close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Энергетически нейтральная строго диссипативная Аппроксимация двумерной гидродинамической системы на криволинейной сетке.

код для вставкиСкачать
Секция прикладной информатики
Секция прикладной информатики
УДК 519.6
В.С. Васильев
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ НЕЙТРАЛЬНАЯ СТРОГО ДИССИПАТИВНАЯ
АППРОКСИМАЦИЯ ДВУМЕРНОЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА
КРИВОЛИНЕЙНОЙ СЕТКЕ
Приводится пример сеточной аппроксимации двумерной системы
уравнений вязкой сжимаемой жидкости, обладающей свойствами энергетической нейтральности и строгой диссипативности за счет действия сил
внутреннего вязкого трения.
1. Аппроксимация конвективных слагаемых
Рассмотрим двумерную xz-систему уравнений неразрывности и движения вязкой (ньютоновой) сжимаемой жидкости
′
′
ρ t′ + (ρu ) x + (ρw ) z = 0 ,
(1)
(ρu )′t + (ρuu )′x + (ρwu )′z
′
′
= − px′ − ρϕ x′ + (2αux′ + α ′(ux′ + wz′ )) x + (α (uz′ + wx′ )) z , (2)
(ρw )′t + (ρuw )′x + (ρww )′z
′
′
= − pz′ − ρϕ z′ + (α (uz′ + wx′ )) x + (2αwz′ + α ′(ux′ + wz′ )) z , (3)
u = u(t , x , z ) ,
w = w (t , x , z ) ,
p = p(t , x , z ) ,
ϕ = ϕ (t , x , z ) , α = α (t, x , z ) и α ′ = α ′(t, x , z ) – плотность, компоненты век-
где
ρ = ρ (t , x , z ) ,
тора скорости, давление, гравитационный потенциал, первый и второй коэффициенты вязкости соответственно.
Введем двумерную криволинейную невырожденную неподвижную систему координат ξ = ξ (x, z ) , ζ = ζ (x, z ) с положительным во всей области
якобианом J = x ξ′ zζ′ − x ζ′ zξ′ . Множество точек (x i , j , zi, j ) с целочисленными
координатами ξ = i , ζ = j образуют множество узлов криволинейной расчетной сетки.
В расчетной области: (i, j ) – узел с координатами (x i , j , zi, j );
1
 1
 i + , j +  – четырехугольная ячейка с вершинами (x i , j , z i, j ),
2
 2
(x i +1, j , zi +1, j ) , (x i +1, j +1, zi +1, j +1 ), (x i, j +1, zi, j +1 ) , “обходимыми против часовой
стрелки”, и площадью
171
Известия ТРТУ
Специальный выпуск
1
((x i +1, j +1 − x i, j )(zi, j +1 − zi +1, j ) − (x i, j +1 − x i +1, j )(zi +1, j +1 − zi, j )) ≅
2
≅ x ξ′ zζ′ − x ζ′ zξ′
1 1
i+ , j +
2 2
∆ξ∆ζ = J
1 1
i+ , j+
2 2
∆ξ∆ζ = ∆x ∆z
1 1
i+ , j+
2 2
,
предполагаемой положительной (здесь и далее угловые скобки ... обозначают сеточную аппроксимацию соответствующего выражения);
1

 i, j +  – ребро (отрезок) с концами (x i , j , z i, j ) и (x i, j +1, zi , j +1 ) ;
2

 1 
 i + , j  – ребро (отрезок) с концами (x i , j , z i, j ) и (x i +1, j , zi +1, j ) .
 2 
Сеточные функции u и w трактуются заданными своими значениями
в узлах сетки ( u i, j и wi , j – в узле (i, j ) ), а ρ , p , ϕ , α и α ′ – во внутрен-
них точках ячеек сетки ( ρ
1
1
i+ , j+
2
2
,
p
1
1 ,ϕ 1
1
i+ , j+
i+ , j+
2
2
2
2
,α 1
1
i+ , j+
2
2
и α′
1
1
i+ , j+
2
2
–
1
1
для ячейки  i + , j +  ).
Пусть
m
–
i, j +
1
2
=

2
2
 1
1
1

 ρ 1 1 + ρ 1 1  (ui , j + ui , j +1 )(z i , j +1 − zi , j ) + (vi , j + vi , j +1 )(x i , j − x i , j +1 ) ≅
i + , j +  2
2  i − 2 , j + 2
2

2
2 
≅ ρ(uz ζ′ − vxζ′ )
i, j +
1
2
∆ζ
1
1
1
поток массы через ребро  i, j +  от ячейки  i − , j +  к ячейке
2


2
2
1
 1
i + , j +  ,
2
 2
m
–
1
i+ , j
2
=
 1
1
1

 ρ 1 1 + ρ 1 1  (ui , j + ui +1, j )(zi , j − zi +1, j ) + (vi , j + vi +1, j )(x i +1, j − x i , j ) ≅


i+ , j +
2  i+2, j −2
2
2


2
2 
≅ ρ(vxξ′ − uz ξ′ )
i, j +
1
2
∆ξ
1
1
1
поток массы через ребро  i + , j  от ячейки  i + , j −  к ячейке
1
 1
i + , j +  .
2
 2
172

2


2
2
Секция прикладной информатики
Тогда
ρ′t
J
1
1
i+ , j+
2
2

1
1
i+ , j+
2
2
∆ξ∆ζ +  m


−m
1
i +1, j +
2




1 + m 1
i , j +   i + , j +1
2  
2
−m


1
i+ , j 
2 
= 0 (4)
аппроксимирует уравнение неразрывности
′
′
′
′
J ρ t′ + (ρu ) ξ zζ′ − (ρu ) ζ z ′ξ + x ξ′ (ρw ) ζ − x ζ′ (ρw ) ξ
′
′
=  ρ t′ + (ρu ) x + (ρw ) z ∆x ∆z


1 1
i+ , j +
2 2
1 1
i+ , j +
2 2
∆ξ∆ζ =
.
=0
Способы аппроксимации временных производных определяются выбираемым численным методом разрешения системы (1)-(3) и здесь не рассматриваются, но ориентация будет делаться на расщепление по физическим процессам – метод поправки к давлению.
Выражение
~
ft′
i, j
1
ρ 1 1 J
4  i − 2 , j − 2
~ 1
+ f i, j  ~
ρ′t
4
1
1
i− , j−
2
2
1
1
i− , j−
2
2
J
1
1
i− , j −
2
2
+ρ
+ ~
ρ′t
1
1
i− , j +
2
2
1
1
i− , j +
2
2
J
J
1
1
i− , j +
2
2
1
1
i− , j +
2
2
+ρ
1
1
i+ , j−
2
2
+ ~
ρ′t
J
1
1
i+ , j−
2
2
J
1
1
i+ , j−
2
2
1
1
i+ , j −
2
2
+ρ
J
1
1
i+ , j+
2
2
+ ~
ρ′t
1
1
i+ , j+
2
2
1
1
i+ , j+
2
2
J

+



1
1 +
i+ , j+
2
2

 ~


1~
+  f i −1, j −1  − m
− m 1  + f i −1, j +1  − m
+ m 1  +
1
1
i −1, j −
i − , j −1
i −1, j +
i − , j +1
4 
2
2
2
2





 ~


~


 ≅
+ f i +1, j −1  − m 1 + m
+
f
m
+
m
1
i +1, j +1 
1
1
i + , j −1
i +1, j − 
i + , j +1
i +1, j +  
2
2 
2
2 


( )
( )
( )
(
)
( )
~′  ~′
~′
~′
~′ 
 
≅ J ρf t +  ρuf ξ zζ′ − ρuf ζ z ′ξ  +  x ξ′ ρwf ζ − x ζ′ ρwf ξ 

( ) ( ) (


)
~′
~′ 
 ~′
=  ρf t + ρuf x + ρwf z ∆x ∆z


где
~ ~
f –u
или

()
~
= L f ∆x ∆z
1 1
i+ , j +
2 2
~ (волна означает, что значения u , w
w
или
ся с иного временного слоя, чем в уравнении неразрывности
мирует конвективную часть уравнения
1 1
i+ , j+
2 2
ρ
∆ξ∆ζ =
1 1
i+ , j+
2 2
,
могут брать-
(4)),
аппрокси-
(2) или (3).
2. Энергетическая нейтральность
Пусть для простоты на границе области
ные
~
ut′ i, j
и
~′
w
t
i, j
~ ≡ 0 (а производ~
ui , j ≡ 0 , w
i, j
– ограничены).
173
Известия ТРТУ
Специальный выпуск
Тогда
∑ ( L (~u )∆z∆z
i, j
P (i , j )
∑
=
1 
J

1 4 

1
1
i+ , j+ 
2
2
1

C i+ , j + 
2
2

~′
+ w
t
~′
+ ρ
t
i, j
1
1
i+ , j+
2
2
ρ~
1
1
i+ , j+
2
2
~ + w
~′
w
i, j
t
(~u
( ~u ′
t i, j
i , j +1
~ )∆z ∆z
~
ui, j + L (w
~
~′
w
i , j +1 + wt
i +1, j
~
~′
w
i +1, j + wt
и
C –
Если
+
)
~
w
i +1, j +1 +



P
i +1, j +1
~
u
i +1, j +1 i +1, j +1

~2 + w
~2 + w
~2 + w
~2
+~
ui2, j +1 + ~
ui2+1, j + ~
ui2+1, j +1 + w
i, j
i , j +1
i +1, j
i +1, j +1 ) ∆ξ∆ζ +
2
i, j

венно.
)
~ =
w
i, j
~
ui, j + ~
ut′ i , j +1~
ui , j +1 + ~
ut′ i +1, j ~
ui +1, j + ~
ut′

~ w
~
~ ~
~ ~

+ (~
ui, j ~
ui +1, j +1 + w
i , j i +1, j +1 + ui , j +1ui +1, j + wi , j +1wi +1, j )  m
где
i, j
1
i +1, j +
2
−m
1
i, j +
2
 
 + m 1
  i + , j +1
2
 
−m
1
i+ , j
2




множества внутренних узлов и ячеек (всех) сетки соответст-
~
ρt′
1
1
i+ , j+
2
2
(4), получим
≡ ρ′t
1
1
i+ , j+
2
2
,
то, с учетом уравнения неразрывности
∑ ( L(u~ )∆z∆z i, j u~i, j + L(w~ )∆z∆z i, j w~i, j ) =
P (i , j )
∑
=
1
J
1 4
 1
C i+ , j+ 
2
2

~′
+ w
t
+ ~
ρt′
(
i, j
1
1
i+ , j+
2
2

1
1 ρ
i+ , j +  i + 1 , j + 1
2
2
2
2
~ + w
~′
w
i, j
t
(
( u~′
~
t i , j ui, j
i , j +1
+ u~t′
~
~
w
i , j +1 + wt′
~
u
i , j +1 i , j +1
i +1, j
+ u~t′
i +1, j
u~i +1, j + u~t′
~
~
w
i +1, j + wt′
i +1, j +1
~
u
i +1, j +1 i +1, j +1
+
)
~
w
i +1, j +1 +
1 ~2 ~2
~2 + w
~2 + w
~2 + w
~2
u i , j + u i , j +1 + u~i2+1, j + u~i2+1, j +1 + w
i, j
i , j +1
i +1, j
i +1, j +1 +
2
+ u~i +1, j +1 − u~i , j
)2 + (w~i+1, j +1 − w~i, j )2 + (u~i, j+1 − u~i+1, j )2 + (w~i, j +1 − w~i+1, j )2 ))∆ξ∆ζ .
Энергетическая нейтральность и означает существование уравнения
баланса механической энергии
(или
ее оценки), являющегося следствием
уравнений баланса импульса и принимающего дивергентную форму в силу
уравнения баланса массы.
3. Опорные операторы
Введем опорные операторы
grad f ∆x∆z

= 

174
f
′
ξ z ζ′
i, j
= grad x f ∆x∆z
− f
′
ζ
z ξ′
i, j
i, j
e x + xξ′ f
e x + grad z f ∆x∆z
′
ζ
− xζ′ f
′
ξ
i, j
ez =

e z ∆ξ∆ζ ,
i, j

Секция прикладной информатики
diva
′
= (a, e x ) x
1
1
i+ , j+
2
2
1
1
i+ , j+
2
2
где
grad x f ∆x∆z
(
i, j
)
+ z i −1, j − z i , j +1 f
=
f
′
ξ z ζ′
− f
′
z ξ′
ζ
′
+ (a, e z ) z
∆ξ∆ζ ≅
i, j
1
1
i− , j+
2
2
(
)
+ z i , j −1 − z i −1, j f
1
1
i+ , j+
2
2
,
(
)
(
)
(
)
(
)
1
 z i , j +1 − z i +1, j f
2
1
1
i− , j−
2
2
+ z i +1, j − z i , j −1 f
1
1
i+ , j +
2
2
+

1
1 
i+ , j −
2
2 
,
grad z f ∆x∆z
(
i, j
)
+ xi , j +1 − xi −1, j f
= xξ′ f
′
′
− xζ′ f
ζ
∆ξ∆ζ ≅
ξ
i, j
1
1
i− , j+
2
2
(
)
+ xi +1, j − xi , j +1 f
1
1
i+ , j+
2
2
1
 xi −1, j − xi , j −1 f
2
+ xi , j −1 − xi +1, j f
e x и e z – декартовы единичные орты,
f x′
1
1
i+ , j+
2
2
=
f ξ′zζ′ − f ζ′zξ′
J
i +1, j +1
i +1, j +1
1
1
i+ , j+
2
2
f z′
(x
≅
(f
≅
1 1
i+ , j +
2 2
x ξ′ f ζ′ − x ζ′ f ξ′
J

1
1 ,
i+ , j−
2
2
2
≅
1 1
i+ , j+
2 2
− x i, j )( f i, j +1 − f i +1, j ) − (x i, j +1 − x i +1, j )( f i+1, j +1 − f i, j )
2J
+
− f i, j )(zi , j +1 − zi +1, j ) − ( f i , j +1 − f i +1, j )(zi +1, j +1 − zi, j ) ,
2 J i + 1 , j + 1 ∆ξ∆ζ
2
=
1
1
i− , j−
2
2
1 1
i+ , j+
2 2
,
∆ξ∆ζ
(a, b) – скалярное произведение векторов a и b .
4. Аппроксимация вязких и гравитационных слагаемых и
градиента давления
f vx ∆x∆z
f vz ∆x∆z
i, j
i, j
p ′x ∆x∆z
i, j
= grad x p ∆x∆z
i, j
p ′z ∆x∆z
i, j
= grad z p ∆x∆z
i, j
,
,
ρϕ′x ∆x∆z
i, j
= ρ
i, j
grad x ϕ ∆x∆z
i, j
ρϕ′z ∆x∆z
i, j
= ρ
i, j
grad z ϕ ∆x∆z
i, j
= grad x 2αu ′x + α ′(u ′x + w′z ) ∆x∆z
= grad x α(u ′z + w′x ) ∆x∆z
i, j
,
,
+ grad z α(u ′z + w′x ) ∆x∆z
i, j
+ grad z 2αw′z + α ′(u ′x + w′z ) ∆x∆z
i, j
i, j
,
,
175
Известия ТРТУ
где
1
1ρ 1
1
i− , j−
2
2 i− 2, j− 2
J
ρ
=
i, j
Специальный выпуск
+ J
J
1
1ρ 1
1
i− , j+
2
2 i− 2, j + 2
+ J
1
1
i− , j −
2
2
1
1
i− , j +
2
2
+ J
+ J
1
1ρ 1
1
i+ , j −
2
2 i+ 2, j − 2
+ J
1
1
i+ , j−
2
2
+ J
1
1ρ 1
1
i+ , j+
2
2 i+ 2, j+ 2
,
1
1
i+ , j+
2
2
′
′
f vx = (2αux′ + α ′(ux′ + w′z )) x + (α (u′z + w′x )) z ,
′
′
f vz = (α (uz′ + wx′ )) x + (2αwz′ + α ′(u′x + wz′ )) z .
5. Строгая диссипативность
Пусть, как и ранее, для простоты на границе области u~i, j ≡ 0 ,
~ ≡ 0.
w
i, j
Тогда
∑ ( f vx ∆x∆z i, j u~i , j +
P (i , j )
∑
=
1
 1
C  i+ , j + 
2
 2
J

1 −
1
i+ , j +
2
2
− α(u ′z + w′x )
2αu ′x + α′(u ′x + w′z )
~′
w
x
1
1
i+ , j+
2
2
1
1
i+ , j+
2
2
1
1
i+ , j +
2
2
f vz ∆x∆z
u~x′
1
1
i+ , j +
2
2
i, j
− α(u ′z + w′x )
− 2αw′z + α ′(u ′x + w′z )
vx
∆x ∆z
i, j
~
ui, j + f vz ∆x ∆z
i, j
u~z′
1
1
i+ , j +
2
2
~′
w
z
1
1
i+ , j+
2
2
Если u~ ≡ u и w~ ≡ w , то
(f
∑
( )
)
~ =
w
i, j
1
1
i+ , j +
2
2
−

1
1  ∆ξ∆ζ
i+ , j+
2
2 
)
~ =
w
i, j
P i, j
∑
=−
1 1

C  i+ , j + 
2
 2
+α


1
1 2
i+ , j + 
2
2
u ′x


J i + 1, j + 1  α ′ 1 1  ux′
+
+
,
i
j
2 2
2 2

2
1
1
i+ , j +
2
2
+  u ′z

1
1
i+ , j +
2
2
2
1 1
i+ , j+
2 2
+ w′x

+ wz′ i + 1, j + 1  +
2 2 



2
+ 2 w′z
1
1 
i+ , j +
2
2 
2
∆ξ∆ζ
1
1
i+ , j +  
2
2 
где
2αu ′x + α ′(u ′x + w′z )
1
1
i+ , j+
2
2
α(u ′z + w′x )
= 2α
1
1
i+ , j+
2
2
1
1
i+ , j +
2
2
=α
u ′x
1
1
i+ , j +
2
2

1
1
i+ , j+ 
2
2
u ′z
2αw′z + α ′(ux′ + wz′ ) i + 1, j + 1 = 2α
2
 ′
1  ux
i+ , j + 
2 2
+ α′ 1
176
1 1
i+ , j+
2 2

+ α′
2
+ wz′
1
1
i+ , j + 
2
2
1 1
i+ , j +
2 2
1
1
i+ , j +
2
2
+ w′x
1
1
i+ , j+
2
2
1 1
i+ , j+
2 2
u ′x
wz′



+ w′z
1
1
i+ , j+
2
2
1 1
i+ , j +
2 2
+
.

1 ,
1
i+ , j+
2
2

,

,
Секция прикладной информатики
Знакоопределенность квадратичной формы означает, что за счет сил
внутреннего вязкого трения возможны только потери механической энергии,
что естественно и должно наследоваться качественной сеточной аппроксимацией.
УДК
621.3911
С.А. Котеленко
О ПРОБЛЕМЕ ВЫБОРА РЕШАЮЩЕГО ПРАВИЛА ДЛЯ ОЦЕНКИ
ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ
«ГРАФИЧЕСКИХ МЕТОДОВ»
Выбор метода оценки функции плотности распределения для оценки
возмущающих воздействий в системах оперативного управления определяется необходимой точностью и размером выборки. В случае оперативного
управления высокой точностью пренебрегают в обмен на необходимость
работы с малыми выборками, т.е. с количеством элементов в выборке до
100. В связи с этим в настоящее время применяются так называемые «графические» или ядерные методы оценки, основанные на построении вокруг
каждого элемента выборки некоего элементарного распределения – вклада.
Так известны, например, метод экспоненциальных вкладов, треугольных и
т.д., хорошо зарекомендовавших себя при работе с малыми выборками.
Основная трудность при использовании таких методов является выбор
решающего правила для отнесения полученной оценки к одному из известных классов распределений. Если среди возможных классов встречается
нормальное распределение, то выбор алгоритма применения решающего
правила затруднителен в силу особенностей алгоритма графических методов, не дающих возможности отличать нормальное распределение от прочих при значениях математического ожидания, близкого к нулю. В этом случае необходимо сначала проверять гипотезу о нормальности выборки. Для
этого предлагается использовать специальную методику, основанную на
использовании метода операторной оценки, поскольку затруднительно использовать известный критерий Смирнова в силу непараметрического характера распознавания. Далее используется отношение правдоподобия в
соответствии с критерием Неймана-Пирсона. Причём выбора порога принятия решения становится самостоятельной задачей, разрешаемой с помощью методов планирования эксперимента.
При опровержении гипотезы нормальности далее можно переходить
без всяких затруднений к построению решающего правила на основе критерия Пирсона, для случая многоальтернативного непараметрического распознавания.
177
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа