close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Эквивалентность путей относительно действия симплектической группы.

код для вставкиСкачать
2002
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 7 (482)
УДК 512.7:514.7
К.К. МУМИНОВ
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПУТЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ДЕЙСТВИЯ
СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ
Введение
Пусть V | неприводимое аффинное алгебраическое многообразие, G | алгебраическая
группа, регулярно действующая на V , fxi g и fyi g | две конечные системы точек в V , i =
1; n. Одной из важных задач теории инвариантов является нахождение условий, при которых
системы fxi g и fyi g G-эквивалентны (т. е. yi = xi g, i = 1; n, для некоторого g 2 G). В [1]{[3]
указывается способ решения этой задачи, для реализация которого необходимо
a) установление конечной порождаемости кольца G-инвариантных многочленов систем конечного числa точек;
b) описание рационального базиса поля G-инвариантных рациональных функций систем
конечного числа точек и базисных соотношений между ними.
Решение задач а) и b) позволяет описывать условия для G-эквивалентности систем конечного числа точек в терминах G-инвариантных рациональных функций.
Аналогичная ситуация возникает и при рассмотрении следующей важной задачи дифференциальной геометрии кривых. Пусть V | гладкое многообразие, G | группа Ли, гладко действующая на V , x и y | две гладкие кривые в V . Необходимо найти условия, обеспечивающие
G-эквивалентность кривых x, y. Эта задача в более общей постановке (для пары подмногообразий) была поставлена Э. Картаном в начале ХХ века и известна в настоящее время как проблема
эквивалентности Картана. Глубокое исследование этой проблемы методом подвижного репера
проведено самим Э. Картаном [4].
Развитие методов теории инвариантов позволяет активно использовать их в решении указанной задачи дифференциальной геометрии как для пары кривых, так и для конечных систем
кривых. Для этой цели рассматриваются и изучаются дифференциальные поля всех дифференциальных G-инвариантных рациональных функций конечной системы кривых и для них решаются задачи типа а) и b). Этот подход рассматривался в работах [5], [6] для действия некоторых
специальных групп и подробно обсуждался в [7]. В данной работе решаются аналогичные задачи для действия симплектической группы (часть результатов этой работы была анонсирована
в [8]).
Далее используются терминология и обозначения из [1], [7], [9], [10].
1. Эквивалентность путей для действия симплектической группы
Пусть V = C 2n | 2n-мерное векторное пространство над полем комплексных чисел C .
Элементы из V представляем в виде 2n-мерных вектор-строк. Пусть GL(2n; C ) | группа всех
обратимых линейных преобразований V , а G = Sp(2n; C ) = fg 2 GL(2n; C ) : gIgT = gT Ig = I g
27
| ее симлектическая подгруппа, где
2 0 1 : : : 0 03
66;1 0 : : : 0 077
I = 66: : : : : : : : : : : : : : : :77 :
4 0 0 : : : 0 15
0 0 : : : ;1 0
Рассмотрим правое действие (g; x) ! xg группы G в V , т. е. обычное умножение строки на
матрицу.
Путем x(t), t 2 (0; 1), назовем бесконечно дифференцируемое отображение x интервала (0; 1)
в V.
Два пути x(t) и y(t) называются G-эквивалентными, если существует такой элемент g 2 G,
что x(t)g = y(t) для любого t 2 (0; 1).
Функция f от x(t) и конечного числа ее производных называется G-инвариантной, если ее
значения для G-эквивалентных путей совпадают.
Если x = (x1 ; x2 ; : : : ; x2n ), y = (y1 ; y2 ; : : : ; y2n ) | произвольные элементы из V то xIy обозначим через [x; y], т. е. [x; y] = x1 y2 ; x2 y1 + x3 y4 ; x4 y3 + + x2n;1 y2n ; x2n y2n;1 | кососимметрическое произведение векторов x, y.
В теории инвариантов при изучении G-эквивалентности конечных множеств точек важную
роль играют понятия G-инвариантного многочлена и G-инвариантной рациональной функции
от координат точек. Аналогичные понятия вводятся и в случае, когда координаты векторов из
V являются бесконечно дифференцируемыми функциями.
Рассмотрим множество всех путей в V , т. е. множество векторов x(t) = (x1 (t); : : : ; x2n (t)), где
xi (t) являются бесконечно дифференцируемыми функциями на интервале (0; 1), i = 1; : : : ; 2n.
Производной r-го порядка от пути x(t) назовем вектор (xr)(t) = (x(r1)(t); : : : ; x(r2)n (t)).
Для каждого пути x(t) можно рассмотреть 2n 2n-матрицу M (x), в которой r-строкой
служат координаты вектора (r;x1). Определитель матрицы M (x) будем записывать в виде
[x; x0 ; x00 ; : : : ; (2nx;1)]. В дальнейшем будут рассматриваться только регулярные пути, т. е. такие
пути x(t), для которых [x; x0 ; x00 ; : : : ; (2nx;1)](t) 6= 0 при всех t 2 (0; 1). Заметим, что два пути
x(t) и y(t) являются G-эквивалентными в том и только том случае, когда M (y) = M (x)g для
некоторого g 2 G.
Рассмотрим кольцо C fxg = C fx1 ; : : : ; x2n g всех многочленов от счетного числа переменных
x1 ; : : : ; x2n ; x01 ; : : : ; x02n ; : : : ; x(r1); : : : ; x(r2)n; : : : , и положим d((xri)) = (rx+1)
i . Ясно, что d можно однозначно продолжить до дифференцирования в кольце C fxg, наделяя это кольцо структурой дифференциального кольца (d-кольца) [10]. Элементы этого d-кольца называются d-многочленами
(дифференциальными многочленами). Известно [10], что дифференцирование d на C fxg единственным образом продолжается до дифференцирования на соответствующее поле отношений. Это поле будем называть d-полем (или дифференциальным полем) и обозначать через
C hxi = C hx1 ; : : : ; x2n i, а его элементы будем называть d-рациональными функциями и будем записывать в виде f hxi = f hx1 ; : : : ; x2n i, где x = (x1 ; : : : ; x2n ) | 2n-мерный d-переменный вектор.
Действие группы G на 2n-мерный d-переменный вектор x ([7], с. 21) и его производные (xr)
определим как умножение (xr) справа на матрицу g 2 G: (xr)g, где r 2 N [ f0g = Z0+.
d-рациональная функция f hxi называется G-инвариантной, если f hxgi = f hxi при любом
g 2 G.
Известно, что множество всех G-инвариантных d-рациональных функций, обозначаемое через C hxiG , является дифференциальным полем относительно индуцированного дифференцирования из C hxi [3].
28
Дифференциальное кольцо всех G-инвариантных дифференциальных многочленов будем
обозначать через C fxgG .
Говорят, что система элементов A = fai ; i 2 T g является системой образующих d-поля
C hxi (d-кольца C fxg), если любой элемент b 2 C hxi может быть получен из конечного числа элементов множества A применением конечного числа раз операций d-поля C hxi (d-кольца
C fxg). В случае, когда в качестве системы образующих может быть выбрано конечное множество A = fa1 ; : : : ; am g, то говорят, что d-поле (d-кольцо) имеет конечное число образующих
a1 ; : : : ; am . Элементы a1; : : : ; am из C fxg называются d-алгебраически зависимыми, если существует такой ненулевой многочлен f 2 C fxg, что f (a1 ; : : : ; am ) = 0. В противном случае система
элементов a1 ; : : : ; am называется d-алгебраически независимой.
Для d-переменных векторов x, y из V через [x; y]0 обозначим первую производную кососимметрического произведения [x; y]. Ясно, что [x; y]0 = [x0 ; y] + [x; y0 ].
Теорема 1. В d-поле C hxiG следующие d-многочлены являются его образующими
f m (x) = [ mx; ; mx ]; m = 1; 2n:
(
)
(
1) (
)
(1)
Эта система дифференциальных многочленов d-алгебраически независима, т. е. степень
дифференциальной трансцендентности d-поля C hxiG равна 2n.
Доказательство. Известно, что любая G-инвариантная d-рациональная функция f hxi представляется в виде отношения G-инвариантных d-многочленов Q1 fxg и Q2 fxg ([2], гл. 1). Следовательно, для доказательства первой части теоремы достаточно доказать, что всякий Gинвариантный d-многочлен можно выразить d-рационально через d-многочлены вида (1).
В силу первой основной теоремы теории инвариантов для G ([1], гл. IV, с. 230) всякий
G-инвариантный d-многочлен может быть выражен как многочлен от G-инвариантных di) (j )
многочленов вида [(x;
x ], где i; j 2 Z0+.
i) (j )
Покажем, что всякий d-многочлен [(x;
x ], i; j 2 Z0+, d-рационально выражается через dмногочлены (1).
Лемма 1. Дифференциальные многочлены [ xk ; kx ], k 2 Z
( ) ( +1)
, являются образующими диф] выражается с помощью кольчерез [ x; x ], i < k.
+
0
( ) ( +1)
r k
ференциального кольца C fxgG , причем, если r < k, то [ x ; x
(i) (i+1)
G
цевых операций и дифференцирования в C fxg
Доказательство.
Пусть Wm | векторное пространство, порожденное всеми d-многочленами
k l
вида [(x); (x)], где k + l = m. Ясно, что W1 порождается одним элементом [x; x0 ], а W2 порождается одним элементом [x; x0 ]0 = [x; x00 ]. Легко видеть, что размерности пространств W2k;1 и W2k
совпадают, и каждый элемент из Wk выражается цело d-рационально через элементы W2k;1 . Покажем, что любой элемент из W2k+1 выражается цело d-рационально через [x; x0 ]; : : : ; [(xk); (kx+1)]. В
силу индукции достаточно показать, что всякий элемент из W2k+1 выражается через элементы
из W2k и [(xk); (kx+1)]. W2k+1 порождается элементами [x; (2kx+1)]; [x0 ; (2xk)]; : : : ; [(k;x1); (kx+2)]; [(xk); (kx+1)].
Имеем [(kx;1); (kx+2)] = [(kx;1); (kx+1)]0 ; [(xk); (kx+1)]. Далее [(kx;2); (kx+3)] = [(kx;2); (kx+2)]0 ; [(kx;1); (kx+2)] =
[(kx;2); (kx+2)]0 ; [(k;x1); (kx+1)]0 + [(xk); (kx+1)].
Используя индукцию, получим, что любой элемент из W2k+1 выражается цело d-рационально
через элементы W2k и [(xk); (kx+1)].
Если r < k, то [(xr); (kx+1)] принадлежат Wm , где m < 2k + 1, и поэтому выражаются через
i) (i+1)
[(x;
x ], i < k. 29
Лемма 2 ([1], гл. VI, с. 232). Для любых 2n + 2 векторов x0; y0 ; x1; x2 ; : : : ; x2n;1 ; x2n в V имеет место следующее тождество:
X
P распространяется
где сумма
x ; : : : ; x n; ; x n .
2
2
1
[x ; y ][x ; x ] : : : [x n; ; x n] = 0;
0
0
1
2
2
1
(2)
2
знакопеременно на все перестановки 2n + 1 векторов x0 ; x1 ,
2
Покажем теперь, что d-многочлены (1) являются образующими d-поля C hxiG . В силу лемi) (i+1)
мы 1 достаточно доказать, что [(x;
x ] d-рационально выражается через d-многочлены (1).
(i) (i+1)
Индукцией по i покажем, что [ x; x ] выражается через d-многочлены (1). При 0 i 2n
это очевидно. Предполагая, что утверждение верно при i, докажем его справедливость для
i + 1, где i 2n. Учитывая доказанную лемму 1 и написав тождество (2) для векторов
i) (i+1)
x; x0 ; x00 ; : : : ; (2nx;1); (x;
x , получим, что в левой части этого тождества все множители, кроме
(i) (i+1)
[ x; x ], выражаются через d-многочлены (1).
Покажем теперь, что система d-многочленов (1) является d-алгебраически независимой.
Для доказательства воспользуемся следующей известной теоремой, которая в более общей
форме доказана в ([9], теорема 4, с. 105).
Теорема A. Пусть F , B и A | дифференциальные поля характеристики нуль, причем
F B A. Если | любой базис дифференциальной трансцендентности B над F и |
любой базис дифференциальной трансцендентности A над B , то \ = ; и [ есть
базис дифференциальной трансцендентности A над F .
Ввиду того, что алгебраическая размерность (степень d-трансцендентности) d-поля C hxi
над полем C есть 2n и C C hxiG C hxi, в силу теоремы A достаточно показать, что степень d-трансцендентности d-поля C hxi над d-полем C hxiG есть нуль, т. е. каждая координата
d-переменного вектора x является d-алгебраичной над d-полем C hxiG.
Покажем сначала, что x d-алгебраичен над C hxiG . Если для векторов x ; x; x0 ; x00 ; : : : ,
n;
x ; xn , где x = (x ; x ; : : : ; x n ), x = (0; 1; 0; : : : ; 0), напишем тождество (2), то получим
X
X
[x ; x][x0 ; x00] : : : [ nx; ; xn ] = x [x0; x00] : : : [ nx; ; xn ] = 0;
1
2
1
2
1
(2
1
2
0
1) (2 )
1
2
2
0
(2
1) (2 )
(2
0
1) (2 )
1
что и означает дифференциальную алгебраичность x1 над C hxiG (коэффициентом перед (2xn1)
будет определитель [x; x0 ; x00 ; : : : ; (2nx;1)], который в силу регулярности пути x(t) отличен от нуля).
Аналогично координаты x2 ; : : : ; x2n d-алгебраичны над C hxiG . Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Два пути x(t) и y(t) являются G-эквивалентными тогда и только тогда, когда
(m;1) (m)
[ x ; x ](t) = [(my;1); (my )](t) для всех t 2 (0; 1) и m = 1; 2n.
Для доказательства теоремы понадобятся следующие две леммы.
Лемма 3. Два пути x, y G-эквивалентны тогда и только тогда, когда выполнены следующие равенства:
1) M 0 (x)(M (x));1 = M 0 (y)(M (y));1 ,
2) M (x)IM T (x) = M (y)IM T (y).
Доказательство. Пусть x(t) и y(t) G-эквивалентны, т. е. существует такое g 2 G, что y(t) =
x(t)g. Тогда справедливость соотношений 1), 2) легко проверяется, например,
M 0 (y)(M (y)); = M 0(x)g(M (x)g); = M 0 (x)gg; (M (x)); = M 0 (x)(M (x)); :
Обратно, пусть для путей x(t), y(t) выполняются соотношения 1), 2). Если A = A(t) |
обратимая матрица, то, очевидно, (A; )0 = ;A; A0 A; . Используя, это равенство, нетрудно
1
1
1
1
1
1
убедиться, что соотношения 1), 2) могут быть переписаны в виде:
30
1
1
10 ) ((M (x));1 M (y))0 = 0,
20 ) (M (x));1 M (y)I ((M (x));1 M (y))T = I
соответственно. Но эти равенства означают, что (M (x));1 M (y) = g 2 Sp(2n; C ), т. е. M (y) =
M (x)g. Отсюда получим требуемое равенство y(t) = x(t)g.
Лемма 4. Матрицы-функции M 0 (x)(M (x)); , M (x)IM T (x) имеют следующий вид:
1
0 0
1
0
::: 0 1
BB 0
0
1
::: 0 C
C;
0
;
B
M (x)(M (x)) = B: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :C
C
@ 0
0
0
::: 1 A
1
a n(t) a n; (t) a n; (t) : : : a (t)
2
2
1
2
2
1
где
a n (t) = [ xn (t)x0 (t)x00 (t) nx; (t)]a; (t);
a n; (t) = [x(t) xn (t)x00(t) nx; (t)]a; (t);
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
a (t) = [x(t)x0 (t)x00 (t) nx; (t) xn (t)]a; (t);
a(t) = [x(t)x0 (t) nx; (t)];
M (x)IM T (x) = kbms(t)k; где bms (t) = [ mx; (t); s;x (t)]; m; s = 1; 2n:
(2 )
(2
1)
1
2
(2 )
2
(2
2)
1
1
(2
2)
(2 )
1
(2
1
1)
(
1)
(
1)
Доказательство состоит в непосредственном вычислении произведения матриц, и поэтому
мы его опускаем.
Из леммы 4 вытекает, что компоненты левых частей равенств 1), 2) из утверждения леммы 3 как d-рациональные функции над C от d-переменного вектора x ([7], с. 21) являются Gинвариантными функциями.
Доказательство теоремы 2. Очевидно, если пути x(t) и y(t) G-эквивалентны, то
[(mx;1)(t); (mx)(t)] = [(my;1)(t); (my )(t)]
(3)
для любых t 2 (0; 1), m = 1; 2n.
Пусть для путей x(t) и y(t) верны равенства (3) при всех t 2 (0; 1), m = 1; 2n. В силу теоремы 1
и леммы 4 получим, что для любого t 2 (0; 1)
1) M 0 (x)(M (x));1 = M 0 (y)(M (y));1 ,
2) M (x)IM T (x) = M (y)IM T (y),
где M (x) и M (y) | соответствующие матрицы-функции путей x(t) и y(t) соответственно. Отсюда
и из леммы 3 получаем утверждение теоремы 2.
В силу важности леммы 3 для доказательства теоремы 2 представляется полезным выделение таких матриц A(t), B (t), для которых существует путь x(t) такой, что выполняются
равенства
a) A = M 0 (x)(M (x));1 ,
b) B = M (x)IM T (x).
Теорема 3. Пусть матрицы A = A(t), B = B (t) удовлетворяют следующим условиям:
31
(I) матрица A(t) имеет вид
0 0
BB 0
::: 0 1
::: 0 C
BB: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :CCC ;
@ 0
0
0
::: 1 A
a n(t) a n; (t) a n; (t) : : : a (t)
где ai (t) | бесконечно дифференцируемые на (0; 1) функции, i = 1; 2n;
(II) B (t) невырождена для всех t 2 (0; 1);
(III) B T = ;B ;
(IV) B 0 = AB + BAT .
Тогда существует единственный с точностью до G-эквивалентности путь x(t) 2 V , для
1
0
2
2
1
0
1
2
2
1
которого выполняются равенства а), b).
Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы. Решим систему дифференциальных
уравнений
(
M 0 (x)(M (x)); = A(t);
M (x)IM T (x) = B (t):
1
(4)
В силу соотношения (I) первое уравнение системы (4) равносильно уравнению M 0 (x) =
A(t)M (x) или
0 x (t) : : : x (t)1 0 x1(t) : : : x2n(t) 1
n
CC
:::
BB
CC BBB
:::
B@: : : : : : : : : : : : : : : :CA = BB: :n:;: : : : : : : : : : :n:;: : : :CCC ;
@ x (t) : : : x (t)A
n
n
1
2
(2
x (t) : : : x n (t)
(2 )
1
(2 )
2
1)
(2
1
d (t)
(5)
n
2
:::
1
1)
d n (t)
2
где dm (t) = xm (t)a2n (t) + x0m (t)a2n;1 (t) + + (2xn;m1)(t)a1 (t), m = 1; 2n.
Из уравнения (5) получаем систему дифференциальных уравнений
8 n
n;
>
< x (t) ; a (t) x (t) ; ; a n; (t)x0 (t) ; a n(t)x (t) = 0;
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
>
:x nn(t) ; a (t) xn;n (t) ; ; a n; (t)x0 (t) ; a n (t)x n (t) = 0:
(2 )
1
1
(2
(2 )
2
1
1)
1
(2
2
1
1
2
1
2
1)
2
2
n
1
2
2
Эта система согласно ([11], x 17) имеет фундаментальную систему решений x01 (t); x02 (t); : : : ,
x n (t), при этом det M (x0 ) 6= 0. Очевидно, M (x0 ) удовлетворяет первому уравнению системы
(4). Пусть X (t) = (xi;j (t))2i;jn=1 | некоторое решение первого уравнения системы (4). Положим
x(t) = (x1(t); : : : ; x2n (t)), где xi (t) = x1i (t), t 2 (0; 1). Так как X 0 (t) = A(t)X (t), то, используя вид
матрицы A, получим x2i (t) = x01i (t), x2ni (t) = 2xn;1i1(t), i = 1; 2n. Таким образом, X (t) = M (x(t)).
Предположим, что существует X ;1 (t) для всех t 2 (0; 1) (т. е. решение X (t) невырожденное).
Тогда, используя условие (IV) из теоремы 3, получим
(X ;1 B (X ;1 )T )0 = ;X 1 X 0 X ;1 B (X ;1 )T + X ;1 (B 0 (X ;1 )T ; B (X ;1 X 0 X ;1 )T ) =
= X ;1 (;X 0 X ;1 B + B 0 ; B (X 0 X ;1 )T )(X ;1 )T = X ;1 (;AB + AB + BAT ; BAT )(X ;1 )T = 0:
Это означает, что X ;1 B (X ;1 )T 2 GL(2n; C ). Согласно условию (III) матрица X ;1 B (X ;1 )T является кососимметрической. Поэтому ([12], с. 183) существует такая матрица g 2 GL(2n; C ), что
X ;1 B (X ;1 )T = gIgT , т. е. (Xg)I (Xg)T = B . Следовательно, Xg удовлетворяет уравнению b).
Из доказательств леммы 3 вытекает, что Xg также является решением уравнения a). Таким
образом, Xg есть решение системы (4). Взяв X = M (x0 ), получим, что существует путь x0 (t),
0
2
32
для которого выполняются равенства a), b). Из леммы 3 следует, что такой путь единственный
с точностью до G-эквивалентности. 2. Критерий эквивалентности конечной системы путей в C
для действия группы
2n
SP(2n; C )
Рассмотрим теперь вопрос о G-эквивалентности системы путей fxi (t); i = 1; k g 2 V k . Системы путей fxi (t); i = 1; k g и fyi (t); i = 1; k g называются G-эквивалентными, если существует
такое g 2 G, что yi (t) = xi (t)g при любых t 2 (0; 1), i = 1; k .
Рассмотрим кольцо C hx1 ; : : : ; xk i = C hx11 ; : : : ; x12n ; : : : ; xk1 ; : : : ; xk2n i всех многочленов от
счетного числа переменных
x ; : : : ; x n ; x0 ; : : : ; x0 n ; : : : ; xr ; : : : ; x r n; : : : ; xk ; : : : ; xk n ; x0k ; : : : ; x0k n ; : : : ; xrk ; : : : ; xkr n ; : : :
11
12
11
( )
11
12
( )
12
1
2
1
( )
1
2
( )
2
и положим d(x(rij) ) = (rx+1)
ij , i = 1; k , j = 1; 2n. Тогда d можно однозначно продолжить до дифференцирования в кольце C hx1 ; : : : ; xk i, наделяя это кольцо структурой d-кольца. Известно ([7], с. 69),
что дифференцирование d единственным образом продолжается до дифференцирования на соответствующее поле отношений. Это поле будем обозначать через C hx1 ; : : : ; xk i, а его элементы
будем называть d-рациональными функциями и будем записывать в виде f hx1 ; : : : ; xk i. Говорят,
что d-рациональная функция f hx1 ; : : : ; xk i G-инвариантна, если f hx1 g; : : : ; xk gi = f hx1 ; : : : ; xk i
для любых g 2 G.
Множество всех G-инвариантных d-рациональных функций обозначим через C hx1 ; : : : ; xk iG .
Известно ([7], с. 22), что оно является дифференциальным подполем в C hx1 ; : : : ; xk i относительно d.
В следующей теореме описываются образующие этого дифференциального поля.
Теорема 4. В d-поле C hx1; : : : ; xk iG следующие d-многочлены являются его образующими:
a) в случае 1 < k < n
fijl hx ; : : : ; xk i = [ lx;i ; xlj ]; 1 l n; i j; j = 1; 2;
' l hx ; : : : ; xk i = [ lx; ; lx; ]; 1 l n;
(6)
l hx ; : : : ; x i = [ lx; ; lx; ]; 3 j k; i = 1; 2; 1 l [ n ];
k
i
j
ij
l
;
l
ijl hx ; : : : ; xk i = [ xi ; xj ]; 3 j k; i = 1; 2; 1 l [ n ];
где [c] | целая часть числа c;
b) в случае k n
fij hx ; : : : ; xk i = [xi ; xj ]; 1 i n; i < j k;
'ij hx ; : : : ; xk i = [xi ; x0j ]; 1 i n; i j k;
(7)
0
j hx ; : : : ; xk i = [xi ; xj ]; 1 i n ; 1; i < j n;
ij hx ; : : : ; xk i = [x0i ; x00j ]; 1 i n; i j n:
Эта система d-многочленов является дифференциально-алгебраически независимой, и степень дифференциальной трансцендентности d-поля C hx ; : : : ; xk iG равна 2nk.
Доказательство. В ([7], c. 114) показано, что любая G-инвариантная d-рациональная функция P hx ; : : : ; xk i представима в виде отношения G-инвариантных d-многочленов Q fx ; : : : ; xk g
и Q fx ; : : : ; xk g. Следовательно, для доказательства первой части теоремы достаточно показать, что всякий G-инвариантный d-многочлен выражается d-рационально через d-многочлены
( )
( )
12
( )
( )
(
1) ( )
(
1) (
1
1)
2
(
1) (
1)
(
1) ( )
1
1
+1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
(6), (7).
33
1
Из первой основной теоремы теории инвариантов для G ясно, что в качестве образующих
кольца C fx1 ; : : : ; xk gG можно взять
[(xsi); (xmj)];
(8)
где i; j = 1; k , m; s 2 Z0+. Покажем, что всякий d-многочлен вида (8) d-рационально выражается
через систему d-многочленов (6) и (7).
Рассмотрим сначала случай a) 1 < k < n.
(r ) (r +1)
(r ) (r )
Лемма 5. Дифференциальные
многочлены [xi ; xj ], [xm ; xs ], i; j = 1; k , i j , 1 m < s,
s = 2; k, r 2 Z0+ , являются образующими дифференциального кольца C fx1; : : : ; xk gG , причем,
(p) (q )
(p ) (q )
если p + q < 2n + 1, p0 + q0 < 2r, то [xi ; xj ], [xm ; xs ] выражаются цело d-рационально через
(l) (l)
d-многочлены [x(l)i ; (lx+1)
j ], [xm ; xs ], где l < r .
Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 1.
r)
Лемма 6. Пусть n = 2v, v 2 N . Дифференциальные многочлены вида [((n+1)+
x1 r); ((n;x1)+
],
2
((n;1)+r ) (n+r )
[ xi ; xj ], где i; j = 1; 2, i j , r 2 N , выражаются d-рационально через d-многочлены (6).
Доказательство проведем индукцией по r. Из тождества (2) для векторов x1; x01 ; : : : ; (nx;11),
x2 ; x02 ; : : : ; (nx;21); (xn1); (xn2) и леммы 5 следует, что дифференциальный многочлен [(xn1); (xn2)] выражается
d-рационально через d-многочлены (6). Отсюда и из тождества (2) для векторов x1; x01 ; : : : ; (nx;11),
(n) (n)
x2 ; x02 ; : : : ; (nx;21); (xni); (nx+1)
i и леммы 5 следует, что d-многочлены вида [x1 ; x2 ], i = 1; 2, выражаются d-рационально через d-многочлены (6). Аналогично показывается, что дифференциальный
многочлен [(xn1); (nx+1)
2 ] выражается d-рационально через d-многочлены (6). Лемма доказана для
r = 1.
Предположим, что лемма верна для некоторого r и докажем ее для r +1. В силу предположения индукции из тождества (2) для векторов x1 ; x01 ; : : : ; (nx;11); x2 ; x02 ; : : : ; (nx;21); ((n;1)+
x1 r+1); ((n;1)+
x2 r+1)
и x1 ; x01 ; : : : ; (nx;11); x2 ; x02 ; : : : ; (nx;21); ((n;1)+
xi r+1); ((n;1)+
xj r+1) и из леммы 5 следует, что d-многочлены
вида [((n;1)+
x1 r+1); ((n;1)+
x2 r+1)], [((n;1)+
xi r+1; (n+xrj+1)], где i; j = 1; 2, i j , r 2 N , выражаются dрационально через d-многочлены (6). r) ((v;1)+r) ((v;1)+r) (v+r)
Лемма 7. Дифференциальные многочлены [((v;x1)+
i ; xs ], [ xi ; xs ], где i; j = 1; 2,
s = 3; k, r 2 N , выражаются d-рационально через d-многочлены (6).
Доказательство. Проведем индукцию по r. Напишем тождества (2) для векторов x1; x01 ; : : : ,
(n;1)
x1 ; x2 ; x02 ; : : : ; (nx;21); (xn1); xs и x1 ; x01; : : : ; (nx;11); x2 ; x02 ; : : : ; (nx;21); (xni); x0s. Из этих тождеств следует, что
[(xni); xs ] выражается d-рационально через d-многочлены (6). С другой стороны, [(xni); xs ] выражается цело d-рационально через [(xpi); x(qs)], где p + q 2v ; 1 и [(xvi); (xvs)], причем в этом выражении
d-многочлены [(xvi); (xvs)] участвуют в первой степени и коэффициент отличен от нуля. Из этого выражения следует, что [(xvi); (xvs)] выражается d-рационально через d-многочлены (6). Аналогично
[(xni); xs ] выражается цело d-рационально через [(xmi); x(rj)], где m + r 2v, и [(xvi); (vx+1)
s ]. Тогда из этих
(v ) (v )
(v ) (v +1)
тождеств следует, что [ xi ; xs ] и [ xi ; xs ], i; s = 1; 2, v = 3; k , выражаются d-рационально через
d-многочлены (6). Следовательно, лемма для r = 1 доказана.
Предположим, что лемма верна для некоторого r и докажем для r + 1. В силу предположения индукции из тождества (2) для векторов x1 ; x01 ; : : : ; (nx;11); x2 ; x02 ; : : : ; (nx;21); ((v;1)+
xi r+1); ((v;1)+
xs r+1)
и x1 ; x01 ; : : : ; (nx;11); x2 ; x02 ; : : : ; (nx;21); ((v;1)+
xi r+1); (v+xrs+1) следует, что d-многочлены вида [((v;1)+
xi r+1),
0
34
0
[((v;1)+
xi r+1); (v+xrs+1)], где i = 1; 2, s = 3; k , выражаются d-рационально через dмногочлены (6). ((
v;1)+r+1)
xs ],
Лемма 8. d-многочлены [ rx;m ; xrm], [ rx;i ; xrj ], [ rx;i ; rx;j ], где m = 3; k, i < j , i = 3; k ; 1,
(
1)
( )
(
1) ( )
(
1) (
1)
выражаются d-рационально через d-многочлены (6).
Доказательство проведем индукцией по r. Из тождества (2) для векторов x ; x0 ; : : : ; nx; ,
(
1
1
1)
1
x ; x0 ; : : : ; nx; ; xi ; x0j и x ; x0 ; : : : ; nx; ; x ; x0 ; : : : ; nx; ; xm ; x0m , а также x ; x0 ; : : : ; nx; ; x ; x0 ; : : : ,
n;
x ; xi ; xj последовательно получим, что d-многочлены [xi ; x0j ], [xm ; x0m ] и [xi ; xj ], где m = 3; k,
i < j , i = 3; k ; 1, j = 4; k, выражаются d-рационально через d-многочлены (6). Следовательно,
лемма для r = 1 доказана.
Предположим, что лемма верна для некоторого r и докажем для r + 1. В силу предположения индукции из тождества (2) для векторов x ; x0 ; : : : ; nx; ; x ; x0 ; : : : ; nx; ; xrm ; rxm и
x ; x0 ; : : : ; nx; ; x ; x0 ; : : : ; nx; ; xri ; rxj , а также x ; x0 ; : : : ; nx; ; x ; x0 ; : : : ; nx; ; xri ; xrj последовательно получим, что d-многочлены [xrm ; rxm ], [xri ; rxj ], [xri ; xrj ], где m = 3; k , i < j , i = 3; k ; 1,
j = 4; k, выражаются d-рационально через d-многочлены (6). Из лемм 5{8 получим доказательство первой части теоремы в случае 1 < k < n, когда n
четно. Аналогичными рассуждениями утверждение доказывается, когда n нечетно.
b) Докажем теорему в случае k n. Рассмотрим сначала случай k = n. Написав тождество
(2) для векторов x ; x ; : : : ; xn ; x0 ; x0 ; : : : ; x0n ; x00i ; x00j , получим, что d-многочлены [x00i ; x00j ], где i < j ,
j = 2; n, i = 1; n ; 1, выражаются d-рационально через d-многочлены (7).
Также, написав тождество (2) для векторов x ; x ; : : : ; xn ; x0 ; x0 ; : : : ; x0n ; x00i ; x000j , получим, что
d-многочлены [x00i ; x000j ], i < j , i; j = 1; n, выражаются d-рационально через d-многочлены (7).
Предположим, что утверждение доказано для всех i < r, и докажем его для i = r. В силу предположения индукции из тождества (2) для векторов x ; x ; : : : ; xn ; x0 ; x0 ; : : : ; x0n ; xri ; xrj и
x ; x ; : : : ; xn ; x0 ; x0 ; : : : ; x0n; xrs ; rxm следует, что d-многочлены [xri ; xrj ], [xrs ; rxm ], где i < j , s m,
j = 2; n, i = 1; n ; 1, s; m = 1; n, выражаются d-рационально через d-многочлены (7). В силу леммы 5 любой элемент d-кольца C fx ; x ; : : : ; xk gG выражается d-рационально через d-многочлены
(
2
(
2
1)
2
(
1
1)
1
1
(
2
1)
2
2
(
1
1
2
2
1)
1
2
2
1)
2
(
1
(
1
1
1)
1
(
2
2
1
2
1) ( ) ( +1)
2
( )
1
(
( +1)
1
1
( ) ( +1)
1)
1
1
1)
1
( ) ( )
(
(
2
2
1)
2
1) ( ) ( )
2
( )
( +1)
2
1
2
1
2
( ) ( )
1
2
( ) ( )
( ) ( +1)
1
(7).
2
1
1
( ) ( +1)
2
2
1
2
Следовательно, утверждение b) в случае k = n доказано.
Теперь рассмотрим случай k > n. Из тождества (2) для векторов x1 ; x2 ; : : : ; xn ; x01 ; x02 ; : : : ; x0n ,
xi ; xj и равенства [xi ; x0j ] = [xi ; xj ] ; [x0i ; xj ] следует, что многочлены [xi ; xj ], где i < j , j = n + 2; k,
i = n + 1; k ; 1, выражаются d-рационально через d-многочлены (7). Также из тождества (2)
для векторов x1 ; x2 ; : : : ; xn ; x01 ; x02 ; : : : ; x0n ; x00i ; xj , учитывая тождества [x00i ; x0j ] = [x0i ; xj ]0 ; [x0i ; x0j ]
и равенства [xi ; x0j ] = [xi ; xj ]0 ; [x0i ; xj ], получим, что d-многочлены [x0i ; x0j ], i = 1; n, j =
n + 1; k , выражаются d-рационально через d-многочлены (7). Из тождества (2) для векторов
x1 ; x2 ; : : : ; xn ; : : : ; x01 ; x02 ; : : : ; x0n ; x0i ; x0j следует, что d-многочлены [x0i ; x0j ], где i < j , j = n + 2; k,
i n + 1, выражаются d-рационально через d-многочлены (7). Также из тождества (2) для
x1 ; x2 ; : : : ; xn ; x01 ; x02 ; : : : ; x0n; x0i ; xj , учитывая [x0i ; xj ] = [xi ; xj ]0 ; [xi ; x0j ], получим, что [xi ; x0j ], где
i < j , j = n + 1; k, i n + 1, выражаются d-рационально через d-многочлены (7). Из тождества
(2) для векторов x1 ; x2 ; : : : ; xn ; x01 ; x02 ; : : : ; x0n ; x00i ; x0j , учитывая тождества [x00i ; x0j ] = [x0i ; x0j ]0 ;[x0i ; x00j ],
получим, что [x0i ; x00j ], где i = 1; n, j = n + 1; k , выражаются d-рационально через d-многочлены
(7). Аналогично, из тождества (2) для векторов x1 ; x2 ; : : : ; xn ; x01 ; x02 ; : : : ; x0n ; x00i ; x0j , учитывая, что
[x00i ; x0j ] = [x0i ; x0j ]0 ; [x0j ; x00j ], получим, что d-многочлены [x0i ; x00j ], где i j , j = n + 1; k , выражаются
d-рационально через d-многочлены (7). Таким образом, для r = 1 доказали что d-многочлены
[(xri); x(rj)] и [x(rs); (rx;m1)] d-рационально выражаются через d-многочлены (7). Предположим, что это
утверждение доказано для всех чисел, меньших r. Докажем, что это утверждение верно для r.
35
Из тождества (2) для векторов x1 ; x2 ; : : : ; xn ; x01 ; x02 ; : : : ; x0n ; (xri); x(rj) и x1 ; x2 ; : : : ; xn ; x01 ; x02 ; : : : ,
(r ) (r )
x0n ; x(rs); (rx+1)
m по предположению индукции последовательно получим, что d-многочлены [xi ; xj ],
[x(rs); (rx+1)
m ], где i < j , s m, j = 2; k , i = 1; k ; 1, s; m = 1; k , выражаются d-рационально через
d-многочлены (7). Значит, в силу леммы 5 любой элемент d-кольца C fx1 ; : : : ; xk gG выражается
d-рационально через d-многочлены (7).
Покажем теперь, что система d-многочленов (6), (7) является дифференциально алгебраически независимой.
Ввиду того, что степень d-трансцендентности d-поля C hx1 ; : : : ; xk i над полем C есть 2nk
и C C hx1 ; : : : ; xk iG C hx1 ; : : : ; xk i, в силу теоремы A достаточно показать, что степень dтрансцендентности d-поля C hx1 ; : : : ; xk i над d-полем C hx1 ; : : : ; xk iG есть нуль, т. е. каждая координата d-переменных ([7], с. 21) векторов xi , где i = 1; k , является d-алгебраичной над d-полем
C hx1 ; : : : ; xk iG. В случае k = 1 этот факт установлен в теореме 1.
Утверждение для любого k следует из того, что для каждого из d-неизвестных векторов xi ,
где i = 1; k , d-поле C hxi iG содержится в d-поле C hx1 ; : : : ; xk iG , и поэтому каждая координата
d-неизвестного вектора xi является d-алгебраической над d-полем C hx1 ; : : : ; xk iG . Теорема 4
доказана.
Замечание. В [7] построены другие 2nk d-многочлены, которые также являются образующими d-поля C hx1 ; : : : ; xk iG .
Теорема 5. Системы fxi (t); i = 1; kg и fyi (t); i = 1; kg путей G-эквивалентны тогда
и только тогда, когда Fv fx1 (t); : : : ; xk (t)g = Fv fy1 (t); : : : ; yk (t)g, где Fv | образующие d-поля
C hx1 ; x2 ; : : : ; xk iG , v = 1; 2nk .
Сначала докажем следующие леммы.
Лемма 9. Две системы путей fxi (t); i = 1; kg и fyi (t); i = 1; kg G-эквивалентны тогда и
только тогда, когда существует такой индекс i0 , что выполнены следующие равенства:
1) M 0 (xi0 )(M (xi0 ));1 = M 0 (yi0 )(M (yi0 ));1 ,
2) M (xi0 )IM T (xi0 ) = M (yi0 )IM T (yi0 ),
3) xi (M (xi0 ));1 = yi (M (yi0 ));1 , i 6= i0 .
Доказательство. Необходимость. Пусть fxi (t); i = 1; kg и fyi (t); i = 1; kg G-эквивалентны, т. е. существует такое g 2 G, что yi (t) = xi (t)g для всех i = 1; k . Тогда справедливость
соотношений 1), 2) следует из леммы 3, а равенства 3) легко проверяются:
yi (M (yi0 )); = xi g(M (xi0 )g); = xi gg; (M (xi0 )); = xi (M (xi0 )); :
1
1
1
1
1
Достаточность. Пусть для путей fxi (t); i = 1; kg и fyi (t); i = 1; kg выполняются соотношения 1){3) для некоторого i0 . Из леммы 3 следует, что (M (xi0 ));1 (M (yi0 )) 2 Sp(2n; C ), т. е.
M (yi0 ) = M (xi0 )g для некоторого g 2 Sp(2n; C ). В частности, получим, что yi0 = xi0 g, и из
равенства 3) вытекает, что xi (M (xi0 ));1 = yi (M (yi0 ));1 = yi g;1 (M (xi0 ));1 , т. е. yi = xi g при
i 6= i0 . ЛеммаT 10. Для конечной
системы путей fxi (t); i=1; k g матрицы-функции M 0 (xi )(M (xi ));1 ,
;
1
M (xi )IM (xi ), xi(M (xi0 )) имеют вид
0 0
1
0
::: 0 1
BB 0
0
1
::: 0 C
C;
0
;
B
M (xi )(M (xi )) = B: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :C
C
@ 0
0
0
::: 1 A
1
a ni (t) a
2
n;1)i (t)
(2
36
a
n;2)i (t)
(2
: : : a i (t)
1
где
a ni (t) = [ xni (t)x0i (t)x00i (t) nx;i (t)](ai (t)); ;
a n; i (t) = [xi (t) xni (t)x00i (t) nx;i (t)](ai (t)); ;
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
a i (t) = [xi (t)x0i (t)x00i (t) nx;i (t) xni (t)](ai (t)); ;
ai (t) = [xi (t)x0i (t)x00i (t) nx;i (t)]; i = 1; k:
M (xi )IM T (xi ) = [ mx;i (t) sx;i (t)]; где m; s = 1; 2n; i = 1; k;
xi (M (xi0 )); = kc ni (t)c n; i (t) : : : c i (t)k; где
c ni (t) = [xi (t)x0i0 (t)x00i0 (t) xn;i0 (t)](ai0 (t)); ;
c n; i (t) = [xi0 (t)xi (t)x00i0 (t) xn;i0 (t)](ai0 (t)); ;
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
c i (t) = [xi0 (t)x0i0 (t)x00i (t) xn;i0 (t)xi (t)](ai0 (t)); ; i 6= i :
(2 )
(2
1)
1
2
(2 )
(2
(2
1)
1
(2 )
1
1)
(2
2)
1
(2
(
1
2
1)
(
(2
1)
1)
1)
(2
1
1)
1
2
(2
(2
1)
1)
(2
2)
1
1
1
0
Доказательство состоит в непосредственном вычислении произведения матриц, и поэтому
мы его опускаем.
Из леммы 10 получим, что компоненты левых частей равенств 1){3) (лемма 9) как дифференциальные рациональные функции над C от переменного вектора xi , i = 1; k , являются
G-инвариантными функциями.
Доказательство теоремы 5. Очевидно, если конечные системы fxi (t); i = 1; kg и fyi(t); i =
1; k g путей в C 2n G-эквивалентны, то
Fv fx1(t); : : : ; xk (t)g = Fv fy1(t); : : : ; yk (t)g
(9)
для любых t 2 (0; 1), где Fv , v = 1; 2nk , | образующие d-поля C hx1 ; x2 ; : : : ; xk iG .
Пусть fxi (t); i = 1; k g и fyi (t); i = 1; k g | конечные системы регулярных путей в C 2n и
верны равенства (9) при всех t 2 (0; 1), v = 1; 2nk . В силу теоремы 4 и леммы 10 получим, что
для любого t 2 (0; 1)
M 0 (x)(M (x));1 = M 0(y)(M (y));1 ; M (x)IM T (x) = M (y)IM T (y);
xi (M (xi0 ));1 = yi (M (yi0 ));1 , где i 6= i0 , i0 | некоторый фиксированный индекс.
Отсюда в силу леммы 9 получим доказательство теоремы 5.
Приведем теперь вариант теоремы 3 для конечной системы путей.
Теорема 6. Пусть для матриц A(t); B (t) 2 Mat(2n; C ) выполнена система равенств (I){
(IV) (см. теорему 3) и Di = (di1 (t); : : : ; di2n (t)), где dij (t) | бесконечно дифференцируемые функции на (0; 1), i = 1; k , i 6= i0 , j = 1; 2n, i0 | некоторый фиксированный индекс. Тогда существует единственная, с точностью до G-эквивалентности, система путей fxi ; i = 1; k g, для
которой выполняются равенства
а) M 0 (xi0 )M ;1 (xi0 ) = A,
б) M (xi0 )IM T (xi0 ) = B ,
в) xi M ;1 (xi0 ) = Di , i 6= i0 .
Доказательство. Повторяя рассуждения из доказательства теоремы 3, получим, что си-
стема уравнений
(
X 0 X ; = A;
XIX = B
1
37
имеет решение M (xi0 ) и любое другое решение имеет вид X = M (xi0 )g, где g 2 Sp(2n; C ).
Положим xi = Di M (xi0 ), i 6= i0 . Тогда fxi ; i = 1; k g удовлетворяет условию в). Пусть
fyi ; i = 1; kg | произвольная другая система путей, удовлетворяющая условиям а), б), в). Поскольку M (yi0 ) = M (xi0 )g для некоторого g 2 Sp(2n; C ), то Di = yi (M (yi0 ));1 = yi (M (xi0 )g);1 =
yi g;1 (M (xi0 ));1 = xi (M (xi0 ));1 . Отсюда yi = xi g. Литература
1. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. { M.: Ин. лит., 1947. { 408 с.
2. Дьедонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. { М.: Мир,
1974. { 280 с.
3. Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов // Итоги науки и техн. Современ. пробл.
матем. { М.: ВИНИТИ, 1989. { Т. 55. { С. 137{309.
4. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера. { Волгоград: ПЛАТОН, 1998. { 367 с.
5. Арипов Р.Г. Эквивалентность путей в n-мерном комплексном векторном пространстве
относительно действия группы SO(n; R) // ДАН УзССР. { 1986. { Є 6. { С. 8{10.
6. Суктаева А.М. Об эквивалентности кривых в C n и восстановлении кривых с точностью до
G-эквивалентности по их дифференциальным инвариантам относительно действия групп
SL(n; c) и GL(n; C ) // ДАН УзССР. { 1987. { Є 6. { С. 11{13.
7. Хаджиев Дж. Приложение теории инвариантов к дифференциальной геометрии кривых. {
Ташкент: ФАН, 1988. { 136 с.
8. Муминов К.К. Рациональность поля дифференциальных инвариантов конечного числа путей для действия группы Sp(2n; C ) в C 2n , образующие этого поля и разделение регулярных
орбит дифференциальными инвариантами // ДАН УзССР. { 1987. { Є 5. { С. 7{9.
9. Kolchin E.R. Dierential algebra and algebraic groups. { New York{London: Academic Press,
1973. { 448 p.
10. Капланский И. Введение в дифференциальную алгебру. { M.: Ин. лит., 1959. { 88 с.
11. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. { М.: Наука, 1982. { 331 с.
12. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. Учеб. пособие. { М.: Наука,
1986. { 303 с.
Ташкентский государственный
университет
Поступила
16.05.2000
38
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
11
Размер файла
217 Кб
Теги
симплектических, путем, действий, группы, эквивалентность, относительные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа