close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Энергетически нейтральная строго диссипативная аппроксимация двумерной гидродинамической системы на подвижной криволинейной сетке в вертикальном поле.

код для вставкиСкачать
Известия ТРТУ
Тематический выпуск
2. Zimmermann H.-J. Fuzzy set theory and its applications. Kluwer Academic
Publishers. 1990. 399 p.
3. Runkler T.A., Bezdek J.C. Living Clusters: An Application of the El Farol Algorithm to the Fuzzy c-Means Model // 5th European Congress on Intelligent
Techniques & Soft Computing. Aachen, Germany, September 8?11, 1997, vol.2.
Р. 1678?1682.
В.С. Васильев
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ НЕЙТРАЛЬНАЯ СТРОГО ДИССИПАТИВНАЯ
АППРОКСИМАЦИЯ ДВУМЕРНОЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ НА ПОДВИЖНОЙ КРИВОЛИНЕЙНОЙ СЕТКЕ
В ВЕРТИКАЛЬНОМ ПОЛЕ
Ранее [1] для гидродинамической системы
??t + (?u )? x + (?w)? z = 0 ,
(?u )?t + (?uu )?x + (?wu )? z = ? p?x ? ???x + (2?u?x + ??(u?x + w?z ))?x + (?(u?z + w?x ))?z ,
(1)
(2)
(?w)?t + (?uw)?x + (?ww )?z = ? p?z ? ???z + (?(u?z + w?x ))?x + (2?w?z + ??(u?x + w?z ))?z , (3)
где ? = ?(t , x, z ) , u = u(t , x, z ) ,
? = ?(t , x, z ) ,
w = w(t , x, z ) ,
p = p(t , x, z ) ,
? = ? (t , x, z ) и ?? = ??(t , x, z ) ? плотность, компоненты вектора скорости,
давление, гравитационный потенциал, первый и второй коэффициенты
вязкости соответственно, была предложена энергетически нейтральная
аппроксимация конвективных и строго диссипативная (за счет действия
сил вязкого внутреннего трения) аппроксимация вязких слагаемых на
криволинейной неподвижной сетке.
Целью является построение гидродинамической модели водоема
при наличии свободной поверхности у жидкости. В случае неподвижной
сетки это приведет к появлению, помимо заполненных, также незаполненных и частично заполненных ячеек. Другой подход состоит в использовании подвижной (вслед за движениями свободной поверхности) сетки.
Заметим, что наличие заполненных, незаполненных и частично заполненных ячеек в случае неподвижной сетки координат делает расчетную
сетку фактически подвижной, поскольку (после дискретизации по времени) значения сеточных функций на новом временном слое могут относиться к иным точкам сетки по сравнению с предыдущим слоем.
В условиях вертикального поля тяжести невозмущенная поверхность водоема будет горизонтальной. Если ось x направить горизонтально, а ось z ? вертикально (вверх), то
??x = 0 , ??z = g = g (z ) ,
g = ? gk = ???z k = ?grad? .
Модель призвана описывать медленные движения без образования
брызг и обрушивания волн. Поэтому свободную поверхность водоема
e(t , x ) и поверхность дна d (t , x ) будем считать однозначными функциями
x в любой момент времени t .
В гидростатическом приближении давление воды p(t , x, z ) связано с
атмосферным давлением a(t , x ) и глубиной z ( d ? z ? e ) соотношениями:
184
Раздел II. Проектирование и моделирование интеллектуальных систем
?
?e
?
p(t , x, z ) = a(t , x ) + ? ?(t , x, ? )g (? )d? , p?x = a?x + ? ? ?gd? ? x ,
?
?
z
?z
?
Заметим, что
e
p?z = ??g .
p?z + ???z = 0 .
(4)
Однако здесь и в дальнейшем упрощения (в данном случае, (4)) не
сразу будут использоваться в соответствующем уравнении (в данном
случае, (3)), а сперва будет получена соответствующая сеточная аппроксимация (в данном случае для p(t , x, z ) ), наследующая отмеченное свойство (в данном случае, (4)). Соответствующее же сеточное уравнение
должно становиться упрощенным в той же мере, что и дифференциальное, в силу этой сеточной аппроксимации, а не просто аппроксимировать
уже упрощенное дифференциальное уравнение. Если это на сеточном уровне не достигается, то сеточное уравнение будет аппроксимировать дифференциальное без всяких упрощений. Такой аппроксимацией будет:
p
i+ , j +
2
2
+
=a
i+
2
((
) (
))
+ ? - - g - - zi , j +- ? zi , j + zi +-, j +- ? zi +-, j +
4 i+ 2 , j + 2 i+ 2, j+ 2
? ? - - g - - ((zi,k +- ? zi,k )+ (zi +-,k +- ? zi +-, k )).
2 k > j i + 2 ,k + 2 i + 2 ,k + 2
Введем обобщенные координаты. Пусть обобщенное время ? синхронно во всех точках (x, z ) пространства, то есть ??x = ??z = 0 . Пусть вертикальные координатные поверхности ? = const не изменяют своего положения со временем, то есть ??t = 0 , следовательно, остаются вертикальными ( ??z = 0 ). Тогда матрица Якоби преобразования координат
(t , x, z ) ? (?, ?, ? ) будет иметь следующий портрет:
? ??t
?
? ??x
? ??
? z
??t
??x
??z
??t ? ? ??t
? ?
??x ? = ? 0
??z ?? ?? 0
0
??x
0
??t ?
?
??x ? .
??z ??
Для ее невырожденности необходимо J = ??t ??x ??z ? 0 . В этом случае
t?? = 0 , t?? = 0 , x?? = 0 , x?? = 0 и портрет обратной матрицы будет таким:
? t??
?
? t??
? ?
? t?
x??
x??
x??
z?? ? ? t??
? ?
z?? ? = ? 0
? ?
z?? ? ? 0
0
x??
0
z?? ?
?
z?? ? .
?
z?? ?
Координатные поверхности ? = const могут быть негоризонтальными и изменять свое положение со временем. Таким образом, вид матрицы Якоби будет следующим:
? ??t
?
? ??x
? ??
? z
??t
??x
??z
??t ? ?- t ??
0
? ?
??x ? = ? 0 - x??
?
??z ?? ? 0
0
( ) ??
( )? .
? z?? t?? z??
? z?? x?? z??
- z??
?
?
185
Известия ТРТУ
Тематический выпуск
При переходе к новым координатам производные преобразуются
следующим образом:
( )
z?? f ?? ? (z?? f )??
f ?? f ?? z??
,
?
=
f t? = f ????t + f ????t + f ????t =
t ?? t?? z??
t?? z??
( ) ( )
f ?? f ?? z??
z?? f ?? ? z?? f ??
,
?
=
f x? = f ????x + f ????x + f ????x =
x?? x?? z??
x?? z??
f ??
.
z??
f z? = f ????z + f ????z + f ????z =
Поскольку ??x = ??z = 0 , то преобразование пространственных производных f x? и f z? не отличается от случая неподвижных (эйлеровых) криволинейных координат, и для них могут быть использованы аппроксимации из [1]. А поскольку одно из семейств координатных поверхностей
( ? = const ) является вертикальным ( ??z = 0 ), то эти аппроксимации даже
упрощаются с учетом xi , j ? xi . Естественно, что при упрощении пространственных аппроксимаций наследуются свойства, выражающиеся только через
пространственные аппроксимации (энергетическая нейтральность и строгая
диссипативность за счет действия сил вязкого внутреннего трения).
Развитие свойства энергетической нейтральности аппроксимации
конвективных слагаемых ? существование уравнения баланса механической энергии выражается, в том числе, и через производные по времени,
преобразование которых, напротив, усложнилось по сравнению со случаем неподвижных криволинейных координат (за счет ??t ? 0 ).
В новых координатах, например, уравнение неразрывности (1)
преобразуется к виду
( )
(
) (
)
-? ?
?
?
?
?
? ?
(5)
? x?? ? z?? ? ? ? (z ?? ?) ? ?? + t ?? ?? z?? ?u ? ? z?? ?u ? ?? + t ?? x?? (?w) ? ? = 0 .
?
?
?
?
?
J?
Заметим, что мы оставляем при этом компоненты вектора скорости
среды u и w декартовыми, а не преобразуем их к контравариантным
(или ковариантным) компонентам.
Слагаемое x? (z? ?)? отсутствует в эйлеровых координатах, для ко?
?
?
торых z?? ? 0 . Но оно также отсутствует и в лагранжевых координатах,
сокращаясь с t ? x? (?w)? , поскольку движение координатных поверхно?
? ?
стей последних происходит вместе со средой, то есть t ?? w = z?? (и t?? = 0 ).
По отдельности слагаемые производной по времени уравнения неразрывности (5) аппроксимируем следующими выражениями:
( )
x?? z?? ? ? ?
i+ , j +
2
2
- ?
????
z?i , j +- ? z?i, j + z?i+-, j +- ? z?i +-, j ?
? (xi+- ? xi ) ? ?? - ??
?? ?? i+ 2 , j + 2 2
((
??
i+ , j+
2
2
186
((
) (
zi, j +- ? zi , j + zi +-, j +- ? zi +-, j
2
) (
?
))?? ,
?
))
Раздел II. Проектирование и моделирование интеллектуальных систем
?
x?? (z ?? ?) ?
? (xi +- ? xi )
i+ , j+
2
2
????
?
??
?- ?? - ??
?? - - + ?? - 3 ? z?i , j +- ? zi , j +- + z?i +-, j +- ? zi +-, j +- ?
i+ , j + ? 2
?? ? 2 ? i + 2 , j + 2
2?
2
? ?
((
) (
))
?-?
? ? ?? - - + ?? - - ? z?i , j ? zi, j + z?i+-, j ? zi +-, j
i+ , j+ ? 2
2 ? i+ 2 , j ? 2
2?
2
?
((
Теперь поток массы
m
i+ , j
2
) (
?
))?? .
?
? - ?
?i + , j?
? 2 ?
через ребро
от ячейки
-?
-?
? ? ? i + , j ? ? к ячейке ? i + , j + ? дается выражением:
2?
2?
? 2
? 2
m?
i+ , j
2
=
??
- ??
?? - - + ?? - - ?? z?i , j ? z?i +-, j u?i , j + u?i +-, j +
i + , j + ??
2 ?? i+ 2 , j ? 2
2
2?
2
(
(
)
(
) (
)
)
(
?-? + (xi +- ? xi )?? w? i , j + w? i +-, j ? ?
z?i, j ? zi , j +
z?i +-, j ? zi +-, j
2 ? ??
??
?2
)?? ??? ??? .
? ??
При этом окончательные аппроксимации уравнений (1)?(3) через
потоки m - и m - (см. [1]) даются теми же выражениями, что и в [1].
i+ , j
2
i, j +
2
Отличие касается аппроксимации производных по времени в потоках
m - в уравнении неразрывности (1) и в уравнениях количества двиi+ , j
2
жения (2) и (3) (явной вместо неявной). Следовательно, как отмечалось,
выдерживается свойство энергетической нейтральности относительно
тех же, что и в [1], скалярных произведений. И при соответствующей
аппроксимации производных по времени в потоках m - энергетичеi+ , j
2
ская нейтральность приводит к существованию уравнения баланса механической энергии.
В [2] построена многослойная модель вязких несжимаемых несмешивающихся жидкостей (двумерных), где также рассматривается случай медленных движений. То есть свободные поверхности раздела граничащих вязких сред в каждый момент времени t описываются однозначными функциями x .
Свяжем l -ю координатную поверхность ? = const (подвижную) со
свободной поверхностью раздела двух граничащих вязких сред. Именно
для такой возможности и вводились подвижные по вертикали сетки. Собирая описанные аппроксимации слагаемых уравнений (2) и (3) и формально полагая
f
i + ,l ?
2
2
= f
3
i + ,l ?
2
2
= f
5
i + ,l ?
2
2
= # = fd , f
i + ,l +
2
2
= f
3
i + ,l +
2
2
= f
5
i + ,l +
2
2
= # = fu ,
где f ? это ? , ? или ?? , f u ? f d , получим, что сеточные уравнения (2) и
(3) для l -х узлов по вертикали аппроксимируют следующие соотношения:
187
Известия ТРТУ
Тематический выпуск
(
(
) (
))
))
?? (?u ? ? d ) ? x?? z ?? ? t ?? z?? u ? x?? w u~ , ?
il
?2
????? + O(?????? ) = 0 ,
(u )
(d )
(u )
(d )
? t ?? x?? p xz
? p xz
? z?? p xx
? p xx
?
i, l ?
( (
(
(
))
?~
? (?u ? ?d ) ? x?? z ?? ? t ?? z ?? u ? x?? w w
?2
( (
) (
(u )
(d )
(u )
(d )
? t ?? x?? p zz
? p zz
? z?? p zx
? p zx
))
i,l
i,l
(6)
?
????? + O(?????? ) = 0 .
?
?
(7)
Сеточные уравнения (2) и (3) для (l ? -) -х и (l + -) -х узлов по вертикали аппроксимируют соотношения:
(
(
))
(
(
))
(?u ? ? d ) ? x?? z?? ? t?? z?? u ? x?? w u~
4
i ,l
???? = 0 ,
(8)
(9)
(?u ? ? d ) ? x?? z?? ? t?? z?? u ? x?? w w~ i, l ???? = 0 .
4
С учетом (8) и (9) аппроксимации (6) и (7) представляют собой условия равенства вязких напряжений на границе раздела двух вязких сред:
(u )
(u)
(d )
(d )
(u )
(u)
(d )
(d )
? z?? pxx
= x?? pxz
? z?? p xx
, x?? pzz
? z?? pzx
= x?? pzz
? z?? p zx
,
x?? pxz
где pxx = 2?u?x + ??(u?x + w?z ) , pxz = pzx = ?(u?z + w?x ) , pzz = 2?w?z + ??(u?x + w?z ) , а
верхние индексы (u ) и (d ) относятся к средам выше и ниже поверхности раздела соответственно.
То, что решения ui ,l и wi , l сеточных уравнений (2) и (3) принимаются за компоненты вектора скорости обеих граничащих вязких сред на
свободной поверхности раздела, фактически означает постановку граничного условия равенства скоростей (условие прилипания на свободной
поверхности раздела):
u (u ) = u ( d ) , w( u ) = w( d ) .
Сами же выражения (8) и (9) представляют собой аппроксимацию
уравнения
(
(
))
d?
? x?? z?? ? t ?? z?? u ? x?? w = ??t + ??xu + ??z w =
= 0.
dt
t?? x?? z??
(10)
Уравнение (10) ? это волновое уравнение движения семейства координатных поверхностей ? = const . Но появилось уравнение (10) из рассмотрения аппроксимаций уравнений (1)?(3) не на всем семействе координатных поверхностей ? = const , а в окрестности свободной поверхности
раздела. Пусть для нее z = s (t , x ) . Выражая из неявного уравнения
?(t , x, s (t , x )) ? l = 0 производные ??t и ??x через производные st? , s?x и ??z ,
получим кинематическое условие на свободной поверхности раздела
st? + s?xu ? w = 0 ,
(11)
являющееся следствием (10) (для свободной поверхности раздела).
Заметим, что в случае несжимаемой жидкости постоянной вязкости система уравнений (1)-(3) упрощается до
188
Раздел II. Проектирование и моделирование интеллектуальных систем
u ?x + w?z = 0 ,
(12)
?
?
?
?
ut? + (uu ) x + (wu ) z = ?? - p?x ? ??x + ? -?(u?xx? + u?zz? ) ,
(13)
?
?
?
?
? + w?zz? ) ,
wt? + (uw ) x + (ww ) z = ?? - p?z ? ??z + ? -?(w?xx
(14)
причем упрощение слагаемых вязких сил происходит в силу уравнения
неразрывности (12) и с учетом
(15)
u ?xz? = u?zx? , w?xz? = w?zx? .
Однако введенные сеточные аппроксимации производных в узлах
и на ячейках не обладают перестановочностью (15), поэтому вязкие напряжения могут быть упрощены лишь до
p xx = 2?u?x ,
p xz = ?(u ?z + w?x ) = p zx ,
p zz = 2?w?z ,
причем только в двумерном случае.
Можно рассматривать систему «водоем?атмосфера» как двухслойную, задавая скорость и направление ветра на некоторой высоте (условия дальнего поля). В большинстве же существующих моделей атмосфера в расчет не принимается, а задаются вязкие напряжения на свободной поверхности жидкости (сила трения ветра о поверхность). Применительно к последнему подходу формально полагая ? d = ? , ?u = 0 , получим
модель гидродинамики водоема вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью. При этом после сокращения на ? у слагаемых переноса, относящихся к свободной поверхности, появляется коэффициент
(? d + ?u ) ? = - . Однако это не означает, что через свободную поверх2
2
ность переносится жидкость половинной плотности. Жидкость через свободную поверхность вообще не переносится. Свободная поверхность ограничивает жидкость. Коэффициент 1/2 в уравнении неразрывности появляется при слагаемых, в сумме равных 0 (представляющих в сумме левую часть сеточного кинематического условия), то есть может быть любым.
Коэффициент 1/2 в сеточных уравнениях количества движения при слагаемых передачи импульса через свободную поверхность означает, что выше свободной поверхности находится среда существенно меньшей плотности (коэффициент 1 означал бы присутствие среды такой же плотности). Наличие коэффициента 1/2 в сеточных уравнениях количества движения существенно, так как из-за различного задания производных по
времени (явного в сеточных уравнениях количества движения и неявного в сеточном уравнении неразрывности) в сумме слагаемых передачи
импульса через свободную поверхность может быть выделено выражение, лишь аппроксимирующее левую часть кинематического условия
(11), но не являющееся левой частью сеточного кинематического условия.
Все представленные результаты переносятся на трехмерный случай. Однако при этом возникает ряд существенных особенностей, не
имеющих аналога в двумерном случае.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Васильев В.С. Энергетически нейтральная строго диссипативная аппроксимация двумерной гидродинамической системы на криволинейной сетке // Известия ТРТУ. Таганрог: ТРТУ, 2002. № 1, с. 171?177. ISBN 5-8327-0076-7.
2. Васильев В.С. Многослойная модель гидродинамики вязких несжимаемых несмешивающихся жидкостей / Проектирование и моделирование интеллектуальных систем. Таганрог: ТРТУ, 2000. С. 85?96.
189
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа