:3).
4. Классическая разностная схема
Выпишем классическую разностную схему для задачи (2.2), (2.1) и обсудим некоторые трудности, возникающие при численном решении задачи, когда параметр " достаточно мал.
1. Рассмотрим простейшую монотонную разностную схему из ([5], c. 218). Пусть на R2 введена
(базовая) сетка
Dh = ! ! ;
(4.1а)
где !s | сетка на оси xs , вообще говоря, неравномерная, s = 1; 2; считаем выполненным условие
h MN ;1 . Здесь h = max
h , h = max
hi , hi = xis+1 ; xis, xis ; xis+1 2 !s , N = min
Ns , Ns + 1 |
s s s
s
i s s
минимальное число узлов сетки !s на отрезке единичной длины. На D введем сетку
;
;
Dh = Dh [ ;h ; Dh = Dh Dh(2)(4:1а) = Dh Dh(2)(4:1а); D(2:1) ;
(4.1б)
(2)
1
76
2
где Dh = D \ Dh(2) , множество ;h образовано пересечением прямых xs = xis , x3;s 2 R, s = 1; 2,
проходящих через узлы сетки Dh(2) , с границей ; .
Задачу (2.2), (2.1) аппроксимируем разностной схемой ([5], c. 221)
z (x) "
2
X
s=1;2
as (x)xs xsb ; c(x) z(x) = f (x); x 2 Dh;
(4.2)
z(x) = '(x); x 2 ;h :
Здесь xs xsb z (x) | вторая (центральная) разностная производная на неравномерной сетке, например, x1 xb1 z (x) = 2(hi1 + hi1;1 );1 [x1 z (x) ; x1 z (x)], x = (xi1 ; x2 ) 2 Dh , x1 z (x) и x1 z (x) |
первые разностные производные (вперед и назад).
Для разностной схемы (4.2), (4.1) справедлив принцип максимума ([5], c. 228).
Принимая во внимание априорные оценки решения краевой задачи, находим оценку
ju(x) ; z(x)j M (" + N ; ); N ; ; x 2 Dh : :
(4.3)
Dh = Dh(Dh );
(4.4)
1
1
1
(4 1)
В случае сетки
(2)
где Dh(2) | равномерная прямоугольная сетка, имеем оценку
ju(x) ; z(x)j M (" + N ; ); N ; ; x 2 Dh : :
(4.5)
Из рассмотрения модельных задач вытекает, что схемы (4.2), (4.1) и (4.2), (4.4) не сходятся
"-равномерно.
2. Обсудим условия, при которых решение разностной схемы сходится при N ! 1 и " ! 0,
где " ! 0 при N ! 1.
Введем ряд определений. Пусть z (x), x 2 Dh , | решение некоторой разностной схемы. Скажем, что оценка
ju(x) ; z(x)j M [(" + N1;1);11 N1;1 + (" + N2;1);21 N1;2 ]; x 2 Dh;
где i ; i1 0, неулучшаема по вхождению величин N1 , N2 , ", если оценка
1
2
2
(4 4)
ju(x) ; z(x)j M [(" + N ; ); N ; + (" + N ; ); N ; ]; x 2 Dh;
вообще говоря, неверна при выполнении условия ;i i , i i , причем + ; ; >
+ ; ; . В случае, когда найдется функция N ; ; N ; , сходящаяся к нулю "-равномерно
при N ! 1, такая, что выполняется оценка
ju(x) ; z(x)j M min[("; N ; ; "; N ; ); 1]; x 2 Dh;
где > 0 | некоторая постоянная, будем говорить, что схема сходится с дефектом O("; ).
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
Если же величина может быть сколь угодно малой, будем говорить, что схема сходится почти
"-равномерно (с дефектом сходимости O("; )). При = 0 схема сходится "-равномерно.
Оценки (4.3), (4.5) неулучшаемы по вхождению величин N , ". В силу неулучшаемости оценок
(4.3) и (4.5) порядок дефекта схем (4.2), (4.1) и (4.2), (4.4) неулучшаем и равен единице. Эти
схемы сходятся при условии N1;1 ; N2;1 ":
"; = o(N ); "; = o(N ):
(4.6)
Условие (4.6) является необходимым и достаточным для сходимости схем (4.2), (4.1) и (4.2),
(4.4).
1
1
1
77
2
Теорема 4.1. Пусть для решения краевой задачи (2:2), (2:1) и его компонент из представления (3:1) выполняются априорные оценки (3:2), (3:3). В случае разностных схем (4.2), (4.1)
и (4.2), (4.4) условие (4:6) является необходимым и достаточным для сходимости сеточных
решений к решению краевой задачи (2:2), (2:1) при N ! 1 и " ! 0; дефект сходимости схем
есть O(";1 ). Для сеточных решений выполняются оценки (4:3), (4:5); оценки неулучшаемы по
вхождению величин N , ".
5. О построении
"-равномерно
сходящихся схем
на локально сгущающихся сетках
Заметим, что особенность типа пограничного слоя при удалении от границы ; экспоненциально убывает с показателем экспоненты m";1 r(x; ; ) (см. последнюю оценку в (3.2) и оценку
(3.3)). Сингулярная компонента V (x) из (3.1) при r(x; ; ) не превосходит величины M,
где | достаточно малое число, когда = m;1 1 " ln ;1 , m1 = m1(3:2) . Невязка для разностной
схемы на решении краевой задачи велика (однако "-равномерно конечная) лишь в окрестности
погранслоя, являющейся достаточно узкой при малых значениях параметра ".
Обсудим проблемы, возникающие при построении "-равномерно сходящихся схем.
1. Имея в виду использование схем на локально сгущающихся сетках при решении краевой задачи, введем некоторые характеристики схем (сеток). Через P (объем сеточной задачи)
обозначим число узлов сетки на D, в которых требуется найти сеточное решение. В случае
локально сгущающихся сеток будет удобно оценивать сходимость сеточных решений через величину P ;1=n , где n = 2 | размерность пространства.
В случае сеток (4.1) для величины P выполняется оценка
mN N P MN N :
1
2
1
2
Для решений схемы (4.2) на сетках (4.1) и (4.4) имеем оценки
ju(x) ; z(x)j M min["; (N ; + N P ; ); 1]; x 2 Dh : ;
ju(x) ; z(x)j M min["; (N ; + N P ; ) ; 1]; x 2 Dh : :
1
2
1
1
1
1
1
1
(4 1)
1 2
1
(4 4)
Будем говорить, что распределение узлов сетки по x1 и x2 сбалансировано (или короче |
сетка сбалансирована), если на ней достигается оптимальный при фиксированном значении
параметра " порядок скорости сходимости. Схему на сбалансированной сетке будем также называть сбалансированной.
Для решений схемы (4.2) на сбалансированных сетках (4.1) и (4.4) получаются оценки
ju(x) ; z(x)j M (" + P ; = ); P ; = ; x 2 Dbh : ;
ju(x) ; z(x)j M (" + P ; ); P ; ; x 2 Dbh : ;
1 2
2
1
1
1
1 2
1
(4 1)
(4 4)
(5.1)
(5.2)
где Dbh | сбалансированная сетка. Дефект сходимости схем (4.2), (4.1) и (4.2), (4.4) относительно
величины P 1=2 на сбалансированных сетках есть величина O(";1 ) (для несбалансированных
сеток дефект больше). Эти схемы сходятся при условии P ;1=2 ":
"; = o(P = ):
1
1 2
(5.3)
Это условие является необходимым и достаточным для сходимости схем.
2. Рассмотрим класс разностных схем, основанных на классических аппроксимациях краевой
задачи в случае \кусочно-равномерных" сеток, а именно, на локально сгущающихся сетках,
являющихся равномерными в ближайшей окрестности границы ; и вне некоторой несколько
большей окрестности. Сетки, вообще говоря, не согласованы с границей области.
78
Для простоты пусть x1 + x2 = 0 есть уравнение границы ; в единичном круге (с центром
в точке (0; 0)) и область D содержит часть круга, для которой x1 + x2 0. Пусть каким-то
образом построена сетка
Dh = Dh( );
(5.4)
где 1 > 0 | параметр, выбираемый ниже, который определяет распределение узлов сетки (5.4).
Эта сетка равномерна на каждом из множеств D1 = D1 (1 ) и D2 = D n D1 (M1 ), где
D1(1 ) = fx : r(x; ; ) < 1 g
T
| 1 -окрестность множества ; ; 1 4;1 . Сетки Dih = Di Dh(5:4) имеют шаг his по оси xs ;
i; s = 1; 2. Для простоты считаем, что шаблоны пятиточечных схем с центром шаблона из Dih
являются
правильными, т.е. их левые и правые, а также верхние и нижние плечи одинаковы и
равны h1(i) и h(2i) соответственно, i = 1; 2.
Рассмотрим фрагменты сеточной задачи из класса разностных схем на сетках (5.4), а именно,
фрагменты на множествах D1h и D2h . Пусть zi (x), x 2 Dih , | решение задачи
(4:2) zi (x) = f (x); x 2 Dih ;
(5.5)
zi (x) = u(x); x 2 ;ih; i = 1; 2;
1
где u(x), x 2 D, | решение задачи (2.2), (2.1).
Для функций zi (x), x 2 Dih , имеем оценки
ju(x) ; z (x)j M [(" + h ); (h ) + (" + h ); (h ) ]; x 2 D h ;
ju(x) ; z (x)j M f[(" + h ); (h ) + (" + h ); (h ) ] max
jV (x)j + (h ) + (h ) g; x 2 D h;
;h
1
2
(1)
1
(1) 2
1
2
(2)
1
2
(1)
2
(2) 2
1
(2)
2
(2) 2
1
2
(1) 2
2
2
2
1
(5.6а)
(2) 2
2
(2) 2
2
2
(5.6б)
где V (x) = V(3:1) (x) | сингулярная компонента решения; оценки (5.6а) и (5.6б) неулучшаемы
(1)
(2)
(2)
по вхождению величин h(1)
1 , h2 , " и h1 , h2 , " соответственно.
Анализ ошибок u(x) ; zi (x), x 2 Dih , при 1 " показывает, что для сбалансированных схем
не существует кусочно-равномерных сеток Dh(5:4) , на которых решения задач (5.5) сходятся "равномерно к решению задачи (2.2), (2.1). В случае задач (5.5), (5.4) не существует сеток, на
которых дефект сходимости есть O(";1=2 ). Подобное поведение ошибок для сеточных решений
сохраняется и в случае семейства сеток
Dh;
(5.7)
являющихся прямоугольными и равномерными в -окрестности конечного участка границы ; ,
где = ("; P ), причем ";1 ! 1 при P ! 1.
Теорема 5.1. Для краевой задачи (2:2), (2:1) в классе сбалансированных разностных схем,
строящихся на основе классических аппроксимаций краевой задачи на локально сгущающихся
сетках вида (5:7) (не согласованных с границей ; ), не существует "-равномерно сходящихся
схем; более того, не существует схем, дефект сходимости которых есть O(";1=2 ).
;1 ":
Замечание 1. Условие P
"; = o(P );
(5.8)
вообще говоря, не достаточно для сходимости схемы, если сетка не согласована с границей
области.
1
79
Замечание 2. Как следует из приведенных построений, использование локально сгущающихся сеток не позволяет существенно ослабить условие (4.6) сходимости классических разностных схем. Применением достаточно общих локально сгущающихся сеток, однако не согласованных с границей, невозможно уменьшить уже в два раза порядок = 1 дефекта сходимости
классических схем.
Замечание 3. Для построения "-равномерно сходящихся на D разностных схем на основе
классических аппроксимаций краевой задачи использование сеток, ориентация шаблонов которых в погранслое согласована с направлением нормали к границе области, является необходимым. Более того, такие согласованные сетки необходимо использовать и для построения схем,
сходящихся при условии не слабее, чем (5.8).
6. Разностные схемы на сетках, не согласованных с границей
Как следует из результатов x 5, разностные схемы на прямоугольных сетках, в том числе
локально сгущающихся, в случае, когда сетки не согласованы с границей, не позволяют получать решения, сходящиеся "-равномерно на всей сеточной области Dh . В этой связи возникает
проблема построения разностных схем, сходящихся "-равномерно на подмножествах из D, в
частности, на \сечениях" множества D | на связных подмножествах, проходящих через пограничный слой.
1. Рассмотрим область сходимости разностной схемы (4.2), (4.4). Пусть v(x), x 2 D, | достаточно гладкая функция. Через vh (x), x 2 Dh , где Dh = Dh(4:1) , обозначим решение задачи
(4:2) z (x) = f (x); x 2 Dh ;
z(x) = v(x); x 2 ;h ;
где f (x) = L(2:2) v(x).
Для компонент U h (x), V h (x), x 2 Dh , отвечающих компонентам U (x), V (x), x 2 D, из представления (3.1), имеем оценки
jU (x) ; U h(x)j M [N1;2 + N2;2]; x 2 Dh;
(6.1)
jV (x)j
;1 ;1
;1 ;1
jV h(x)j M [exp(;m1(" + N1 ) r1) + exp(;m2(" + N2 ) r2)]; x 2 Dh;
где rs = rs (x; ; ) | расстояние, измеряемое вдоль оси xs , между точкой x и множеством ; ,
s = 1; 2; m1 , m2 | достаточно малые постоянные, m1 ; m2 < 2;1=2 m1(3:2) . Из оценок (6.1) вытекает
"-равномерная сходимость решений схемы (4.2), (4.4) вне 1 {окрестности множества ;
ju(x) ; z(x)j M [N1;2 + N2;2]; x 2 Dh; r(x; ; ) 1;
(6.2)
где
1 = 1("; N1 ; N2 ) = minfM1 [(" + N1;1 ) ln N1 + (" + N2;1 ) ln N2 ]; mg;
(6.3)
;
1
;
1
M1 = 2(m1 + m2 ); mi = mi(6:1) :
При условии " ln;1 N1 + ln;1 N2 , N1 ; N2 ! 1 величина 1 стягивается к нулю.
2. Построим разностную схему, сходящуюся при условии более слабом, чем условие (5.3).
Через z0 (x), x 2 Dh ; обозначим решение задачи (4.2), (4.4). Пусть
D1
(6.4а)
| 1 -окрестность множества ; ; 1 = 1(6:3) . На множестве D1 строим равномерную прямоугольную сетку
D1h = D(4:1б) (Dh(2) ; D1 );
(6.4б)
80
(2)
где Dh(2)(6:4б) | равномерная сетка с шагом h(2)
s по оси xs , определяемым соотношением h1 =
h(2)
= 11=2 N1;1=2 N2;1=2 . Заметим, что для числа узлов сетки D1h выполняется оценка P (D1h ) 2
MN1 N2 .
На сетке D1h решаем задачу
(4:2) z1 (x) = f (x); x 2 D1h ;
(
T
(6.4в)
'
(
x
)
;
x
2
;
;;
1h
z1 (x) =
z0 (x); x 2 ;1h n ;;
где z 0 (x), x 2 D, | некоторый интерполянт, строящийся по значениям z0 (x), x 2 Dh . При
построении z 0 (x) минимальный многоугольник D(hm) , содержащий узлы сетки Dh , разбивается
прямыми x1 = xi1 и x2 = xj2 , (xi1 ; xj2 ) 2 D(2)
h(4:4) на ячейки. На прямоугольных ячейках функция
z 0 (x) есть билинейный интерполянт. Непрямоугольные ячейки триангулируются. Функция z 0 (x)
на таких треугольных ячейках является линейной. Так построенные билинейные и линейные
функции z 0 (x) продолжаются на ближайшие \криволинейные" элементы из множества D n D (hm).
Функция z 0 (x) непрерывна на D.
Функцию
)
(
z
x
2
D
1h ;
1 (x);
; x 2 Dh;
(6.4г)
z (x) =
z0(x); x 2 Dh(4:4) n D1
где
[
Dh = D1h fDh(4:4) n D1 g;
(6.4д)
назовем решением разностной схемы (4.2), (4.4), (6.4).
Для решения этой схемы получается оценка
ju(x) ; z(x)j M ;" + N ; N ; (N ; ln N + N ; ln N ); "N ; N ; (ln N + ln N ) + N ; N ; (N ; ln N + N ; ln N ); x 2 Dh : (6.5)
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
На сбалансированной сетке Dhb имеем оценку
ju(x) ; z (x)j M (";2 + P ;3=2 ln P );1 ["P ;1 ln P + P ;3=2 ln P ]; x 2 Db;
(6.6)
где P | число узлов сетки Dhb . Для сбалансированной схемы (4.2), (4.4), (6.4) дефект сходимости схемы есть O(";2=3 ln1=3 ";1 ). Схема сходится при условии P ;1=2 "2=3 ln;1=3 ":
"; = o(P = ln; = P )
(6.7)
| более слабом, чем условие (5.3). Условие (6.7) неулучшаемо; при нарушении его схема (4.2),
(4.4), (6.4) на сбалансированных сетках, вообще говоря, не сходится.
Теорема 6.1. Пусть выполняется условие теоремы 4:1. В случае разностной схемы (4.2),
(4.4), (6.4) на сбалансированных сетках условие (6:7) является необходимым и достаточным
для сходимости сеточного решения к решению краевой задачи (2:2), (2:1); дефект сходимости
схемы есть O(";2=3 ln1=3 ";1 ). Для сеточных решений выполняются оценки (6:5), (6:6); оценка
(6:6) неулучшаема по вхождению величин P , ".
3. Построим разностную схему, сходящуюся "-равномерно на некотором подмножестве из
D, проходящем через пограничный слой. Для простоты будем считать, что в единичном круге,
имеющем центром точку (0; 0), расположенную на границе ; , единичная (внутренняя) нормаль
1
3 4
81
1 2
к границе n = n(x) = (n1 ; n2 ) удовлетворяет условию n1 m0 . На множестве D из единичного
круга рассмотрим множества
D и D
| соответственно - и 2; -окрестности оси x ; здесь
= ("; N ; N ) = min[m; 4m; " ln N ]; m = m
1
2
2
2
1
2
1
2
1
N , N определяют число узлов сетки Dh
1
(6.8а)
0
2
2
2
:
(4 1а)
1
1
:
1(3 2)
;
(6.8б)
, N = min[N1 ; N2 ]. Пусть
Dh = ! !
1
(6.8в)
2
| кусочно-равномерная сетка на плоскости R2 ; шаг сетки !2 постоянен и равен h2 = 2 N2;1 , шаг
сетки !1 постоянен при x1 < и при x1 > и равен h(1)
= 4N1;1 и h(2)
= 2N1;1 соответственно;
1
1
;
1
2 ;1=2
= ("; N1 ; N2 ) = min[m; 3 + m0(1 ; m0 ) 2 ], 3 = min[m; 2m1 " ln N1 ]. На множестве D2(6:8а)
строим сетку
D h = Dh
2
:
(4 1б)
(Dh(6:8в) ; D2(6:8а) ):
(6.8г)
Краевую задачу (2.2) на множестве D2 аппроксимируем разностной схемой
(4:2) z2 (x) = f (x); x 2 D2h ;
(
T
'
(
x
)
;
x
2
;
;;
2h
z2(x) =
z0 (x); x 2 ;2h n ;;
(6.8д)
где z0 (x), x 2 Dh , | решение задачи (4.2), (4.4).
Далее введем функцию
z(x) =
(
z (x); x 2 D h ;
z (x); x 2 Dh : n D
2
0
где
)
2
(4 4)
[
Dh = D h fDh
2
:
(4 4)
2
; x 2 Dh ;
(6.8е)
n D g;
2
которую назовем решением разностной схемы (4.2), (4.4), (6.8).
Заметим, что функция (6.8е), вообще говоря, не сходится "-равномерно на Dh , однако сходится "-равномерно на подмножестве Dh0 из Dh , где
Dh = D
0
0
[
fD
2
:
(2 1)
nD
\
:
1(6 4а)
g Dh:
(6.9)
С использованием техники работы [1] устанавливается оценка
ju(x) ; z(x)j M [N ; ln N + N ; ln N ]; x 2 Dh :
1
2
2
1
2
2
2
2
0
(6.10)
Теорема 6.2. Пусть выполняется условие теоремы 4:1. Тогда решение разностной схемы
(4.2), (4.4), (6.8) сходится на множестве Dh0(6:9) "-равномерно. Для сеточного решения справедлива оценка (6:10).
Замечание. \Суммарная" ширина всех перемычек, соединяющих внешность погранслоя с
границей, на которых можно достичь "-равномерную сходимость сеточных решений, стремится
к нулю при " ! 0.
82
7. Разностные схемы на шаблоне,
подстраивающемся в погранслое к границе области
В [1] в случае областей с криволинейной границей построены схемы, сходящиеся "-равномерно. При построении схем исходная область разбивалась на перекрывающиеся подобласти.
Подходящей заменой координат граница области (на подобласти разбиения) переводилась в
прямую (в случае двумерной области) и строилась прямоугольная кусочно-равномерная сетка, сгущающаяся в погранслое. Таким образом, локально сгущающаяся сетка подстраивалась
к границе на m-окрестности границы ; . Получающаяся сеточная задача решалась методом
Шварца. Недостатком таких разностных схем является необходимость использования итераций
при решении сеточных задач.
Представляют определенный интерес безытерационные разностные схемы, сходящиеся "равномерно. Приведем такую схему.
1. Решение задачи (4.2), (4.4) на множестве Dh nD1(6:4а) сходится "-равномерно с оценкой (6.2).
Чтобы уточнить решение задачи в погранслое, построим на D1(6:4а) согласованную с границей
сетку и соответствующую разностную схему.
В D1 каждой точке x соответствует некоторое расстояние до границы ; | величина r(x; ; ) и
длина дуги (по контуру границы ; ) от некоторой фиксированной точки до основания нормали (к
границе), проходящей через точку x, | величина l(x). Перейдем в D1 к переменным X = X (x):
X = r(x; ; ); X = l(x):
1
(7.1)
2
В этих переменных граница ; переходит в прямую. Вторая часть границы множества D1 , а
именно, множество ;1 n ; также переходит в прямую. Считаем, что множество D1 достаточно
узкое и система (7.1) разрешима относительно x1 , x2 . Через X ;1 (x) обозначим отображение,
обратное X (x).
Для функций v(x), W (X ) и подобластей D0 D1 будем использовать обозначения
v(x(X )) = vX (X ) = fv(x)gX ; W (X (x)) = WX ;1 (x);
DX = X (D ) = fX : X ; (x) 2 D g:
0
Полагаем
0
1
0
De X ;1 = X ; (De ) = fx : X (x) 2 De g;
1
где De | некоторое подмножество из R2 такое, что De X ;1 D1 . Множество D1X есть вертикальная полоса.
Задача (2.2), (6.4а), имеющая вид
Lu(x) = f (x); x 2 D ;
8
<'(x);
x 2 ; T;;
u(x) = : u (x); x 2 ; n ;;
1
1
(7.2)
1
где u (x) | решение задачи (2.2), (2.1) при x 2 ;1 n ; , в новых переменных переходит в задачу
LX U (X ) = F (X ); X 2 D X ;
(
T
(
X
)
;
X
2
;
;X ;
X
U (X ) = U (X ); X 2 ; X n ;X :
1
1
1
83
(7.3)
P
P
2
+
Bs(X ) @X@ s . Коэффициенты
Здесь LX "2 L2X + L0X , L0X = ;C (X ), L2X Ask (X ) @Xs@@X
k
s=1;2
s;k=1;2
Ask , Bs определяются по формулам
@
@
@
@
Ask (X ) = a (x) @x Xs @x Xk + a (x) @x Xs @x Xk ; s; k = 1; 2;
X
@
@
Bs(X ) = a (x) @x Xs + a (x) @x Xs ; s = 1; 2:
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
U ,
2
2
2
2
X
Функции C , F , ,
U определяются соотношением V (X ) = vX (X ). Задача (7.3) является
периодической на множестве D1X с периодом l0 .
На множестве D1X строим равномерную сетку
D1Xh = !1X 1 !1X 2 ;
(7.4)
где !1X 1 и !1X 2 | сетки по переменным X1 и X2 с шагом hX 1 = 1 NX;11 и hX 2 = l0 NX;21 соответственно. Для задачи (7.3) строим разностную схему
X Z (X ) "
2
X
s=1;2
+
Ass (X )Xs Xcs + [A (X )(X
+
12
X
1
;
X 2 + X 1 X 2 ) + A12 (X )(X 1 X 2 + X 1 X 2 )] +
[Bs+ (X )Xs + Bs;(X )Xs ] ; C (X ) Z (X ) = F (X ); X 2 D1Xh ; (7.5)
s=1;2
(
T
Z (X ) = (X ); X 2 ;1Xh ;X ;
Z 0 (X ); X 2 ;1Xh n ;X ;
где Z 0 (X ) = fz 0 (x)gX , z0 (x), x 2 Dh , | решение задачи (4.2), (4.4).
Возвращаясь к переменным x = (x1 ; x2 ), получаем разностную схему
z (x) = f (x); x 2 D1XhX ;1 ;
(
T
'
(
x
)
;
x
2
;
;;
1XhX ;1
z(x) =
z0 (x); x 2 ;1XhX ;1 n ;:
Заметим, что сетка
D XhX ;1
1
(7.6)
(7.7)
| сетка на D1 , вообще говоря, не является ни прямоугольной, ни равномерной.
Введем функцию
(
)
z
x
2
D
(7:6) (x);
1XhX ;1 ;
(7.8)
z (x) =
; x 2 Dh ;
z0 (x); x 2 Dh(4:4) n D1
где
[
Dh = D1XhX ;1 Dh(4:4) n D1 ;
которую назовем решением разностной схемы (4.2), (4.4), (7.6), (7.7).
Заметим, что разностная схема (4.2), (4.4), (7.6), (7.7), аппроксимирующая краевую задачу
(2.2), (2.1), является безытерационной. При ее построении используются локально в области
погранслоя сгущающиеся сетки; шаблон схемы (сетка) подстраивается к границе области.
2. Рассмотрим схему (4.2), (4.4), (7.6), (7.7). Для простоты будем предполагать выполненным
условие
a1(x) = a2(x) = a(x); x 2 D; r(x; ; ) m;
(7.9)
84
т. е. коэффициенты при вторых производных в уравнении (2.2а) в m-окрестности границы ;
одинаковы.
Заметим, что схема (7.4), (7.5) (схема (7.6), (7.7)) | схема на девятиточечном шаблоне,
вообще говоря, не является монотонной. Условие
A11 (X )(hX 1 );1 ; jA12 (X )j(hX 2 );1 )
0; X 2 D1Xh ;
(7.10)
A22 (X )(hX 2 );1 ; jA12 (X )j(hX 1 );1
является достаточным для "-равномерной монотонности схемы (7.4), (7.5). Это условие будет
выполняться, например, в том случае, когда величина m в 1(6:3) (1 определяет множество
D1(6:4а) ) достаточно мала. Далее предполагаем выполненным условие (7.10).
Для простоты полагаем
NX 1 = NX 2 = N;
(7.11)
где NXs = NXs (7:4) . С использованием техники мажорантных функций (см., напр., [1]) устанавливается оценка
ju(x) ; z(x)j MN ;2 ln2 N; x 2 Dh:
(7.12)
Таким образом, разностная схема (4.2), (4.4), (7.6), (7.7) при условиях (7.9){(7.11) сходится
"-равномерно.
Теорема 7.1. Пусть выполняется условие теоремы 4:1, а также условие (7:9). Тогда решение разностной схемы (4.2), (4.4), (7.6), (7.7) при условии (7:10) сходится (при N1 ; N2 ; NX 1 ; NX 2 !
1) "-равномерно. При дополнительном условии (7:11) для сеточных решений справедлива оценка (7:12).
Литература
1. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. { Екатеринбург: УрО РАН, 1992. { 233 c.
2. Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. Fitted numerical methods for singular perturbation
problems. { Singapore: World Scientic, 1996. { 166 p.
3. Roos H.-G., Stynes M., Tobiska L. Numerical methods for singularly perturbed dierential equations :
convection{diusion and ow problems. { Berlin: Springer-Verlag, 1996. { 348 p.
4. Farrell P.A., Hegarty A.F., Miller J.J.H., O'Riordan E., Shishkin G.I. Robust computational
techniques for boundary layers. { Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2000. { 254 p.
5. Самарский А.А. Теория разностных схем. { М.: Наука, 1989. { 616 c.
Институт математики и
механики Уральского отделения
Российской Академии наук
Поступила
30.10.2001
85
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа