close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

B-сферические функции и применение их для решения граничных задач.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК ТГГПУ. 2008. №4(15)
УДК 517.956
B -СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПРИМЕНЕНИЕ ИХ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
© А.Р.Галимова
В данной работе вводятся понятия B -сферических функций, изучаются их свойства и, в частности, ортогональность. Дается разложение функции, заданной на полусфере единичного радиуса с
центром в начале координат, в ряд по B -сферическим функциям. Также рассматриваются вопросы о применении теории B -сферических функций к решению задач Дирихле и Неймана для B гармонических функций в полушаре.
Ключевые слова: B -сферические функции, задачи Дирихле и Неймана, B -гармонические функции
Пусть E3+ – полупространство x3 > 0 трехмерного евклидова пространства E3 точек
x = ( x′, x3 ) , x′ = ( x1 , x2 ) .
Рассмотрим B -эллиптическое уравнение вида [1] в E3+ :
Δ Bu =
∂ 2u ∂ 2u
+
+ Bx3 u = 0 ,
∂x12 ∂x22
(0.1)
⎧ ∂2 k + 2 ∂
Δ Bu = ⎨ 2 +
+
r ∂r
⎩ ∂r
∂ ⎞
1⎡ 1 ∂ ⎛
+ ⎢
⎜ sin θ
⎟−
r ⎣ sin θ ∂θ ⎝
∂θ ⎠
(1.2)
1 ∂ 2 ⎤ ⎫⎪
∂
− ktg θ
+
⎥⎬u =
∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2 ⎦ ⎪⎭
∂ 2u k + 2 ∂u 1
= 2+
+ Δ Bα u,
∂r
r ∂r r 2
где Δ Bα – составляющая оператора Δ B по угло-
∂2
k ∂
+
– оператор Бесселя, k > 0 .
2
∂x3 x3 ∂x3
В §1 вводятся понятия B -сферических функций, изучаются их свойства и, в частности, ортогональность. Дается разложение функции, заданной на полусфере единичного радиуса с центром
в начале координат, в ряд по B -сферическим
функциям. В §2 рассматриваются вопросы о
применении теории B-сферических функций к
решению задач Дирихле и Неймана для уравнения (0.1) в полушаре QR+ = x ∈ E3+ : x < R .
Оператор Δ Bα – самосопряженный. Доказательство этого утверждения нетрудно получить
из следующей формулы Грина:
§1. B -сферические функции
1.1. Оператор Δ B в сферических координатах
Рассмотрим
сферические
координаты
( r ,θ ,ϕ ) , связанные с декартовыми координатами
няя нормаль к границе Γ + . Применяя к функциям
⎛ x⎞
⎛ x⎞
ψ 1 (θ , ϕ ) = ψ 1 ⎜⎜ ⎟⎟ и ψ 2 (θ ,ϕ ) = ψ 2 ⎜⎜ ⎟⎟ , заданным
⎝ x⎠
⎝ x⎠
в полушаровом слое Qa+,b = x ∈ E3+ : a ≤ r ≤ b ,
( x1 , x2 , x3 )
формулу Грина (1.3), получим
k
∫∫∫ (ψ 1Δ Bψ 2 −ψ 2 Δ Bψ 1 ) x3 dx =
где Bx3 =
{
}
по формулам
⎧ x1 = r sin θ cos ϕ ,
⎪
⎨ x2 = r sin θ sin ϕ ,
⎪ x = r cosθ ,
⎩ 3
вым координатам, α = (θ ,ϕ ) .
∫∫∫ ( vΔ
D+
B
∂v ⎞
⎛ ∂u
u − u Δ B v ) x3k dx = ∫∫ ⎜ v − u ⎟ x3k d Γ + , (1.3)
∂n
∂n ⎠
Γ+ ⎝
где D + – область в E3+ , ограниченная частью Γ 0
плоскости x3 = 0 и поверхностью Γ + , n – внеш-
{
}
Qa+,b
(1.1)
∂ψ 1 ⎞ k +
⎛ ∂ψ 2
= ∫∫ ⎜ψ 1
−ψ 2
x3 dSb −
∂r
∂r ⎟⎠
Sb+ ⎝
где r = x , θ – угол между вектором x и осью
(1.4)
∂ψ 1 ⎞ k +
⎛ ∂ψ 2
− ∫∫ ⎜ψ 1
−ψ 2
x3 dSa = 0,
∂r
∂r ⎟⎠
Sa+ ⎝
x3 , а ϕ – угол между вектором x и осью x1 . Оператор Δ B в сферических координатах имеет вид
где
{
}
S R+ = x ∈ E3+ : x = R , поскольку
j = 1, 2 .
∂ψ j
∂r
= 0,
МАТЕМАТИКА
1
Δ Bαψ j , и отбраr2
сывая в интеграле множитель, зависящий только
от r , получим из (1.4) формулу
k
∫∫ (ψ 1Δ Bαψ 2 −ψ 2 Δ Bαψ 1 )θ dθ dϕ = 0 .
Пользуясь тем, что Δ Bψ j =
S1+
Отсюда следует самосопряженность оператора Δ Bα .
1.2. Понятие о B -сферических функциях
B -сферические функции тесно связаны с B гармоническими функциями, то есть с четными
по x3 регулярными решениями уравнения (0.1).
Однородный
многочлен
значим через σ ( m ) .
Известно [2], что имеет место
Теорема 1. Любой четный по x3 однородный
многочлен Pm ( x ) степени m может быть представлен, и притом единственным образом, в виде
2i
x⎞
Pm ( x ) = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ Pmk− 2i ( x ) .
(1.6)
i =0 ⎝ 2 ⎠
Из представления (1.6) следует, что
σ ( m) = m + 1 .
Определение. B -сферической функцией порядка n называется B -шаровой многочлен степени n , рассматриваемый на единичной полусфере S1+ .
Отсюда следует, что равенство
⎛ x⎞ 1
x
Ynk ( s ) = Pnk ⎜ ⎟ = n Pnk ( x ) , s = ,
⎜ x⎟ x
x
⎝ ⎠
устанавливает взаимноодназначное соответствие
между B -сферическими функциями Ynk ( s ) ,
s ∈ S1+ , порядка n и B -шаровыми многочленами
P ( x ) , x ∈ E , степени n .
1.3. Дифференциальное уравнение для B сферических функций
Рассмотрим уравнение (0.1) в сферических
координатах
k
n
+
3
∂Ynk
1 ∂ 2Ynk ⎤
+ 2
⎥+
∂θ sin θ ∂ϕ 2 ⎦
+ n ( n + k + 1) r nYnk = 0.
P ( x) ,
x ∈ E3+ = { x ∈ E3 , x3 > 0} , четный по x3 и удовлетворяющий уравнению
ΔB P ( x) = 0
(1.5)
B -шаровым многочленом. B называется
шаровые многочлены степени n образуют подпространство H mk линейного пространства H n
всех четных по x3 однородных многочленов степени n . Размерность подпространства H mk обо-
[ m 2] ⎛
∂ 2u k + 2 ∂u 1 ⎡ 1 ∂ ⎛
∂u ⎞
+
+
⎜ sin θ
⎟−
∂r 2
∂θ ⎠
r ∂r r 2 ⎢⎣ sin θ ∂θ ⎝
(1.7)
∂u
1 ∂ 2u ⎤
− ktg θ
+
⎥ = 0.
∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2 ⎦
Ищем решение этого уравнения в виде
u ( r ,θ ,ϕ ) = r nYnk (θ ,ϕ ) .
(1.8)
Подставляя функцию (1.8) в уравнение (1.7),
получим
⎡ 1 ∂ ⎛
∂Ynk ⎞
sin
θ
rn ⎢
⎜
⎟−
∂θ ⎠
⎣⎢ sin θ ∂θ ⎝
− ktg θ
Сокращая на r n , имеем
∂Ynk
1 ∂ ⎛
sin
θ
⎜
∂θ
sin θ ∂θ ⎝
⎞
⎟−
⎠
2 k
k
∂Y
1 ∂ Yn
−ktg θ n + 2
+
∂θ sin θ ∂ϕ 2
(1.9)
+ n ( n + k + 1) Ynk = 0.
Это уравнение есть дифференциальное уравнение для B -сферических функций. Таким образом, B -сферические функции Ynk (θ ,ϕ ) являются
собственными функциями дифференциального
уравнения вида
Δ Bα y + λ y = 0 ,
(1.10)
где
1 ∂ ⎛
∂ ⎞
∂
1 ∂2
Δ Bα =
sin θ
− ktg θ
+
,
⎜
⎟
sin θ ∂θ ⎝
∂θ ⎠
∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2
α = (θ ,ϕ ) , λ = n ( n + k + 1) .
( )
Через L2, k S1+
обозначим гильбертово про-
странство функций, заданных на полусфере S1+ ,
четных по θ , со скалярным произведением
( u, v ) = ∫ u (θ ,ϕ ) v (θ ,ϕ )θ k dθ dϕ .
S1+
B -сферические функции Ynk и Ymk различных
порядков ортогональны в L2, k ( S1+ ) ,
(Y
k
n
)
, Ymk = ∫ Yn ( s ) Ym ( s ) s3 ds = 0 , n ≠ m .
S1+
(1.11)
Действительно, применяя формулу Грина для
полушара Q1+ к B-гармоническим полиномам
⎛ x⎞
⎛ x⎞
n
m
Pnk ( x ) = x Ynk ⎜ ⎟ , Pmk ( x ) = x Ymk ⎜ ⎟
⎜ x⎟
⎜ x⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
получаем
(1.12)
А.Р.ГАЛИМОВА
(x Y )− x
⎡
∂
m
0 = ∫ ⎢ x Ymk
⎢
S1+
⎢⎣
⎡ ∂
= ∫ ⎢Ymk
S1+ ⎢
⎣
n
k
n
∂n
(r Y )
n
k
n
∂r
(
)
m
∂ x Ymk ⎤
k
⎥ s k ds =
Yn
⎥ 3
∂n
⎥⎦
∂ r mYmk ⎤ k
k
⎥ s3 ds =
− Yn
∂r ⎥
⎦
n
(
)
= ( n − m ) ∫ Ynk ( s ) Ymk ( s ) s3k ds
S1+
что и требовалось установить.
1.4. Разложение функции, заданной на полусфере единичного радиуса с центром в начале координат, в ряд Фурье по B -сферическим
функциям
Среди B -сферических функций данного порядка n существует σ ( n ) линейно независимых,
которые можно считать ортонормальными в
L2, k ( S1+ ) . Тем самым в L2, k ( S1+ ) имеем ортонормированную систему B -сферических функций
{Ynk,m (θ ,ϕ )} , n = 0,1, 2,… ;
(1.13)
m = 1, 2,…, σ ( n ) .
Теорема 1. Система (1.13) B -сферических
функций образуют полную ортонормированную
систему в L2, k ( S1+ ) .
Доказательство. Множество всех линейных
комбинаций функций (1.13) плотно в L2, k ( S1+ ) В
самом деле, любую функцию ψ (θ ,ϕ ) , непрерывную на единичной полусфере S1+ , можно
приблизить сколь угодно точно с помощью многочлена от x достаточно большой степени n .
Согласно формуле (1.7) значения такого многочлена на полусфере S1+ представляют собой линейную комбинацию B -сферических функций.
Из возможности равномерного приближения
любой непрерывной функции линейными комбинациями B -сферических функций следует
возможность приближения ее в метрике
L2, k ( S1+ ) .
Поскольку любой элемент из L2, k ( S1+ ) может
быть приближен в метрике L2, k ( S1+ ) непрерывными функциями, то линейная оболочка B сферических функций плотно в L2, k ( S1+ ) .
Отсюда следует полнота системы B сферических функций и любая функция
ψ (θ ,ϕ ) ∈ L2,k ( S1+ ) может быть разложена в ряд
Фурье по B -сферическим функциям, сходящийся в L2, k ( S1+ ) к ψ (θ ,ϕ ) .
∞ σ ( n)
ψ (θ ,ϕ ) = ∑ ∑ an , jYnk, j (θ ,ϕ ) ,
(1.14)
an , j = ∫∫ψ (θ ,ϕ ) Ynk, j (θ ,ϕ )θ k dθ dϕ .
(1.15)
n = 0 j =1
где
S1+
Так как в разложении (1.14) внутренняя сумма также является B -сферической функции порядка n , n = 0,1, 2,… , то обозначая ее через
Ynk (θ ,ϕ ) , разложение (1.14) запишем в виде
∞
ψ (θ ,ϕ ) = ∑ Ynk (θ ,ϕ ) .
(1.16)
n=0
§2. Применение B - сферических функций для
решения краевых задач в полушаре
2.1. Внутренняя задача Дирихле
Постановка внутренней задачи Дирихле.
Требуется найти четную по θ функцию
u ( r ,θ ,ϕ ) , удовлетворяющую условиям
( )
Δ Bu =
( )
u ∈ C 2 QR+ ∩ C QR+ ;
(2.1)
∂ u k + 2 ∂u 1
+
+ Δ Bα u = 0 ,
∂r 2
r ∂r r 2
( r ,θ ,ϕ ) ∈ QR+ ;
(2.2)
2
u r = R = f (θ , ϕ ) .
(2.3)
Предполагается, что функция f (θ ,ϕ ) разлагается в ряд по B -сферическим функциям
∞
f (θ ,ϕ ) = ∑ Ynk (θ ,ϕ ) .
(2.4)
n=0
Единственность решения задачи Дирихле
(2.1)-(2.3) следует из принципа максимума для
B -гармонических функций.
Решение внутренней задачи Дирихле методом разделения переменных. Решение задачи
(2.1)-(2.3) ищем в виде
u = T ( r ) Y (θ ,ϕ ) ,
(2.5)
где T ( r ) и Y (θ ,ϕ ) – пока неопределенные
функции. Их найдем из требования, чтобы функция (2.5) удовлетворяла уравнению (2.2).
Подставляя ее в уравнение (2.2), получим
k+2 ⎞
1
⎛
⎜ T ′′ + r T ′ ⎟ Y + r 2 T Δ Bα Y = 0 .
⎝
⎠
r2
Умножая это уравнение на
, имеем
TY
r 2T ′′ + ( k + 2 ) rT ′ Δ Bα Y
+
=0.
T
Y
Откуда
r 2T ′′ + ( k + 2 ) rT ′
Δ Y
= − Bα
T
Y
МАТЕМАТИКА
Левая часть этого равенства зависит только
от r , правая часть – от θ и ϕ . Так как эти переменные независимые, то такое равенство возможно только тогда, когда обе части равны одной и той же постоянной. Эту постоянную обозначим через λ .
В результате имеем
r 2T ′′ + ( k + 2 ) rT ′
Δ Y
= − Bα = λ ,
T
Y
откуда
Δ Bα Y + λY = 0
(2.6)
2
r T ′′ + ( k + 2 ) rT ′ − λT = 0 .
(2.7)
В силу вышеизложенного при λ = n ( n + k + 1)
уравнение (2.6) имеет ненулевые решения – B сферические функции Ynk (θ ,ϕ ) порядка n .
Найдем частные решения уравнения (2.7) при
λ = n ( n + k + 1) , т.е. уравнения
r 2T ′′ + ( k + 2 ) rT ′ − n ( n + k + 1) T = 0 .
(2.8)
Это есть уравнение Эйлера. Ищем решение
этого уравнения в виде
(2.9)
T = rμ .
Здесь μ – неопределенная постоянная. Найдем ее из требования, что функция (2.9) удовлетворяет уравнению (2.8). Подставив (2.9) в уравнение (2.8) и сократив на r μ , получим
μ 2 + ( k + 1) μ − n ( n + k + 1) = 0 .
Решениями этого уравнения являются числа:
μ1 = n , μ2 = − ( n + k + 1) . Тогда частными решениями уравнения (2.8) являются функции:
− n + k +1)
(2.10)
rn , r (
.
Таким образом, частные решения уравнения
(2.2) имеют вид
Y k (θ ,ϕ )
un = r nYnk (θ ,ϕ ) , un = n n + k +1 .
r
Частными решениями уравнения (2.2) также
являются функции:
n
1
⎛r⎞
(2.11)
un = n r nYnk (θ ,ϕ ) = ⎜ ⎟ Ynk (θ ,ϕ ) ;
R
⎝R⎠
Ynk (θ ,ϕ )
n + k +1
⎛R⎞
=⎜ ⎟
un = R
Ynk (θ ,ϕ ) . (2.12)
n + k +1
r
⎝r⎠
Решение внутренней задачи Дирихле (2.1)(2.3) ищем в виде
n + k +1
∞
n
⎛r⎞
(2.13)
u ( r ,θ ,ϕ ) = ∑ ⎜ ⎟ Ynk (θ ,ϕ ) .
n=0 ⎝ R ⎠
Нетрудно видеть, что функция u , определяемая рядом (2.13) удовлетворяет всем условиям
задачи (2.1)-(2.3) и, следовательно, является решением внутренней задачи Дирихле.
2.2. Внешняя задача Дирихле
Постановка внешней задачи Дирихле для области QRl+ = E3+ \ QR+ . Требуется найти четную по
θ функцию u ( r ,θ ,ϕ ) , удовлетворяющую усло-
виям:
(
)
(
)
u ∈ C 2 QR+,l ∩ C QR+,l ;
(2.14)
Δ B u = 0 , ( r ,θ ,ϕ ) ∈ QR+ ;
(2.15)
u = o (1) при r → ∞ ;
(2.16)
u r = R = f (θ , ϕ ) .
(2.17)
Единственность решения задачи (2.14)-(2.17)
также следует из принципа максимума для B гармонических функций.
Решение внешней задачи Дирихле методом
разделения переменных. Решение задачи (2.14)(2.17) ищем в виде
u = T ( r ) Y (θ ,ϕ ) .
(2.18)
Подставляя функцию (2.18) в уравнение
(2.15) и разделяя переменные, получаем уравнения (2.6) и (2.7) относительно неопределенных
функций. Известно, решениями уравнения (2.6)
при λ = n ( n + k + 1) являются B -сферические
функции Ynk , n = 0,1, 2,… . В качестве частного
решения уравнения (2.7) возьмем функцию
(2.12). Тогда решение внешней задачи Дирихле
(2.14)-(2.17) представляется в виде
n + k +1
∞
⎛R⎞
(2.19)
u ( r ,θ , ϕ ) = ∑ ⎜ ⎟
Ynk (θ ,ϕ ) .
n=0 ⎝ r ⎠
2.3. Внутренняя задача Неймана
Постановка внутренней задачи Неймана для
полушара QR+ . Требуется найти четную по θ
функцию u ( r ,θ ,ϕ ) , удовлетворяющую условиям:
u ∈ C 2 ( QR+ ) ∩ C 1 ( QR+ ) ;
(2.20)
Δ B u = 0 , ( r ,θ ,ϕ ) ∈ QR+ ;
(2.21)
∂u
∂u
=
= f (θ ,ϕ ) .
(2.22)
∂n r = R ∂r r = R
Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого, что можно установить с помощью
первой формулы Грина для оператора Δ B .
Решение внутренней задачи Неймана методом разделения переменных.
С помощью второй формулы Грина для оператора Δ B можно доказать, что внутренняя задача Неймана имеет решение только тогда, когда
граничное условие для f (θ ,ϕ ) удовлетворяет
соотношению
А.Р.ГАЛИМОВА
∫∫ f (θ ,ϕ ) dS
R
= 0.
(2.23)
S R+
В силу ортогональности системы
сферических функций
⎧ R 2 при m = 0,
k
=
Y
,
dS
θ
ϕ
(
)
⎨
R
∫∫S m
⎩0 при m ≠ 0.
R
B-
Отсюда заключаем, что для соблюдения условия (2.23) в разложении функции f (θ ,ϕ ) по
B -сферическим функциям должен отсутствовать
член нулевого порядка, т.е. должно быть
∞
f (θ ,ϕ ) = ∑ Ynk (θ ,ϕ ) .
n =1
∞
В этом случае ряд
∞
n
R⎛ r ⎞
⎜ ⎟ Yn (θ ,ϕ ) ,
n =1 n ⎝ R ⎠
где C – произвольная постоянная, решает внутреннюю задачу Неймана для полушара QR+ .
u ( r ,θ , ϕ ) = C + ∑
2.4. Внешняя задача Неймана
Постановка внешней задачи Неймана. Требуется найти четную по θ функцию u ( r ,θ ,ϕ ) ,
удовлетворяющую условиям:
u ∈ C 2 ( QR+,l ) ∩ C 1 ( QR+,l ) ;
(2.24)
Δ B u = 0 , ( r ,θ ,ϕ ) ∈ QRl+ ;
u = o (1) при r → ∞ ;
∂u
∂u
=
= f (θ ,ϕ ) .
(2.27)
∂n r = R ∂r r = R
Единственность решения внешней задачи
Неймана можно доказать с помощью первой
формулы Грина для оператора Δ B .
Внешняя задача Неймана (2.24)-(2.27) также
решается методом разделения переменных. Было
доказано, что частными решениями уравнения
(2.25) будут функции
n + k +1
R ⎛R⎞
un =
Ynk (θ ,ϕ ) .
⎜
⎟
n + k +1⎝ r ⎠
Решение задачи (2.24)-(2.27) ищем в виде
(2.25)
(2.26)
R ⎛R⎞
⎜ ⎟
n =0 n + k + 1 ⎝ r ⎠
u ( r ,θ , ϕ ) = − ∑
n + k +1
Ynk (θ ,ϕ ) . (2.28)
Нетрудно проверить, что функция u ( r ,θ ,ϕ ) ,
определяемая рядом (2.28) удовлетворяет всем
условиям задачи (2.24)-(2.27) и, следовательно,
является решением внешней задачи Неймана.
**********
1. Киприянов И.А., Кононенко В.И. Фундаментальные решения B -эллиптических уравнений //
Дифференциальные уравнения. – 1967. – Т.3. –
№1. – С.114-129.
2. Ляхов Л.Н. Весовые сферические функции и сингулярные псевдодифференциальные операторы //
Дифференциальные уравнения. – Минск. – 1985.
– Т.XXI. – №6. – С.1020-1032.
B -SPHERICAL FUNCTIONS AND THEIR APPLICATION TO SOLUTION
OF BOUNDARY-VALUE PROBLEMS
A.R.Galimova
Our work is devoted to B -spherical functions, their properties and orthogonality, in particular. Expansion
of some function in series on B -spherical functions is given. The theory of B -Spherical functions in solution of boundary-value problems for B -harmonic functions are employed.
Key words: B -spherical functions, problems of Dirichlet and Neumann, B -harmonic functions
**********
Галимова Алия Раилевна – аспирант кафедры математического анализа Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета
E-mail: mf@tggpu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
345 Кб
Теги
решение, сферическая, функции, граничных, применению, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа