close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2-параметрические кривизна и кручение 3-мерных галилеевых одулярных разрешимых пространств.

код для вставкиСкачать
№ 4, 2007
Физико-математические науки. Математика
МАТЕМАТИКА
УДК 514.7
А. И. Долгарев
2-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ
3-МЕРНЫХ ГАЛИЛЕЕВЫХ ОДУЛЯРНЫХ
РАЗРЕШИМЫХ ПРОСТРАНСТВ
Поверхности одулярных пространств являются 2-параметрическими галилеевыми многообразиями. В ортогональных прямолинейных координатах
введена 2-параметрическая кривизна одулярных пространств, напоминающая
секционную кривизну. 2-параметрическая кривизна пространства Галилея равна нулю, некоммутативных пространств – отлична от нуля и в каждом пространстве имеет свое значение. Введено также 2-параметрическое кручение
одулярных пространств. Для пространства Галилея оно равно нулю, для некоммутативных пространств 2-параметрическое кручение отлично от нуля,
имеет свое значение.
Одулярные разрешимые 3-мерные галилеевы пространства определены
в аксиоматике Г. Вейля на основе одулей Ли [1]. В исследовании этих пространств используются аффинные методы, распространяемые на некоммутативные структуры. Одули, как обобщение модулей, введены Л. В. Сабининым [2]. Определяя внешнюю операцию на группах Ли, получаем одули Ли
[1]. Действительные одули Ли определяются на многообразии R n , где R –
поле действительных чисел.
Имеется два 2-мерных одуля Ли – линейное пространство и растран,
один коммутативный, другой некоммутативный. Существует пять видов
3-мерных разрешимых действительных одулей Ли: линейное пространство,
растран, сибсон, диссон и осцилляторный одуль. Эти одули Ли представляются пододулями аффинного одуля Ли (т.е. аффинными преобразованиями).
Растран есть одуль параллельных переносов и гомотетий аффинного пространства, сибсон – одуль Ли движений галилеева пространства, осцилляторный одуль – одуль Ли движений евклидова пространства.
На всех одулях Ли введена галилеева норма. Всякий одуляр (элемент
одуля) является либо галилеевым, либо евклидовым. Евклидовы одуляры составляют в 3-мерном одуле Ли 2-мерное евклидово векторное пространство.
Определено классическое дифференцирование одулярных функций. Осцилляторные функции оказались недифференцируемы. В аксиоматике Г. Вейля
построены одулярные галилеевы пространства (кратко ВО-пространства); в
коммутативном случае имеется пространство Галилея, его одуль Ли – галилеево векторное пространство.
Поверхности ВО-пространств являются 2-параметрическими галилеевыми многообразиями. Регулярная поверхность задается одулярной функцией класса C 3 двух параметров. Смешанные производные второго порядка этих функций зависят от порядка дифференцирования. Ниже в ортогональных прямолинейных координатах введена 2-параметрическая кривизна
3
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ВО-пространств, отдаленно напоминающая секционную кривизну. 2-параметрическая кривизна пространства Галилея равна нулю, некоммутативных
ВО-пространств – отлична от нуля. Для поверхностей всех ВО-пространств
ранее найдены символы Кристоффеля. Оказалось, что в некоммутативных
1
ВО-пространствах Γ112 ≠ Γ12
. Введено 2-параметрическое кручение ВОпространств. Для пространства Галилея оно равно нулю, для некоммутативных пространств 2-параметрическое кручение отлично от нуля.
1. Действительные разрешимые 3-мерные одули Ли
1.1 Галилеево многообразие
Пусть М – хаусдорфово топологическое пространство. Считаем, что
задано гомеоморфное отображение каждого открытого множества U α из М
во множество R n . На множестве R n могут быть определены различные расстояния между точками – евклидово, псевдоевклидово, галилеево и др. Счи-
таем, что на R n определена галилеева метрика.
Определение галилеева расстояния между точками предполагает выде-
ление одной из компонент кортежей, составляющих R n . Выделим первую
компоненту, и кортежи из R n записываем в виде X = ( x, x 1 , x 2 , ..., x n −1 ) .
Пусть Y = ( y, y 1 , y 2 , ..., y n−1 ) – еще одна точка. Галилеевым расстоянием
XY между точками Х и Y называется
XY = y − x , если y ≠ x ,
XY = ( y1 − x1 ) 2 + ... + ( y n −1 − x n−1 ) 2 , если y = x .
Тем самым имеем галилеево многообразие R n [1].
Открытыми множествами D2 в R 2 являются множества пар ( x, x 1) ,
где a < x < b , a 1< x1 < b1 и (a, b) , (a1 , b1 ) – интервалы из R. Открытые множества
1 2
D3
2 2
R3
в
2
есть множества троек
( x, x 1 , x 2 ) , где
a< x<b,
3
( x ) + ( x ) < c . Множество D есть внутренность цилиндра радиуса c и
высоты b − a . Открытое множество Dn в R n есть внутренность n -мерного
цилиндра радиуса c и высоты b − a , для точек ( x, x 1 , x 2 , ..., x n −1 ) открытого
цилиндра выполняются неравенства a < x < b , ( x 1) 2 + ... + ( x n −1 ) 2 < c 2 .
Итак, для каждого открытого множества U α , α ∈ A , из хаусдорфова
топологического пространства M задано гомеоморфное отображение ϕα в
галилеево многообразие R n . Тем самым, в пространстве M локально введены координаты, в которых определено галилеево расстояние между точками.
Имеем атлас {(U α , ϕα ) | α ∈ A} . Выполняются условия:
а)
∪ Uα = M ,
α∈A
4
№ 4, 2007
Физико-математические науки. Математика
б) ϕα ϕβ−1 класса C k , как и ϕα , ϕβ ;
в) семейство {ϕα | α ∈ A} максимально.
1.2 Одули Ли размерности 2 и 3
Действительным одулем Ли является структура, полученная на действительной группе Ли в результате определения внешней операции умножения элементов группы Ли на действительные числа. Внешние операции на
2- и 3-мерных одулях Ли введены автором [1]. Групповая операция записывается аддитивно.
2-мерные одули Ли задаются следующими операциями на многообразии R 2 :
– линейное пространство L2 : ( x, x1 ) + ( y, y1 ) = ( x + y , x1 + y1 ) ; t ( x, x1 ) =
= ( xt , x1t ) , t ∈ R ;
e xt − 1
),
– растран P 2 : ( x, x1 ) + ( y, y1 ) = ( x + y, x1e y + y1 ) ; t ( x, x1 ) = ( xt , x1
ex −1
t ∈ R ; в случае x = 0 имеем t (0, x1 ) = (0, x1t ) , t ∈ R .
Растран P 2 является единственным некоммутативным 2-мерным одулем Ли.
Имеется пять видов 3-мерных разрешимых действительных одулей Ли.
На многообразии R 3 они задаются следующими операциями ( i = 1, 2 ; t ∈ R ):
– линейное пространво L3 : ( x, xi ) + ( y, y i ) = ( x + y , xi + y i ) ; t ( x, xi ) =
= ( xt , xi t ) ;
– растран однородный P3 : ( x, xi ) + ( y, y i ) = ( x + y , xi e y + y i ) ; t ( x, xi ) =
e xt − 1
);
= ( xt , xi
ex −1
– растран общего вида P31 : ( x, x1 , x 2 ) + ( y, y1 , y 2 ) = ( x + y , x1e − y + y1 ,
e− xt − 1 2 e xt − 1
,x
);
x 2 e y + y 2 ) ; t ( x, x1 , x 2 ) = ( xt , x1
ex −1
ex −1
( x, x1 , x 2 ) + ( y, y1 , y 2 ) = ( x + y, x1 + y1 , x 2 + y 2 + x1 y ) ;
t (t − 1) 1
t ( x, x1 , x 2 ) = ( xt , x1t , x 2t +
xx ) ;
2
–
сибсон
Σ3 :
– диссон Δ3 : ( x, x1 , x 2 ) + ( y , y1 , y 2 ) = ( x + y , x1e y + y1 + x 2 ye y , x 2 e y + y 2 ) ;
e xt − 1
te xt
e xt − 1 x
e xt − 1
t ( x, x1 , x 2 ) = ( xt , x1
+ xx 2 (
−
e ), x 2
).
ex −1
e x − 1 (e x − 1)2
ex −1
В растране и диссоне t (0, x1 , x 2 ) = (0, x1t , x 2t ) ;
–
осцилляторный
одуль
Ли
Ω3 :
( x, x1 , x 2 ) + ( y, y1 , y 2 ) =
= ( x + y , y1 + x1 cos y − x 2 sin y, y 2 + x1 sin y + x 2 cos y ) ;
5
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
t ( x, x1 , x 2 ) =
1
= ( xt , x +
t −1
t −1
sin
x
xt
xt
1
2
2
2 ( x cos − x sin ), x +
2 ( x 1 sin xt + x 2 sin xt )),
x
x
2
2
2
2
sin
sin
2
2
sin
x ≠ 2πk ; t (2πk , x1 , x 2 ) = (2πkt , x1t , x 2t ) , k = 0, ± 1, ± 2, ... .
Всякий одуль Ли обозначаем Ω . Элементы одулей называются одулярами (и, соответственно, векторами, растами, сибсами, диссами) и обозначаются α, β, ..., ω, ... ; ϑ = (0,0,0) – нулевой одуляр: ω + ϑ = ϑ + ω = ω . Пусть
(1,0,0) = α , (0,1,0) = β , (0,0,1) = γ . Во всяком из рассматриваемых одулей Ли
имеется разложение
ω = ( x, x1 , x 2 ) = xα + x1β + x 2 γ .
Упорядоченное множество (α, β, γ ) = Б является базисом одуля Ли
Ω . В каждом из одулей Ли одуляры ( x,0,0) составляют пододуль Ли, яв-
ляющийся 1-мерным линейным пространством L1 ; одуляры (0, x1 , x 2 ) составляют 2-мерное линейное пространство L2 . Всякий одуль Ли Ω является
полупрямой суммой линейных пространств Ω = L2 ┤ L1 и превращается в
прямую сумму в случае линейного пространства L3 = L2 ┤ L1 . Пододуль L2
является инвариантным в одуле Ω .
1.3 Галилеева норма на одуле Ли
Галилеевой нормой ω одуляра ω = ( x, x1 , x 2 ) называется
ω = x , если x ≠ 0 ;
ω = ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 , если x = 0 .
Если Ω есть линейное пространство, то галилеева норма превращает
его в галилеево векторное пространство VΓ3 = V 2 + V1 – прямую сумму
евклидовых пространств. Остальные одули Ли являются полупрямой суммой
евклидовых пространств Ω = V 2 ┤ V1 . Составляющая этой суммы V1 –
времениподобна, составляющая V 2 – пространственноподобна. Базис одуля
Ли (α, β, γ ) = Б является ортонормированным.
Одуляры (0, x1 , x 2 ) называются евклидовыми, это векторы евклидова
пространства V 2 в одуле Ли Ω , одуляры ( x, x1, x 2 ) , x ≠ 0 , называются галилеевыми. Всякий галилеев одуляр перпендикулярен всякому евклидову одуляру.
1.4 Порождаемость 3-мерных одулей Ли
Всякие два независимых вектора a , b из галилеева пространства VΓ3
порождают 2-мерное векторное пространство 〈 a , b 〉 (или оболочка векторов
a , b ); оно является либо евклидовым, либо галилеевым.
6
№ 4, 2007
Физико-математические науки. Математика
Одуляры ρ, σ из одуля Ли Ω называются независимыми, если ρ ∉ 〈 σ〉 ,
т.е. одуляр ρ не содержится в оболочке 〈 σ〉 одуляра σ . Оболочка 〈 σ〉 состоит из одуляров t σ , t ∈ R . Оболочка 〈ρ, σ〉 есть подгруппа в группе Ли
(Ω, + ) , порожденная двумя элементами ρ, σ .
Всякие два независимых раста из P3 порождают либо 2-мерный растран, либо 2-мерное евклидово векторное пространство. (Мы рассматриваем
нормированные одули Ли.) Базисные расты α, β, γ порождают 2-мерные растраны 〈 α, β〉 и 〈 α, γ 〉 и евклидово пространство 〈β, γ 〉 . В сибсоне:
β + α = α + β + γ . Поэтому сибсон Σ3 порождается двумя сибсами Σ3 = 〈 α, β〉 .
Два независимых сибса либо порождают весь сибсон, либо евклидово пространство, либо галилеево пространство. То есть всякий нетривиальный подсибсон сибсона Σ3 является евклидовым или галилеевым пространством,
2-мерным или 1-мерным. Имеем 〈 α, β〉 = Σ3 , 〈 α, γ 〉 – галилеево пространство,
〈β, γ 〉 – евклидово пространство. В дисоне выполняется: γ + α = α + eβ + γ ,
следовательно, диссон Δ3 порождается двумя диссами: Δ3 = 〈 α, γ〉 . Кроме того, 〈 α, β〉 – 2-мерный растран, 〈β, γ 〉 – евклидово пространство. Осцилляторный одуль порождается двумя одулярами: Ω3 = 〈 α, β〉 = 〈 α, γ 〉 , и 〈β, γ 〉 есть
евклидово 2-мерное пространство.
1.5 Дифференцирование одулярных функций
Отображение R → Ω называется одулярной функцией одного параметра. Обычно рассматривается интервал I в R или R . Значению t ∈ I соответствует одуляр ω(t ) = ( x(t ), x1 (t ), x 2 (t )) . Одулярная функция ω(t ) представляет собой упорядоченную совокупность ( x(t ), x1 (t ), x 2 (t )) трех действительных функций действительного параметра. Рассматриваем функции класса C 3 , т.е. каждая из действительных функций x(t ), x1 (t ), x 2 (t ) обладает производными до третьего порядка включительно.
Производное число ω′( p ) одулярной функции ω(t ) в точке t = p определяется равенством
Δω
,
t → p Δt
ω′( p ) = lim
где t = p + Δt , ω( p + Δt ) = ω( p ) + Δω ; из последнего равенства: Δω =
= – ω( p ) + ω( p + Δt ) . В некоммутативном одуле Ли слагаемые переставить
нельзя, а в векторном пространстве Δω = ω( p + Δt ) – ω( p ) . Если значение p
изменяется, то имеем производную функцию. Вычисляем указанный предел в
каждом из рассматриваемых одулей Ли. Используем обозначения: ω = γ –
в галилеевом векторном пространстве; ω = ρ – в растране; ω = σ – в сибсоне;
ω = δ – в диссоне. Получены следующие формулы дифференцирования одулярных функций:
7
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
γ ′ = ( x′, x′1 , x′2 ) – в векторном пространстве VΓ3 ;
⎛
⎛ x′1 1 ⎞ x′
⎛ x ′2
⎞⎞
ρ′ = ⎜ x′, e x′ − 1 ⎜
− x ⎟, e −1 ⎜
− x 2 ⎟ ⎟ – в растране P3 ;
⎜ x′
⎟
⎜ x′
⎟⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
⎠⎠
⎝
(
)
(
)
⎛
⎛1
⎞⎞
σ′ = ⎜ x′, x′1 , x′2 + x′ ⎜ x′1 − x′ ⎟ ⎟ – в сибсоне Σ3 ;
⎝2
⎠⎠
⎝
⎛
⎛ x′1 − x′2
⎞
⎛ x ′2
⎞⎞
δ′ = ⎜ x′, e x′ − 1 ⎜
− x1 ⎟ + x′2 − x′x 2 e x′ , e x′ − 1 ⎜
− x2 ⎟ ⎟ – в
⎜
⎟
⎜ x′
⎟⎟
⎜
x′
⎝
⎠
⎝
⎠⎠
⎝
(
)
(
) (
)
диссоне Δ3 .
В осцилляторном одуле Ω3 рассматриваемого предела не существует,
т.е. функции со значениями в осцилляторном одуле не дифференцируемы,
иначе говоря, осцилляторный одуль недифференцируем [1]. Для обозначения
производной функции произвольной одулярной функции ω(t ) используется
символ ω′(t ) .
Свойства дифференцирования векторных функций на одулярные функции не распространяются. Выполняются соотношения:
(C ω(t ))′ ≠ C ω′(t ) ,
постоянный множитель не выносится за знак производной;
(ω(t ) + χ(t ))′ ≠ ω′(t ) + χ′(t ),
производная суммы одулярных функций не равна сумме производных этих
функций и т.д. Таким образом, операция дифференцирования не коммутирует с операциями над одулярами. Но если ω – постоянный одуляр, то
(t ω)′ = ω
для всех одулей Ли.
Производные второго порядка одулярных функций есть производные
от производных первого порядка.
Отображение R 2 → Ω называется одулярной функцией двух парамет-
ров. Обычно рассматривается некоторая область D ⊆ R 2 или R 2 . Паре
(u , v) ∈ D соответствует одуляр ω(u , v) = ( x(u , v), x1 (u , v), x 2 (u , v)) . Частные
∂ω
∂ω
= ωu ,
= ωv отыскиваются как производные функций одпроизводные
∂u
∂v
ного параметра (либо u , либо v ). Для всех одулей Ли, кроме векторного
пространства:
ωuv ≠ ωvu ,
смешанная производная одулярной функции ω(u , v) зависит от порядка дифференцирования.
8
№ 4, 2007
Физико-математические науки. Математика
2. Одулярные галилеевы пространства
2.1 Определение ВО-пространств
Пусть W – непустое множество, его элементы называются точками и
обозначаются: A, B, …, M ,… ; Ω – одуль Ли. Задано отображение
W × W → Ω пар точек ( A, B ) в одуль Ли Ω , т.е. всякой паре ( A, B ) точек соответствует единственный одуляр ω , пишем: AB = ω ; выполняются аксиомы Г. Вейля:
(в.1) для всякой точки А и всякого одуляра ω существует единственная точка В, что AB = ω ;
(в.2) для любых трех точек А, В, С, если AB = ω , AC = χ , то
AC = ω + χ .
Множество W называется ВО-пространством; одуль Ли Ω называется одулем ВО-пространства W. Одуляры из Ω называются одулярами
ВО-пространства W.
Из аксиом следует: для любых трех точек А, В, С: АВ + ВС = АС; если
AB = ω , то BA = −ω ; AA = ϑ .
ВО-пространство является частным случаем одулярных пространств
Л. В. Сабинина [2]. Если Ω = Ln , то W – аффинное пространство. Размерность одуля Ли Ω называется размерностью ВО-пространства W . Далее
рассматриваются 3-мерные ВО-пространства.
Если Ω1 – пододуль одуля Ω ВО-пространства, W и W1 есть подмножество точек из W, то подмножество W1, являющееся ВО-пространством с
одулем Ω1 , называется подпространством ВО-пространства.
Пусть O – точка ВО-пространства W, Б = (α, β, γ ) – базис одуля Ли Ω .
Множество B = (O, α, β, γ ) называется репером ВО-пространства. Это ортонормированный репер каждого из ВО-пространств. Координатами точки M
в репере В называются координаты одуляра OM в базисе Б. Если
OM = ( x, y, z ) , то и M = ( x, y, z ) .
ВО-пространство с галилеевым векторным пространством называется
пространством Галилея. Это единственное коммутативное одулярное галилеево пространство, мы его выделяем и названием – пространство Галилея.
ВО-пространство с нормированным однородным растраном называется ЕМпространством, ЕС-пространство имеет своим одулем Ли нормированный
сибсон, ЕД-пространство есть ВО-пространство с нормированным диссоном.
ВО-пространство с осцилляторным одулем Ли не обладает дифференциальной геометрией в связи с недифференцированностью осцилляторных функций; это пространство мы не рассматриваем.
Для точек A = (a, a1 , a 2 ) и B = (b, b1 , b 2 ) имеем:
AB = (b − a, b1 − a1 , b 2 − a 2 ) – в пространстве Галилея;
AB = (b − a, b1 − a1eb − a , b 2 − a 2eb −a ) – в ЕМ-пространстве;
AB = (b − a, b1 − a1 , b 2 − a 2 − (b − a )a1 ) – в ЕС-пространстве;
AB = (b − a, b1 − (a1 − a 2 (b − a ))eb − a , b 2 − a 2 eb − a ) – в ЕД-пространстве.
9
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Расстоянием AB между точками A и B в ВО-пространстве равно
норме одуляра AB . Согласно п. 1.3, во всех рассматриваемых ВОпространствах
AB = b − a , если b ≠ a ,
AB = (b1 − a1 )2 + (b 2 − a 2 ) 2 , если b = a .
2.2 Прямые и плоскости одулярных галилеевых пространств
Прямой, определяемой точкой A = (a, a1 , a 2 ) и ненулевым одуляром
μ = (m, m1 , m 2 ) , называется множество точек
〈 A, μ〉 = { AM = tμ | t ∈ R} .
Через всякие две различные точки A и B проходит единственная прямая 〈 A, AB〉 . Прямые 〈 A, μ〉 и 〈 B, μ〉 называются ко-параллельными; прямые
〈 A, μ〉 и 〈 B, ν〉 , где ν = −λ + ν + λ , называются тран-параллельными. Если
B ∉ 〈 A, μ〉 и одуляр AB неперестановочен с одуляром μ , то прямые 〈 B, μ〉 и
〈 B, ν〉 различны.
Пусть μ – галилеев одуляр. Имеем следующие параметрические уравнения прямых:
– в пространстве Галилея:
x = mt + a , x1 = m1t + a1 , x 2 = m2t + a 2 ;
– в ЕМ-пространстве:
emt − 1 1 mt 2
e mt − 1 2 mt
x = mt + a , x1 = m1
+ a e , x = m2
+a e ;
em − 1
em − 1
– в ЕС-пространстве:
t (t − 1)
x = mt + a , x1 = m1t + a1 , x 2 = m 2t + mm1
+ ma1t + a 2 ;
2
– в ЕД-пространстве:
emt − 1 1 mt
temt
emt − 1 m
+ a e + mm2 (
−
e ),
x = mt + a , x1 = m1
em − 1
em − 1 (em − 1)2
x 2 = m2
emt − 1
m
+ a 2emt .
e −1
Уравнения линейны только в пространстве Галилея.
Если μ – евклидов одуляр, то 〈 A, μ〉 есть прямая евклидовой плоскости.
Прямые 〈O, α〉 , 〈O, β〉 и 〈O, γ〉 являются координатными осями.
Плоскостью, определяемой точкой A и независимыми одулярами μ, ν ,
в случае, если оболочка 〈μ, ν〉 2-мерна, называется множество точек
〈 A, μ, ν〉 = { AM = uμ + vν | (u , v) ∈ D ⊆ R 2 } .
10
№ 4, 2007
Физико-математические науки. Математика
2-мерные одули Ли – это векторные пространства или растраны. Поэтому всякая плоскость любого из одулярных галилеевых пространств есть
либо евклидова плоскость, либо галилеева плоскость, либо ЕМ-плоскость.
Через три неколлинеарные точки A, B, C в ВО-пространстве проходит плоскость и притом единственная, если и только если одуляры AB и AC порождают 2-мерный пододуль в одуле Ли ВО-пространства.
Во всяком из рассматриваемых ВО-пространств через всякую точку A
проходит единственная евклидова плоскость 〈 A, β, γ〉 . Все плоскости пространства Галилея евклидовы или галилеевы. Через всякие три неколлинеарные точки проходит плоскость. Координатные плоскости 〈O, α, β〉 и 〈O, α, γ 〉
галилеевы, 〈O, β, γ〉 евклидова. Все плоскости ЕС-пространства также либо
евклидовы, либо галилеевы, но по сравнению с пространством Галилея в ЕСпространстве существуют неколлинеарные точки, через которые не проходит
плоскость, например, не существует плоскости, имеющей сибсы α и β , т.к.
〈 α, β〉 = Σ3 . Координатная плоскость 〈O, β, γ〉 евклидова, 〈O, α, γ 〉 галилеева,
точка O и сибсы α , β не определяют никакой плоскости.
Каждая из плоскостей ЕМ-пространства либо евклидова, либо ЕМплоскость. Через всякие три неколлинеарные точки проходит единственная
плоскость. Плоскость 〈O, β, γ〉 евклидова, плоскости 〈O, α, β〉 и 〈O, α, γ 〉 являются ЕМ-плоскостями. Каждая из плоскостей ЕД-пространства также либо
евклидова, либо ЕМ-плоскость, но не через всякие три неколлинеарные точки
проходит плоскость. Плоскость 〈O, β, γ 〉 евклидова, 〈O, α, γ 〉 есть ЕМплоскость, не существует плоскости с диссами α , β .
В одулярных галилеевых пространствах плоскости описываются следующими параметрическими уравнениями:
– в пространстве Галилея:
⎧ x = t + a,
⎪⎪ 1 1
1
1
⎨x = b t + c u + a ,
⎪ 2
2
2
2
⎪⎩ x = b t + c u + a ;
– в ЕМ-пространстве:
⎧ x = t + a,
⎪⎪ 1
1 t
1
1
⎨x = p e + c u + a ,
⎪ 2
2 t
2
2
⎪⎩ x = p e + c u + a ;
– галилеева плоскость в ЕС-пространстве:
⎧
⎪ x = t + a,
⎪ 1 1
1
⎨x = c t + a ,
⎪
t (t − 1)
⎪ x 2 = c1
+ c 2t + a1t + u + a 2 ;
2
⎩
11
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
– ЕМ-плоскость в ЕД-пространстве:
⎧ x = t + a,
⎪⎪ 1
2
1 t
⎨ x = ( a t + a )e + u ,
⎪ 2
2 t
⎪⎩ x = a e .
Только в пространстве Галилея уравнения плоскости линейны.
Уравнение евклидовой плоскости во всяком ВО-пространстве: x = a .
Можно задать плоскость одулярной функцией, записав правые части ее
параметрических уравнений как компоненты одулярной функции. Например,
плоскость в ЕМ-пространстве:
ρ(t , u ) = (t + a, p1et + c1u + a1 , p 2et + c 2u + a 2 ) .
3. 2-параметрические многообразия ВО-пространств
3.1 Поверхности как 2-параметрические многообразия
В ВО-пространстве рассматриваем 2-параметрические многообразия
класса C 3 :
ω(u , v) = ( x(u , v), x1 (u , v), x 2 (u , v)) , (u , v) ∈ D ⊆ R 2 .
Эти многообразия являются поверхностями ВО-пространств. В галилеевых пространствах содержатся поверхности, имеющие евклидовы касательные плоскости, и поверхности, имеющие неевклидовы касательные
плоскости (галилеевы, ЕМ-плоскости), или вовсе не имеющие касательных
плоскостей. Поверхности с евклидовыми касательными плоскостями могут
быть изучены средствами евклидовой геометрии, поэтому в галилеевой геометрии интересны оставшиеся поверхности. Ввиду того, что рассматриваются многообразия класса C 3 , вместе с функцией x(u , v) существует функция
v = v(u , t ) . Поэтому многообразия интересующего нас вида описываются
одулярными функциями
ω(u , t ) = (t , x(u , t ), y (u, t )) , (u , t ) ∈ D ⊆ R 2 .
Такая параметризация многообразия ω(u , t ) называется естественной [1].
Во всяком галилеевом ВО-пространстве в его репере B = (O, α, β, γ )
имеем разложение
ω(u , t ) = tα + r (u , t ) ,
где r (u , t ) = ( x(u , t ), y (u , t )) – векторная функция евклидовой плоскости E 2 =
〈O, β, γ 〉 ВО-пространства [1]. Это также векторное поле евклидовой плоскости, евклидова проекция одулярного многообразия ω(u , t ) на E2 . Слагаемое
tα есть времениподобная составляющая многообразия; r (u , t ) – пространственноподобная составляющая.
Многообразие ω(u , t ) является галилеевым. Действительно, пусть
P (u0 , t0 ) – точка многообразия, P (u0 , t0 ) = ω(u0 , t0 ) ; Δu и Δt – приращения
12
№ 4, 2007
Физико-математические науки. Математика
параметров. Множество точек M (u0 ± εΔu , t0 ± δΔt ) = ω(u0 ± εΔu , t0 ± δΔt ) ,
где ε и δ – бесконечно малые, является окрестностью точки P ; окрестность
гомеоморфна прямоугольнику. Многообразие ω(u , t ) покрывается такими
окрестностями, оно является галилеевым (п. 1.1).
На основании формул дифференцирования одулярных функций в каждом
из одулей Ли имеем следующие частные производные многообразий ω(u , t ) :
1) ωu = γ u = ru , ωt = γ t = α + rt – в пространстве Галилея;
2) ωu = ρu = ru , ωt = ρt = α + (e − 1)(rt − r ) – в ЕМ-пространстве;
1
3) ωu = σu = ru , ωt = σt = α + rt + ( xt − x) γ – в ЕС-пространстве;
2
4) ωu = δu = ru , ωt = δt = α + (e − 1)(rt − r ) + ( yt − ey )β – в ЕДпространстве.
Репер В = (O, α, β, γ ) ортонормированный. Частные производные одулярных функций в сибсоне и диссоне выражаются не только через производ
ные векторной функции r (u , t ) , а имеют еще слагаемые, зависящие только от
одной из компонент функции r (u , t ) . Производная сибсонной функции зави
сит от первой компоненты x(u , t ) функции r (u , t ) ; производная диссонной
функции выражается еще и через вторую компоненту y (u , t ) векторной
функции r (u , t ) .
Нормальная кривизна kn поверхности выражается через производные
второго порядка одулярной функции ω(u , t ) . Имеем:
1) ωut = γ ut = rut , ωtu = γ tu = rtu – в пространстве Галилея;
2) ωut = ρut = rut , ωtu = ρtu = (e − 1)(rtu − ru ) – в ЕМ-пространстве;
1
3) ωut = σut = rut , ωtu = σtu = rtu + ( xtu − xu ) γ – в ЕС-пространстве;
2
4) ωut = δut = rut , ωtu = δtu = (e − 1)(rtu − ru ) + ( ytu − eyu )β – в ЕДпространстве.
Нормальная кривизна поверхности равна
kn = Aq 2 + 2 Bq + C ,
коэффициенты нормальной кривизны есть
du
A = ruu n , B = rut n , C = ωtt n , q =
,
dt
1
и n = (− yu , xu ) – единичная нормаль поверхности.
ru
3.2 2-параметрическая кривизна галилеева ВО-пространства
Для 2-мерных многообразий ω(u , t ) = tα + r (u , t ) в каждом из одулярных галилеевых пространств W найдем одуляры
1
∇[2] W = ωut − ωtu ,
h
13
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
h = 1 в пространстве Галилея и в ЕС-пространстве и h = e − 1 в ЕМ- и ЕДпространствах.
1) ∇[2]Γ3 = γ ut − γ tu = rut − rtu = 0 – в пространстве Галилея;
1
ρtu = rut −(rtu − ru ) = ru – в ЕМ-пространстве;
e −1
1
1
3) ∇[2]S3 = σut − σtu = rut −rtu − ( xtu − xu ) γ = −( xtu − xu ) γ – в ЕС2
2
пространстве;
1
1
4) ∇[2]D3 =
rut − (rtu − ru ) −
=
( ytu − eyu )β
δut −
δtu
=
e −1
e −1
1
= ru −
( ytu − eyu )β – в ЕД-пространстве.
e −1
Одуляр ∇[2] W называется одуляром 2-параметрической кривизны га-
2) ∇[2]M 3 = ρut −
лилеева ВО-пространства. Мы получили
3.2.1 Теорема. В ортонормированных координатах одуляр 2-параметрической кривизны 3-мерного ВО-пространства является нулевым только в
пространстве Галилея. В ЕМ-, ЕС- и ЕД-пространствах одуляр 2-параметрической кривизны отличен от нулевого. В ЕМ-пространстве одуляр ∇[2] W
зависит только от ru – производной пространственноподобной состав
ляющей r (u , t ) 2-параметрических многообразий ω(u , t ) . В ЕС-пространстве
одуляр 2-параметрической кривизны зависит только от производных первой
компоненты x(u , t ) пространственноподобной составляющей r (u , t ) его
2-параметрических многообразий. Одуляр 2-параметрической кривизны ЕД
пространства зависит от производной ru и от производных второй компо
ненты y (u , t ) пространственноподобной составляющей r (u , t ) 2-параметрических многообразий. #
Выполняется
3.2.2 Свойство. Одуляр 2-параметрической кривизны ВОпространства является евклидовым вектором. #
Полученная теорема позволяет сформулировать критерий галилеева
ВО-пространства по значению одуляра его 2-параметрической кривизны.
3.2.3 Теорема. Галилеево ВО-пространство является пространством
Галилея, если одуляр его 2-параметрической кривизны является нулевым; является ЕМ-пространством, если одуляр его 2-параметрической кривизны
совпадает с ru ; является ЕС-пространством, если одуляр его 2-параметрической кривизны выражается через производные первой компоненты про
странственноподобной составляющей r (u , t ) многообразий ω(u , t ) ; является
ЕД-пространством, если одуляр его 2-параметрической кривизны выража
ется через ru и производные второй компоненты пространственноподобной
составляющей r (u , t ) многообразий ω(u , t ) .
# Пусть W – галилеево ВО-пространство. Рассматриваем его 2-пара
метрические многообразия ω(u , t ) = tα + r (u , t ) и вычисляем их одуляры
2-параметрической кривизны. Получаем результат согласно теореме 3.2.1,
14
№ 4, 2007
Физико-математические науки. Математика
и невозможно, чтобы, например, в ЕМ-пространстве получился одуляр
∇[2] W , зависящий не только от производной ru функции r (u , t ) , или был бы
тождественно нулевым. Это относится к каждому из остальных ВОпространств. #
Выше, в п. 2.2, приведены уравнения плоскостей ВО-пространств. Подсчитаем 2-параметрическую кривизну ∇[2]ω плоскостей:
1) в пространстве Галилея ∇[2] γ = ϑ ;
2) в ЕМ-пространстве ∇[2]ρ = (0, c1 , c 2 ) ;
3) в ЕС-пространстве ∇[2]σ = ϑ ;
4) в ЕД-пространстве ∇[2]δ = (0,1,0) .
Для получения ненулевых значений 2-параметрической кривизны многообразий ВО-пространств достаточно рассмотреть в некоммутативных пространствах 2-мерные многообразия, задаваемые линейными одулярными
функциями, причем в ЕС-пространстве достаточно иметь линейную функцию от параметра u в компоненте x(u , t ) , а в ЕД-пространстве – в компоненте y (u , t ) . Эти условия выполняются, т.к. рассматриваются всевозможные
2-мерные многообразия ВО-пространств.
2-параметрической кривизной галилеева ВО-пространства называется
норма K 1[2] = ∇[2] W его одуляра ∇[2] W 2-параметрической кривизны.
Имеем, что 2-параметрическая кривизна галилеева одулярного пространства
принимает следующие значения:
K 1[2] = 0 – в пространстве Галилея;
K 1[2] = ru =
xu 2 + yu 2 = E – в ЕМ-пространстве;
1
xut − xu | – в ЕС-пространстве;
2
1
K 1[2] = ( xu +
( yut − eyu ))2 + yu 2 – в ЕД-пространстве.
e −1
Оправдана следующая терминология – 2-параметрическая кривизна
K 1[2] :
K 1[2] = |
– ЕС-пространства эллиптична, т.к. выражение ∇[2]S3 не содержит
производных пространственноподобной составляющей r (u , t ) многообразий;
– ЕМ-пространства параболична, т.к. выражение ∇[2]M 3 содержит
только производную пространственноподобной составляющей r (u , t ) многообразий;
– ЕД-пространства гиперболична, т.к. выражение ∇[2]D3 содержит,
кроме производной пространственноподобной составляющей r (u , t ) многообразий, еще и производные компоненты y (u , t ) этой составляющей.
Величина ru 2 = E является коэффициентом первой квадратичной фор
мы многообразия ω(u , t ) = tα + r (u , t ) , E = xu 2 + yu 2 . Мы получили
15
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
3.2.4 Теорема. Только в ЕМ-пространстве 2-параметрическая кривизна K 1[2] = xu 2 + yu 2 = E совпадает с корнем квадратным из коэффициента E первой квадратичной формы многообразия. #
3.3 2-параметрическое кручение галилеева ВО-пространства
Для 2-мерных многообразий ω(u , t ) = tα + r (u , t ) дифференцируемых
галилеевых ВО-пространств в работе [1] вычислены символы Кристоффеля.
Во всех пространствах Γij2 = 0 .
1) В пространстве Галилея Γ112 = Γ121 = 0;
E
⎛E
⎞
2) в ЕМ-пространстве Γ112 = t , Γ121 = ( e − 1) ⎜ t − 1⎟ ;
2E
⎝ 2E ⎠
E
E
⎛1
⎞ 3) в ЕС-пространстве Γ112 = t , Γ121 = t + ⎜ xtu − xu ⎟ γru ;
2E
2E ⎝ 2
⎠
Et
⎛ Et
⎞ ( ytu − eyu )β ru
1
1
, Γ 21 = ( e − 1) ⎜
− 1⎟ +
.
4) в ЕД-пространстве Γ12 =
2E
E
⎝ 2E ⎠
В каждом из ВО-пространств W найдем разности:
1 1
2
Γ 21 = Γ112 = Γ1[1,2] W = K[2]
,
h
как и раньше, h = 1 – в пространстве Галилея и в ЕС-пространстве и h = e − 1 –
в ЕМ- и ЕД-пространствах.
2
1) В пространстве Галилея K[2]
= Γ1[1,2]Γ3 = 0;
2
2) в ЕМ-пространстве K[2]
= Γ1[1,2]M 3 = −1 ;
⎛1
⎞ ⎛1
⎞
2
3) в ЕС-пространстве K[2]
= Γ1[1,2]S3 = ⎜ xtu − xu ⎟ γru = ⎜ xtu − xu ⎟ yu ;
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
(
y
−
ey
)
β
r
2
tu
u
u = −1 +
= Γ1[1,2]D3 = −1 +
4) в ЕД-пространстве K[2]
(e − 1) E
( y − eyu ) xu
+ tu
.
(e − 1) E
2
Величина Γ1[1,2] W = K[2]
называется 2-параметрическим кручением
галилеева одулярного пространства W . Мы получили
3.3.1 Теорема. В ортонормированных координатах ВО-пространства
его 2-параметрическое кручение является постоянным только в пространстве Галилея и в ЕМ-пространстве – одулярных пространствах, где символы
Кристоффеля относятся к внутренней геометрии поверхностей. 2-параметрическое кручение равно нулю только в коммутативном пространстве,
пространстве Галилея. В ЕС-пространстве 2-параметрическое кручение зависит от производных обоих компонент пространственноподобной состав
ляющей r (u , t ) его 2-параметрических многообразий. 2-параметрическое
кручение ЕД-пространства зависит от производных компонент простран16
№ 4, 2007
Физико-математические науки. Математика
ственноподобной составляющей r (u , t ) 2-параметрических многообразий и
от коэффициента E первой квадратичной формы многообразий ω(u , t ) . #
По значениям 2-параметрического кручения имеем
3.3.2 Теорема. 2-параметрическое кручение ЕД-пространства, не являющееся константой, зависит от коэффициента E первой квадратичной
формы многообразий и производных обоих компонент пространственнопо
добной составляющей r (u , t ) его 2-параметрических многообразий. #
Полученная теорема позволяет сформулировать критерий галилеева
ВО-пространства по значению его 2-параметрического кручения.
3.3.3 Теорема. Галилеево ВО-пространство является пространством
Галилея, если его 2-параметрическое кручение является нулевым; является
ЕМ-пространством, если его 2-параметрическое кручение равно −1 ; является ЕС-пространством, если его 2-параметрическое кручение выражается
через производные обоих компонент пространственноподобной составляющей
r (u , t ) многообразий ω(u , t ) ; является ЕД-пространством, если его 2-параметрическое кручение выражается через E и производные компонент про
странственноподобной составляющей r (u , t ) многообразий ω(u , t ) . #
Некоммутативные ВО-пространства характеризуются ненулевыми
2-параметрическими кривизной и кручением. Единственное коммутативное
галилево одулярное пространство характеризуется нулевыми кривизной и
кручением.
Список литературы
1.
2.
Д о л г а р е в , А . И . Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств : монография / А. И. Долгарев. – Пенза : ИИЦ ПГУ, 2005. –
306 с.
С а б и н и н , Л . В . Одули как новый подход к геометрии со связностью /
Л. В. Сабинин // ДАН СССР. – 1977. – № 5. – С. 800–803.
17
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
420 Кб
Теги
пространство, кривизна, одулярных, кручение, галилеевых, разрешимых, параметрические, мерных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа